非線性控制系統(tǒng)分析

1、機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)1 2021-7-2 機(jī)械與電子工程學(xué)院機(jī)械與電子工程學(xué)院 西北農(nóng)林科技大學(xué)西北農(nóng)林科技大學(xué) 楊兵力楊兵力 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)2 2021-7-2 第七章 非線性控制系統(tǒng)分析 7.1引言引言 7.2 相平面法相平面法 7.3 描述函數(shù)法描述函數(shù)法 小小 結(jié)結(jié) 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)3 2021-7-2 7.1 引言引言 在構(gòu)成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)中有一個或一個以上的非線性特性時, 即 稱此系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。用線性方程組來描述系統(tǒng), 只不過是在 一定的范圍內(nèi)和一定的近似程度上對系

2、統(tǒng)的性質(zhì)所作的一種理 想化的抽象。用線性方法研究控制系統(tǒng), 所得的結(jié)論往往是近似 的, 當(dāng)控制系統(tǒng)中非線性因素較強(qiáng)時(稱為本質(zhì)非線性), 用線性 方法得到的結(jié)論, 必然誤差很大, 甚至完全錯誤。非線性對象的 運(yùn)動規(guī)律要用非線性代數(shù)方程和(或)非線性微分方程描述, 而不 能用線性方程組描述。一般地, 非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以表示 為 r dt dr dt rd tgy dt dy dt yd tf m m n n ,(7.1) 其中, f()和g()為非線性函數(shù)。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)4 2021-7-2 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系

3、統(tǒng)5 2021-7-2 圖 7-1 典型非線性特性 a 0 a a a0 yy xx (a) y a 0 a x (c) (b) a ma y M maa M x (d) 0 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)6 2021-7-2 1. 死區(qū)特性死區(qū)特性 死區(qū)又稱不靈敏區(qū), 通常以閾值、分辨率等指標(biāo)衡量。 死 區(qū)特性如圖7 -1(a)所示。常見于測量、放大元件中, 一般的機(jī) 械系統(tǒng)、 電機(jī)等, 都不同程度地存在死區(qū)。其特點(diǎn)是當(dāng)輸入信 號在零值附近的某一小范圍之內(nèi)時, 沒有輸出。只有當(dāng)輸入信 號大于此范圍時, 才有輸出。 執(zhí)行機(jī)構(gòu)中的靜摩擦影響也可以 用死區(qū)特性表示?？刂葡?/p>

4、統(tǒng)中存在死區(qū)特性, 將導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生 穩(wěn)態(tài)誤差, 其中測量元件的死區(qū)特性尤為明顯。摩擦死區(qū)特性 可能造成系統(tǒng)的低速不均勻, 甚至使隨動系統(tǒng)不能準(zhǔn)確跟蹤目 標(biāo)。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)7 2021-7-2 2. 飽和特性飽和特性 飽和也是一種常見的非線性, 在鐵磁元件及各種放大器中 都存在, 其特點(diǎn)是當(dāng)輸入信號超過某一范圍后, 輸出信號不再 隨輸入信號變化而保持某一常值(參見圖7-1(b)。飽和特性將 使系統(tǒng)在大信號作用之下的等效增益降低, 深度飽和情況下, 甚至使系統(tǒng)喪失閉環(huán)控制作用。還有些系統(tǒng)中有意地利用飽 和特性作信號限幅, 限制某些物理參量, 保證系統(tǒng)安全

5、合理地 工作。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)8 2021-7-2 3. 間隙特性間隙特性 間隙又稱回環(huán)。傳動機(jī)構(gòu)的間隙是一種常見的回環(huán)非線 性特性(參見圖7-1(c)。在齒輪傳動中, 由于間隙存在, 當(dāng)主動 齒輪方向改變時, 從動輪保持原位不動, 直到間隙消除后才改 變轉(zhuǎn)動方向。鐵磁元件中的磁滯現(xiàn)象也是一種回環(huán)特性。 間 隙特性對系統(tǒng)影響較為復(fù)雜, 一般來說, 它將使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差 增大，頻率響應(yīng)的相位遲后也增大, 從而使系統(tǒng)動態(tài)性能惡 化。 采用雙片彈性齒輪(無隙齒輪)可消除間隙對系統(tǒng)的不利 影響。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)9 202

