第十一章-彎曲變形

1、材料力學(xué) Mechanics of Materials 第十一章 彎曲變形 材料力學(xué) Mechanics of Materials 梁的彎曲變形梁的彎曲變形 研究梁變形的目的：研究梁變形的目的： v對(duì)梁進(jìn)行剛度校核對(duì)梁進(jìn)行剛度校核 v求解超靜定梁求解超靜定梁 拉壓拉壓伸長(zhǎng)量伸長(zhǎng)量 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 彎曲彎曲 撓度撓度deflection 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角rotation 材料力學(xué) Mechanics of Materials 梁梁的撓曲線、撓度和轉(zhuǎn)角的撓曲線、撓度和轉(zhuǎn)角 n在橫力或力偶作用下，在橫力或力偶作用下，梁梁 的軸線由直線變?yōu)榍€，的軸線由直線變?yōu)榍€， 此彎曲后的軸線稱(chēng)為此彎曲后的軸線稱(chēng)為梁

2、梁的的 撓曲線（撓曲軸）撓曲線（撓曲軸） n在在平面平面(對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng))彎曲彎曲的條件的條件 下，撓曲線是一條連續(xù)、下，撓曲線是一條連續(xù)、 光滑的光滑的平面曲線平面曲線 基本概念基本概念 材料力學(xué) Mechanics of Materials 橫截面變形：橫截面變形： 線位移：長(zhǎng)度變化線位移：長(zhǎng)度變化 水平方向水平方向小變形假定，撓曲軸平坦，忽略不計(jì)小變形假定，撓曲軸平坦，忽略不計(jì) 垂直方向垂直方向撓度撓度 w= w(x) 轉(zhuǎn)角：角度變化轉(zhuǎn)角：角度變化 橫截面相對(duì)于原位置轉(zhuǎn)過(guò)的夾角，橫截面相對(duì)于原位置轉(zhuǎn)過(guò)的夾角， 一般用一般用q q (x)表示截面表示截面轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角，并且以逆時(shí)針為正，并且以逆時(shí)針為

3、正 材料力學(xué) Mechanics of Materials 對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，略去剪力對(duì)變形影響對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，略去剪力對(duì)變形影響 平截面假設(shè)成立平截面假設(shè)成立: 變形的橫截面與撓曲軸垂直變形的橫截面與撓曲軸垂直 q 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 材料力學(xué) Mechanics of Materials n 中性層曲率表達(dá)式中性層曲率表達(dá)式 純彎曲純彎曲(M) 橫力彎曲橫力彎曲(M, Fs ):細(xì)長(zhǎng)梁細(xì)長(zhǎng)梁,忽略忽略Fs對(duì)變形貢獻(xiàn)對(duì)變形貢獻(xiàn) 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 材料力學(xué) Mechanics of Materials n曲率數(shù)學(xué)表達(dá)曲率數(shù)學(xué)表達(dá) EI M dx wd

4、 2 2 2 2 1 dx wd 撓曲軸平坦，撓曲軸平坦，(dw/dx)2 0 M 0，I0 w w 積分法求梁的位移 材料力學(xué) Mechanics of Materials 積分法求梁的位移 對(duì)等截面直梁，由撓曲線微分方程對(duì)等截面直梁，由撓曲線微分方程 其中，C和D為積分常數(shù)，由相應(yīng)的邊界條件確定。 CxxMEIwEI d)(q DCxxxxMxxEIEIw dd)(d)(q 材料力學(xué) Mechanics of Materials 積分法求梁的位移 邊界條件：邊界條件： 鉸支座處 0w 固定支座處 0w 0q 連續(xù)條件：連續(xù)條件： A B C ab P 當(dāng)梁的彎矩方程需要分 段列出時(shí)，撓曲線

