材料力學(xué)-- 梁的位移計算

1、第五章 梁彎曲時的位移 6#135： 黃夢凡、張星、侯中杰、 劉蘭蘭、王楠、羅楊 梁的位移： 撓度和轉(zhuǎn)角 撓度軸線上的點在垂直于x軸方向的線位移w。 轉(zhuǎn)角橫截面對其原來位置的角位移。 （即曲線在該點處的切線與x軸之間的夾角） 撓曲線梁變形后的曲線。 y x 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 撓曲線撓曲線 撓度撓度w 位移的度量位移的度量： 注意注意：梁軸線彎曲成曲線后，在x軸方向也發(fā)生線位移x， 但在小變形情況下，梁的跨長遠大于撓度，故可略去。 選定坐標系后，梁變形后的軸線可表達為： w=f(x) 稱為撓曲線方程 其中， w該點撓度；x橫坐標 由于撓曲線是一平坦曲線，轉(zhuǎn)角可表達為： tan = w = f (x) M

2、和w正負號的判斷 M0,W0 M0 x y x y 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 EI xM 1 23 2 1 1 w w 23 2 1w w EI xM 23 2 1w w EI xM 撓曲線微分方程的正負號與選取的坐標系有關(guān)撓曲線微分方程的正負號與選取的坐標系有關(guān) EI為彎曲剛度為彎曲剛度 撓曲線近似微分方程 w1，可以忽略 w EI xM xMwEI 故故 即即 對上式進行積分，并通過邊界條件確定積對上式進行積分，并通過邊界條件確定積 分常數(shù)，即可求得梁的撓曲線方程。分常數(shù)，即可求得梁的撓曲線方程。 CdxxMwEI l DCxdxdxxMEIw ll 邊

3、界條件邊界條件 光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件 F l ab A B C x y ;wx 00 0 wlx 21 wwax 21 ax 注意：梁上的荷載不連續(xù)不連續(xù)時，梁的彎矩方程須分段寫出。在 確定積分常數(shù)時，除利用支座處的約束條件約束條件外，還需利用相鄰 兩段梁在交界處位移的連續(xù)條件連續(xù)條件。 撓曲線的微分法方程適用于小變形情況下、線彈性材料、 對稱彎曲的細長梁。 例題例題1：如圖所示簡支梁，在C截面承受集中力偶M作用，已知 梁的剛度為 EI，試求梁的撓曲線方程，并確定位移 、 和 。 A B max a A B C b M 解：建立坐標系如圖所示 1、求約束反力 2、建立彎矩方程和撓曲線方程

4、AC段： CB段： a A B C b M ? ? A F )(F )( B ba M ba M FA x ba M M 1 )0 (ax M ba Mx M 2 )(baxa a A B C b M A F AC段CB段 彎矩 方程 轉(zhuǎn)角 方程 撓度 方程 x ba M M 1 M ba Mx M 2 1 2 1 2 C x ba M EI 1 2 2 2 DMx x ba M EI 21 3 1 6 CxC x ba M EI 21 2 3 2 26 DxDx Mx ba M EI 3、利用邊界條件和光滑連續(xù)條件確定積分常 數(shù) )(2 )2( 3 2 1 ba Ma ab M C 0 2

5、C )(23 )( 2 1 ba MabaM D 2 2 2 Ma D 4、最大轉(zhuǎn)角和最大撓度 )(6 )22( )(23 )2( 222 1 baEI aabbM baEI Ma EI abM EI C A )(6 )22 ()( 2 )( )( 22 1 2 baEI aabaM EI D EI baMba baEI M B 根據(jù)附錄有： 在 時， 當 時 撓度有最大值 2 3 22 2 22 2 baba ba x 3 22 2 22 1 baba x 0 1 3 )22( )(72 )11237( 16 )967( 222222 max baba ba Mbabababa 奇異函數(shù)法求

6、梁的位移 奇異函數(shù) 當n0（n為正整數(shù)）時， 奇異函數(shù)的微分奇異函數(shù)的微分 奇異函數(shù)的積分奇異函數(shù)的積分 ax ax ax axxf n n 0 dx axd n 1 n axn dxax n 1 1 n ax n 奇異函數(shù)適用于全梁的彎矩和剪力的通用方程。 q l F M a b c 0 axMxM 1 bxF 2 2 cx q F q l M a b c d 2 2 dx q 彎矩的通用方程彎矩的通用方程 i ii axMxM 0 j jj bxF k k k cx q 2 2 k k k dx q 2 2 奇異法奇異法 1.求約束反力： 2.用奇異函數(shù)表示的彎矩方程 )( ba M Fa

