第4章 系統(tǒng)可靠性=系統(tǒng)安全工程=東北大學

1、4 系統(tǒng)可靠性分析4.1 可靠性的基本概念 可靠性作為判斷、評價系統(tǒng)的一個重要指標，表明“系統(tǒng)、設(shè)備、元件等在規(guī)定的條件下和預定的時間內(nèi)完成規(guī)定的功能的性能”。通常用概率來定量地描述，則“系統(tǒng)、設(shè)備、元件等在規(guī)定的條件下和預定的時間內(nèi)完成規(guī)定功能的概率”叫做可靠度。 系統(tǒng)、設(shè)備、元件等在運行過程中性能低下而不能實現(xiàn)預定的功能時，則稱發(fā)生了故障。故障的發(fā)生是人們不希望的，但同時它又是不可避免的。對于所有有形的東西來說，故障遲早都得發(fā)生。因此，我們只能努力使故障的發(fā)生來得盡可能地晚些，希望系統(tǒng)、設(shè)備、元件等盡可能地可靠工作。 系統(tǒng)、設(shè)備、元件等從投入使用開始到故障發(fā)生經(jīng)過的時間稱作故障時間。若故障

2、之后不能被修復，則稱此故障時間為壽命。 由于造成故障的原因是多種多樣的、隨機的，所以故障的發(fā)生也具有隨機性質(zhì)。我們只能應(yīng)用概率統(tǒng)計的方法對故障發(fā)生的規(guī)律加以研究。 從故障發(fā)生之難易的角度進行可靠性研究時，故障率是個重要的指標。按定義，故障率是“正常工作到某時點的客體在此以后單位時間里發(fā)生故障的比率”。在很多情況下，特別是在系統(tǒng)安全分析中經(jīng)常使用故障率這一指標。故障率隨運行時間而變化。按故障率隨時間變化的趨勢有減少、一定和增加三種情況，把故障分為初期故障、隨機故障和磨損故障三種類型。 例如，電子元件等產(chǎn)品在投入使用不久便由于制造不良等原因故障大量發(fā)生，習慣上稱作初期故障階段。排除初期故障后故障率

3、逐漸減少并趨于穩(wěn)定，故障率穩(wěn)定的階段叫隨機故障階段。機械零件或易損件等隨著運行時間的增加故障率逐漸增加，進入磨損故障階段。一般的機械、設(shè)備或工業(yè)裝置等既包括電子元件也包括機械零件，所以三種類型的故障都有，故障率曲線如圖4.1，圖中的曲線俗稱浴盆（Bathtub）曲線。人類的死亡率也具有類似的情況。圖4.2為100萬人口的死亡率曲線。人類幼兒時由于對外界抵抗力較弱，夭折率較高。到了青壯年時死亡率較低，往往是由于意外事故等偶然的原因而喪生，死亡率近似恒定。到了老年期，由于血管、心臟等身體組織老化，死亡率上升。 表4.1為不同類型故障產(chǎn)生原因及防止對策 當我們把人作為系統(tǒng)的元素研究其可靠性時，不是研

4、究其生命的可靠性而是研究人在執(zhí)行既定的操作時，完成要求的功能的可靠性。故又可把人的可靠性明確地稱為人的操作可靠性。與故障率類似，在研究人的可靠性時我們采用人失誤率這一指標來表征發(fā)生操作失誤的難易程度。由于人有思想，行為有較大的自由度，所以關(guān)于人的可靠性研究是個復雜的課題。 圖4.1 浴盆曲線 圖4.2 人類的死亡率 表4.1 不同類型故障產(chǎn)生原因及防止對策故障類型 現(xiàn) 象 原 因 對 策 備 注初期故障新產(chǎn)品投產(chǎn)初期的故障閑置一段時間后故障減少小毛病往往引起重大事故設(shè)計錯誤制造不良使用方法錯誤（制造責任的可能性特別大）設(shè)計審查，F(xiàn)MEA，F(xiàn)TA通過老化篩選等方法排除明確使用基準并告訴用戶預防性

5、維修保養(yǎng)無效檢修不徹底也會產(chǎn)生這種現(xiàn)象隨機故障多元素組成系統(tǒng)的典型故障許多電子元件的故障系統(tǒng)受到隨機應(yīng)力的作用采用冗余設(shè)計增加投資采用高可靠度元件、材料正當使用預防性維修保養(yǎng)無效故障時間呈指數(shù)分布磨損故障機械零部件磨損、疲勞造成的故障材料、部件的機械磨損、疲勞、老化預防性維修保養(yǎng)預防性維修保養(yǎng)有效冗余有效但不經(jīng)濟 4.2 故障發(fā)生規(guī)律4.2.1 故障時間分布 設(shè)系統(tǒng)、設(shè)備、元件等在=0時刻投入運行，到時刻發(fā)生故障的概率記為,可靠度記為，則故障發(fā)生概率為 (4.1)上述公式又稱為故障時間分布函數(shù)?？煽慷葹?(4.2)當故障時間分布函數(shù)可微分時，則 (4.3) (4.4)這里，稱為故障概率密度函數(shù)

