高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)平面向量的數(shù)量積及運算律

1、平面向量的數(shù)量積及運算律（1）教學(xué)目的：1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；4.掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教學(xué)過程：一、引入：力做的功：w = |f|s|cosq，q是f與s的夾角二、講解新課：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量a與，作a，則（0）叫a與的夾角.說明：（1）當(dāng)0時，a與同向；（2）當(dāng)時，a與反向；（3）當(dāng)時，a與垂直，記a；（4）注意在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是

2、同起點的.范圍0q1802平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量a與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫a與的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0。探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定。（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab；今后要學(xué)到兩個向量的外積ab，而ab是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分。符號“ ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在實數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，且ab=0，不能推

3、出b=0。因為其中cosq有可能為0。（4）已知實數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bc a=c。但是ab = bc a = c 如右圖：ab = |a|b|cosb = |b|oa|，bc = |b|c|cosa = |b|oa| ab = bc 但a c (5)在實數(shù)中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線。3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0時投影為

4、 |b|；當(dāng)q = 180時投影為 -|b|。4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量。1 ea = ae =|a|cosq2 ab ab = 03 當(dāng)a與b同向時，ab = |a|b|；當(dāng)a與b反向時，ab = -|a|b|。 特例：aa = |a|2或4 cosq =5 |ab| |a|b|三、講解范例：例1 判斷正誤，并簡要說明理由.a00；0a0；0；aa；若a0，則對任一非零有a0；a0，則a與中至少有一個為0；對任意向量a，都有（a）a（）；a與是兩個單位向量，則

5、a.例2 已知a3，6，當(dāng)a，a，a與的夾角是60時，分別求a.例3 判斷下列命題的真假：（1） 在abc中，若，則abc是銳角三角形；（2） 在abc中，若，則abc是鈍角三角形；（3） abc為直角三角形的充要條件是.例4 試證明：若四邊形abcd滿足則四邊形abcd為矩形.例5 設(shè)正三角形abc的邊長為四、小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求掌握平面向量的數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)、運算律，并能運用它們解決相關(guān)的問題課后反思：1.概念辨析：正確理解向量夾角定義對于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點出發(fā)的兩個向量所構(gòu)成的較小的非負(fù)角，因?qū)ο蛄繆A角定義理解不清而造成解題錯誤是一些易見的錯誤，如：1.已

6、知abc中，求.對此題，有同學(xué)求解如下：解：如圖，cos58cos6020.分析：上述解答，乍看正確，但事實上確實有錯誤，原因就在于沒能正確理解向量夾角的定義，即上例中與兩向量的起點并不同，因此，并不是它們的夾角，而正確的夾角應(yīng)當(dāng)是c的補角120.2.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律分析：若有（）（），設(shè)、夾角為，、夾角為，則()cos，()cos.若，則，進而有：（）()這是一種特殊情形，一般情況則不成立.舉反例如下：已知，與夾角是60，與夾角是45，則：()（cos60），()（cos45）而，故（）（） 平面向量的數(shù)量積及運算律（2）教學(xué)目的：1.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；2.能利用數(shù)量積的5

7、個重要性質(zhì)及數(shù)量積運算律解決有關(guān)問題；3.掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題. 教學(xué)重點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律.教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1兩個非零向量夾角的概念c2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義： 3“投影”的概念：定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量。（1）ea = ae =|a|cosq；（2）ab ab = 0（3）當(dāng)a與b同向時，ab = |a|

8、b|；當(dāng)a與b反向時，ab = -|a|b|。 特例：aa = |a|2或（4）cosq = ；（5）|ab| |a|b|6判斷下列各題正確與否：1若a = 0，則對任一向量b，有ab = 0。 ( )2若a 0，則對任一非零向量b，有ab 0。 ( )3若a 0，ab = 0，則b = 0。 ( )4若ab = 0，則a 、b至少有一個為零。 ( )5若a 0，ab = ac，則b = c。 ( )6若ab = ac，則b = c當(dāng)且僅當(dāng)a 0時成立。 ( )7對任意向量a、b、c，有(ab)c a(bc)。 ( )8對任意向量a，有a2 = |a|2。 ( )二、講解新課：平面向量數(shù)量積的

9、運算律1交換律：a b = b a2數(shù)乘結(jié)合律：(a)b =(ab) = a(b)3分配律：(a + b)c = ac + bc說明：（1）一般地，(a)a（）（2）a，0a（3）有如下常用性質(zhì)：aa，（a）（）aa(a)a2a三、講解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角。例2 已知|a|=3,|b|=4(且a與b不共線)，當(dāng)且僅當(dāng)k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直？例3 已知a、b是非零向量，設(shè)m=|a+tb|.(1) 求當(dāng)m取最小值時，實數(shù)t的值；(2) 證明當(dāng)m取最小值時，向量b和a+tb垂直.例

10、4 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和。例5 四邊形abcd中，a，且aa，試問四邊形abcd是什么圖形?.課后反思：1.常用數(shù)量積運算公式在數(shù)量積運算律中，有兩個形似實數(shù)的完全平方和(差)公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛.即(ab)aabb，（ab）aabb上述兩公式以及(ab)(ab)ab這一類似于實數(shù)平方差的公式在解題過程中可以直接應(yīng)用.2.應(yīng)用舉例例1已知a，b，ab，求ab，ab.解：ab（ab）aabb（）ab，（ab）（ab）a2abb22（3）35，ab例2已知a8，b10，ab16，求a與b的夾角(精確到).解：（ab）（ab）a2abba2abb，平面向量的數(shù)量積

11、及運算律（3）教學(xué)目的：1.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；2.能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運算律解決有關(guān)問題；3.掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題. 教學(xué)重點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律.教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1兩個非零向量夾角的概念c2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義： 3“投影”的概念：定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量。(1) ea = ae =

12、|a|cosq；(2) ab ab = 0(3) 當(dāng)a與b同向時，ab = |a|b|；當(dāng)a與b反向時，ab = -|a|b|。 特別的aa = |a|2或(4) cosq = ；(5) |ab| |a|b|6.平面向量數(shù)量積的運算律1交換律：a b = b a2數(shù)乘結(jié)合律：(a)b =(ab) = a(b)3分配律：(a + b)c = ac + bc二、例題例1 已知是三個非零向量，則下列命題中真命題的個數(shù)為（ ）（1）（2）（3）（4）a 1 b 2 c 3 d 4 例2 已知|a|=4,|b|=5,當(dāng)（1）a/b, (2) ab ， （3）a與b的夾角為30o時，分別求a與b的數(shù)量積.例3 已知試用向量并