6、1-7-2 4. 繼電器特性繼電器特性 由于繼電器吸合電壓與釋放電壓不等, 使其特性中包含了 死區(qū)、回環(huán)及飽和特性(參見圖7-1(d)。當(dāng)a0時的特性稱為 理想繼電器特性。繼電器的切換特性使用得當(dāng)可改善系統(tǒng)的性 能。 如從非線性環(huán)節(jié)的輸出與輸入之間存在的函數(shù)關(guān)系劃分, 非線性特性又可分為單值函數(shù)非線性與多值函數(shù)非線性兩類。 例如死區(qū)特性、飽和特性及理想繼電器特性都屬于輸出與輸入 間為單值函數(shù)關(guān)系的非線性特性。 間隙特性和繼電器特性則 屬于輸出與輸入之間為多值函數(shù)關(guān)系的非線性特性。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)10 2021-7-2 7.1.2 非線性系統(tǒng)的特征非線性

7、系統(tǒng)的特征 1. 穩(wěn)定性分析復(fù)雜穩(wěn)定性分析復(fù)雜 按照平衡狀態(tài)的定義, 在無外作用且系統(tǒng)輸出的各階導(dǎo)數(shù) 等于零時, 系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。 顯然, 對于線性系統(tǒng)只有一個 平衡狀態(tài)c0, 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性即為該平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性, 而 且取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù), 與外作用和初始條件無關(guān)。 而非線性系統(tǒng)可能存在多個平衡狀態(tài), 各平衡狀態(tài)可能是穩(wěn)定 的也可能是不穩(wěn)定的。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) 和參數(shù)有關(guān), 也與初始條件以及系統(tǒng)的輸入信號的類型和幅值 有關(guān)。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)11 2021-7-2 2. 可能存在自持振蕩現(xiàn)象可能存在自持振蕩現(xiàn)象 所謂自持

8、振蕩是指沒有外界周期變化信號的作用時, 系統(tǒng)內(nèi) 部產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運(yùn)動。線性系統(tǒng)的運(yùn) 動狀態(tài)只有收斂和發(fā)散, 只有在臨界穩(wěn)定的情況下才能產(chǎn)生周期 運(yùn)動, 但由于環(huán)境或裝置老化等不可避免的因素存在, 使這種臨 界振蕩只可能是暫時的。而非線性系統(tǒng)則不同, 即使無外加信號, 系統(tǒng)也可能產(chǎn)生一定幅度和頻率的持續(xù)性振蕩, 這是非線性系統(tǒng) 所特有的。 必須指出, 長時間大幅度的振蕩會造成機(jī)械磨損, 增加控制 誤差, 因此許多情況下不希望自持振蕩發(fā)生。 但在控制中通過引 入高頻小幅度的顫振, 可克服間歇、死區(qū)等非線性因素的不良影 響。而在振動試驗(yàn)中, 還必須使系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)定的周期運(yùn)動。 因此

9、 研究自持振蕩的產(chǎn)生條件與抑制, 確定其頻率與幅度, 是非線性 系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)12 2021-7-2 3. 頻率響應(yīng)發(fā)生畸變頻率響應(yīng)發(fā)生畸變 穩(wěn)定的線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng), 即正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸 出量是與輸入同頻率的正弦信號, 其幅值A(chǔ)和相位為輸入正 弦信號頻率的函數(shù)。而非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與 輸入同頻率的正弦信號分量(基波分量)外, 還含有關(guān)于的高 次諧波分量, 使輸出波形發(fā)生非線性畸變。若系統(tǒng)含有多值非 線性環(huán)節(jié), 輸出的各次諧波分量的幅值還可能發(fā)生躍變。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)13

