高中數(shù)學專題——函數(shù)導數(shù)專題

1、 專題六 函數(shù)導數(shù)專題【命題趨向】函數(shù)是高考考查能力的重要素材，以函數(shù)為基礎編制的考查能力的試題在歷年的高考試卷中占有較大的比重這部分內(nèi)容既有以選擇題、填空題形式出現(xiàn)的試題，也有以解答題形式出現(xiàn)的試題一般說來，選擇題、填空題主要考查函數(shù)的概念、單調(diào)性與奇偶性、函數(shù)圖象、導數(shù)的幾何意義等重要知識，關注函數(shù)知識的應用以及函數(shù)思想方法的滲透，著力體現(xiàn)概念性、思辨性和應用意識解答題大多以基本初等函數(shù)為載體，綜合應用函數(shù)、導數(shù)、方程、不等式等知識，并與數(shù)學思想方法緊密結合，對函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類與整合思想、有限與無限思想等進行較為深入的考查，體現(xiàn)了能力立意的命題原則這些綜合地統(tǒng)攬各種知識、

2、應用各種方法和能力的試題充分顯示了函數(shù)與導數(shù)的主干知識地位在中學引入導數(shù)知識，為研究函數(shù)的性質提供了簡單有效的方法解決函數(shù)與導數(shù)結合的問題，一般有規(guī)范的方法，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性也有規(guī)定的步驟，具有較強的可操作性高考中，函數(shù)與導數(shù)的結合，往往不是簡單地考查公式的應用，而是與數(shù)學思想方法相結合，突出考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想等，所考查的問題具有一定的綜合性在一套高考試卷中一般有2-3個小題有針對性地考查函數(shù)與導數(shù)的重要知識和方法，有一道解答題綜合考查函數(shù)與導數(shù)，特別是導數(shù)在研究函數(shù)問題中的應用，這道解答題是試卷的把關題之一【考點透析】函數(shù)和導數(shù)的主要考點包括函數(shù)的概念、圖象與性質，函

3、數(shù)與方程，函數(shù)模型及其應用，導數(shù)及其應用、微積分及微積分基本定理等【例題解析】題型1 函數(shù)的概念及其表示例1 （2008高考山東文5）設函數(shù)則的值為（ ）abcd分析：由內(nèi)向外逐步計算解析： ，故答案a點評：本題考查分段函數(shù)的概念和運算能力解決的關鍵是由內(nèi)到外“逐步有選擇”的代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)值例2（紹興市2008學年第一學期統(tǒng)考數(shù)學試題第14題）如圖，函數(shù)的圖象是曲線，其中點的坐標分別為，則的值等于 分析：從圖象上理解自變量與函數(shù)值的對應關系 解析：對于點評：圖象是表示函數(shù)的一種方法，圖象上反應了這個函數(shù)的一切性質題型2 函數(shù)的圖象與性質例3（浙江省2009年高考省教研室第一次抽樣測試

4、理科第14題）已知為非零實數(shù)，若函數(shù)的圖象關于原點中心對稱，則 分析：圖象的對稱性反應在函數(shù)性質上就是這個函數(shù)是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)對定義域內(nèi)任意都有點特點可得一個關于的恒等式，根據(jù)這個恒等式就可以確定的值，特別地也可以解決問題 解析： 對于函數(shù)的圖象關于原點中心對稱,則對于，因此有答案點評：函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質之一，這兩個性質反應了函數(shù)圖象的某種對稱性，這二者之間是可以相互轉換的例4 （紹興市2008學年第一學期統(tǒng)考數(shù)學試題第5題）設，則（ ）a b c d分析：以和為分界線，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)和的性質解決解析：對于，因此答案a點評：大小比較問題，可以歸結為某個函數(shù)就歸結為一個函數(shù)、利

5、用函數(shù)的單調(diào)性比較，不能歸結為某個函數(shù)一般就是找分界線題型3 函數(shù)與方程例5（浙江省2009年高考省教研室第一次抽樣測試理科第3題）函數(shù)的零點的個數(shù)是 a b c d分析：這是一個三次函數(shù)，可以通過研究這個函數(shù)的單調(diào)性與極值，結合函數(shù)圖象的基本特征解決解析：對于，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，而對于，因此其零點的個數(shù)為個答案b點評：本例和例9在本質方法上是一致的，其基本道理就是“單調(diào)函數(shù)至多有一個零點”，再結合連續(xù)函數(shù)的零點定理，探究問題的答案例6（浙江省五校2009屆高三第一次聯(lián)考理科第題）函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)的零點，則實數(shù)的取值范圍是a b c d分析：函數(shù)中的二次項系數(shù)是個參數(shù)，先要確定對其分

