高中數(shù)學(xué) 第一章 基本初等函數(shù)（II）1.2 任意角的三角函數(shù) 1.2.2 單位圓與三角函數(shù)線示范教案 新人教B版必修4

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2。2 單位圓與三角函數(shù)線示范教案教學(xué)分析從初中的銳角三角函數(shù)到高中的任意角的三角函數(shù),是學(xué)生在三角函數(shù)認知結(jié)構(gòu)上的一次質(zhì)的飛躍要使這次認知結(jié)構(gòu)的飛躍在課堂上順利完成，關(guān)鍵是抓住三角函數(shù)的定義，其媒介是從初中的直角三角形轉(zhuǎn)化為高中的平面直角坐標(biāo)系因此,準確理解任意角的三角函數(shù)定義是極其重要的在上一節(jié)三角函數(shù)的定義中，分析教材圖110,以oa為半徑畫單位圓學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)比值可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)來表示在坐標(biāo)軸上，把點的坐標(biāo)與點的位置向量對應(yīng)起來，即定義三角函數(shù)線，這樣可更形象地研究三角函數(shù)的性質(zhì)利用信息技術(shù)，可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點坐標(biāo)、單位圓中的

2、三角函數(shù)線之間的聯(lián)系，并在角的變化過程中，將這種聯(lián)系直觀地體現(xiàn)出來所以，信息技術(shù)可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì)三角函數(shù)的單位圓模型,是研究三角函數(shù)最得力的工具從這一節(jié)開始，教材基本上都是利用單位圓來研究三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象的三維目標(biāo)1通過借助單位圓，理解并進一步掌握三角函數(shù)定義2掌握三角函數(shù)線的定義，初步掌握利用單位圓分析和解決三角函數(shù)問題3能通過單位圓上點的運動，初步了解各三角函數(shù)值的變化情況，為學(xué)習(xí)后面三角函數(shù)性質(zhì)打下基礎(chǔ)重點難點教學(xué)重點：三角函數(shù)線的定義教學(xué)難點:正確利用單位圓中軸上向量將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來課時安排1課時導(dǎo)入新課思路1.（情境導(dǎo)入)同學(xué)們都在一些

3、旅游景地或者在公園中見過大觀覽車,大家是否想過大觀覽車在轉(zhuǎn)動過程中，座椅離地面的高度隨著轉(zhuǎn)動角度的變化而變化，二者之間有怎樣的相依關(guān)系呢？思路2。(復(fù)習(xí)導(dǎo)入）由三角函數(shù)的定義我們知道，對于角的各種三角函數(shù)我們都是用比值來表示的,或者說是用數(shù)來表示的，今天我們再來學(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法幾何表示法我們知道,直角坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān)因此自然產(chǎn)生一個想法是以坐標(biāo)軸的方向來規(guī)定有向線段的方向，以使它們的取值與點的坐標(biāo)聯(lián)系起來推進新課(1)回憶上節(jié)課學(xué)習(xí)的三角函數(shù)定義并思考:三角函數(shù)的定義能否用幾何中的方法來表示，怎樣探究這種表示呢？，(2)怎樣理解軸上的向量？活動：指導(dǎo)學(xué)

4、生在教材圖110中，作出單位圓，我們把半徑為1的圓叫做單位圓(圖1)設(shè)單位圓的圓心與坐標(biāo)原點重合,則單位圓與x軸的交點分別為a(1，0)，a(1,0)，而與y軸的交點分別為b（0，1），b（0，1）圖1設(shè)角的頂點在圓心o，始邊與x軸的正半軸重合，終邊與單位圓相交于點p(圖1（1)），過點p作pm垂直x軸于m，作pn垂直y軸于點n，則點m、n分別是點p在x軸、y軸上的正射影（簡稱射影）由三角函數(shù)的定義可知，點p的坐標(biāo)為（cos，sin)，即p(cos，sin)，其中cosom，sinon.于是，根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義，就有siny，cosx。這就是說，角的余弦和正弦分別等于角終邊與單位圓交點的

5、橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)以a為原點建立y軸與y軸同向,y軸與的終邊（或其反向延長線）相交于點t(或t）（圖1（2)，則tanat(或at）我們把軸上向量, 和（或)分別叫做的余弦線、正弦線和正切線當(dāng)角的終邊在x軸上時,點p與點m重合，點t與點a重合，此時,正弦線和正切線都變成了一點，它們的數(shù)量為零,而余弦線om1或1。當(dāng)角的終邊在y軸上時，正弦線mp1或1，余弦線變成了一點，它表示的數(shù)量為零,正切線不存在討論結(jié)果:（1）略;（2）略活動：師生共同討論，最后一致得出以下幾點:（1)當(dāng)角的終邊在y軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在（2）當(dāng)角的終邊在x軸上時,正弦線、正切線都變成點(3)正弦線、余弦線、正

6、切線都是軸向量,即與單位圓有關(guān)的有向線段，所以作某角的三角函數(shù)線時，一定要先作單位圓（4）線段有兩個端點，在用字母表示正弦線、余弦線、正切線時，要先寫起點字母，再寫終點字母，不能顛倒;或者說,含原點的線段，以原點為起點,不含原點的線段,以此線段與x軸的公共點為起點(5)三種有向線段的正負與坐標(biāo)軸正反方向一致，三種有向線段的數(shù)量與三種三角函數(shù)值相同正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線討論結(jié)果：（1)略；（2）略例 1如圖2，的終邊分別與單位圓交于點p，q，過a(1，0)作切線at，交圖2射線op于點t，交射線oq的反向延長線于t，點p、q在x軸上的射影分別為點m、n,則sin_，cos_，ta