10、2021-7-2 7.1.3 非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法 系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的目的是通過求取系統(tǒng)的運(yùn)動形式, 以解 決穩(wěn)定性問題為中心, 對系統(tǒng)實(shí)施有效的控制。由于非線性系 統(tǒng)形式多樣, 受數(shù)學(xué)工具限制, 一般情況下難以求得非線性方 程的解析解, 只能采用工程上適用的近似方法。在實(shí)際工程問 題中, 如果不需精確求解輸出函數(shù), 往往把分析的重點(diǎn)放在以 下三個方面: 某一平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定, 如果不穩(wěn)定應(yīng)如何校正; 系 統(tǒng)中是否會產(chǎn)生自持振蕩, 如何確定其周期和振幅; 如何利用 或消除自持振蕩以獲得需要的性能指標(biāo)。比較基本的非線性 系統(tǒng)的研究方法有如下幾種: 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件

11、 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)14 2021-7-2 1. 小范圍線性近似法小范圍線性近似法 這是一種在平衡點(diǎn)的近似線性化方法, 通過在平衡點(diǎn)附近 泰勒展開, 可將一個非線性微分方程化為線性微分方程, 然后 按線性系統(tǒng)的理論進(jìn)行處理。該方法局限于小區(qū)域研究。 2. 逐段線性近似法逐段線性近似法 將非線性系統(tǒng)近似為幾個線性區(qū)域, 每個區(qū)域用相應(yīng)的線 性微分方程描述, 將各段的解合在一起即可得到系統(tǒng)的全解。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)15 2021-7-2 3. 相平面法相平面法 相平面法是非線性系統(tǒng)的圖解法, 由于平面在幾何上是二 維的, 因此只適用于階數(shù)最高

12、為二階的系統(tǒng)。 4. 描述函數(shù)法描述函數(shù)法 描述函數(shù)法是非線性系統(tǒng)的頻域法, 適用于具有低通濾波 特性的各種階次的非線性系統(tǒng)。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)16 2021-7-2 5. 李雅普諾夫法李雅普諾夫法 李雅普諾夫法是根據(jù)廣義能量概念確定非線性系統(tǒng)穩(wěn)定 性的方法, 原則上適用于所有非線性系統(tǒng), 但對于很多系統(tǒng), 尋 找李雅普諾夫函數(shù)相當(dāng)困難。 6. 計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算機(jī)仿真 利用計(jì)算機(jī)模擬, 可以滿意地解決實(shí)際工程中相當(dāng)多的非 線性系統(tǒng)問題。這是研究非線性系統(tǒng)的一種非常有效的方法, 但它只能給出數(shù)值解, 無法得到解析解, 因此缺乏對一般非線 性系統(tǒng)的指導(dǎo)意義。

13、機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)17 2021-7-2 7.2 相平面法相平面法 7.2.1 線性系統(tǒng)相軌跡線性系統(tǒng)相軌跡 7.2.2 相軌跡的繪制相軌跡的繪制 7.2.3 由相平面圖求時間解由相平面圖求時間解 7.2.4 非線性系統(tǒng)的相平面分析非線性系統(tǒng)的相平面分析 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)18 2021-7-2 一、相平面的基本概念一、相平面的基本概念 相平面法是狀態(tài)空間法在二維空間特殊情況下的應(yīng)用。它相平面法是狀態(tài)空間法在二維空間特殊情況下的應(yīng)用。它 是一種通過圖解法求解一階或二階線性或非線性系統(tǒng)的準(zhǔn)確方是一種通過圖解法求解一階或二

14、階線性或非線性系統(tǒng)的準(zhǔn)確方 法。它可以給出某一平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的信息和系統(tǒng)運(yùn)動的直觀法。它可以給出某一平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的信息和系統(tǒng)運(yùn)動的直觀 圖像。所以圖像。所以, 它屬于時間域的分析方法。它屬于時間域的分析方法。 相平面、相軌跡和相平面圖相平面、相軌跡和相平面圖 對于二階時不變系統(tǒng)，可用以下常微分方程來描述： ( , )0 xf x x（7-6） 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)19 2021-7-2 設(shè)設(shè): 1 2 xx xx 則可推得則可推得:12 212 (,) xxx xxf xx 我們定義我們定義 1 2 ( ) x X t x 為狀態(tài)變量。為狀態(tài)變量。 1.相