6、類討論，再結合一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象布列不等式解決解析：當時，為函數(shù)的零點；當是，若，即時，是函數(shù)唯一的零點，若，顯然函數(shù)不是函數(shù)的零點，這樣函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)零點等價與方程有一個正根一個負根，即，即綜合知答案b點評：分類討論思想、函數(shù)與方程思想是高考所著重考查的兩種數(shù)學思想，在本題體現(xiàn)的淋漓盡致還要注意函數(shù)的零點有“變號零點”和“不變號零點”，如本題中的就是函數(shù)的“不變號零點”，對于“不變號零點”，函數(shù)的零點定理是“無能為力”的，在解決函數(shù)的零點時要注意這個問題 題型4 簡單的函數(shù)模型及其應用例7（蘇州市2009屆高三教學調(diào)研測試第18題）經(jīng)市場調(diào)查，某超市的一種小商品在過去的近天內(nèi)的

7、銷售量（件）與價格（元）均為時間（天）的函數(shù)，且銷售量近似滿足（件），價格近似滿足（元）（1）試寫出該種商品的日銷售額與時間（）的函數(shù)表達式；（2）求該種商品的日銷售額的最大值與最小值分析：函數(shù)模型就是銷售量乘以價格，價格函數(shù)帶有絕對值，去掉絕對值后本質上是一個分段函數(shù)，建立起這個分段函數(shù)模型后，求其最值即可解析：（1） （2）當時，的取值范圍是，在時，取得最大值為；當1時，的取值范圍是，在時，取得最小值為 答案：總之，第天，日銷售額取得最大為元；第天，日銷售額取得最小為元 點評：分段函數(shù)模型是課標的考試大綱所明確提出要求的一個，分段函數(shù)在一些情況下可以用一個帶有絕對值的解析式統(tǒng)一表達，要知道

8、帶有絕對值的函數(shù)本質上是分段函數(shù)，可以通過“零點分區(qū)”的方法去掉絕對值號再把它化為分段函數(shù)題型5 導數(shù)的意義、運算以及簡單應用例8（2008高考江蘇8）直線是曲線的一條切線，則實數(shù) 分析：切線的斜率是，就可以確定切點的坐標，切點在切線上，就求出來的值解析：方法一，令得，即切點的橫坐標是，則縱坐標是，切線過點，所以方法二：設曲線上一點點坐標是，由知道過該點的曲線的切線的斜率是，故過該點的曲線的切線方程是，即，根據(jù)已知這條直線和直線重合，故答案：點評：本題考查導數(shù)幾何意義的應用，即曲線上一點處的導數(shù)值是曲線在該點的切線的斜率，解題的突破口是切點坐標，這也是解決曲線的切線問題時的一個重要思維策略在解

9、題中不少考生往往忽視“切點在切線上”這個簡單的事實，要引以為戒例9（中山市高三級20082009學年度第一學期期末統(tǒng)一考試理科第2題）已知物體 的運動方程為（是時間，是位移），則物體在時刻時的速度為 a b c d分析：對運動方程求導就是速度非常解析：，將代入即得答案d點評：本題考查導數(shù)概念的實際背景，考試大綱明確提出“了解導數(shù)概念的實際背景”，要注意這樣的考點例10（江蘇揚州市2008-2009學年度第一學期期未調(diào)研測試第14題）若函數(shù)滿足：對于任意的都有恒成立，則的 取值范圍是 分析：問題等價于函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值的差不大于，可以通過求函數(shù)在上的最值解決解析：問題等價于函數(shù)在的，函數(shù)