6、或故障時間密度函數(shù)。當非常小時，表示在時間間隔內(nèi)發(fā)生故障的概率。定義 (4.5)為故障率函數(shù)。當非常小時，表示到時刻沒有發(fā)生故障而在時間間隔內(nèi)發(fā)生故障的概率。該式也可寫成 (4.6) 把它積分 (4.7)于是，自初始時刻到時刻故障發(fā)生概率為 (4.8) 式中故障率函數(shù)決定了的分布形式。 下面舉例說明故障時間分布函數(shù)、可靠度函數(shù)、故障時間密度函數(shù)及故障率函數(shù)的實際意義。 設(shè)100個元件投入運行后的故障時刻如表4.2。用表示運行到時刻沒有發(fā)生故障的元件數(shù)，則為投入運行的元件總數(shù)；為在時間間隔(-1, )內(nèi)故障的元件數(shù)。 ， ， ， 。根據(jù)表4.2的故障數(shù)據(jù)按上述公式計算，結(jié)果列于表4.3。 表4.

7、2 故障率計算表經(jīng)過時間 0 1 2 3 4 5 6 100 94 75 32 9 2 0 6 19 43 23 7 2 0 0.06 0.25 0.68 0.91 0.98 1.00 0 0.06 0.19 0.43 0.23 0.07 0.02 0 0.06 0.20 0.57 0.72 0.78 1.00 表4.3 故障時間分布 經(jīng)過時間 經(jīng)過時間 0.3 0.6 0.7 1.0 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 0.03 0.04 0.05 0.06 0.09 0.12 0.13 0.14 0

8、.15 0.21 0.24 0.25 0.27 0.31 0.36 0.43 0.49 0.54 0.57 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.2 4.6 4.7 4.9 5.0 5.2 5.7 0.61 0.67 0.68 0.73 0.74 0.79 0.81 0.83 0.87 0.88 0.91 0.92 0.93 0.94 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00 表4.3中的時間為單位時間，若按較小的時間間隔來計算故障時間分布函數(shù)，則得到表4.3的結(jié)果。通過實際故障數(shù)據(jù)計算得到的故障時間分布被稱作經(jīng)驗分布函數(shù)。

9、當元件總數(shù)（數(shù)據(jù)數(shù)）無限增加，趨近無窮大時，經(jīng)驗分布函數(shù)的極限函數(shù)即為該種元件的真正故障時間分布函數(shù)。圖4.3為經(jīng)驗分布曲線。 圖4.3 經(jīng)驗分布曲線 4.2.2 典型的故障時間分布 指數(shù)分布 隨機故障的場合故障率為常數(shù)，故障時間分布變?yōu)橹笖?shù)分布： (4.9) (4.10) 故障率是指數(shù)分布唯一的分布參數(shù)，也是一個最具有實際意義的參數(shù)。它表示單位時間里發(fā)生故障的次數(shù)。 指數(shù)分布的數(shù)學期望為 (4.11) 它等于故障發(fā)生率的倒數(shù)，通常記為，稱作平均故障時間（Mean Time to Failure，MTTF）。在系統(tǒng)、設(shè)備、元件故障后經(jīng)修理被重復使用的場合，它被稱作平均故障間隔時間

10、（Mean Time Between Failures，MTBF）。有時，統(tǒng)稱為平均壽命。 指數(shù)分布的方差 為 (4.12)指數(shù)分布的方差比較大。當 ,即時間為平均無故障時間時，發(fā)生故障的概率為 例1 某設(shè)備運轉(zhuǎn)7000h共發(fā)生了10次故障。若故障間隔時間服從指數(shù)分布，試計算該設(shè)備的平均故障間隔時間及從開機運轉(zhuǎn)到工作1000h后的可靠度。 解：平均故障間隔時間為 (h)工作1000h后的可靠度為 例2 某種元件的平均故障時間為5000h。試求使用125h后的可靠度。 解：因1，利用級數(shù)展開式進行計算： 威布爾分布 威布爾分布是瑞典的威布爾在求算鏈強度時得到的一種分布。按此分布，

11、故障時間分布函數(shù)為 (4.13) 可靠度函數(shù)為 (4.14) 故障時間密度函數(shù)為 (4.15)上述公式中，為尺度參數(shù)；為形狀參數(shù)。 故障時間服從威布爾分布時，故障率函數(shù)為 (4.16) 圖4.4 和4.5 分別為威布爾分布的和。 威布爾分布的數(shù)學期望和方差分別是 (4.17) (4.18) 式中，為分布。 圖4.4 威布爾分布的 圖4.5 威布爾分布的 在威布爾分布中是一個具有實質(zhì)意義的參數(shù)。當取不同的數(shù)值時，故障率隨時間的變化呈現(xiàn)如下情況： 1）1時，隨時間單調(diào)增加，對應(yīng)于磨損故障。由于威布爾分布可以描述不同類型的故障，因而在可靠性工程中得到了廣泛的應(yīng)用。 關(guān)于故障時間分布函數(shù)