5、方程 也需要分段建立，分段 積分。除邊界條件外， 還需利用分段處的連續(xù) 條件。 材料力學(xué) Mechanics of Materials n直梁的變形分析歸結(jié)為在一定邊界條件直梁的變形分析歸結(jié)為在一定邊界條件 下求解撓曲線的近似微分方程，即求解下求解撓曲線的近似微分方程，即求解 相應(yīng)微分方程的相應(yīng)微分方程的邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題 積分法求梁的位移 材料力學(xué) Mechanics of Materials 例例 圖示的等截面懸臂梁長(zhǎng)為圖示的等截面懸臂梁長(zhǎng)為l，抗彎剛抗彎剛 度為度為EI，端部受集中力端部受集中力P的作用的作用，求梁任一截求梁任一截 面的轉(zhuǎn)角和撓度。面的轉(zhuǎn)角和撓度。 解解 如圖建立坐標(biāo)系，如

6、圖建立坐標(biāo)系， 從而，截面的彎矩為從而，截面的彎矩為 )( )( xl EI P EI xM w 利用撓曲線微分方程 Cx EI P x EI Pl w 2 2 DCxx EI P x EI Pl w 32 62 可得 P 例題例題1 材料力學(xué) Mechanics of Materials 由邊界條件由邊界條件 0, 0DC 可得可得 )2( 2 2 xlx EI P wq)3( 6 32 xlx EI P w 因此，梁的撓度和轉(zhuǎn)角分別為因此，梁的撓度和轉(zhuǎn)角分別為 )( 2 )( 2 max 順時(shí)針 EI Pl lw B qq)( 3 )( 3 max 向下 EI Pl lyywB 最大撓度和

7、轉(zhuǎn)角分別為最大撓度和轉(zhuǎn)角分別為 P 例題例題1 材料力學(xué) Mechanics of Materials 解解 : A M0 l B x x y FAy FBy FAx o 圖示的等截面簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)為圖示的等截面簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)為l，抗彎剛度為抗彎剛度為 EI，在右端受有集中力偶在右端受有集中力偶M0的作用的作用，求梁任求梁任 一截面的轉(zhuǎn)角和撓度。一截面的轉(zhuǎn)角和撓度。 由整體平衡得由整體平衡得 從而，截面的彎矩為從而，截面的彎矩為 例題例題2 材料力學(xué) Mechanics of Materials 利用梁的撓曲線微分方程利用梁的撓曲線微分方程 由邊界條件 lxw xw , 0 0, 0 0, 6 0 D E

8、I lM C 得 Cx EIl M Cxx EIl M Cxww 2 00 2 dd DCxx EIl M xCx EIl M w 3 0 2 0 6 d 2 得 A M0 l B x x y FAy FBy FAx o 例題例題2 材料力學(xué) Mechanics of Materials 于是，梁的撓曲線方程為于是，梁的撓曲線方程為 轉(zhuǎn)角方程為轉(zhuǎn)角方程為 最大撓度滿(mǎn)足： 2 0 2 ( )1 30 6 M lx w x EIl lx 3 1 由此得 代入撓曲線方程， 可得最大撓度為 EI lMl ww 39 ) 3 ( 2 0 max A M0 l B wmax x x o y FAy FBy

9、 FAx 例題例題2 材料力學(xué) Mechanics of Materials A l P B a b C x x y FAy FBy FAx 例例 圖示的等截面簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)為圖示的等截面簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)為l，抗彎剛度抗彎剛度 為為EI，受集中力受集中力P的作用，求梁任一截面的轉(zhuǎn)的作用，求梁任一截面的轉(zhuǎn) 角和撓度。角和撓度。 解：解： 由整體平衡得由整體平衡得 FAx=0， FAy= Pb/l FBy= Pa/l o 例題例題3 材料力學(xué) Mechanics of Materials A l P B a b C x x y FAy FBy FAx 從而，截面的彎矩為從而，截面的彎矩為 對(duì)于對(duì)于AC段，利用梁

