2017-2018學年高中數(shù)學 第一章 推理與證明章末小結知識整合與階段檢測教學案 選修2-2

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章 推理與證明對應學生用書p13一、歸納和類比1歸納推理和類比推理是常用的合情推理，都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納類比，然后提出猜想的推理2從推理形式上看，歸納是由部分到整體、由個別到一般的推理；類比是兩類事物特征間的推理，是由特殊到特殊的推理二、直接證明和間接證明1直接證明包括綜合法和分析法(1）綜合法證明數(shù)學問題是“由因導果,而分析法則是“執(zhí)果索因”,二者一正一反，各有特點綜合法的特點是表述簡單、條理清楚，分析法則便于解題思路的探尋（2）分析法與綜合法往往結合起來使用,即用分析法探尋解題思路，而用綜合法書寫過程，即“兩頭湊”，可使問

2、題便于解決2間接證明主要是反證法反證法：一般地,假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立反證法主要適用于以下兩種情形：（1）要證的結論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接由條件推出結論的線索不夠清晰;(2)如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形三、數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為歸納奠基，是論證的基礎保證,即通過驗證落實傳遞的起點，這個基礎必須真實可靠;它的第二步稱為歸納遞推，是命題具有后繼傳遞性的保證，兩步合在一起為完全歸納步驟這兩步缺一不可第二步中證明“當nk1時結論正確”的過程中,必

3、須用“歸納假設，否則就是錯誤的（時間90分鐘,滿分120分)一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的）1數(shù)列3,5,9，17,33，的通項an()a2nb2n1c2n1 d.2n1答案：b2用反證法證明命題“若關于x的方程ax2bxc0(a0，a，b，cz)有有理根,那么a，b,c中至少有一個是奇數(shù)”時，下列假設正確的是（）a假設a，b，c都是奇數(shù)b假設a，b，c都不是奇數(shù)c假設a，b，c至多有一個奇數(shù)d假設a，b，c至多有兩個奇數(shù)解析:命題“a,b,c中至少有一個是奇數(shù)”的否定是“a，b，c都不是奇數(shù)”,故選b。答案：b3因為奇函數(shù)

4、的圖像關于原點對稱(大前提），而函數(shù)f（x）是奇函數(shù)（小前提），所以f(x）的圖像關于原點對稱（結論)上面的推理有錯誤,其錯誤的原因是（）a大前提錯導致結論錯b小前提錯導致結論錯c推理形式錯導致結論錯d大前提和小前提都錯導致結論錯解析：因為f(1)f(1)2，所以f（1)f(1),所以f(x)不是奇函數(shù)，故推理錯誤的原因是小前提錯導致結論錯答案:b4某同學在電腦上打出如下若干個“”和“”：依此規(guī)律繼續(xù)打下去，那么在前2 014個圖形中的“的個數(shù)是（)a60 b61c62 d。63解析:第一次出現(xiàn)“”在第一個位置,第二次出現(xiàn)“在第（12)個位置，第三次出現(xiàn)“”在第（123)個位置，,第n次出現(xiàn)“

5、在第(123n)個位置123n，當n62時，1 953,2 0141 95361b，f（a）f(b)，f(a)f(b）0。答案：a二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分請把正確的答案填在題中的橫線上)11設f(n)1（nn)，那么f（n1）f（n）_.解析：f（n1)1，f(n1）f(n)。答案：12已知點a(x1，3x1)，b(x2,3x2)是函數(shù)y3x的圖像上任意不同兩點,依據(jù)圖像可知,線段ab總是位于a,b兩點之間函數(shù)圖像的上方，因此有結論3成立運用類比思想方法可知,若點a(x1，tan x1），b(x2，tan x2）是函數(shù)ytan x的圖像上任意不同兩點，則類似地有_成立解

6、析：因為ytan x圖像是上凸的,因此線段ab的中點的縱坐標總是小于函數(shù)ytan x圖像上的點的縱坐標，即有0,a11，an1(n1，2，）(1）求證：an1an;(2)令a1，寫出a2,a3，a4，a5的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式an.解:（1)證明：采用反證法假設an1an，即an，解得an0或an1，從而a10或a11，與題設a10，a11相矛盾，故an1an成立(2)a1，a2,a3,a4，a5，猜想：an.16（本小題滿分12分)已知abc的三邊a，b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列，試分別用綜合法和分析法證明b為銳角證明：法一（分析法）：要證明b為銳角，因為b為三角形的內(nèi)角，則只需證c

7、os b0.又cos b，只需證明a2c2b20。即證a2c2b2。a2c22ac，只需證明2acb2.由已知，即2acb（ac）,只需證明b(ac）b2,即證acb成立，在abc中，最后一個不等式顯然成立b為銳角法二（綜合法）：由題意得：，則b,b（ac)2acb2（acb)cos b0，又ycos x在(0,)上單調(diào)遞減，0b，即b為銳角17(本小題滿分12分）已知a，b，c(0,1）求證:（1a）b,(1b)c，(1c）a不能都大于.證明：假設（1a）b,(1b）c，(1c）a都大于.因為0a1,0b1,0c0。由基本不等式，得。同理，.將這三個不等式兩邊分別相加，得，即,這是不成立的，

8、故(1a）b,（1b)c，(1c）a不能都大于.18(本小題滿分14分)是否存在二次函數(shù)f（x）,使得對于任意nn,都有f（n）成立，若存在，求出f(x)；若不存在,說明理由解:假設存在二次函數(shù)f(x)ax2bxc（a0),使得對于nn,都有f(n）成立當n1時，abc1，當n2時，4a2bc，當n3時，9a3bc，聯(lián)立式得a，b，c，則由以上可假設存在二次函數(shù)f(x）x2x，使得對于nn,都有f(n）成立下面用數(shù)學歸納法證明：(1)當n1時,1,f(1）1，所以f（1）成立；(2)假設當nk時,f（k)成立，那么，當nk1時，（k1)f（k)（k1)（k1）（k1)(k1)k1(k1）2(k1）f（k1），故當nk1時，f(k1)也成立由(1）（2）知,