12、 具有下列性質(zhì)的統(tǒng)計分布函數(shù)都可以直接用作故障時間分布函數(shù)： 1）； 2）； 3）若，則； 4）。 還有許多函數(shù)，如正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、均勻分布、分布、分布等都可以用作故障時間分布函數(shù)。在實際工作中若故障時間不服從于某種特定的分布，而且用統(tǒng)計檢驗的方法也不能嚴格地判別出它的擬合性，那么從工程的角度出發(fā)，選擇一種比較易于說明故障現(xiàn)象本質(zhì)的函數(shù)，或選擇一種在數(shù)學模型方面容易處理的函數(shù)（如指數(shù)函數(shù)、威布爾函數(shù)等）都是可以的。4.2.3 故障次數(shù)分布 當故障時間分布服從指數(shù)分布，即故障發(fā)生率為常數(shù)時，一定時間間隔內(nèi)故障發(fā)生次數(shù)服從泊松（Poisson）分布。 自時刻到 時刻發(fā)生次故障的概率記為 ，

13、 。 (4.19) 則為參數(shù)的泊松分布 (4.20) 到時刻發(fā)生不超過次故障的概率： (4.21) 故障次數(shù)的數(shù)學期望和方差分別為 (4.22) (4.23) 即，故障次數(shù)的數(shù)學期望和方差都是。4.3 故障數(shù)據(jù)處理 故障數(shù)據(jù)處理是通過對收集的故障數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計處理而弄清故障發(fā)生規(guī)律的工作。通過專門的試驗或觀測可以獲得故障時間數(shù)據(jù)；根據(jù)獲得的故障時間數(shù)據(jù)可以確定其故障時間分布函數(shù)。 故障時間數(shù)據(jù)通過試驗觀測獲得，這些試驗被稱作可靠性試驗?？煽啃栽囼炗卸喾N方式，按試驗地點分為現(xiàn)場試驗和實驗室試驗；按試驗結(jié)束方式分為完整試驗和截尾試驗，前者進行到全部試件故障為止，后者進行到若干試件故障為止。截尾試驗又

14、分為定時截尾方式和定數(shù)截尾方式，前者進行到規(guī)定的試驗時間停止試驗；后者進行到規(guī)定數(shù)目的試件發(fā)生故障時停止試驗。按試件故障后是否用新試件更換分為更換法和不更換法。各種試驗方式都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)該根據(jù)實際情況選擇。 由于故障的發(fā)生具有隨機性質(zhì)，即使同一批試件在同一條件下工作，故障時間的數(shù)據(jù)也是不同的，只能利用統(tǒng)計分布來描述。 根據(jù)概率論中的大數(shù)定理，當收集到故障數(shù)據(jù)的數(shù)量（統(tǒng)計學中稱為樣本）相當多時，故障時間分布函數(shù)才是一定的。但是，在實際工作中受各方面條件的限制，往往收集到的故障數(shù)據(jù)很有限。因此，如何應(yīng)用統(tǒng)計學的方法由較少的故障數(shù)據(jù)來確定其分布函數(shù)就是一個十分重要的問題。 在已知統(tǒng)計分布函數(shù)形

15、式的場合，該分布函數(shù)完全由它的參數(shù)值確定，確定了參數(shù)值則該分布函數(shù)即可確定。因此，故障數(shù)據(jù)處理的重要內(nèi)容是根據(jù)故障時間數(shù)據(jù)推斷出分布函數(shù)的參數(shù)值。此外，也可以通過統(tǒng)計推斷由故障時間數(shù)據(jù)估算出表征故障發(fā)生性質(zhì)的特征量平均故障時間或平均故障間隔時間的值。 當不知故障時間分布函數(shù)形式時，則需要用統(tǒng)計檢驗的方法確定其分布函數(shù)形式。 統(tǒng)計分布的參數(shù)估計包括點估計和區(qū)間估計兩方面的問題。前者在于推斷出分布參數(shù)的一個參數(shù)值；后者在于考察該參數(shù)值的精確程度，即其真值所在的區(qū)間范圍。 參數(shù)點估計的方法以最大似然法和矩法最常用，這里僅介紹最大似然法。最大似然法的基本思想是，如果在一次觀測中一個事件出現(xiàn)了，那么我們