10、的撓段，利用梁的撓 曲線微分方程曲線微分方程 x EIl Pb EI xM w )( 1 例題例題3 材料力學(xué) Mechanics of Materials 同理，對(duì)同理，對(duì)CB段段 2 2 2222 )( 2 d)(dCxl EIl Pa Cxxl EIl Pa Cxww 22 3 2 2 2 )( 6 d)( 2 DxCxl EIl Pa xCxl EIl Pa w 得得 例題例題3 材料力學(xué) Mechanics of Materials 由邊界條件由邊界條件 和連續(xù)性條件和連續(xù)性條件 得得 EI Pab CC ab EI Pab DDaCaC DlC D 2 )( 6 0 0 21 21

11、21 22 1 求解此代數(shù)方程，得求解此代數(shù)方程，得 22 1 22 2 1 22 2 () 6 () 6 0 () 6 Pb Clb EIl Pa Cla EIl D Pa Dla EI A l P B a b C x x y FAy FBy FAx 例題例題3 材料力學(xué) Mechanics of Materials 例題例題3 于是，梁的撓曲線方程為于是，梁的撓曲線方程為 1 2 222 222 ( )0 ( ) 3()0 6 3()() 6 w xxa w w xaxb Pb xblxa EIl Pa lxalaxl EIl q 轉(zhuǎn)角方程為轉(zhuǎn)角方程為 A l P B a b C x x

12、y FAy FBy FAx 材料力學(xué) Mechanics of Materials 梁的最大轉(zhuǎn)角：梁的最大轉(zhuǎn)角： 順時(shí)針）()( 6 )0( 1 bl EIl Pab w A q 當(dāng)當(dāng)x =0時(shí)，轉(zhuǎn)角為時(shí)，轉(zhuǎn)角為 逆時(shí)針）()( 6 )( 2 al EIl Pab lw B q 當(dāng)當(dāng)x =l時(shí)，轉(zhuǎn)角為時(shí)，轉(zhuǎn)角為 )( 6 max al EIl Pab B qq A B C 0 q 0 B q 例題例題3 材料力學(xué) Mechanics of Materials 梁的最大撓度梁的最大撓度: 梁梁的最大撓度發(fā)生在的最大撓度發(fā)生在w = 0處處 0)( 3 )( 1 ba EIl Pab aw C q

13、 首先確定首先確定w =0的位置。當(dāng)?shù)奈恢?。?dāng)x =0時(shí)，轉(zhuǎn)角時(shí)，轉(zhuǎn)角qA = wA0，而當(dāng)而當(dāng)x = a時(shí)，轉(zhuǎn)角時(shí)，轉(zhuǎn)角q qC 0)(3 6 )( 222 1 lbx EIl Pb xw 因此，當(dāng)因此，當(dāng)0 x0 材料力學(xué) Mechanics of Materials 因此，可用梁的中點(diǎn)撓度代替梁的最大撓度。因此，可用梁的中點(diǎn)撓度代替梁的最大撓度。 當(dāng)當(dāng)a=b=l/2時(shí)，最大撓度發(fā)生在時(shí)，最大撓度發(fā)生在梁梁的中點(diǎn)的中點(diǎn) 最大轉(zhuǎn)角為最大轉(zhuǎn)角為 EI Pl w 48 3 max 2 max 16 AB Pl EI qqq 例題例題3 材料力學(xué) Mechanics of Materials 對(duì)于

14、對(duì)于簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁，不論受（，不論受（F, q）作用，只要撓曲軸作用，只要撓曲軸 上無(wú)拐點(diǎn)（朝一個(gè)方向彎曲）上無(wú)拐點(diǎn)（朝一個(gè)方向彎曲）,其最大撓度值可其最大撓度值可 以用梁中點(diǎn)處的撓度值代替，即以用梁中點(diǎn)處的撓度值代替，即 )2/( max lww 例題例題3 其精確度能滿(mǎn)足工程計(jì)算的要求。其精確度能滿(mǎn)足工程計(jì)算的要求。 梁位移的疊加法梁位移的疊加法 材料力學(xué) Mechanics of Materials 在在小變形、線彈性小變形、線彈性假定下，所求得的梁假定下，所求得的梁撓撓 度和轉(zhuǎn)角度和轉(zhuǎn)角均與載荷成線性關(guān)系，即各載荷對(duì)均與載荷成線性關(guān)系，即各載荷對(duì) 梁位移的影響是獨(dú)立的。梁位移的影響是獨(dú)立

