初二數(shù)學(xué)上冊各章節(jié)知識點(diǎn)例題

1、初二數(shù)學(xué)高分速成（上冊）第十一章 全等三角形1一、全等三角形及其判定1（一）知識總結(jié)1（二）例題精講1知識點(diǎn)一：全等三角形的性質(zhì)1知識點(diǎn)二：三角形全等的判定2知識點(diǎn)三：三角形全等的開方性探索4二、證明三角形全等的常見思路4（一）規(guī)律總結(jié)4（二）例題精講5考點(diǎn)一：已知一邊與其一鄰角對應(yīng)相等5考點(diǎn)二：已知兩邊對應(yīng)相等6考點(diǎn)三：已知兩角對應(yīng)相等8三、角的平分線的性質(zhì)10（一）知識總結(jié)10（二）例題精講10知識點(diǎn)一：(尺規(guī)作圖)作角平分線10知識點(diǎn)二：角平分線的性質(zhì)定理11知識點(diǎn)三：角平分線的逆定理12四、角平分線類問題常用思路13（一）規(guī)律總結(jié)13（二）例題精講13考點(diǎn)一：利用“角平分線的對稱性”求

2、解13考點(diǎn)二：利用“角平分線的性質(zhì)”求解15第十二章 軸對稱圖形16一、軸對稱圖形 知識總結(jié)16（一）知識總結(jié)16（二）例題精講17知識點(diǎn)一：軸對稱17知識點(diǎn)二：作軸對稱圖形18知識點(diǎn)三：等腰三角形20二、軸對稱應(yīng)用及等腰三角形的方法規(guī)律總結(jié)21（一）規(guī)律總結(jié)21（二）例題精講21考點(diǎn)一：證明一個(gè)三角形是等腰三角形的方法21考點(diǎn)二：巧用“三線合一”證題及軸對稱應(yīng)用22第十三章 實(shí)數(shù)及其運(yùn)算24一、實(shí)數(shù)及其運(yùn)算24（一）知識總結(jié)24（二）例題精講24知識點(diǎn)一：平方根、算術(shù)平方根的概念及表示方法24知識點(diǎn)二：平方根、算術(shù)平方根的性質(zhì)25知識點(diǎn)三：立方根的概念與性質(zhì)25知識點(diǎn)四：有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)

3、的概念26知識點(diǎn)五：實(shí)數(shù)的運(yùn)算27二、實(shí)數(shù)運(yùn)算中常見錯(cuò)誤及原因分析28（一）規(guī)律總結(jié)28（二）例題精講28考點(diǎn)一：忽視公式適用的條件28考點(diǎn)二：忽視結(jié)果的化簡29考點(diǎn)三：與算術(shù)平方根的乘除運(yùn)算混淆29第十四章 一次函數(shù)30一、一次函數(shù)及其圖像 知識總結(jié)30（一）知識總結(jié)30（二）例題精講31知識點(diǎn)一：變量與函數(shù)31知識點(diǎn)二：一次函數(shù)與正比例函數(shù)的意義32知識點(diǎn)三：待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式33二、一次函數(shù)及其圖像 規(guī)律總結(jié)34（一）規(guī)律總結(jié)34（二）例題精講34考點(diǎn)一：考定義34考點(diǎn)二：求解析式34考點(diǎn)三：考查函數(shù)的性質(zhì)35三、用函數(shù)觀點(diǎn)看方程（組）與不等式一次函數(shù)36（一）知識總結(jié)36（二

4、）例題精講37知識點(diǎn)一：一次函數(shù)與一元一次方程37知識點(diǎn)二：一次函數(shù)與一元一次不等式38知識點(diǎn)三：一次函數(shù)與二元一次方程(組)40四、用一次函數(shù)解決問題的方法技巧41（一）規(guī)律總結(jié)41（二）例題精講42考點(diǎn)一：利用一次函數(shù)求一元一次方程的解42考點(diǎn)二：利用一次函數(shù)式求一元一次不等式的解集42考點(diǎn)三：利用一次函數(shù)解二元一次方程組43第十五章 整式的乘除與因式分解45一、整式的乘除45（一）知識總結(jié)45（二）例題精講45知識點(diǎn)一：同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的運(yùn)算45知識點(diǎn)二：整式的乘法運(yùn)算46知識點(diǎn)三：整式的乘法公式（平方差公式及完全平方公式）46知識點(diǎn)四：整式的除法47二、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)