16、認為該事件出現(xiàn)的可能性很大。 設(shè)我們獲得的n個故障時間數(shù)據(jù)分別是，則首先構(gòu)造一個n變量的函數(shù)似然函數(shù)，通過求解該函數(shù)極值來得到分布參數(shù)的估計值。4.3.1 指數(shù)分布的參數(shù)估計 完整試驗的點估計 進行完整試驗時觀測全部個試件故障，記錄其故障時間。構(gòu)造似然函數(shù) (4.24) 式中，故障時間密度函數(shù)，在指數(shù)分布的場合， (4.25)上式可以寫成 (4.26)為求得使似然函數(shù)最大的的估計值，對該式兩端取對數(shù)，并令一階偏導數(shù)為零： (4.27)得到參數(shù)的估計值為 (4.28) 相應(yīng)地，可以得到平均故障時間的估計值為 (4.29) 截尾試驗的點估計 一般地，定數(shù)截尾試驗較定時截

17、尾試驗得到的估計值更接近于真值，因此介紹定數(shù)截尾試驗方式時的點估計。 設(shè)定數(shù)截尾試驗進行到個試件中個試件故障即結(jié)束試驗，個試件的故障時間分別為，其中。即，第一次故障發(fā)生在時刻，第二次故障發(fā)生在時刻，第r次故障發(fā)生在時刻。于是，余下的個試件不發(fā)生故障的概率為 (4.30)式中，故障時間分布函數(shù)，其概率密度函數(shù)為。 再考慮這次故障發(fā)生在哪個試件上，其可能的組合數(shù)是，所以次故障發(fā)生在試驗結(jié)果那樣的個試件上的概率為 (4.31) 構(gòu)造似然函數(shù)為 (4.31)求滿足下式的參數(shù)的估計值 得到 (4.32) 平均故障時間的估計值為 (4.33) 區(qū)間估計 前面的點估計法可以由故障數(shù)據(jù)推斷故障率

18、或平均故障時間的一個估計值，但是人們往往不以得到近似值為滿足，還要估計誤差，即要求更確切地知道近似值的精確程度，也就是故障率或平均故障時間的真值所在的范圍，即置信區(qū)間。所謂區(qū)間估計就是推斷在給定置信度下的置信區(qū)間。 設(shè)顯著性水平為，則置信度為。在置信度一定時，截尾試驗的平均故障時間的置信區(qū)間為 (4.34)式中，和為自由度2的分布； (4.35) 應(yīng)該注意到，當故障時間分布為指數(shù)分布時，由試驗的故障數(shù)據(jù)得到的平均故障時間的估計值，其置信區(qū)間的大小取決于故障試件數(shù)而與試件總數(shù)n無關(guān)。因此，定數(shù)截尾試驗較定時截尾試驗更科學。 對于完整試驗，將公式（4.35）中的用代替即可。 例如，已知某種元件的故

19、障時間分布服從指數(shù)分布。隨機地抽取15個試件進行故障試驗。規(guī)定故障數(shù)達到5時即停止試驗，得到的故障時間分別為1410，1872，3138，4218，6971h。根據(jù)公式（4.35）可算得 =(1410+1872+3138+4218+6971)+(15-5)6971 =87319 (h)由式（4.33）可算得平均故障時間的估計值為 17464 (h) 設(shè)置信度為95%，根據(jù)公式（4.34）算得平均故障時間的置信區(qū)間為 8526，5386.7(h)4.3.2 威布爾分布的參數(shù)估計 可以應(yīng)用最大似然法求出威布爾分布的兩個參數(shù)和，但是它涉及到求解超越方程等復雜的數(shù)學問題，所以工程實踐中常常采用圖解法來

20、進行參數(shù)估計。 威布爾分布的可靠度為 將該式兩端取倒數(shù)，然后再取兩歡對數(shù)，得到直線方程為 (4.36) 以為橫坐標，為縱坐標，則服從威布爾分布的故障數(shù)據(jù)應(yīng)該在該坐標圖上基本上呈一條直線。直線的斜率是威布爾分布的形狀參數(shù)；直線在縱軸（=0）上的截距為。這樣，利用專門的威布爾概率紙（對數(shù)坐標紙）就可以方便地求出分布參數(shù)和的估計值和。 然后，按下式計算平均故障時間的估計值： (4.37)按下式計算方差： (4.38) 例如，用某種元件的15個試件做故障試驗，試驗過程中10個試件發(fā)生了故障，其故障時間分別為190，360，610，800，850，1100，1340，1570，1790和2240h，求分

21、布參數(shù)、和平均故障時間的估計值。 表4.4 試件的故障時間及和 故障時間，h ， ，% 1.9 3.6 6.1 8.0 8.5 11.0 13.4 15.7 17.9 22.4 93.7 87.5 81.2 75.0 68.7 62.5 56.2 50.0 43.7 37.5 6.3 12.5 18.8 25.0 31.3 37.5 43.8 50.0 56.3 62.5 在這里，以h作為時間單位。 首先求出與各試件故障時間相對應(yīng)的可靠度。在進行可靠性試驗時，到某時刻的可靠度可按下式計算： (4.39)在試件總數(shù)小于20的場合，通常按下式計算 (4.40)算得的列于表4.4。 然后把數(shù)據(jù)點標在