15、的。 疊加原理 在若干載荷作用下，梁上任一截面的撓度、在若干載荷作用下，梁上任一截面的撓度、 轉(zhuǎn)角分別等于各個(gè)載荷單獨(dú)作用下該截面轉(zhuǎn)角分別等于各個(gè)載荷單獨(dú)作用下該截面 的撓度、轉(zhuǎn)角之和的撓度、轉(zhuǎn)角之和疊加原理疊加原理 材料力學(xué) Mechanics of Materials 于是于是 ，可利用若干已知的、簡(jiǎn)單的梁變形，可利用若干已知的、簡(jiǎn)單的梁變形 結(jié)果得到較復(fù)雜載荷作用下的梁的變形結(jié)果結(jié)果得到較復(fù)雜載荷作用下的梁的變形結(jié)果 =+ 疊加原理 附錄附錄E中列出了若干典型情形下梁彎曲中列出了若干典型情形下梁彎曲 的結(jié)果，可用于疊加原理的計(jì)算的結(jié)果，可用于疊加原理的計(jì)算 材料力學(xué) Mechanics

16、of Materials 圖示的等截面簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)為圖示的等截面簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)為l，抗彎剛度為抗彎剛度為 EI，受有在受有在A端的集中力偶端的集中力偶M0和均布載荷和均布載荷q的的 作用，求梁任一截面的轉(zhuǎn)角和撓度。作用，求梁任一截面的轉(zhuǎn)角和撓度。 A M0 l B q 例題1 A l B q A M0 l B （問(wèn)題 I）（問(wèn)題 II） x y x y x y 解解 將問(wèn)題分解為如下兩個(gè)將問(wèn)題分解為如下兩個(gè) 子問(wèn)題，并如圖建立建立子問(wèn)題，并如圖建立建立 坐標(biāo)系。坐標(biāo)系。 材料力學(xué) Mechanics of Materials 記記: 原問(wèn)題的梁的撓度為原問(wèn)題的梁的撓度為w,轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 為為q q； 問(wèn)題問(wèn)

17、題I的梁的撓度為的梁的撓度為wI，轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 為為q qI； 問(wèn)題問(wèn)題II的梁的撓度為的梁的撓度為wII，轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 為為q qII。 A Bq 問(wèn)題 I x y qI wI A M0 B q x y w q A M0 B 問(wèn)題 II x y qII wII )()()(xwxwxw III )()()(xxx III qqq 則根據(jù)疊加原理，有則根據(jù)疊加原理，有 例題1 材料力學(xué) Mechanics of Materials 對(duì)問(wèn)題對(duì)問(wèn)題I，梁的撓度為梁的撓度為wI和和 轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角為q qI分別為分別為 A Bq 問(wèn)題 I x y qI wI xlxlx EIl M wII2 6 0 )362(

18、 6 22 0 xlxl EIl M wII II q 對(duì)問(wèn)題對(duì)問(wèn)題II，梁的撓度為梁的撓度為 wII和轉(zhuǎn)角為和轉(zhuǎn)角為q qII分別為分別為 A M0 B 問(wèn)題 II x y qII wII 例題1 材料力學(xué) Mechanics of Materials 利用疊加原理，原問(wèn)題的撓度利用疊加原理，原問(wèn)題的撓度w，和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角q q 分別為分別為 從而，A端的轉(zhuǎn)角qA和梁中點(diǎn)的撓度w1/2分別為 EI ql EI lM A 243 )0( 3 0 qq EI ql EI lMl ww 384 5 16 ) 2 ( 42 0 2/1 例題1 材料力學(xué) Mechanics of Materials A