15、平面：我們將相平面：我們將( , )x x 構(gòu)成的直角平面叫做相平面。構(gòu)成的直角平面叫做相平面。 x x 0 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)20 2021-7-2 2. 相軌跡：在相平面上表示系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的點(diǎn)相軌跡：在相平面上表示系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的點(diǎn) 隨時間隨時間 移動所形成的軌跡。移動所形成的軌跡。 ( ,)x x 3. 相平面圖：以各種可能的初始條件為起點(diǎn)，所得到的相平面圖：以各種可能的初始條件為起點(diǎn)，所得到的 相軌跡族，叫相平面圖。相軌跡族，叫相平面圖。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)21 2021-7-2 2 0 n xx 例如，設(shè)描述二

16、階系統(tǒng)的微分方程為：例如，設(shè)描述二階系統(tǒng)的微分方程為： 將其寫成通過將其寫成通過( ,)x x 表示的相軌跡方程為表示的相軌跡方程為 2 22 2 n x xA 其中其中A為由初始條件決定的常為由初始條件決定的常 數(shù)。由相軌跡過程求得相應(yīng)的數(shù)。由相軌跡過程求得相應(yīng)的 相平面圖為一族橢圓。相平面圖為一族橢圓。 x (1,0) x0 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)22 2021-7-2 二階線性系統(tǒng)及其狀態(tài)圖和相平面圖二階線性系統(tǒng)及其狀態(tài)圖和相平面圖 K e 1 1 Tss 1r c (a) e t0 (b) t e 0 (c) e (d) 0 1 e 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課

17、件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)23 2021-7-2 1. 相軌跡的斜率相軌跡的斜率 ( , )dxxf x x dxxx 二、相軌跡和相平面的性質(zhì)二、相軌跡和相平面的性質(zhì) 只要不同時滿足只要不同時滿足 ，則斜率，則斜率 是唯一確是唯一確 定的，從而通過該點(diǎn)只要一條相軌跡定的，從而通過該點(diǎn)只要一條相軌跡 00 xx和 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)24 2021-7-2 2. 相軌跡的奇點(diǎn)相軌跡的奇點(diǎn) ( , )0 0 dxxf x x dxxx ，則斜率，則斜率 是不確定值的，從而通過是不確定值的，從而通過 該點(diǎn)不至一條相軌跡。此時，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，故為系

18、該點(diǎn)不至一條相軌跡。此時，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，故為系 統(tǒng)的平衡狀態(tài)點(diǎn)，也叫相平面的奇點(diǎn)。統(tǒng)的平衡狀態(tài)點(diǎn)，也叫相平面的奇點(diǎn)。 00 xx和 相軌跡的奇線相軌跡的奇線 當(dāng)非線性系統(tǒng)存在多個奇點(diǎn)時，將相平面劃分為具當(dāng)非線性系統(tǒng)存在多個奇點(diǎn)時，將相平面劃分為具 有不同運(yùn)動特點(diǎn)的多個區(qū)域的特殊相軌跡叫奇線。有不同運(yùn)動特點(diǎn)的多個區(qū)域的特殊相軌跡叫奇線。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)25 2021-7-2 4. 相軌跡的運(yùn)動方向相軌跡的運(yùn)動方向 0 x 上半平面，上半平面， ，為，為x增大方向，運(yùn)動方向從左向右。增大方向，運(yùn)動方向從左向右。 0 x 下半平面，下半平面， ，為，為x

19、減小方向，運(yùn)動方向從右向左。減小方向，運(yùn)動方向從右向左。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)26 2021-7-2 7.2.1 線性系統(tǒng)相軌跡線性系統(tǒng)相軌跡 對于二階系統(tǒng)來說對于二階系統(tǒng)來說, 系統(tǒng)不再發(fā)生運(yùn)動系統(tǒng)不再發(fā)生運(yùn)動, 處于平衡狀態(tài)處于平衡狀態(tài), 故奇故奇 點(diǎn)亦稱為平衡點(diǎn)。首先研究線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)。點(diǎn)亦稱為平衡點(diǎn)。首先研究線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)。 二階線性系統(tǒng)的二階線性系統(tǒng)的 系統(tǒng)方程為系統(tǒng)方程為 . . 02 2 xxx 即 02 2 xx dx xd x 則 x xx dx xd 2 2 1.奇點(diǎn)和奇點(diǎn)的類型奇點(diǎn)和奇點(diǎn)的類型 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性