10、的極小值點是，若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故只要，即只要，即；若，此時，由于，故當時，此時只要即可，即，由于，故，故此時成立；當時，此時，故只要即可，此顯然故，即的取值范圍是點評：三次函數(shù)一直以來都是大綱區(qū)高考的一個主要考點，主要用這個函數(shù)考查考生對用導數(shù)研究函數(shù)性質、研究不等式等問題的理解和掌握程度，隨著課標的考試大綱對導數(shù)公式的強化，課標區(qū)高考的函數(shù)導數(shù)解答題已經(jīng)把函數(shù)的范圍拓寬到了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等（包括文科），但三次函數(shù)是高中階段可以用導數(shù)研究的最為透徹的函數(shù)之一，高考也不會忽視了這個函數(shù)!題型6 導數(shù)在研究函數(shù)、方程、不等式等問題中的綜合運用例11（安徽省錯誤！未找到引用源。

11、皖南八校2009屆高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學第22題）已知函數(shù)，（1）當時，判斷在定義域上的單調(diào)性；（2）若在上的最小值為，求的值；（3）若在上恒成立，求的取值范圍分析：（1）通過判斷導數(shù)的符號解決；（2）確立函數(shù)的極值點，根據(jù)極值點是不是在區(qū)間上確立是不是要進行分類討論和分類討論的標準；（3）由于參數(shù)是“孤立”的，可以分離參數(shù)后轉化為一個函數(shù)的單調(diào)性或最值等解決解析：（1）由題意：的定義域為，且，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)（2）由（1）可知： 若，則，即在上恒成立，此時在上為增函數(shù)，（舍去） 若，則，即在上恒成立，此時在上為減函數(shù)，（舍去） 若，令得，當時，在上為減函數(shù)，當時，在上為增函數(shù)， 綜上可知

12、：（3）又令，在上是減函數(shù)，即，在上也是減函數(shù)，令得，當在恒成立時，點評：本題前兩問是借助于導數(shù)和不等式這兩個工具研究函數(shù)的性質，地三問是借助于導數(shù)研究不等式，這是目前課標區(qū)高考中函數(shù)導數(shù)解答題的主要命題模式求一個函數(shù)在一個指定的閉區(qū)間上的最值的主要思考方向就是考慮這個函數(shù)的極值點是不是在這個區(qū)間內(nèi)，結合函數(shù)的單調(diào)性確立分類討論的標準本題第三問實際上是對函數(shù)兩次求導，也要注意這個方法例12（浙江寧波市2008學年度第一學期期末理科第22題）已知函數(shù)和點，過點作曲線的兩條切線、，切點分別為、（1）求證：為關于的方程的兩根；（2）設，求函數(shù)的表達式；（3）在（2）的條件下，若在區(qū)間內(nèi)總存在個實數(shù)（

13、可以相同），使得不等式成立，求的最大值分析：（1）寫出曲線上任意一點處的切線方程后，把點點坐標代入，就會得到一個僅僅含有參數(shù)的方程，而兩個切點的橫坐標都適合這個方程，則兩個切點的橫坐標必是一個以參數(shù)為系數(shù)的一個方程的兩個解；（2）根據(jù)第一的結果和兩點間距離公式解決；（3）根據(jù)第二問的結果探究解題方案解析：（1）由題意可知：， ， 切線的方程為：，又切線過點， 有，即， 同理，由切線也過點，得由、，可得是方程（ * ）的兩根（2）由（ * ）知 ， （3）易知在區(qū)間上為增函數(shù)， 則 即，即，所以，由于為正整數(shù)，所以又當時，存在，滿足條件，所以的最大值為 點評：本題第一問的解決方法具有一般的意義，

14、許多過一點作曲線的兩條切線、兩個切點的橫坐標之間的關系都可以得到這個結論，這對進一步解決問題往往是關鍵的一步本題第三問的解決方法用的是先估計、再確定的方法，也只得仔細體會例13(2009江蘇泰州期末20)已知，其中是自然常數(shù)，（1）討論時, 的單調(diào)性、極值；（2）求證：在（1）的條件下，；（3）是否存在實數(shù)，使的最小值是，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由分析：（1）求導后解決；（2）去絕對值后構造函數(shù)、利用函數(shù)的單調(diào)性解決，或是證明函數(shù)；（3）根據(jù)極值點是不是在區(qū)間確立分類討論的標準，分類解決解析：（1） 當時，此時為單調(diào)遞減，當時，此時為單調(diào)遞增，的極小值為 （2）的極小值，即在的最