19、 l B q C x y 解解 根據(jù)疊加原理，將根據(jù)疊加原理，將 問(wèn)題分解為如下兩個(gè)子問(wèn)問(wèn)題分解為如下兩個(gè)子問(wèn) 題，并如圖建立坐標(biāo)系。題，并如圖建立坐標(biāo)系。 例例 圖示的等截面簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)為圖示的等截面簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)為l，抗彎剛度為抗彎剛度為EI， 在一半梁上受有均布載荷在一半梁上受有均布載荷q的作用，求梁跨中截的作用，求梁跨中截 面撓度面撓度wc和兩端截面的轉(zhuǎn)角和兩端截面的轉(zhuǎn)角q qA和和q qB 。 問(wèn) 題 II A l B q/2 x y C 問(wèn) 題 I A l B q/2 x y C 例題2 材料力學(xué) Mechanics of Materials 記記 問(wèn)題問(wèn)題I的的梁梁跨中截面的撓跨中截面的撓

20、 度為度為wcI，轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角為q qAI和和q qBI ； 問(wèn)題問(wèn)題II的的梁梁的撓度為的撓度為wcII， 轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角為q qI II和 和q qB BII。 cIIcIc www AIIAIA qqq 則根據(jù)疊加原理，有則根據(jù)疊加原理，有 BIIBIB qqq 問(wèn) 題 I A l B q/2 x y 問(wèn) 題 II A l B q/2 x y A l B q x y C C C 例題2 材料力學(xué) Mechanics of Materials 對(duì)問(wèn)題對(duì)問(wèn)題I，梁跨中截面的梁跨中截面的 撓度撓度wcI，轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角q q I和和q qB BI分別為分別為問(wèn)問(wèn) 題題 I A l B q/2 x y C

21、例題2 材料力學(xué) Mechanics of Materials 對(duì)問(wèn)題對(duì)問(wèn)題II，根據(jù)反對(duì)稱(chēng)性，根據(jù)反對(duì)稱(chēng)性， 梁跨中截面的撓度為梁跨中截面的撓度為0，并且，并且， 跨中截面的轉(zhuǎn)角不為跨中截面的轉(zhuǎn)角不為0，但其橫，但其橫 截面的彎矩為截面的彎矩為0。因此，它等價(jià)。因此，它等價(jià) 于與兩端簡(jiǎn)支承受均布荷載于與兩端簡(jiǎn)支承受均布荷載q/2 的梁（的梁（問(wèn)題問(wèn)題II）。）。 問(wèn) 題 II A l B q/2 x y EI qll EI q AII 384224 )2/( 3 3 q 對(duì)問(wèn)題II，梁轉(zhuǎn)角q II 為 問(wèn) 題 II A l/2 C q/2 x y C 例題2 材料力學(xué) Mechanics o

22、f Materials 因此，對(duì)問(wèn)題因此，對(duì)問(wèn)題II，梁跨梁跨 中截面的撓度中截面的撓度wcII，轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角q qAII 和和q qBII分別為分別為 原問(wèn)題的解為：原問(wèn)題的解為： EI ql www cIIcIc 768 5 4 EI ql AIIAIA 128 3 3 qqq EI ql BIIBIB 384 7 3 qqq 問(wèn) 題 II A l B q/2 x y 問(wèn) 題 II A l/2 C q/2 x y C 例題2 材料力學(xué) Mechanics of Materials 例例 圖示的等截面外伸梁圖示的等截面外伸梁，AB段的抗彎段的抗彎 剛度為剛度為EI1， BC段的抗彎剛度為段的抗彎

23、剛度為EI2，在在BC段段 有均布載荷有均布載荷q的作用，求截面的作用，求截面C的轉(zhuǎn)角和撓度。的轉(zhuǎn)角和撓度。 l B q C a A 例題3 材料力學(xué) Mechanics of Materials A l B q C a A x y l B qa C a （問(wèn)題 II） x y A qa2/2 y2c q2c l B q C a x y qa qa2/2 （問(wèn)題 I） 解解 將問(wèn)題分解為如下兩個(gè)子問(wèn)題，并將問(wèn)題分解為如下兩個(gè)子問(wèn)題，并 如圖建立坐標(biāo)系。如圖建立坐標(biāo)系。 例題3 材料力學(xué) Mechanics of Materials 對(duì)問(wèn)題對(duì)問(wèn)題I，由梁由梁AB段內(nèi)的段內(nèi)的 剪力和彎矩為零，所以