20、系統(tǒng)非線性系統(tǒng)27 2021-7-2 二階線性系統(tǒng)的不同奇點(diǎn) 0 j s j 0s 穩(wěn)定焦點(diǎn) x 0 x x x 不穩(wěn)定焦點(diǎn) 0 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)28 2021-7-2 0 j s j s 穩(wěn)定節(jié)點(diǎn) 不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn) x x x x 0 0 二階線性系統(tǒng)的不同奇點(diǎn) 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)29 2021-7-2 二階線性系統(tǒng)的不同奇點(diǎn) 中心點(diǎn) j s x j s 0 0 鞍點(diǎn) x x x 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)30 2021-7-2 當(dāng)阻尼比當(dāng)阻尼比01時時, 系統(tǒng)有一對負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根系統(tǒng)有一

21、對負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根, 系統(tǒng)系統(tǒng) 穩(wěn)定穩(wěn)定, 其相軌跡呈螺旋線型其相軌跡呈螺旋線型, 軌跡簇收斂于奇點(diǎn)軌跡簇收斂于奇點(diǎn), 這種奇點(diǎn)稱為這種奇點(diǎn)稱為 穩(wěn)定焦點(diǎn)。穩(wěn)定焦點(diǎn)。 當(dāng)阻尼比當(dāng)阻尼比10時時, 系統(tǒng)有一對正實(shí)部的共軛復(fù)根系統(tǒng)有一對正實(shí)部的共軛復(fù)根, 系系 統(tǒng)不穩(wěn)定統(tǒng)不穩(wěn)定, 其相軌跡也呈螺旋線型其相軌跡也呈螺旋線型, 但軌跡簇發(fā)散至無窮但軌跡簇發(fā)散至無窮, 這種這種 奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。 當(dāng)阻尼比當(dāng)阻尼比1時時, 系統(tǒng)有兩個負(fù)實(shí)根系統(tǒng)有兩個負(fù)實(shí)根, 系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定, 相平面內(nèi)相平面內(nèi) 的相軌跡簇?zé)o振蕩地收斂于奇點(diǎn)的相軌跡簇?zé)o振蕩地收斂于奇點(diǎn), 這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。這種

22、奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。 當(dāng)阻尼比當(dāng)阻尼比1時時, 系統(tǒng)有兩個正實(shí)根系統(tǒng)有兩個正實(shí)根, 系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定, 相平相平 面內(nèi)的相軌跡簇直接從奇點(diǎn)發(fā)散出來面內(nèi)的相軌跡簇直接從奇點(diǎn)發(fā)散出來, 這種奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定節(jié)這種奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定節(jié) 點(diǎn)。點(diǎn)。 當(dāng)阻尼比當(dāng)阻尼比0時時, 系統(tǒng)有一對共軛虛根系統(tǒng)有一對共軛虛根, 系統(tǒng)等幅振蕩系統(tǒng)等幅振蕩, 其相其相 軌跡為一簇圍繞奇點(diǎn)的封閉曲線軌跡為一簇圍繞奇點(diǎn)的封閉曲線, 這種奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)這種奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)31 2021-7-2 如果二階線性系統(tǒng)的 項(xiàng)和x項(xiàng)異號, 即 x 2 20 xxx 則系統(tǒng)有一個正實(shí)根