22、威布爾概率紙上，并直觀地擬合出一條直線（見圖4.6）。直線在縱軸上的交點N的縱坐標是a=-3.5。過點(1,0)畫一條與直線平行的平行線作輔助線，輔助線與縱軸的交點M的縱坐標即為直線的斜率，得-1.2。 計算參數(shù)的估計值： h 計算平均故障時間的估計值： h計算均方差： h 圖4.6 威布爾概率紙求解分布參數(shù) 在威布爾分布參數(shù)、皆為未知的場合很難進行區(qū)間估計。如果已知參數(shù)，則可以按下式估計置信度為1的定數(shù)截尾試驗的的置信區(qū)間： (4.41)式中，4.3.3 非參數(shù)估計 非參數(shù)估計又稱可靠度估計。當故障時間分布函數(shù)形式未知時，直接由故障數(shù)據(jù)推斷可靠度或故障發(fā)生概率。 設(shè)是故障時間分布函數(shù)，為可靠

23、度函數(shù)。無論的形式如何，都假定是在0,1區(qū)間上的均勻分布，則可以在此前提下估計可靠度或故障發(fā)生概率。1） 可靠度的點估計 用個試件進行試驗，到時刻共有個試件發(fā)生故障，則可靠度的點估計為 (4.42) 相應(yīng)地，故障發(fā)生概率的點估計值為 (4.43) 2） 可靠度的區(qū)間估計 定數(shù)截尾試驗的場合，可靠度的置信上限和置信下限 分別為 (4.44) (4.45)式中，和為分布，其數(shù)值可以查表得到。4.4 簡單系統(tǒng)可靠性 系統(tǒng)是由相互作用、相互依存的若干元素組成的具有特定功能的有機整體，系統(tǒng)可靠性與元素的可靠性有關(guān)。 根據(jù)元素之間功能關(guān)系的復雜程度，可以把系統(tǒng)劃分為簡單系統(tǒng)和復雜系統(tǒng)。應(yīng)該注意，這里并沒有

24、涉及組成系統(tǒng)的元素數(shù)目的多少，究竟是簡單系統(tǒng)還是復雜系統(tǒng)主要取決于元素之間的功能關(guān)系。例如，由許多鐵環(huán)連串聯(lián)結(jié)成的鐵鏈，無論鐵環(huán)的數(shù)目有多少都是簡單系統(tǒng)；橋聯(lián)系統(tǒng)雖然只有五個元素，卻屬于復雜系統(tǒng)。 按元素故障與系統(tǒng)故障之間的關(guān)系，可以把系統(tǒng)劃分成兩類，一類是系統(tǒng)中任何一個元素故障都會導致系統(tǒng)故障的系統(tǒng)，我們稱它為基本系統(tǒng)或串聯(lián)系統(tǒng)。另一類是某元素或某些元素的故障不一定能夠造成系統(tǒng)故障的系統(tǒng)，我們稱它為冗余系統(tǒng)。 所謂冗余（Redundancy）是把若干元素或手段付加于系統(tǒng)的元素或組成部分上，從而使得即使系統(tǒng)元素或組成部分發(fā)生故障也不至造成系統(tǒng)故障的方法。也即是說，從系統(tǒng)功能的角度看，添如一些即

25、使沒有它們系統(tǒng)也可以發(fā)揮功能的多余的東西來提高系統(tǒng)的可靠性。冗余方式很多，常見的有以下幾種： 1）并聯(lián)冗余方式 并聯(lián)冗余時付加的元素與原來的元素同時工作。 2）備用冗余方式 備用冗余時冗余元素通常處于備用狀態(tài)，只有當原來的元素發(fā)生故障時才投入工作。按備用的冗余元素所處的狀態(tài)把備用冗余分成三種： 冷備用。備用元素在完全不工作狀態(tài)下備用，處于冷備用的元素其故障概率為0。 熱備用。備用元素與主要元素完全同樣地運行，一旦主要元素發(fā)生故障則備用元素立即取代它。 溫備用。處于冷備用和熱備用中間的備用狀態(tài)。 3）表決冗余方式 表決冗余方式又稱中取k冗余方式，組成系統(tǒng)的個元素中至少有個正常就能保證系統(tǒng)正常工作