24、，剪力和彎矩為零，所以，AB 段不變形。段不變形。BC段相當(dāng)于懸臂段相當(dāng)于懸臂 梁，故問(wèn)題梁，故問(wèn)題I可等價(jià)于問(wèn)題可等價(jià)于問(wèn)題I 。 2 3 1 2 4 1 6 , 8EI qa EI qa w cc q 利用懸臂利用懸臂梁梁的結(jié)論，的結(jié)論， 可得梁截面可得梁截面C處的撓度處的撓度 w1c和轉(zhuǎn)角為和轉(zhuǎn)角為q1c分別為分別為 l B q C a x y qa qa2/2 （問(wèn)題 I） A B a C q （問(wèn)題 I ） x y w1c q1c 例題3 材料力學(xué) Mechanics of Materials 對(duì)問(wèn)題對(duì)問(wèn)題II ，橫向力橫向力qa由支撐由支撐B承受，不引起梁的承受，不引起梁的 彎曲。

25、而在彎矩彎曲。而在彎矩qa2/2作用下，由于梁作用下，由于梁BC不變形（不不變形（不 受力）。所以，此時(shí)等價(jià)于簡(jiǎn)支梁受力）。所以，此時(shí)等價(jià)于簡(jiǎn)支梁AB的彎曲變形，的彎曲變形， 由簡(jiǎn)支梁的結(jié)論知，梁截面由簡(jiǎn)支梁的結(jié)論知，梁截面B處的轉(zhuǎn)角為處的轉(zhuǎn)角為q qB為為 由于由于梁梁BC為直線，所為直線，所 以，以，梁梁截面截面C處的撓度處的撓度w2c 和轉(zhuǎn)角為和轉(zhuǎn)角為q q2c分別為分別為 1 2 2 1 3 2 6 , 6EI lqa EI lqa aw BcBc qqq l B qa C a （問(wèn)題 II） x y A qa2/2 y2c q2c 例題3 材料力學(xué) Mechanics of Mate

26、rials 所以，截面所以，截面C處的總撓度和轉(zhuǎn)角分別為處的總撓度和轉(zhuǎn)角分別為 l B q C a A x y 例題3 材料力學(xué) Mechanics of Materials (1)分別計(jì)算由于各梁段的變形在需求變形處分別計(jì)算由于各梁段的變形在需求變形處 引起的變形，引起的變形， (2)計(jì)算其總和計(jì)算其總和 逐段分析求和法逐段分析求和法 疊加法疊加法和逐段分析求和法逐段分析求和法的區(qū)別 疊加法分解載荷 逐段分析求和法分解梁 例題3 材料力學(xué) Mechanics of Materials BMBFB qqq )( 2 221 CBBFBM CBBCCC wbww wbwwww q q A B C

27、 F a b 1I2I A B C F bFMe B w B q 1 C wF Me C F 2 C w B + 例題4 簡(jiǎn)單靜不定梁簡(jiǎn)單靜不定梁 材料力學(xué) Mechanics of Materials 靜不定梁?jiǎn)栴}的概念靜不定梁?jiǎn)栴}的概念 n靜定梁靜定梁未知量（支承反力）可由梁的未知量（支承反力）可由梁的 靜力平衡方程確定靜力平衡方程確定 n靜不定梁靜不定梁未知量（支承反力）不能由未知量（支承反力）不能由 梁的靜力平衡方程完全確定，即梁的靜力平衡方程完全確定，即未知量的未知量的 數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目。 靜不定梁亦稱(chēng)靜不定梁亦稱(chēng) 為為超靜定梁超靜定梁 n對(duì)于靜不定梁，支