15、小值為， 令又， 當時在上單調(diào)遞減 當時，（3）假設存在實數(shù)，使有最小值，當時，由于，則函數(shù)是上的增函數(shù)解得（舍去） 當時，則當時，此時是減函數(shù)當時，此時是增函數(shù)解得 點評：本題的第二問實際上可以加強為證明對任意的證明；第三問的解答方法具有一般的意義，即求函數(shù)在指定閉區(qū)間上的最值分類就是按照極值點是不是在這個區(qū)間上進行的題型7 函數(shù)的應用、生活中的優(yōu)化問題例14（2008高考江蘇卷17）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形的頂點 及的中點處，已知，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形的區(qū)域上（含邊界），且與等距離的一點處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道，設排污管道的總長為（1）按下列要求

16、建立函數(shù)關系式：設，將表示為的函數(shù)；設，將表示為的函數(shù)關（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關系，確定污水處理廠的位置，使鋪設的排污管道的總長度最短分析：（1）已經(jīng)指明了變量，只需按照有關知識解決即可；（2）根據(jù)建立的函數(shù)模型，選擇合理的模型和方法解決解析：（1）如圖，延長交于點，由條件知垂直平分，若，則，故 又，所以所求函數(shù)關系式為若，則，所以所求函數(shù)關系式為（2）選擇函數(shù)模型方法一：（使用導數(shù)的方法）令得 ， ，當時，是的減函數(shù)；當時，是的增函數(shù)所以函數(shù)在處取得極小值，這個極小值就是函數(shù)在的最小值，當時，因此，當污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到兩點的距離均為時，鋪設的排污管道的總長度最短方法二：（

17、傳統(tǒng)的方法），記 ，則，化為，其中，由正弦函數(shù)的有界性知，解得或，又當時，故，即的最小值為，當時，由此知可以取，此時，即當時，函數(shù)有最小值（下同方法一）方法三：（從幾何意義上考慮）同方法二，則可以看作是平面上的定點，與動點上連點的斜率，而動點是單位圓在第二象限的后半?yún)^(qū)的一段弧，設過點的直線方程為，由于圓心到直線的距離不大于圓的半徑，則(下面的分析類似解法一)選用函數(shù)模型：方法一：（導數(shù)的方法），令則，平方得，解得，由于，故，并且可以判斷這個是函數(shù)的最小值點，此時，下面對實際問題的解釋類似上面的解法方法二：（判別式的方法）將函數(shù)看作常數(shù)，移項，平方，整理得，由于是實數(shù)，故，即，解得，或，由于，舍

18、掉這個解，故函數(shù)的最小值是，當時，方程有兩個相等的實數(shù)根（下面對實際問題的解釋類似于上面的解法）點評：本題考查函數(shù)的概念、解三角形、導數(shù)等基本知識，考查數(shù)學建模能力、抽象概括能力和解決實際問題的能力命題者匠心獨具地把對同一個問題讓考生用不同的變量建立數(shù)學模型，而在接下來的第二問中又要求考生選用所建立的兩個函數(shù)模型中的一個來解決優(yōu)化問題，這就要求考生有對數(shù)學模型較高的鑒賞能力，選用的模型不同，其簡繁程度就不同，使考生在比較鑒別中體會數(shù)學的美學價值，是一道值得稱道的優(yōu)秀試題題型8 定積分（理科）例15（安徽省錯誤！未找到引用源。皖南八校2009屆高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學第5題）若，則實數(shù)等于a b

19、cd分析：根據(jù)微積分基本定理計算定積分，利用方程解決解析： 答案a點評：根據(jù)微積分基本定理計算定積分的關鍵是找到一個函數(shù)，使這個函數(shù)的導數(shù)等于被積函數(shù)，同時要合理地利用定積分的性質和函數(shù)的性質簡化計算例16（廣東潮州市20082009學年度第一學期高三級期末質量檢測理科第13題）兩曲線所圍成的圖形的面積是_分析：根據(jù)函數(shù)圖象把所求的面積表示為函數(shù)的定積分，根據(jù)微積分基本定理求出這個定積分即可解析：由，解得，或，即兩曲線的交點和，所求圖形的面積為答案點評：定積分的簡單應用主要就是求曲邊形的面積，注意根據(jù)函數(shù)圖象準確地地用定積分表示這個面積【專題訓練與高考預測】一、選擇題1已知函數(shù)滿足對任意，都有