5、注意的問題48（一）規(guī)律總結(jié)48（二）例題精講48考點(diǎn)一：注意掌握公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)48考點(diǎn)二：注意創(chuàng)造條件使用公式49考點(diǎn)三：注意乘法公式的逆用49三、因式分解基礎(chǔ)知識與分解方法50（一）知識總結(jié)50（二）例題精講51知識點(diǎn)一：提公因法分解因式51知識點(diǎn)二：公式法分解因式52知識點(diǎn)三：巧用因式分解的解題52四、選擇合適的方法因式分解53（一）規(guī)律總結(jié)53（二）例題精講53考點(diǎn)一：拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解因式53考點(diǎn)二：換元法分解因式54考點(diǎn)三：整體思想分解因式55初二數(shù)學(xué)高分速成講義第十一章 全等三角形一、全等三角形及其判定（一）知識總結(jié)（二）例題精講知識點(diǎn)三：三角形全等的開方性探索 知識點(diǎn)二：三角形全

6、等的判定知識點(diǎn)一：全等三角形的性質(zhì)知識點(diǎn)一：全等三角形的性質(zhì)a、夯實(shí)基礎(chǔ)例1: 已知：如圖，oadobc，且o70，c25，則oad_度. 【解析】此題可根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得 oadobc oad=obc=1807025=85.【解答】85b、雙基固化例2: 如圖，abcdef,則有下列判斷正確的是( )。a.ab=df b.ac=dfc.a=f d.b=d【解析】本題根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等判斷即可.【解答】b.c、能力提升例3: 如圖,abcaed,b和e是對應(yīng)頂點(diǎn),寫出圖中相等的線段和相等的角. 【解析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等判斷即可.關(guān)鍵要做到不重

7、不漏.【解答】相等的線段有:ab=ae,ac=ad,bc=de，bd=ec 相等的角有:b=e,bac=ead,acb=ade。知識點(diǎn)二：三角形全等的判定a、夯實(shí)基礎(chǔ)例4: 如圖，ae=cf，afd=ceb，df=be，afd與 ceb全等嗎？為什么？【解答】afd ceb理由：ae=cfaefe=cfef，即af=ce在afd和 ceb中af=ceafd=ceb，df=be afdceb（sas） b、雙基固化例5: （2010年福州）如圖，點(diǎn)b、e、c、f在一條直線上，bc=ef，abde，a=d。 求證：abcdef。【解答】證明： abde， b=def 在abc和def中， b=de

8、f a=d bc=ef abcdef（aas）c、能力提升例6: （2010年寧德市）如圖，已知ad是abc的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使aedafd，需添加一個(gè)條件是：_，并給予證明. 【解答】解法一：添加條件：aeaf 證明：在aed與afd中， aeaf，eadfad，adad， aedafd（sas）.解法二：添加條件：edafda證明：在aed與afd中， eadfad，adad，edafda， aedafd（asa）. 知識點(diǎn)三：三角形全等的開方性探索 a、夯實(shí)基礎(chǔ)例7: 如圖，已知abc和dcb中，ab=dc，請補(bǔ)充一個(gè)條件_，使abc dcb?！窘馕觥恳阎獌蛇叄海?/p>