23、, 有一個負(fù)實(shí)根, 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的, 其相軌跡 呈鞍形, 中心是奇點(diǎn), 這種奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。 小結(jié)：系統(tǒng)的特征根的性質(zhì)決定了奇點(diǎn)的性質(zhì)。小結(jié)：系統(tǒng)的特征根的性質(zhì)決定了奇點(diǎn)的性質(zhì)。 系統(tǒng)的奇點(diǎn)有焦點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)、中心點(diǎn)和鞍點(diǎn)四種類型。系統(tǒng)的奇點(diǎn)有焦點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)、中心點(diǎn)和鞍點(diǎn)四種類型。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)32 2021-7-2 綜上所述綜上所述, 對應(yīng)不同的阻尼比對應(yīng)不同的阻尼比, 系統(tǒng)的兩個特征根在復(fù)平系統(tǒng)的兩個特征根在復(fù)平 面上的分布也不同面上的分布也不同, 系統(tǒng)的運(yùn)動以及相平面圖也不同系統(tǒng)的運(yùn)動以及相平面圖也不同, 換言之換言之, 特征根在復(fù)平面的位置決定了奇點(diǎn)的性

24、質(zhì)。二階線性系統(tǒng)的特征根在復(fù)平面的位置決定了奇點(diǎn)的性質(zhì)。二階線性系統(tǒng)的 相軌跡和奇點(diǎn)的性質(zhì)相軌跡和奇點(diǎn)的性質(zhì), 由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參量決定由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參量決定, 而與初而與初 始狀態(tài)無關(guān)。始狀態(tài)無關(guān)。 不同的初始狀態(tài)只能在相平面上形成一組幾何不同的初始狀態(tài)只能在相平面上形成一組幾何 形狀相似的相軌跡形狀相似的相軌跡, 而不能改變相軌跡的性質(zhì)。由于相軌跡的而不能改變相軌跡的性質(zhì)。由于相軌跡的 性質(zhì)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)性質(zhì)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān), 相平面中局部范圍內(nèi)相軌跡的性相平面中局部范圍內(nèi)相軌跡的性 質(zhì)就有決定性意義質(zhì)就有決定性意義, 從局部范圍內(nèi)相軌跡的性質(zhì)可以推知全局。從局部范圍內(nèi)相軌

25、跡的性質(zhì)可以推知全局。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)33 2021-7-2 在非線性系統(tǒng)中在非線性系統(tǒng)中, 穩(wěn)定性分析是針對奇點(diǎn)而言的穩(wěn)定性分析是針對奇點(diǎn)而言的, 在分析中在分析中 特別關(guān)心的是奇點(diǎn)的穩(wěn)定性和奇點(diǎn)附近的運(yùn)動特別關(guān)心的是奇點(diǎn)的穩(wěn)定性和奇點(diǎn)附近的運(yùn)動, 相平面法的任務(wù)相平面法的任務(wù) 之一就是分析奇點(diǎn)附近運(yùn)動的特性。之一就是分析奇點(diǎn)附近運(yùn)動的特性。對于非線性系統(tǒng), 可以用小 范圍線性化方法求出其在平衡點(diǎn)附近的線性化方程, 然后再去分 析系統(tǒng)的相軌跡和奇點(diǎn)的情況。即在奇點(diǎn)附近展成泰勒級數(shù): . ),(),(xxgbxxaxxf 其中，g(x,x)是不低于二階

26、的各項(xiàng)。注意到在原點(diǎn)附近x和x都很 小, 因此可以略去g(x, x)。代入式(10-6), 得 . . 0bxxax 它對應(yīng)于二階線性微分方程式。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)34 2021-7-2 例例 已知非線性系統(tǒng)的微分方程為 025 . 0 2 xxxx 試求系統(tǒng)的奇點(diǎn), 并繪制系統(tǒng)的相平面圖。 解解 系統(tǒng)方程可以改寫為 x xxx dx xd 2 25 . 0 令dx /dx=0, 求得系統(tǒng)的兩個奇點(diǎn)(0,0), (-2, 0)。 . 在(0, 0)點(diǎn)附近, 因?yàn)閨x|和|x|很小, 系統(tǒng)的微分方程可以近似為 . 025 . 0 xxx 特征根為0.25j