7、n_,sin_，cos_，tan_?；顒樱焊鶕?jù)三角函數(shù)線的定義可知，sinmp,cosom，tanat，sinnq，coson,tanat。答案：mpomatnqonat點評：掌握三角函數(shù)線的作法，注意用有向線段表示三角函數(shù)線時，字母的書寫順序不能隨意顛倒.變式訓(xùn)練利用三角函數(shù)線證明sin|cos1。解：當(dāng)?shù)慕K邊落在坐標(biāo)軸上時，正弦(或余弦)線變成一個點，而余弦(或正弦)線的長等于r,所以|sincos|1.當(dāng)角終邊落在四個象限時，利用三角形兩邊之和大于第三邊有sin|cos|om|mp1,|sin|cos1.2分別作出和的正弦線、余弦線和正切線解:在直角坐標(biāo)系中作單位圓,如圖3，以ox軸正方

8、向為始邊作的終邊與單位圓交于p點,作pmox軸，垂足為m，由單位圓與ox正方向的交點a作ox軸的垂線與op的反向延長線交于t點，則sinmp，cosom，tanat，圖3即的正弦線為，余弦線為，正切線為。同理可作出的正弦線、余弦線和正切線，如圖3中，sin（)mp，cos（)om，tan()at，即的正弦線為，余弦線為，正切線為.3在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊或終邊所在的范圍，并由此寫出角的集合：(1）sin；(2)sin.活動：引導(dǎo)學(xué)生畫出單位圓，對于（1），可設(shè)角的終邊與單位圓交于a（x,y)，則siny,所以要作出滿足sin的終邊，只要在單位圓上找出縱坐標(biāo)為的點a，則oa即為角的

9、終邊;對于（2)，可先作出滿足sin的角的終邊,然后根據(jù)已知條件確定角的范圍解:(1)作直線y交單位圓于a與b兩點，連結(jié)oa,ob，則oa與ob為角的終邊，如圖4所示圖4故滿足條件的角的集合為|2k或2k，kz(2）作直線y交單位圓于a與b兩點，連結(jié)oa，ob，則oa與ob圍成的區(qū)域(如圖4中的陰影部分)即為角的終邊所在的范圍故滿足條件的角的集合為2k2k,kz點評:在解簡單的特殊值（如，等)的等式或不等式時，應(yīng)首先在單位圓內(nèi)找到對應(yīng)的終邊（作縱坐標(biāo)為特殊值的直線與單位圓相交,連結(jié)交點與坐標(biāo)原點作射線)，一般情況下,用(0，2)內(nèi)的角表示它，然后畫出滿足原等式或不等式的區(qū)域,用集合表示出來.變

10、式訓(xùn)練已知sin，求角的集合解：作直線y交單位圓于點p，p,則sinpoxsinpox，在0，2)內(nèi)pox，ppx.滿足條件的集合為|2k2k，kz.4求下列函數(shù)的定義域：(1)ylogsinx（2cosx1）;(2)ylg(34sin2x)活動：先引導(dǎo)學(xué)生求出x所滿足的條件，這點要提醒學(xué)生注意，研究函數(shù)必須在自變量允許的范圍內(nèi)研究,否則無意義再利用三角函數(shù)線畫出滿足條件的角x的終邊范圍求解時，可根據(jù)各種約束條件,利用三角函數(shù)線畫出角x滿足條件的終邊范圍，寫出適合條件的x的取值集合解：（1）由題意,得即則（kz）函數(shù)的定義域為x2kx2k或2k0，sin2x。op,即sincos1。（2）在r

11、tomp中，mp2om2op2，即sin2cos21.3求函數(shù)y的定義域答案：xk,k,kz.1對于三角函數(shù)線，開始時學(xué)生可能不是很理解，教師應(yīng)該充分發(fā)揮好圖象的直觀作用，讓學(xué)生通過圖形來感知、了解三角函數(shù)線的定義在學(xué)生理解了正弦線、余弦線、正切線的定義后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生會利用三角函數(shù)線來發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)以便為以后更好地學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)打下良好的基礎(chǔ)2教師要把握好深度讓學(xué)生對三角函數(shù)線了解即可,要讓學(xué)生利用任意角的三角函數(shù)線來感知對應(yīng)的三角函數(shù)圖象的變化趨勢，不要再向深處挖掘，因為三角函數(shù)線能解決的問題都可以用三角函數(shù)的圖象來解決3教師在教學(xué)中要搞好師

12、生互動，讓學(xué)生自己動腦、動手，多啟發(fā)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力,讓學(xué)生學(xué)會獨立思考和歸納總結(jié)知識的能力一、一個三角不等式的證明已知（0,)，求證:sintan。證明:如圖8，設(shè)銳角的終邊交單位圓于點p，過單位圓與x軸正半軸的交點a作圓的切線交op于點t，過點p作pmx軸于點m，則mpsin，attan，的長為，連結(jié)pa.圖8sopas扇形opasoat，oa|mp|oa|2oa|at。mpat|,則mpat，即sintan。二、備用習(xí)題1若，則sin，cos，tan的大小關(guān)系是（)atancossin bsintancosccostansin dcossintan2若0cosx成立的x的取值范圍是_4如圖