9、1）找夾角： abc=dcb （sas）；（2）找第三邊：ac=db （sss）；（3）找直角：a=d=90（hl）。【解答】 abc=dcb或ac=db或a=d=90。b、雙基固化例8:如圖，已知c= d，要使abc abd，需要添加的一個(gè)條件是_ ?！窘馕觥恳阎贿呉唤牵ㄟ吪c角相對），找任一角，cab=dab或者cba=dba?！窘獯稹縞ab=dab 或者cba=dba c、能力提升例9: 如圖，已知b=e，要使abc aed，需要添加的一個(gè)條件是_ 。【解析】已知兩角：（1）找夾邊：ab=ae（asa）；（2）找一角的對邊：ac=ad或de=bc(aas)?！窘獯稹縜b=ae或ac=ad

10、或de=bc 二、證明三角形全等的常見思路（一）規(guī)律總結(jié)（二）例題精講考點(diǎn)一：已知一邊與其一鄰角對應(yīng)相等 考點(diǎn)二：已知兩邊對應(yīng)相等考點(diǎn)三：已知兩角對應(yīng)相等 考點(diǎn)一：已知一邊與其一鄰角對應(yīng)相等 a、夯實(shí)基礎(chǔ)例1、已知：如圖， ac=db, 1=2. 求證: a=d?！窘獯稹孔C明：在abc和dcb中 ac=db 1=2 bc=cb abcdcb （sas） a=d b、雙基固化例2、已知：如圖，點(diǎn)在上，求證：abcdef【解答】證明：（已知），即在和中，（全等三角形對應(yīng)邊相等）c、能力提升例3、已知：如圖，d是的邊ab上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：abcdef【解答】證明：（已知），（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相

11、等）在和中， （全等三角形對應(yīng)邊相等）考點(diǎn)二：已知兩邊對應(yīng)相等a、夯實(shí)基礎(chǔ)例4、已知：如圖，ac=fe,bc=de,點(diǎn)a,d,b,f在一條直線上，ad=bf,求證：e=c.【解答】證明： ad=fb ad+db=bf+db，即ab=fd在abc和fde中ac=febc=deab=fd abcfde(sss) e=cb、雙基固化例5、已知：如圖，點(diǎn)在上，求證：abcde12【解答】證明：（已知），（鄰補(bǔ)角定義），在和中，c、能力提升例6、已知：如圖，點(diǎn)a、b、c、d在同一直線上，求證：，madncb【解答】證明：（已知），即在和中，（全等三角應(yīng)角相等），（同位角相等，兩直行）考點(diǎn)三：已知兩角對應(yīng)

12、相等 a、夯實(shí)基礎(chǔ)例7、已知：如圖，點(diǎn)在同一條直線上，求證：【解答】證明：（已知）， ，即 在和中，（全等三角形對應(yīng)邊相等）b、雙基固化例8、已知：如圖，交于點(diǎn)，為上兩點(diǎn)，求證：【解答】證明：（已知），即在和中，c、能力提升例9、已知：如圖，e在ab上，1=2，3=4，那么ac等于ad嗎？為什么？【解答】ac=ad理由：在ebc和ebd中 1=2 3=4 eb=eb ebcebd(aas) bc=bd 在abc和abd中 ab=ab 1=2 bc=bd abcabd (sas) ac=ad三、角的平分線的性質(zhì) （一）知識總結(jié) （二）例題精講 知識點(diǎn)一：(尺規(guī)作圖)作角平分線 知識點(diǎn)二：角平分線

13、的性質(zhì)定理 知識點(diǎn)三：角平分線的逆定理知識點(diǎn)一：(尺規(guī)作圖)作角平分線 a、夯實(shí)基礎(chǔ) 如圖所示,已知aob,求作射線oc,使oc平分aob,作法的合理順序是( c ) (1)作射線oc；(2)在oa和ob上,分別截取od,oe,使od=oe (3)分別以d,e為圓心,大于 de的長為半徑作弧,在aob內(nèi),兩弧交于點(diǎn)c a(1)(2)(3) b(2)(1)(3) c(2)(3)(1) d(3)(2)(1) 【解析】注意作圖步驟b、雙基固化 如圖,已知aob和定長線段a,在aob內(nèi)找一點(diǎn)p,使p 到oa,ob的距離都等于a,做法如下:(1)作nhob于h,使nh=a(2)過n作nmob(3)作ao