27、1.39, 故奇點(diǎn)(0, 0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)35 2021-7-2 在(-2,0)點(diǎn)附近, 令x*=x+2, 則系統(tǒng)方程為 0)2()2(25 . 0 2* xxxx 因?yàn)閨x*|和|x*|很小, 所以系統(tǒng)可以近似為 . 025 . 0 * xxx 特征根為1.19和1.69, 故奇點(diǎn)(-2,0)為鞍點(diǎn)。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)36 2021-7-2 非線性系統(tǒng)的相平面圖 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)37 2021-7-2 當(dāng)非線性系統(tǒng)存在多個奇點(diǎn)時，奇點(diǎn)的類型只能決定該奇 點(diǎn)

28、附近系統(tǒng)的運(yùn)動行為,而整個系統(tǒng)的的運(yùn)動狀態(tài)，即相軌跡 特別是離奇點(diǎn)較遠(yuǎn)的部分，還取決于多個奇點(diǎn)的共同作用，有 時會產(chǎn)生特殊的相軌跡，將相平面劃分為具有不同運(yùn)動特點(diǎn)的 多個區(qū)域。這種特殊的相軌跡稱為奇線。最常見的奇線是極限 環(huán)。 相平面上如果存在一條孤立的相軌跡相平面上如果存在一條孤立的相軌跡, 而且它附近的其他相而且它附近的其他相 軌跡都無限地趨向或者離開這條封閉的相軌跡軌跡都無限地趨向或者離開這條封閉的相軌跡, 則這條封閉相則這條封閉相 軌跡為極限環(huán)。軌跡為極限環(huán)。它把相平面分隔成內(nèi)部平面和外部平面兩個部 分。任何一條相軌跡都不能從內(nèi)部平面穿過極限環(huán)而進(jìn)入外部 平面, 也不能從外部平面穿過極

29、限環(huán)而進(jìn)入內(nèi)部平面。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)38 2021-7-2 根據(jù)極限環(huán)鄰近相軌跡的運(yùn)動特點(diǎn), 可將極限環(huán)分為三種 類型: (1) 穩(wěn)定的極限環(huán)。 如果起始于極限環(huán)鄰近范圍的內(nèi)部 或外部的相軌跡最終均卷向極限環(huán), 則該極限環(huán)稱為穩(wěn)定的極 限環(huán), 其內(nèi)部及外部的相軌跡均為極限環(huán)的穩(wěn)定區(qū)域。穩(wěn)定的 極限環(huán)對狀態(tài)微小的擾動具有穩(wěn)定性。系統(tǒng)沿極限環(huán)的運(yùn)動 表現(xiàn)為自持振蕩。例7-4系統(tǒng)的相軌跡就是穩(wěn)定的極限環(huán)。 2.極限環(huán)和極限環(huán)的類型極限環(huán)和極限環(huán)的類型 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)39 2021-7-2 (2) 不穩(wěn)定的極限環(huán)。如果

30、起始于極限環(huán)鄰近范圍的內(nèi)部 或外部的相軌跡最終均卷離極限環(huán), 則該極限環(huán)稱為不穩(wěn)定極 限環(huán)。 不穩(wěn)定的極限所表示的周期運(yùn)動是不穩(wěn)定的。因?yàn)榧?使系統(tǒng)狀態(tài)沿極限環(huán)運(yùn)動, 但狀態(tài)的微小擾動都將使系統(tǒng)的運(yùn) 動偏離該閉合曲線, 并將永遠(yuǎn)回不到閉合曲線。不穩(wěn)定極限環(huán) 的鄰近范圍其內(nèi)部及外部均為該極限環(huán)的不穩(wěn)定區(qū)域。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)40 2021-7-2 (3) 半穩(wěn)定的極限環(huán)。如果起始于極限環(huán)鄰近范圍的內(nèi)部 相軌跡均卷向極限環(huán), 外部相軌跡均卷離極限環(huán); 或者內(nèi)部相 軌跡均卷離極限環(huán), 外部相軌跡均卷向極限環(huán), 則這種極限環(huán) 稱為半穩(wěn)定極限環(huán)。對于半穩(wěn)定極限環(huán),

