2021屆山東高考數(shù)學(xué)教學(xué)案：第6章 第1講 不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)及一元二次不等式含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021屆山東高考數(shù)學(xué)一輪創(chuàng)新教學(xué)案：第6章 第1講 不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)及一元二次不等式含解析第六章不等式第1講不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)及一元二次不等式考綱解讀1.不等式性質(zhì)是進(jìn)行變形、證明、解不等式的依據(jù)，掌握不等式關(guān)系與性質(zhì)及比較大小的常用方法：作差法與作商法(重點(diǎn)）2能從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式模型，通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)，一元二次方程之間的聯(lián)系,能解一元二次不等式（重點(diǎn)、難點(diǎn)）考向預(yù)測從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，但一般不會單獨(dú)命題預(yù)測2021年將會考查：利用不等式的性質(zhì)判斷結(jié)論的成立性，求參數(shù)的取值范圍；一

2、元二次不等式的解法,對含參數(shù)的二次不等式的分類討論等命題時(shí)常將不等式與函數(shù)的單調(diào)性相結(jié)合試題一般以客觀題的形式呈現(xiàn)，屬中、低檔題型。1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)（1)ab0ab.(2)ab0ab。(3)ab0ab.2不等式的基本性質(zhì)(1）對稱性：abba.（2）傳遞性：ab，bcac。(3)可加性：abacbc.（4）可乘性：ab，c0acbc;ab,c0acbc.(5）加法法則：ab，cdacbd。（6)乘法法則：ab0，cd0acbd.（7)乘方法則：ab0anbn（nn，n1）（8）開方法則：ab0（nn，n2)3必記結(jié)論（1）ab，ab0。（2)a0bb0，0cd.(4）0axb或axb

3、0b0，m0，則(bm0）;；（bm0)4一元二次函數(shù)的三種形式（1)一般式：yax2bxc(a0)（2)頂點(diǎn)式:ya2（a0)（3）兩根式:ya(xx1)(xx2)（a0)5三個(gè)二次之間的關(guān)系判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0（a0）的根有兩相異實(shí)根x1,x2(x1x2）有兩相等實(shí)根x1x2沒有實(shí)數(shù)根ax2bxc0（a0)的解集（,x1）（x2，)rax2bxc0(a0)的解集（x1，x2）1概念辨析（1)abac2bc2.（)（2）若不等式ax2bxc0的解集是(,x1）(x2，），則方程ax2bxc0的兩個(gè)根是x1和x2.()(3）若方程

4、ax2bxc0(a0）沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2bxc0的解集為r。（）(4）不等式ax2bxc0在r上恒成立的條件是a0且b24ac0。（)答案（1）(2）(3）（4）2小題熱身(1)設(shè)集合mxx23x40，nx|0x5,則mn等于()a(0,4 b0,4）c1，0） d(1，0答案b解析因?yàn)閙x1x4，nx0x5，所以mn0,4）(2)已知a，b，c滿足cba，且acac bc(ba)0ccb2ab2 dac（ac）0答案a解析因?yàn)閏ba,且ac0，據(jù)此判斷a成立，b，d不成立，c不一定成立（3)設(shè)m2a(a2）,n（a1)(a3)，則有（）am n bm n cmn.(4)已知函數(shù)f(x

5、）ax2ax1，若對任意實(shí)數(shù)x,恒有f（x）0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案4,0解析當(dāng)a0時(shí)，f(x）10成立，當(dāng)a0時(shí),若對xr,f（x)0，須有解得4a0。綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是4,0題型 一不等式性質(zhì)的應(yīng)用1(2020遼寧省鞍山一中高三上學(xué)期期末)已知條件甲:a0，條件乙：ab且，則甲是乙的（）a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件答案b解析由a0不能推出ab且,故甲不是乙的充分條件若ab且，即ab且0，則ab0，所以a0，b0。所以由ab且能推出a0.故甲是乙的必要條件所以甲是乙的必要不充分條件2已知等比數(shù)列an中，a10，q0,前n項(xiàng)和為sn,則與的

6、大小關(guān)系為_答案解析當(dāng)q1時(shí)，3，5，所以0且q1時(shí),0，所以.綜上可知.3已知二次函數(shù)yf(x)的圖象過原點(diǎn),且1f（1)2，3f(1）4,求f（2）的取值范圍解由題意知f（x）ax2bx，則f(2）4a2b，由f（1)ab，f(1）ab，設(shè)存在實(shí)數(shù)m,n,使得4a2bm(ab）n(ab），即4a2b（mn)a(mn）b，所以解得所以f（2)4a2b（ab）3(ab)又3ab4,33（ab)6，所以6（ab)3（ab)10，即f(2)的取值范圍是6,101。判斷不等式是否成立的方法（1)判斷不等式是否成立,需要逐一給出推理判斷或反例說明（2)在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題的真假時(shí)，可結(jié)合不等式的

7、性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷2.比較兩個(gè)數(shù)（式)大小的兩種方法3.求代數(shù)式的取值范圍利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時(shí)，一般是利用整體思想,通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍,是避免錯(cuò)誤的有效途徑如舉例說明3.1.若0；ab；ln a2ln b2。其中正確的不等式是(）a. b c d答案c解析因?yàn)?，所以ba0，|b|a|，所以|ab0，ln a2ln b2，由ab,可推出ab，顯然有00，且a7，則（)a.77aa7aa7b。77aa7aa7c.77aa7aa7d。77aa與7aa7的大小不確定答案c解析顯然77aa0,7aa70，因?yàn)?a7a7a。當(dāng)a7時(shí),01，7a