14、b的平分線op,與nm交于p點(diǎn)p即為所求其中(3)的依據(jù)是( b ). a平行線之間的距離處處相等 b到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上c角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等d到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上【解析】注意區(qū)分角平分線性質(zhì)定理與逆定理c、能力提升 如圖,已知acb =,efo =用直尺和圓規(guī)求作一個(gè), 使得=作圖如下,下列敘述正確的是( ) a.首先作eof的角平分線,將eof一分為二即得再以ca為邊,在acb的內(nèi)部作acd=,則bcd即為所求b.首先作eof的角平分線,將eof一分為二即得再在acb的內(nèi)部作acd=,則bcd即為所求【解析】沒有說明“以ca為邊

15、” c. 首先作eof的角平分線,將eof一分為二即得再以ca為邊作 acd= ,則bcd即為所求【解析】c沒有說明“在acb的內(nèi)部” d. 首先作eof的角平分線,將eof一分為二即得再以ca為邊,在acb的內(nèi)部作 acd= ,則acd即為所求【解析】不一定等于acd 知識點(diǎn)二：角平分線的性質(zhì)定理a、夯實(shí)基礎(chǔ) 如圖,ad平分bac,點(diǎn)p在ad上,若peab,pfac,垂足分別為e、f,則pe與pf的長度關(guān)系是_pe=pf 【解析】角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等,所以pe=pf. b、雙基固化 如圖,在abc中,c=90,ad是bac的平分線,若dc=6,則d點(diǎn)到ab的距離是_6_ 【解析】

16、如圖,過點(diǎn)d作deab,垂足為e,則de是d點(diǎn)到ab的距離,dcac,ad是bac的平分線,de=dc=6 c、能力提升 p在mon的角平分線上,paom于a,pbon于b,若oa=6cm,op=10cm,則pb=_8cm 【解析】在rtaop中又角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等, pb=pa=8cm 知識點(diǎn)三：角平分線的逆定理a、夯實(shí)基礎(chǔ) 如圖所示,已知pbab,pcac,且pb=pc,d是ap上一點(diǎn),則點(diǎn)d在_bac_的角平分線上,同時(shí)又上在_bpc _的角平分線上【解析】pb=pc,pa=pa,rtabprtacp,bpa=cpa, 點(diǎn)d在bpc的角平分線上 bap=cap點(diǎn)d在bac的

17、角平分線上b、雙基固化 如圖所示,要在河流的南邊,公路左側(cè)的m區(qū)建一個(gè)工廠,要求工廠的位置到河流和公路的距離相等,并且到河流域公路交叉點(diǎn)a處的距離為1cm,(指圖上的距離),則圖中工廠的位置應(yīng)在_,理由是_ 【解析】將河流和公路看做兩條線,再利用“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”解答【解答】河流與公路夾角的平分線上,并且到交叉點(diǎn)a的圖上距離為1cm；到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上c、能力提升 如圖,已知abc中,peab交bc于e,pfac交bc于f,p是ad上一點(diǎn),且d點(diǎn)到pe的距離與到pf的距離相等.求證：ad平分bac【解析】利用到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上解答 先證明

18、epd=fpd,再證明bad =cad 證明：d到pe的距離與到pf的距離相等 點(diǎn)d在epf的平分線上 epd=fpd 又peab, epd=bad 同理fpd=cad bad =cad, ad平分bac四、角平分線類問題常用思路（一）規(guī)律總結(jié)同學(xué)們在學(xué)完角平分線和全等三角形之后，就可以根據(jù)已知條件和結(jié)論再結(jié)合角的平分線的特性，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形往往是同學(xué)們尋找證題思路的一個(gè)難點(diǎn)，下面以一個(gè)例題的幾種不同證法來歸納如何利用角平分線構(gòu)成全等三角形的常見輔助線的作法（二）例題精講考點(diǎn)一：利用“角平分線的對稱性”求解 考點(diǎn)二：利用“角平分線的性質(zhì)”求解考點(diǎn)一：利用“角平分線的對稱性”求解