26、。換言之，個元素中只有或更多個元素故障時系統(tǒng)才故障。表決冗余方式常用于提高安全監(jiān)控系統(tǒng)的可靠性。 在實現(xiàn)冗余時，可以采取付加元素的方法（元素冗余），也可以付加系統(tǒng)（系統(tǒng)冗余）。但是，理論和實踐都已經(jīng)證明，元素冗余比系統(tǒng)冗余效果更好。4.4.1 串聯(lián)系統(tǒng)可靠性 串聯(lián)系統(tǒng)是組成系統(tǒng)的元素在實現(xiàn)系統(tǒng)功能方面缺一不可的系統(tǒng)，因此又稱作基本系統(tǒng)。這類系統(tǒng)的基本特征是，組成系統(tǒng)的任一元素發(fā)生故障都會導致系統(tǒng)故障，并且系統(tǒng)故障時間與元素故障時間，之間有如下關(guān)系： (4.46)即，系統(tǒng)故障時間等于最先發(fā)生故障的元素的故障時間。 當串聯(lián)系統(tǒng)的各元素的故障時間相互統(tǒng)計獨立時，系統(tǒng)可靠度與元素可靠度間有如下關(guān)系：

27、(4.47) 相應(yīng)地，系統(tǒng)發(fā)生故障概率與元素發(fā)生故障概率之間具有如下關(guān)系： (4.48) 串聯(lián)系統(tǒng)的故障率等于各元素故障率之和： (4.49) 當元素的故障時間分布為指數(shù)分布時，即時，系統(tǒng)平均故障時間與元素平均故障時間之間具有如下關(guān)系： (4.50) 顯然，串聯(lián)系統(tǒng)的平均故障時間小于其中任一元素的平均故障時間；串聯(lián)系統(tǒng)中包含的元素越多，越容易發(fā)生故障。4.4.2 并聯(lián)系統(tǒng)可靠性 并聯(lián)系統(tǒng)是常見的一種冗余系統(tǒng)。并聯(lián)系統(tǒng)的基本特征是，只有組成系統(tǒng)的全部元素都故障時系統(tǒng)才故障，并且系統(tǒng)的故障時間與元素故障時間之間有如下關(guān)系： (4.51) 即，系統(tǒng)故障時間等于最后發(fā)生故障的元素的故障時間。 當并聯(lián)系

28、統(tǒng)的各元素故障時間相互統(tǒng)計獨立時，系統(tǒng)可靠度與元素可靠度之間具有如下關(guān)系： (4.52)相應(yīng)地，系統(tǒng)發(fā)生故障的概率與各元素故障概率之間具有如下關(guān)系： (4.53) 并聯(lián)系統(tǒng)的故障率與元素故障率之間呈現(xiàn)復雜的關(guān)系，很難用簡單明晰的一般表達式來描述，只能根據(jù)具體的系統(tǒng)來求解。例如，由故障時間分布服從指數(shù)分布的二元素組成的并聯(lián)系統(tǒng)，系統(tǒng)故障率與元素故障率之間的關(guān)系可表達為 (4.54) 圖4.7 二元素并聯(lián)系統(tǒng)的故障率 由該式可以繪出圖4.7的曲線。當二元素不是相同元素，即時，隨著時間的增加，系統(tǒng)故障率首先增加，然后減少。當二元素是相同元素時，為非減的。此外，我們還可以得到如下的認識： 1）系統(tǒng)故障

29、率小于其中元素故障率較大者，即 2）隨著時間的無限增加，系統(tǒng)故障率趨近于其中元素故障率較小者，即 一般地，并聯(lián)系統(tǒng)采用相同的元素組成。在這種場合，如果各元素的故障時間服從指數(shù)分布，則系統(tǒng)平均故障時間與各元素平均故障時間之間有如下關(guān)系 (4.55) 該式表明，隨著并聯(lián)系統(tǒng)元素數(shù)目的增加，系統(tǒng)平均故障時間增加，可以提高系統(tǒng)的可靠性。但是，增加的第個元素只能取得的效果。再考慮成本、體積等因素，并聯(lián)系統(tǒng)元素不宜過多。4.4.3 表決系統(tǒng)可靠性 表決系統(tǒng)是組成系統(tǒng)的個元素中至少有個元素正常時系統(tǒng)才能正常運行的系統(tǒng)。推而廣之，串聯(lián)系統(tǒng)是的表決系統(tǒng)，即中取的系統(tǒng)；并聯(lián)系統(tǒng)是的表決系統(tǒng)，即中取1的系統(tǒng)。 一般

30、地，構(gòu)成表決系統(tǒng)的元素都是同種元素，并認為它們有相同的故障概率或可靠度。在各元素故障時間分布服從指數(shù)分布的情況下，3中取2系統(tǒng)的可靠度為： (4.56) 式中， 各元素的故障率。 相應(yīng)地，系統(tǒng)故障概率為 (4.57)系統(tǒng)故障率為 (4.58) 該函數(shù)為時間的單調(diào)增函數(shù)（見圖4.8），當時 ，當時 。在運行時間較短的場合，系統(tǒng)故障率小于單一元素的故障率。系統(tǒng)平均故障時間 與元素平均故障時間之間有如下關(guān)系： (4.59)系統(tǒng)平均故障時間小于單一元素平均故障時間。 圖4.8 三中取二系統(tǒng)的故障率 圖4.9 表決系統(tǒng)故障概率表決系統(tǒng)的故障概率函數(shù)呈S型曲線，介于相同數(shù)量元素組成的串聯(lián)系統(tǒng)和并聯(lián)系統(tǒng)故障