8、1，當(dāng)0a7時(shí),1，7a0,7a1。綜上知77aa7aa7.3.若13，42，則|的取值范圍是_答案(3,3）解析42，0|4，4|0.3|3.題型 二不等式的解法1.(2019黃岡模擬)關(guān)于x的不等式axb0的解集是(1，),則關(guān)于x的不等式（axb)(x2）0的解集是（1，),所以a0，且1,所以關(guān)于x的不等式(axb）（x2）0可化為(x2)0，即(x1）（x2)0，所以不等式的解集為x1x2。2.解關(guān)于x的不等式ax222xax(ar）解本題采用分類討論思想原不等式可化為ax2(a2)x20。當(dāng)a0時(shí),原不等式化為x10，解得x1.當(dāng)a0時(shí)，原不等式化為(x1）0，解得x或x1.當(dāng)a0

9、時(shí)，原不等式化為（x1）0.當(dāng)1，即a2時(shí)，解得1x；當(dāng)1，即a2時(shí)，解得x1滿足題意;當(dāng)1，即2a0，解得x1.綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為x|x1；當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)2a0（0）；（2)0(0）3。解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟1。（2019江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體聯(lián)考）已知命題p:a，命題q:bx|xa0若命題p是命題q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(）a。(2，） b2，）c。（，1) d（，1答案d解析由0，得0，解得x1或x2，axx1或x2又bx|xa0xx0，f(x)0可化為(x1）0，當(dāng)1,即a1時(shí),解集為;當(dāng)1,即0a1時(shí)，解集為.題型 三二次不等式

10、中的任意性與存在性角度1任意性與存在性1。已知函數(shù)f(x)x2x1。(1)若f(x)0,在r上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2）若x1，2，f（x)2成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解（1)由題意得f（x）x2x10在r上恒成立，40，解得4a4,實(shí)數(shù)a的取值范圍為4，4(2）由題意得x1,2,x2x12成立，x1，2，x成立令g(x）x，x1，2,則g(x）在區(qū)間1，2上單調(diào)遞增，g（x)maxg(2),解得a3,實(shí)數(shù)a的取值范圍為（，3.角度2給定區(qū)間上的任意性問題2.已知函數(shù)f（x）x2mx1,若對于任意xm,m1，都有f（x）0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案解析要滿足f(x)x2mx10對于

11、任意xm，m1恒成立,只需即解得m0.3。設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1。若對于x1，3,f（x）m5恒成立，求m的取值范圍解要使f（x)m5在x1，3上恒成立，即m2m60在x1，3上恒成立有以下兩種方法：解法一：令g（x）m2m6，x1，3當(dāng)m0時(shí)，g（x)在1，3上是增函數(shù)，所以g(x）maxg(3)，即7m60，所以m，所以0m；當(dāng)m0時(shí)，60恒成立;當(dāng)m0時(shí),g（x）在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg（1),即m60，所以m0,又因?yàn)閙（x2x1）6b，且ln aln b0，則（)a。 ba2ab dlg alg b0答案c解析由已知得ab1或0ba1，因此必有,a2b2,所以a，

12、b錯(cuò)誤；又ab1或00或lg (ab)0，所以d錯(cuò)誤；而ab1（ab）(a1)(b1)0，即ab1ab，所以c正確。3.若角，滿足，則的取值范圍是（)a. b。c。 d.答案b解析,，.又，0，從而0,所以a2b2ab2(ab）20，所以a2b2,所以ab.5。(2020廣東清遠(yuǎn)一中月考)關(guān)于x的不等式axb0的解集是(1,），則關(guān)于x的不等式（axb)（x3）0的解集是()a。（，1）（3，）b。（1,3)c.(1,3）d。（,1）(3，)答案c解析關(guān)于x的不等式axb0的解集是(1,)，即不等式axb的解集是(1,），ab0，不等式（axb）(x3)0可化為（x1）（x3)0，解得1x3，

13、所求解集是(1,3）故選c。6.設(shè)函數(shù)f(x)則不等式f（x)f(1）的解集是（)a.(3，1)（3,) b(3,1)（2，）c。（1，1）(3，） d(，3)(1，3）答案a解析由題意知f（1)3,故原不等式可化為或解得3x0的解集為（1,3)，那么不等式f（2x)0的解集為（）a.b.c。d。答案a解析由f(x)（ax1）（xb）0的解集是（1,3），則a0，故有1，b3，即a1,b3，f(x)x22x3,f(2x)4x24x3,由4x24x30，解得x或x0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(3,)解析對任意x1，)，f（x）0恒成立等價(jià)于x22xa0，即a(x1)21在1,）上恒成立，

14、令g（x）（x1)21，則g（x）在1,）上單調(diào)遞減，所以g(x）maxg(1)3，所以a3。9.若存在x2,3,使不等式2xx2a成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案（，1解析設(shè)f(x）2xx2，則當(dāng)x2,3時(shí),f（x）(x1）218,1，因?yàn)榇嬖趚2,3,使不等式2xx2a成立，所以af（x)max，所以a1。10.設(shè)不等式mx22xm10對于滿足|m2的一切m的值都成立，則x的取值范圍是_答案解析記f(m）mx22xm1（x21)m12x（m|2）,則f（m），命題q：xr，ax2ax10，則p成立是q成立的(）a.充分不必要條件b。必要不充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件答案a解析求解不等式可得0a4，對于命題q，當(dāng)a0時(shí)，命題明顯成立；當(dāng)a0時(shí)，有解得0a4，即命題q為真時(shí)0a4，故p成立是q成立的充分不必要條件。2.若不等式x2（a1）xa0的解集是4,3的子集,則a的取值范圍是(）a。4,1 b4,3c。1,3 d1,3答案b解析原不等式為（xa)(x1)0，當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為a，1,此時(shí)只要a4即可,即4a0等價(jià)于解得0x0，所以解得1x100，所以解集為(1，100)。5.不等式x28y2