19、因?yàn)榻鞘禽S對稱圖形，角平分線是其對稱軸，因此，題中若有角平分線，一般可以利用其對稱性來構(gòu)成全等三角形a、夯實(shí)基礎(chǔ)例1、如圖，bcab，bd平分abc，且a+c=1800，求證：ad=dcbacde【解析】可以看作將abd沿角平分線bd折向bc而構(gòu)成全等三角形的【解答】證法一、如圖，在bc上取be=ab，連結(jié)de，bd平分abc，abd=dbe，又bd=bd，abdebd（sas），a=dbe，ad=de，又a+c=1800，deb+dec=1800，c=dec，de=dc，則ad=dcb、雙基固化例2、如圖，bcab，bd平分abc，且a+c=1800，求證：ad=dc【解析】可以看作將abd

20、沿角平分線bd折向bc而構(gòu)成全等三角形的【解答】證法二、如圖，過a作bd的垂線分別交bc、bd于e、f，連結(jié)de，由bd平分abc，易得abfebf，則ab=be，bd平分abc，bd=bd，abdebd（sas），ad=ed，bad=deb，又bad+c=1800，bed+ced=1800，c=dec，則de=dc，ad=dcc、能力提升例3、如圖，bcab，bd平分abc，且a+c=1800，求證：ad=dc【解析】cbd沿角平分線bd折向ba而構(gòu)成全等三角形的【解答】證法三、如圖，延長ba至e，使be=bc，連結(jié)de， bd平分abc，cbd=dbe，又bd=bd，cbdebd（sas）

21、，c=e，cd=de，又bad+c=1800，dab+dae=1800，e=dae，de=da，則ad=dc考點(diǎn)二：利用“角平分線的性質(zhì)”求解由于角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，所以根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，可以過角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線而構(gòu)成兩個(gè)全等的直角三角形a、夯實(shí)基礎(chǔ)例4、已知：如圖，在abc中，c=90,ac=bc,ad平分cab.求證：ac+cd=ab【解析】要想證明ac+cd=ab，可以在ab上截取ae=ac，然后證明be= cd即可【解答】證明：在ab上截取ae=ac，ad平分cab，cad= dab，ad=ad，cadead，dea=90，c=90，ac=bc，b=45，b=b

22、de=45de=be，ac+cd=ae+de=ae+be=ab，即ac+cd=ab.b、雙基固化例5、如圖1，在abc中，bac的角平分線ad平分底邊bc.求證ab=ac.【解析】根據(jù)已知可知ad是bac的平分線，可通過點(diǎn)d作bac的垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積進(jìn)行證明.【解答】證明：過點(diǎn)d作deab，dfac，垂足分別為e、f.da為bac的平分線，de=df.又ad平分bc，bd=cd，sabd=sacd，又sabd=abde，sacd=acdf，abde=acdf，ab=ac.c、能力提升例6、已知：如圖，在rtabc中，c=90，沿過b點(diǎn)的一條直線be折疊這個(gè)三角形，使c

23、點(diǎn)與ab邊上的一點(diǎn)d重合，當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，點(diǎn)d恰為ab中點(diǎn)？寫出一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件，并利用此條件證明d為ab中點(diǎn). 【解析】若點(diǎn)d為ab中點(diǎn)，edab，可知bde和ade全等，即ead=ebd，因?yàn)閑b平分cba，c=90，所以a=30.【解答】當(dāng)a =30時(shí)，點(diǎn)d恰為ab的中點(diǎn).a=30，c=90(已知)，cba=60(直角三角形兩銳角互余).又becbed(已知)，cbe=dbe=30，且edb=c=90(全等三角形對應(yīng)角相等)，dbe=a(等量代換)be=ae(等角對等邊)，又edb=90，即edab，d是ab的中點(diǎn)(三線合一).第十二章 軸對稱圖形一、軸對稱圖形 知識總結(jié)（一）知