31、概率曲線之間（見圖4.9）。當元素故障概率較高時系統(tǒng)故障概率接近于串聯(lián)系統(tǒng)故障概率；當元素故障概率較低時系統(tǒng)概率接近于并聯(lián)系統(tǒng)概率。4.4.4 備用系統(tǒng)可靠性 備用系統(tǒng)是一個主要工作元素和若干個備用元素組成的冗余系統(tǒng)。備用系統(tǒng)工作時一旦主要元素發(fā)生故障轉(zhuǎn)換機構(gòu)則將備用元素投入運行。除了元素故障之外，轉(zhuǎn)換機構(gòu)故障也會導致系統(tǒng)故障。為簡單起見，這里僅討論主要元素故障時轉(zhuǎn)換機構(gòu)能夠可靠地把備用元素投入運行的理想情況。 1）冷備用系統(tǒng)。 設(shè)冷備用系統(tǒng)由相同的一個主要元素和n個備用元素組成。 若各元素的故障時間分布為指數(shù)分布，則系統(tǒng)可靠度為 (4.60) 式中，各元素的故障率。 冷備用系統(tǒng)的平均故障時間

32、等于元素平均故障時間 之和： (4.61) 2）溫備用系統(tǒng) 溫備用系統(tǒng)的備用元素在備用期間也處于運行狀態(tài)，但是備用期間的運行狀態(tài)和替代主要元素的工作期間的運行狀態(tài)又不相同，于是，備用元素的故障率可能隨著運行狀態(tài)發(fā)生變化。在研究系統(tǒng)故障問題時，溫備用系統(tǒng)較冷備用系統(tǒng)復雜得多。 作為簡要的介紹，這里僅討論兩個獨立元素組成的溫備用系統(tǒng)：一個主要元素和一個備用元素。設(shè)兩個元素的故障時間均服從指數(shù)分布，主要元素的故障率為，備用元素在備用狀態(tài)下的故障率為，其工作狀態(tài)下的故障率為，則系統(tǒng)可靠度為 (4.62)系統(tǒng)平均故障時間 為 (4.63)4.5 可維修系統(tǒng)可靠性4.5.1 維修的基本概念 如果系統(tǒng)工作一

33、段時間后發(fā)生了故障，一般地經(jīng)過修理就能夠恢復到原來的工作狀態(tài)。系統(tǒng)發(fā)生故障后，尋找故障的部位并進行修理，直到最后驗證系統(tǒng)確實已經(jīng)恢復到了正常狀態(tài)等一系列工作稱作維修。由于故障發(fā)生的原因、部位、系統(tǒng)所處環(huán)境及維修技術(shù)方面的不同，維修所需要的時間往往是個隨機變量。系統(tǒng)維修性是指在規(guī)定的條件下，規(guī)定的時間內(nèi)，按規(guī)定的方式和方法維修時使系統(tǒng)恢復到正常狀態(tài)的可能性。系統(tǒng)維修性涉及維修度、維修率、平均維修時間和可用度等一系列數(shù)量指標。 1）維修度 與用可靠度定量地描述可靠性一樣，我們用維修度（Maintainability)來定量地描述維修性。按定義，維修度是可維修系統(tǒng)在規(guī)定的條件下維修時，在規(guī)定的時間內(nèi)

34、完成維修的概率，通常用表示。對于相同的時間來說，越容易維修的系統(tǒng)其越大。一般地，維修度函數(shù)可以表達為 (4.64)式中為維修率。 維修度概率密度函數(shù)用表示 (4.65) 2）維修率 維修進行到某一時刻上尚未完成維修，在此后單位時間里完成維修的比率，一般地它與時間有關(guān)，是時間 的函數(shù)，記為。 當不考慮維修率受時間的影響或維修率與時間無關(guān)時，維修率為常量，。這時，系統(tǒng)維修度函數(shù)可以寫為 (4.66) 系統(tǒng)維修概率密度函數(shù)可以寫為 (4.67) 3）平均維修時間 當系統(tǒng)維修率為常數(shù)時，維修度函數(shù)服從指數(shù)分布，維修率的倒數(shù)為平均維修時間（MTTR，Mean Time to Repair）： (4.68