28、承反力的數(shù)目與獨(dú)立靜對(duì)于靜不定梁，支承反力的數(shù)目與獨(dú)立靜 力平衡方程的數(shù)目差稱(chēng)為靜不定梁的力平衡方程的數(shù)目差稱(chēng)為靜不定梁的梁靜梁靜 不定次數(shù)不定次數(shù) 簡(jiǎn)單靜不定梁 材料力學(xué) Mechanics of Materials 靜不定問(wèn)題的求解步靜不定問(wèn)題的求解步: 1. 確定靜不定問(wèn)題的確定靜不定問(wèn)題的次數(shù)次數(shù) 2. 解除多余的約束，代之于約束反力，使問(wèn)題解除多余的約束，代之于約束反力，使問(wèn)題 成為含約束反力的靜定問(wèn)題成為含約束反力的靜定問(wèn)題稱(chēng)之為原靜稱(chēng)之為原靜 不定梁的不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng) 3. 求解此靜定問(wèn)題，并根據(jù)求解此靜定問(wèn)題，并根據(jù)多余約束處的變形多余約束處的變形 協(xié)調(diào)條件協(xié)調(diào)條件，建

29、立多余約束反力的補(bǔ)充方程，建立多余約束反力的補(bǔ)充方程， 并由此求解出多余約束反力并由此求解出多余約束反力 4. 利用平衡方程，求解出所有約束反力，從而利用平衡方程，求解出所有約束反力，從而 得到梁的內(nèi)力、撓度和轉(zhuǎn)角等物理量得到梁的內(nèi)力、撓度和轉(zhuǎn)角等物理量 簡(jiǎn)單靜不定梁 材料力學(xué) Mechanics of Materials F 將此問(wèn)題分解為兩個(gè)子問(wèn)題將此問(wèn)題分解為兩個(gè)子問(wèn)題 問(wèn)題I A l/2 B C l/2 MA A l/2 B l/2 問(wèn)題II 例題1 求解圖示靜不定梁的約束反力求解圖示靜不定梁的約束反力 A l/2 F B C l/2 ABC F MA 靜定基 解：解：解除解除A處的轉(zhuǎn)

30、動(dòng)約束，代處的轉(zhuǎn)動(dòng)約束，代 之于約束反力偶之于約束反力偶MA。 材料力學(xué) Mechanics of Materials 對(duì)受集中力對(duì)受集中力 F 作用的問(wèn)題作用的問(wèn)題I， 由已知結(jié)論知，截面由已知結(jié)論知，截面A處的轉(zhuǎn)處的轉(zhuǎn) 角為角為 0 21 AAA qqq 由變形協(xié)調(diào)條件由變形協(xié)調(diào)條件 例題1 問(wèn)題I A l/2 B C l/2 對(duì)受端部彎矩作用的對(duì)受端部彎矩作用的 問(wèn)題問(wèn)題II，由已知結(jié)論知，截由已知結(jié)論知，截 面面A處的轉(zhuǎn)角為處的轉(zhuǎn)角為 MA A l/2 B l/2 問(wèn)題II 材料力學(xué) Mechanics of Materials 可得補(bǔ)充方程可得補(bǔ)充方程 3 16 A Fl M 從而從

31、而 115 , 1616 AyBy FF FF 利用整體平衡條件的利用整體平衡條件的A、 B處的約束反力處的約束反力 A l/2 F B C l/2 例題1 若解除若解除B的垂直約的垂直約 束又如何束又如何? ABC F MA 材料力學(xué) Mechanics of Materials 懸臂梁懸臂梁AB在自由端承受集在自由端承受集 中力中力F 的作用。因其剛度不夠，的作用。因其剛度不夠， 用一根短梁加固，如圖所示用一根短梁加固，如圖所示。設(shè)設(shè) 二梁的抗彎剛度均為二梁的抗彎剛度均為EI，計(jì)算梁計(jì)算梁 AB最大撓度的減少量。最大撓度的減少量。 A l/2 F B C l/2 解解 當(dāng)無(wú)支承加固時(shí)，當(dāng)無(wú)