24、識總結(jié)（二）例題精講知識點(diǎn)一：軸對稱知識點(diǎn)二：作軸對稱圖形知識點(diǎn)三：等腰三角形知識點(diǎn)一：軸對稱a、夯實(shí)基礎(chǔ)例1: 下列圖形是軸對稱圖形的是 （ ）.（a） （b） （c） （d）【解析】要選擇哪個(gè)圖案是軸對稱圖形，主要根據(jù)軸對稱圖形的特征：沿某條直線折疊，直線兩旁的部分能互相重合.觀察所給的四個(gè)圖案，能沿某直線折疊重合的只有最后一個(gè)圖形.【解答】（d）b、雙基固化例2: 如圖1，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)a、b提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從a、b到它的距離相等？ 圖1 圖2【解析】本題是一道與線段垂直平分線性質(zhì)應(yīng)用有關(guān)的題目.解決問題的關(guān)鍵從實(shí)際問題中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.如圖2，將a、

25、b兩個(gè)居民區(qū)看作兩個(gè)點(diǎn)，將街道看作直線l，則本題實(shí)際上是在直線l上求作一點(diǎn)，這點(diǎn)到點(diǎn)a、b的距離相等.作線段ab的垂直平分線即可解決問題.【解答】如圖2，（1）連結(jié)ab，（2）作線段ab的垂直平分線mn交直線l與點(diǎn)p，則點(diǎn)p就是所求作的奶站的位置.c、能力提升例3: 如圖3，abc中，bac=120，若de、fg分別垂直平分ab、ac，aef的周長為10cm，求eaf的度數(shù)及bc的長. 圖3【解析】本題主要考查線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用.要求bc的長,根據(jù)已知可得ea=eb,fa=fc,這樣bc的長實(shí)際就是ae+ef+af.要求eaf的度數(shù),則只要求到bae+caf的度數(shù)即可解決問題.【解答】因

26、為bac=120，所以b+c=60，因?yàn)閐e垂直平分ab，所以be=ae，b=bae，因?yàn)閒g垂直平分ac，所以af=cf，c=caf，所以ae+ef+af=be+ef+cf=bc=10cm，eaf=bac-(bae+caf)=120-(b+c)=60.知識點(diǎn)二：作軸對稱圖形a、夯實(shí)基礎(chǔ)例4: 如圖,以直線ae為對稱軸,畫出該圖形的另一部分.【解析】要畫出圖形的另一部分, 首先要找到圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)a，b，c，d，e，由于點(diǎn)a，d，e在對稱軸上，所以它們的對稱點(diǎn)與本身重合，這樣只要根據(jù)對稱的性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)b、c關(guān)于直線ae的對稱點(diǎn)，然后用線段連結(jié)相應(yīng)的對稱點(diǎn)即可得到圖形的另一部分.【解答】作圖過

27、程如下：（1）分別作出點(diǎn)b、c關(guān)于直線ae的對稱點(diǎn)f，h,如圖a；（2）連結(jié)af、fd、dh、he，得到所求的圖形,如圖b. 圖a 圖b b、雙基固化例5: 用四塊如圖4所示的正方形瓷磚拼成一個(gè)新的正方形，使拼成的圖案是一個(gè)軸對稱圖形.請你在圖4、圖4、圖4中各畫一種拼法(要求三種拼法各不相同). 圖4【解析】本題是一道與軸對稱圖形有關(guān)的拼圖問題，要拼軸對稱圖案，則需要理解軸對稱圖形的特征：要某直線折疊后，直線兩旁的部分能完全重合.另外還需要掌握平移等有關(guān)知識.設(shè)計(jì)圖案問題一般具有開放性，可以根據(jù)自己想象設(shè)計(jì)出美麗的圖案.【解答】下面給出3種不同答案，供參考.如圖5. 圖5c、能力提升例6:

