14.1.3.1 勾股定理的逆定理(

1、 學(xué)習(xí)目標(biāo) 探究古埃及人結(jié)繩定直角三角形的方法； 學(xué)會(huì)判斷給出的一組數(shù)能否構(gòu)成直角三角 形； 深刻體會(huì)勾股定理的逆定理； 完成書(shū)P71-72中的四個(gè)問(wèn)題； 回顧直角三角形的性質(zhì)回顧直角三角形的性質(zhì) (1)有一個(gè)角是直角；有一個(gè)角是直角； (2)兩個(gè)銳角互余兩個(gè)銳角互余 ； (3)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 ； (4)在直角三角形中在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角是如果有一個(gè)銳角是 30,那么它所對(duì)的直角邊是斜邊的一那么它所對(duì)的直角邊是斜邊的一 半半 ； (5)在直角三角形中在直角三角形中, 如果一條直角邊是如果一條直角邊是 斜邊的一半斜邊的一半, 那么它所對(duì)的

2、銳角是那么它所對(duì)的銳角是30； 反之反之,一個(gè)三角形滿(mǎn)足什么條件，才能是一個(gè)三角形滿(mǎn)足什么條件，才能是 直角三角形呢直角三角形呢? 練習(xí)練習(xí)2： (1)有有一個(gè)角是直角一個(gè)角是直角的三角形是直角的三角形是直角 三角形；三角形； (2)有有兩個(gè)角的和是兩個(gè)角的和是90的三角形是直角的三角形是直角 三角形；三角形； (3)如果一個(gè)三角形的三邊如果一個(gè)三角形的三邊a ,b ,c 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 a2 +b 2=c2 ,那么這個(gè)三角形是直角三角形那么這個(gè)三角形是直角三角形? 一個(gè)三角形滿(mǎn)足什么條件才能是直角一個(gè)三角形滿(mǎn)足什么條件才能是直角 三角形三角形? 這個(gè)問(wèn)題意味著這個(gè)問(wèn)題意味著: 如果圍成的三角形的如

3、果圍成的三角形的 三邊分別為三邊分別為3、4、5 滿(mǎn)足關(guān)系滿(mǎn)足關(guān)系: 3242 52 那么圍成的三角形是那么圍成的三角形是 直角三角形直角三角形 勾股定理：勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別如果直角三角形兩直角邊分別 為為a，b，斜邊為，斜邊為c，那么，那么 。a a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2 逆命題：逆命題：如果三角形的三邊長(zhǎng)如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)滿(mǎn) 足足 ，那么這個(gè)三角形是直，那么這個(gè)三角形是直 角三角形。角三角形。 a a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2 互逆命題 分析：分析：根據(jù)勾股定理的逆定理根據(jù)勾股定理的逆定理, 判斷一個(gè)三角形是

4、不判斷一個(gè)三角形是不 是直角三角形是直角三角形, 只要看兩條較少邊長(zhǎng)的平方和是否等于只要看兩條較少邊長(zhǎng)的平方和是否等于 最大邊長(zhǎng)的平方最大邊長(zhǎng)的平方. 例例1：判斷由線(xiàn)段判斷由線(xiàn)段a，b，c組成的三角形是不是直角組成的三角形是不是直角 三角形三角形? (1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14 解解:(1)最大邊為最大邊為17 152+82=225+64 =289 172 =289 152+82 =172 以以15, 8, 17為邊長(zhǎng)的為邊長(zhǎng)的 三角形是直角三角形三角形是直角三角形 (2)最大邊為最大邊為15 132+142=169+196=365 152 =2

5、25 132+ 142 152 以以13, 15, 14為邊長(zhǎng)的為邊長(zhǎng)的 三角形不是直角三角形三角形不是直角三角形 像像15,17,8,能夠成為直角三角形三能夠成為直角三角形三 條邊長(zhǎng)的三個(gè)條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)正整數(shù)，稱(chēng)為，稱(chēng)為勾股數(shù)勾股數(shù). 下面以下面以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角 三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？ (1) a=25 b=20 c=15 _ _ ; (2) a=13 b=14 c=15 _ _ ; (4) a:b: c=3:4:5 _ _ ; 是是 是是 不是不是 是是 A=900 B=900 C=900 (3)