35、) 4）可用度 可用度（Availability)是一個衡量系統(tǒng)被利用情況的指標。按定義，可用度是系統(tǒng)在特定的瞬間能維持其功能的概率，它是時間 的函數(shù)，通常記為。對于故障率為，維修率為的系統(tǒng)，其可用度可用下式表示： (4.69) 在系統(tǒng)長期運行的場合，即時，上式中的第二項趨近于 0。于是， (4.70) 在可靠性工程中，把前式描述的可用度稱為瞬時可用度；把該式描述的可用度稱為穩(wěn)態(tài)可用度。 4.5.2 馬爾可夫過程 在研究可維修系統(tǒng)的可用度時，涉及到概率論中的隨機過程問題。 從故障的角度考察系統(tǒng)狀態(tài)，可以把系統(tǒng)狀態(tài)分為正常狀態(tài)（非故障狀態(tài)）和故障狀態(tài)兩種狀態(tài)。處于狀態(tài)的系統(tǒng)由于發(fā)生故障而轉(zhuǎn)移到狀

36、態(tài)；處于 狀態(tài)的系統(tǒng)經(jīng)過維修恢復到狀態(tài)。這里由一種狀態(tài)向另一種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移完全是隨機的，并且在狀態(tài)轉(zhuǎn)移中起作用的只是系統(tǒng)當前的狀態(tài)，此前的狀態(tài)對該次轉(zhuǎn)移沒有任何影響。一般地，若狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移是隨機的，則該過程稱為隨機過程。狀態(tài)間轉(zhuǎn)移概率與有限次轉(zhuǎn)移以前的狀態(tài)完全無關(guān)的過程稱為馬爾可夫（Markov）過程。馬爾可夫過程的狀態(tài)間轉(zhuǎn)移概率是過去個狀態(tài)下的條件概率。當狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率僅由一次轉(zhuǎn)移以前的狀態(tài)決定時，即時，馬爾可夫過程為簡單馬爾可夫過程。 圖4.10 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 狀態(tài)間的隨機轉(zhuǎn)移情況可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖來表示，圖4.l0為狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖的例子。 若系統(tǒng)有個狀態(tài)， ，把系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到的條件概率記為，則可

37、以用下面的轉(zhuǎn)移矩陣來表示系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況： (4.71) 轉(zhuǎn)移矩陣中的第行表示系統(tǒng)從狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的概率，并且 (4.72) 系統(tǒng)處于狀態(tài)的概率用 表示，則固有向量（或稱特征向量）為 (4.73) (4.74) 根據(jù)下式可以求得系統(tǒng)處于某一狀態(tài)的概率： (4.75) 例如，系統(tǒng)只有和兩種狀態(tài)的場合，如果系統(tǒng)故障時間和維修時間分布均為指數(shù)分布，系統(tǒng)在瞬間發(fā)生故障的概率為,完成維修的概率為，則 設(shè)系統(tǒng)處于狀態(tài)的概率為，處于狀態(tài)下的概率為，則 解方程組 得到系統(tǒng)處于狀態(tài)的概率，即系統(tǒng)可用度為 又如，在由兩相同元素組成的熱備用系統(tǒng)的場合，如果元素的故障時間分布和維修時間分布服從指數(shù)分布，瞬間發(fā)生故障的

38、概率為，完成維修的概率為，則系統(tǒng)可能處于三種狀態(tài)：兩元素都正常的狀態(tài)，一個元素正常的狀態(tài) 和兩元素都故障的狀態(tài) 。這時的轉(zhuǎn)移矩陣為 圖4.11 熱備用系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖其狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖為圖4.11。由于兩元素同時運轉(zhuǎn)，所以由狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的概率為。設(shè)系統(tǒng)處于狀態(tài)的概率為，處于狀態(tài)的概率為，處于狀態(tài)的概率為，則 解方程組 得到系統(tǒng)可用度為 4.6 相關(guān)結(jié)構(gòu)理論 巴?。≧.E.Barlow）和普羅斯欽（F.Proschan）提出了相關(guān)結(jié)構(gòu)理論（Coherent system theory），可以研究一般系統(tǒng)的可靠性問題。4.6.1 相關(guān)系統(tǒng) 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù) 假設(shè)我們研究的系統(tǒng)元素只取正常狀態(tài)

39、或故障狀態(tài)兩種狀態(tài)之一；相應(yīng)地，由這樣的元素組成的系統(tǒng)也只能取這兩種完全對立的狀態(tài)之一。 為了描述元素狀態(tài)和系統(tǒng)狀態(tài)，我們引入二值變量和二值函數(shù)。所謂二值變量是其取值只能取0或1的變量；二值函數(shù)是其取值只能取0或1的函數(shù)。 用二值變量來表示第個元素的狀態(tài)，則 (4.76) 同樣，用二值函數(shù)表示系統(tǒng)的狀態(tài)，則 (4.77) 若系統(tǒng)的狀態(tài)完全取決于元素的狀態(tài)，則系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)為 (4.78)其中，。系統(tǒng)中元素的數(shù)目被稱作系統(tǒng)的階，由個元素組成的系統(tǒng)被稱作階系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)函數(shù)被稱為階結(jié)構(gòu)函數(shù)。 串聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)可以表達為 (4.79) 并聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)可以表達為 (4.80)式中，。 相關(guān)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù) （