28、如圖6，（1）作出abc關(guān)于y軸對稱的a1b1c1，并寫出a1b1c1各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將abc向右平移6個(gè)單位，作出平移后的a2b2c2，并寫出a2b2c2各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）觀察a1b1c1和a2b2c2，它們是否關(guān)于某直線對稱？若是，請?jiān)趫D上畫出這條對稱軸. 圖6 圖7【解析】（1）在直角坐標(biāo)系內(nèi)作abc關(guān)于y軸的對稱圖形，可先確定關(guān)鍵點(diǎn)a、b、c關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)a1、b1、c1的坐標(biāo)，描出這些點(diǎn)的坐標(biāo)，然后順次連結(jié)即可.（2）要作abc向右平移6個(gè)單位的后的a2b2c2，首先要作出a、b、c三點(diǎn)向右平移6個(gè)單位的對應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；（3）要觀察a1b1c1和a2b2c2是否關(guān)于

29、某直線對稱，可連接a1a2，b1b2，c1c2，看它們的垂直平分線是否是同一條直線，如果是，則a1b1c1和a2b2c2就關(guān)于這條直線對稱，否則，不關(guān)于某條直線對稱.【解答】（1）如圖7所示,a1(0,4)，b1(2,2)，c1(1,1);（2）如圖7所示,a2(6,4)，b2(4,2)，c2(5,1);（3）a1b1c1與a2b2c2關(guān)于直線軸對稱.知識點(diǎn)三：等腰三角形a、夯實(shí)基礎(chǔ)例7: abc中,ab=ac,它的兩邊分別是2厘米和4厘米,則它的周長是（ ）(a)8厘米 (b)10厘米 (c)8厘米或10厘米 (d)不確定【解答】bb、雙基固化例8: 如圖是某房屋頂框架的示意圖，其中，ab=

30、ac，adbc，bac=120，求b、c和bad的度數(shù).【解析】由ab=ac，可知abc是等腰三角形，等腰三角形的底邊上的高，頂角的平分線重合，根據(jù)adbc，可得ad平分bac，進(jìn)一步可以求到各角的度數(shù).【解答】在abc中，因?yàn)閍b=ac，所以b=c，因?yàn)閎ac+b+c=180，bac=120，所以b=c=(180-120)=30,因?yàn)閍dbc,所以bad=bac=60. c、能力提升例9: 如圖，已知abc為等邊三角形，d、e、f分別在邊bc、ca、ab，且def也是等邊三角形除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想是正確的.【解析】本題是一道猜想型探索題.要探索圖形中存

31、在哪些相等的線段,可根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),通過尋找三角形全等進(jìn)行探索.【解答】圖中還有相等的線段是：ae=bf=cd，af=bd=ce ， 事實(shí)上，因?yàn)閍bc與def都是等邊三角形， 所以a=b=c=60，edf=def=efd=60,de=ef=fd ， 又因?yàn)閏ed+aef=120，cde+ced=120， 所以aef=cde，同理，得cde=bfd， 所以aefbfdcde（aas）， 所以ae=bf=cd，af=bd=ce . 二、軸對稱應(yīng)用及等腰三角形的方法規(guī)律總結(jié)（一）規(guī)律總結(jié)1證明一個(gè)三角形是等腰三角形的方法（1）利用定義證明，有兩邊相等的三角形是等腰三角形。（2）等腰三角形的判

32、定定理：等角對等邊。2等腰三角形的性質(zhì)及判定在實(shí)際問題中的應(yīng)用是本節(jié)的重點(diǎn)，等腰三角形中主要抓住“三線合一”這一條，注意數(shù)形結(jié)合的思想，一般等腰三角形的頂點(diǎn)作底邊上的高。并利用軸對稱的知識解決生活中的實(shí)際問題。（二）例題精講考點(diǎn)一：證明一個(gè)三角形是等腰三角形的方法考點(diǎn)二：巧用“三線合一”證題及軸對稱應(yīng)用考點(diǎn)一：證明一個(gè)三角形是等腰三角形的方法a、夯實(shí)基礎(chǔ)例1、如圖abc中ab=ac，a=36，bd平分abc交ac于d，則圖中的等腰三角形有（ ）.a1個(gè) b2個(gè) c3個(gè) d4個(gè)【解析】如圖，由于ab=ac，所以三角形abc是等腰三角形，又因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180，所以當(dāng)頂角的度數(shù)為36 時(shí)，兩