6、 a=1 b=2 c= _ _ ; 3 B ) (,2)( 22 則此三角形是 滿(mǎn)足條件、三角形三邊長(zhǎng) abcba cba A、銳角三角形、銳角三角形 B、直角三角形、直角三角形 C、鈍角三角形、鈍角三角形 D、等邊三角形、等邊三角形 已知：如圖，四邊形已知：如圖，四邊形ABCD中，中，B 900，AB3，BC4，CD12，AD13,求求 四邊形四邊形ABCD的面積的面積? A B C D 中考鏈接 S四邊形 四邊形ABCD=36 問(wèn)題五：求證：?jiǎn)栴}五：求證：m2n2，m2n2， 2mn(mn，m，n是正整數(shù)是正整數(shù))是直角三是直角三 角形的三條邊長(zhǎng)。角形的三條邊長(zhǎng)。 練習(xí)練習(xí)3： 1、小蔣要

7、求、小蔣要求ABC的最長(zhǎng)邊上的高，測(cè)得的最長(zhǎng)邊上的高，測(cè)得AB=8cm， AC=6cm，BC=10cm。則可知最長(zhǎng)邊上的高。則可知最長(zhǎng)邊上的高_(dá) 4.8cm 2. 滿(mǎn)足下列條件的滿(mǎn)足下列條件的ABC,不是直角三角形的是不是直角三角形的是( ) A.b2=a2-c2 B. a:b:c=3:4:5 C.C=A-B D. A:B : C =3:4:5 D 3.在下列長(zhǎng)度的各組線(xiàn)段中在下列長(zhǎng)度的各組線(xiàn)段中,能組成直角三角形的是能組成直角三角形的是( ) A. 5,6,7 B. 32,42,52 C. 5,11,12 D. 5,12,13 D 4.若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為:

8、32, 42, x2 ,則此三角形是則此三角形是 直角三角形的直角三角形的x2的值是的值是_ 一個(gè)零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件一個(gè)零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件 中中A和和DBC都應(yīng)為直角工人師傅量出了這個(gè)都應(yīng)為直角工人師傅量出了這個(gè) 零件各邊尺寸，那么這個(gè)零件符合要求嗎零件各邊尺寸，那么這個(gè)零件符合要求嗎? 此時(shí)四邊形此時(shí)四邊形ABCD 的面積是多少的面積是多少? 6. 已知已知a，b，c為為ABC的三邊的三邊,且且 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 試判斷試判斷ABC的形狀的形狀. 已知已知:如圖如圖,四邊形四邊形ABCD中中,AB=20,BC=1

9、5, CD=7,AD=24, B=90 求證求證:A+C=180 A B C D 20 15 7 24 如圖如圖BEAE, A=EBC=60,AB=4,BC= ,AB=4,BC= CD= DE=3,CD= DE=3,求證求證:ADCD:ADCD 3 32 A B C D 4 3 E 3 32 60 60 思考題思考題 “遠(yuǎn)航遠(yuǎn)航”號(hào)、號(hào)、“海天海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi) 港口，各自沿一固定方向航行，港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航遠(yuǎn)航” 號(hào)每小時(shí)航行號(hào)每小時(shí)航行16海里，海里，“海天海天”號(hào)每小時(shí)號(hào)每小時(shí) 航行航行12海里。它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后海里。它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后 相距

10、相距30海里。如果知道海里。如果知道“遠(yuǎn)航遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北號(hào)沿東北 方向航行，能知道方向航行，能知道“海天海天”號(hào)沿哪個(gè)方向號(hào)沿哪個(gè)方向 航行嗎？航行嗎？ E N R Q S P 解解:根據(jù)題意畫(huà)圖根據(jù)題意畫(huà)圖,如圖所示如圖所示: PQ=161.5=24 PR=121.5=18 QR=30 242+182=302, 即即PQ2+PR2=QR2 QPR=900 由由”遠(yuǎn)航遠(yuǎn)航“號(hào)沿東北方向航行可號(hào)沿東北方向航行可 知知,QPS=450.所以所以RPS=450, 即即“海天海天”號(hào)沿西北方向航行號(hào)沿西北方向航行. R 或東南方向 嗎?說(shuō)明理由ABC是直角三角形 n是正整數(shù))，m,n,(m 且 cb,