20、成立，則的取值范圍是（ ）abcd2定義在上的函數(shù)的圖象關于點成中心對稱，對任意的實數(shù)都有，且，則的值為（ ）abc0d13已知函數(shù)；其中對于定義域內(nèi)的任意一個自變量都存在唯一個自變量，使成立的函數(shù)是（ ）abcd4設，函數(shù)的導函數(shù)是，且是奇函數(shù) 若曲線的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標為（ ）a b c d 5已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）a b cd6一質點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過稱后的位移為，那么速度為零的時刻是（ ）a秒b秒末c秒末d秒末和秒末二、填空題7已知函數(shù)，則關于的不等式的解集是 8已知函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為_9（文科）有下列命題：函數(shù)的

21、圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為；函數(shù)的圖象關于點對稱；關于的方程有且僅有一個實數(shù)根，則實數(shù)；已知命題：對任意的，都有，則：存在，使得其中所有真命題的序號是 9（理科）（1） 【解析】 這個面積是三 解答題10已知函數(shù)，其中為實數(shù) （1）若時，求曲線在點處的切線方程； （2）當時，若關于的不等式恒成立，試求的取值范圍11已知， （1）若在處取得極值，試求的值和的單調(diào)增區(qū)間； （2）如右圖所示，若函數(shù)的圖象在連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在使得？（用含有的表達式直接回答） （3）利用（2）證明：函數(shù)圖象上任意兩點的連線斜率不小于 12已知函數(shù) （1）若函數(shù)與的圖象在公共點p處有相同的

22、切線，求實數(shù)的值并求點p的坐標； （2）若函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點m、n，求的取值范圍； （3）在（2）的條件下，過線段的中點作軸的垂線分別與的圖像和的圖像交點，以為切點作的切線，以為切點作的切線是否存在實數(shù)使得，如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由【參考答案】1解析：a 條件等價于函數(shù)單調(diào)遞減2解析：d 由，得，因此，是周期函數(shù)，并且周期是函數(shù)的圖象關于點成中心對稱, 因此，=-，所以，3解析：a 是周期函數(shù)不唯一，排除；式當=1時，不存在使得成立，排除；答案：a4解析：d ，由于是奇函數(shù)，故對任意恒成立，由此得，由得，即，解得，故，故切點的橫坐標是5解析：d ，因為在上為減函數(shù)，

23、故在上恒成立，即在上恒成立，等價于在上的最大值設，故，選答案d6解析：d ，即，令，解得或，選答案d7解析： 是奇函數(shù)，又，在 單調(diào)遞增，故定義在上的且是增函數(shù)由已知得即故 即不等式的解集是8解析： 對一切恒成立，令，則當時，函數(shù)取最大值，故，即9（文科）解析： 函數(shù)，相鄰兩個對稱中心的距離為，錯誤；函數(shù)圖象的對稱中心應為，錯誤；正確；正確9（理科）解析： （2）直線與拋物線所圍成圖形的面積為 10解析：（1）當時，從而得，故曲線在點處的切線方程為，即（2）由，得，令則令則，即在上單調(diào)遞增所以，因此，故在單調(diào)遞增則，因此的取值范圍是11解析：（1）， 依題意，有，即 ， 令得或， 從而的單調(diào)增

24、區(qū)間為和（2） （3）， 由（2）知，對于函數(shù)圖象上任意兩點，在之間一定存在一點,使得，又，故有，證畢 12解析：（1）設函數(shù)與的圖象的公共點，則有 又在點p有共同的切線代入得設所以函數(shù)最多只有個零點，觀察得是零點，此時（2）方法1 由令當時，則單調(diào)遞增當時，則單調(diào)遞減，且所以在處取到最大值，所以要使與有兩個不同的交點，則有方法2 根據(jù)（1）知當時，兩曲線切于點，此時變化的的對稱軸是，而是固定不動的，如果繼續(xù)讓對稱軸向右移動即，兩曲線有兩個不同的交點，當時，開口向下，只有一個交點，顯然不合，所以（3）不妨設，且，則中點的坐標為以為切點的切線的斜率以為切點的切線的斜率如果存在使得，即 而且有和， 如果將的兩邊同乘得 ， ，即設，則有，令