33、個(gè)底角的度數(shù)為72，又因?yàn)閎d平分abc，所以dbc=abd=36，所以三角形abd和三角形bdc是等腰三角形.【解答】cb、雙基固化例2、如圖，在abc中，ab=ac，abc=60，d、e是bc上的點(diǎn)，bad=dae=eac，則圖中等腰三角形有（ ）個(gè).a1個(gè) b2個(gè) c3個(gè) d4個(gè)【解析】因?yàn)閍bc中，ab=ac，abc=60，所以abc是等邊三角形，所以每個(gè)角都等于60，又因?yàn)閎ad=dae=eac，所以bad=dae=eac=20，根據(jù)三角形的外角關(guān)系可知，ade=aed，所以ade也是等腰三角形.【解答】bc、能力提升例3、如圖，abc中，abc=acb=60，abc與acb的平分線

34、交于o，過點(diǎn)o且平行于bc的直線交ab于m，ac于n，連ao，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)有（ ）.a5個(gè) b6個(gè) c7個(gè) d9個(gè)【解析】因?yàn)閍bc=acb=60，所以abc是等邊三角形，又因?yàn)閍bc與acb的平分線交于o，且mnbc，所以mbo=mob=nco=noc=30，所以mob和noc和boc和anm都是等腰三角形.【解答】a考點(diǎn)二：巧用“三線合一”證題及軸對稱應(yīng)用a、能力提升例4、已知，如圖1，ad是的角平分線，de、df分別是和的高。 求證：ad垂直平分ef【解析】從本題的條件和圖形特征看，欲證ad垂直平分ef，因?yàn)橛校灾灰C為等腰三角形即可?！窘獯稹?又 ad垂直平分efb、雙基

35、固化例5在銳角aob內(nèi)有一定點(diǎn)p，試在oa、ob上確定兩點(diǎn)c、d，使pcd的周長最短【解析】pcd的周長等于pc+cd+pd，要使pcd的周長最短，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，只需使得pc+cd+pd的大小等于某兩點(diǎn)之間的距離，于是考慮作點(diǎn)p關(guān)于直線oa和ob的對稱點(diǎn)e、f，則pcd的周長等于線段ef的長【解答】作法：如圖作點(diǎn)p關(guān)于直線oa的對稱點(diǎn)e；作點(diǎn)p關(guān)于直線ob的對稱點(diǎn)f；連接ef分別交oa、ob于點(diǎn)c、d則c、d就是所要求作的點(diǎn)證明：連接pc、pd，則pc=ec，pd=fd在oa上任取異于點(diǎn)c的一點(diǎn)h，連接he、hp、hd，則he=hpphd的周長=hp+hd+pd=he+hd+dfed+df=ef而pcd的周長=pc+cd+pd=ec+cd+df=efpcd的周長最短 c、能力提升例6、如圖4，已知四邊形abcd中，m、n分別為ab、cd的中點(diǎn)，求證：。【解析】由于mn與cd同在中，又n為cd的中點(diǎn)，于是就想到證為等腰三角形，由于md、mc為、斜邊ab上的中線，因此，所以，問題容易解決【解答】連結(jié)dm、cm ，m是ab的中點(diǎn) 是等腰三角形又n是cd的中點(diǎn)，第十三章 實(shí)數(shù)及其運(yùn)算一、實(shí)數(shù)及其運(yùn)算（一）知識總結(jié)（二）例題精講知識點(diǎn)一：平方根、算術(shù)平方根的概念及表示方法知識點(diǎn)二：平方根、