11、a, 分別為ABC三角形的三邊 已知 2 22 22 22 2 n nm m= =c c2mn,2mn,= =b b, ,n n- -m m = =a a 分析：先來(lái)判斷a,b,c三邊哪條最長(zhǎng)， 可以代m,n為滿(mǎn)足條件的特殊值來(lái)試， m=5,n=4.則a=9,b=40,c=41,c最大。 2222222222 )()2()(cnmmnnmba 解： ABC是直角三角形是直角三角形 7. 閱讀下列解題過(guò)程閱讀下列解題過(guò)程: 已知已知a，b，c為為ABC的三邊的三邊,且且 滿(mǎn)足滿(mǎn)足a2c2-b2c2=a4-b4, 試判斷試判斷ABC的形狀的形狀. 解解 a2c2-b2c2=a4-b4 (a2-b2

12、)c2=(a2+b2)(a2-b2) c2=a2+b2 ABC是直角三角形是直角三角形 問(wèn)問(wèn):上述解題過(guò)程上述解題過(guò)程,從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤?請(qǐng)寫(xiě)請(qǐng)寫(xiě) 出 該 步 的 序 號(hào)出 該 步 的 序 號(hào) : _ _ _ _ _ _ , 錯(cuò) 誤 的 原 因錯(cuò) 誤 的 原 因 為為:_;本題正確的結(jié)論本題正確的結(jié)論 是是_ a2-b2可能為可能為0 直角三角形或等腰三角形直角三角形或等腰三角形 8.已知：在已知：在A(yíng)BC中，中，AB13cm，BC10cm， BC邊上的中線(xiàn)邊上的中線(xiàn)AD12cm 求證：求證：ABAC 活動(dòng)與探究活動(dòng)與探究 給出一組式子：給出一組式子：324252，82

13、62102， 15282172，242102262 (1)你能發(fā)現(xiàn)上面式子的規(guī)律嗎你能發(fā)現(xiàn)上面式子的規(guī)律嗎?請(qǐng)你用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，給請(qǐng)你用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，給 出第出第5個(gè)式子；個(gè)式子； (2)請(qǐng)你證明你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律請(qǐng)你證明你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律 9.已知：在已知：在A(yíng)BC中，中，ABAC=26, 點(diǎn)點(diǎn)D是是AC上一點(diǎn)上一點(diǎn), CD=2，BD10. 求：求： ABC的面積的面積 在一根長(zhǎng)為在一根長(zhǎng)為180個(gè)單位的繩子上，分別標(biāo)出個(gè)單位的繩子上，分別標(biāo)出A， B，C，D四個(gè)點(diǎn)，它們將繩子分為長(zhǎng)為四個(gè)點(diǎn)，它們將繩子分為長(zhǎng)為60個(gè)單個(gè)單 位、位、45個(gè)單位和個(gè)單位和75個(gè)單位的三段線(xiàn)段。個(gè)單位的三段線(xiàn)段。 自己握住繩

14、子的兩自己握住繩子的兩 個(gè)端點(diǎn)（個(gè)端點(diǎn)（A點(diǎn)和點(diǎn)和D 點(diǎn)），兩名同伴分點(diǎn)），兩名同伴分 別握住別握住B點(diǎn)和點(diǎn)和C點(diǎn)，點(diǎn)， 一起將繩子拉直，一起將繩子拉直， 會(huì)得到一根什么形會(huì)得到一根什么形 狀？為什么？狀？為什么？ ABC三邊三邊a,b,c為邊向外作正為邊向外作正 方形，正三角形，以三邊為直方形，正三角形，以三邊為直 徑作半圓，若徑作半圓，若S1+S2=S3成立，則成立，則 是直角三角形嗎？是直角三角形嗎？ A C a b c S1 S2 S3 B AB C ab c S1 S2 S3 (1)兩條直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩條直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 (2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的立方相等如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的立方相等 (3)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等 (4)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 (5)對(duì)頂角相等對(duì)頂角相等 練練:說(shuō)出下列命題的逆命題這些命題的逆命題成立嗎說(shuō)出下列命題的逆命題這些命題的逆命題成立嗎? 逆命題逆命題: 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線(xiàn)平行. 成立成立 逆命題逆命題:如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的立方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的立方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等. 成立成立 逆命題逆命題:如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等