32、支承加固時(shí)， 懸臂梁懸臂梁AB在自由端集中力在自由端集中力F 作用下的最大撓度為（附錄）作用下的最大撓度為（附錄） 例題例題2 材料力學(xué) Mechanics of Materials 用一根短梁加固后，結(jié)構(gòu)用一根短梁加固后，結(jié)構(gòu) 為一次超靜定。為一次超靜定。 選擇選擇C處的支承為多于約束，處的支承為多于約束， 解除約束，代之以約束反力解除約束，代之以約束反力FR, 如圖所示。如圖所示。 加固短梁在C處約束反 力FR作用下C處的撓度為 （附錄） EI lF w 24 3 R 1 F FR FR A l/2 F B C l/2 例題例題2 材料力學(xué) Mechanics of Materials 懸

33、臂梁懸臂梁AB在自由端集中力在自由端集中力 F和約束反力和約束反力FR作用下作用下C處的撓處的撓 度為（附錄）度為（附錄） A l/2 F B C l/2 利用變形協(xié)調(diào)條件利用變形協(xié)調(diào)條件 21 ww 得 FF 4 5 R F FR FR 例題例題2 材料力學(xué) Mechanics of Materials 懸臂梁懸臂梁AB在自由端集中力在自由端集中力 F和約束反力和約束反力FR=5F/4作用下作用下B 處的撓度（最大撓度）為處的撓度（最大撓度）為 A l/2 F B C l/2 因此因此 %9 .60 16 13 max max w w 例題例題2 材料力學(xué) Mechanics of Mate

34、rials 例例 已知已知AB，BC為相同為相同 的兩根懸臂梁，中間用鉸鏈相的兩根懸臂梁，中間用鉸鏈相 連接，抗彎剛度為連接，抗彎剛度為EI，求兩梁求兩梁 相聯(lián)的鉸鏈內(nèi)所傳遞的作用力。相聯(lián)的鉸鏈內(nèi)所傳遞的作用力。 A a q C a B 解 結(jié)構(gòu)為一次靜不定問(wèn)題。 A a q C y x FCy （結(jié)構(gòu)（結(jié)構(gòu)A A） B x y C a FCy （結(jié)構(gòu)（結(jié)構(gòu)B B） 解除鉸鏈C處的約束，代之 于約束反力FCy，則結(jié)構(gòu)變?yōu)閮?個(gè)靜定梁，并如圖建立坐標(biāo)系。 例題例題3 材料力學(xué) Mechanics of Materials 對(duì)于結(jié)構(gòu)對(duì)于結(jié)構(gòu)A，根據(jù)簡(jiǎn)單變根據(jù)簡(jiǎn)單變 形梁的結(jié)果，得截面形梁的結(jié)果，得

35、截面C處的撓度處的撓度 為為 A a q C y x FCy （結(jié)構(gòu)（結(jié)構(gòu)A） EI aF w Cy BC 3 3 B x y C a FCy （結(jié)構(gòu)（結(jié)構(gòu)B） 對(duì)于結(jié)構(gòu)對(duì)于結(jié)構(gòu)B，截面截面C處的撓處的撓 度為度為 ACBC ww 變形協(xié)調(diào)條件為變形協(xié)調(diào)條件為 qaFCy 16 3 由此得鉸鏈由此得鉸鏈C處傳遞的作用力處傳遞的作用力 例題例題3 材料力學(xué) Mechanics of Materials 解：1、靜不定次數(shù) 1次 3、協(xié)調(diào) k F w B B la EI Fa EI lF k F BB 3 63 23 3 2 2 6 3 l k EI alFa FB 注意正負(fù)號(hào) 2、靜定問(wèn)題 la EI Fa EI lF w B BFBFB ww B 3 63 23 A F C B F B A l F a b B C k A F B F A M 例題4 求：FB=? 梁的剛度條件梁的剛度條件 合理剛度設(shè)計(jì)合理剛度設(shè)計(jì) 材料力學(xué) Mechanics of