7、)( ba M Fb a A B C b M 0 )( axMx ba M xM A F 根據(jù)撓曲線的初參數(shù)方程得： （1） （2） 在x=a+b處 =0 代入（1）式，得： 12 0 ! 2 1 axMx ba M EIEI 23 0 ! 2! 3 1 ax M x ba M xEIEI )(6 )22( 22 0 baEI aabbM )(6 )22( 22 0 baEI aabbM A 將 代入（2）式，得： 由 =0，得： 所以 0 )(6 )22( | 22 baEI babaM baxB 3 210 2 )( 22 aabbba x 3 22 )(72 )11237( 16 )96

8、7( 222222 max baba ba MbabaMbaba q D A a a a B C qa 例題例題2.簡支梁受力及截面尺寸如圖。已知梁的 剛 度為EI，試確定梁的撓曲線方程， 并確定位 移wB和wD。 方法一：積分法方法一：積分法 解：（1）撓曲線方程 有平衡方程可得梁的兩個支反力（如圖）為 4 qa FA 4 9qa Fc y q Fa Fc qa BA CD x q F a Fc qa BA CD x AB段段BC段段CD段段 彎 矩 方 程 轉(zhuǎn) 角 方 程 撓 度 方 程 x qa xM 4 2 2 1 4 axqx qa xM )3(xaqaxM 2 3 2 2 )( 6

9、 8 Cax q x qa wEI 22 4 3 2 )( 24 24 DxCax q x qa EIw 3 2 3 )3( 2 1 CaxqawEI 1 2 1 8 Cx qa wEI 11 3 1 24 DxCx qa EIw 33 3 3 )3( 6 1 DxC axqaEIw 1 2 1 8 Cx qa wEI 2 3 2 2 )( 6 8 Cax q x qa wEI 3 2 22 3 )2( 8 9 ) 2 3 ( 2 1 8 Caxqa axqax qa wEI 11 3 1 24 DxCx qa EIw 22 4 3 2 )( 24 24 DxCax q x qa EIw 33

10、 3 33 3 )2( 24 9 ) 2 3 ( 6 1 24 DxCaxqa axqax qa EIw 利用邊界條件和光滑連續(xù)利用邊界條件和光滑連續(xù) 條件確定積分常數(shù)條件確定積分常數(shù) 0 x0 1 w0 1 D ax 21 ww 21 CC 21 ax 21 DD ax20 32 ww 3 21 48 9 qaCC 02 6 1 2 24 9 33 4 22 4 DaCqaDaCqa ax2 3 3 2 3 2 1 3 2 CqaCqa 32 3 3 48 47 qaC 4 3 24 35 qaD 32 1 48 9 8 qax qa wEI 33 2 2 48 9 )( 6 8 qaax

11、q x qa wEI 32 22 3 48 47 )2( 8 9 ) 2 3 ( 2 1 8 qaaxqa axqax qa wEI xqax qa EIw 33 1 48 9 24 xqaax q x qa EIw 34 3 2 48 9 )( 24 24 433 33 3 24 35 48 47 )2( 24 9 ) 2 3 ( 6 1 24 qaxqaaxqa axqax qa EIw 4 1 48 7 |qa EI ww axB （2）求 DB 、 4 33 48 39 |qa EI ww axD 方法二：奇異函數(shù)法方法二：奇異函數(shù)法 q 解：解：（1） 初參數(shù)方程 將作用在梁BC段上

12、的均布載荷q延續(xù)至右端B，同時，在CB 段施加等值反向的均布載荷，如圖所示，寫出梁（轉(zhuǎn)角和撓 度）的初參數(shù)方程 Fc qa BA CD x A F 確定初參數(shù)值，對于固定鉸支座有 000 9 ,0,0 44 sAC qa FFMFqa 2233 0 00 22 2!2!3!3! sc FFqq EIEIM xxxax axa 2 |0 xa EI 3344 0 0 2 0 0 22 3!3!4!4!2! sc FFqq EIEIEIxxxax axa M x 值由 的邊界條件確定 0 0 C w 得得 3 3 16 qa EI （2）撓度 將初參數(shù)值代入初參數(shù)方程，即得梁的撓度 方程為 4334 3 2 3 2 2482424 9 48 xa qaqaqq EIxxxax a qa B w D w 由撓度方程，即可得需求撓度 4 7 | 48 Bx a qa EI 4 3 13 | 16 Dxa qa EI 積分法和奇異函數(shù)法的比較 積分法： 積分常數(shù)由變形相容的幾何條件（邊界條件、光 滑連續(xù)條件）確定 優(yōu)點：可以求出撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，因此可 以求任意截面的轉(zhuǎn)角和撓度，使用范圍廣，直接 求出較精確。 缺點：當軸上載荷較復(fù)雜時，計算比較麻煩。 奇異函