31、 相軌跡均卷向極限環(huán) 的內(nèi)部或外部鄰域稱為該極限環(huán)的穩(wěn)定區(qū)域, 相軌跡均卷離極 限環(huán)的內(nèi)部或外部鄰域稱為該極限環(huán)的不穩(wěn)定區(qū)域。同樣， 半穩(wěn)定極限環(huán)儀表的等幅振蕩也是一種不穩(wěn)定的運(yùn)動。因?yàn)?即使系統(tǒng)狀態(tài)沿極限環(huán)運(yùn)動, 但狀態(tài)的微小擾動都將使系統(tǒng)的 運(yùn)動偏離該閉合曲線, 并將永遠(yuǎn)回不到閉合曲線。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)41 2021-7-2 7.2.2 相軌跡的繪制相軌跡的繪制 1. 解析法解析法 解析法適用于由較簡單的微分方程描述的系統(tǒng)。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)42 2021-7-2 例例 二階系統(tǒng)的微分方程為 0 2 xx 試

32、繪制系統(tǒng)的相平面圖。 解解 微分方程可以改寫為 0 2 x dx xd x 用分離變量法對x和x分別積分, 得 . 2222 )0()0()(xxxx 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)43 2021-7-2 記等式右端由初始條件決定的非負(fù)的量為(A)2, 得相軌跡方程如下: 22 2 Ax x 這是以原點(diǎn)為中心的橢圓或圓簇的方程, 相軌跡如圖10-11所示。 可見, 該系統(tǒng)為自持振蕩, 初始條件不同, 橢圓的大小也隨之變化。 . . x (1,0) x0 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)44 2021-7-2 2. 等傾線法等傾線法 我們知道我們

33、知道, 平面上任一光滑的曲線都可以由一系列短的折線平面上任一光滑的曲線都可以由一系列短的折線 近似代替。等傾線是指相平面上相軌跡斜率相等的諸點(diǎn)的連線。近似代替。等傾線是指相平面上相軌跡斜率相等的諸點(diǎn)的連線。 設(shè)斜率為設(shè)斜率為, 則由式（則由式（7-6）得）得 ( , )dxf x x dxx 即得等傾線方程即得等傾線方程 ( , )f x x x (7-29) 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)45 2021-7-2 圖 7-5 等傾線 x k1k2 x k1 k0 0 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)46 2021-7-2 例例 繪制下列系統(tǒng)的相

34、軌跡。 2 20 nn xxx 解解 系統(tǒng)方程可以改寫為 2 20 nn dx xxx dx 令相軌跡斜率為, 代入上式得到相軌跡的等傾線方程 2 2 n n xx 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)47 2021-7-2 可見, 等傾線是通過原點(diǎn)的直線簇, 等傾線的斜率等于- 2/(2+), 而則是在相軌跡通過等傾線處的斜率。 設(shè)系統(tǒng) 參數(shù)0.5, 1。求得對應(yīng)于不同k值的等傾線, 如圖7-15所 示。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)48 2021-7-2 圖 7-15 等傾線與相軌跡 0 x k1 A 1.21.41.6 1.8 2 2.5

35、3 4 6 11 x 9 2 1 0.5 0 0.20.4 0.6 0.8 1.2 1.4 B C D 4 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)49 2021-7-2 初始點(diǎn)為A的相軌跡可以按下述方法給出。在1和 1.2的兩等傾線之間繪制相軌跡時, 一條短線段近似替代 相軌跡曲線, 其斜率取為起始等傾線的斜率, 即1(如果稍微精 確一點(diǎn), 可取兩等傾線斜率的平均數(shù), 即1.1)。此短線段交 1.2的等傾線于B點(diǎn), 近似認(rèn)為此短線段AB是相軌跡的一部 分。 同樣, 從B點(diǎn)出發(fā), 在1.2和1.4 的兩等傾線之 間繪制斜率為1.2的短線段, 它交1.4的等傾線于C點(diǎn), 近似認(rèn)為

36、此短線段BC是相軌跡的一部分。 重復(fù)上述作圖方法, 依次求得折線ABCDE直至原點(diǎn)。 就用這條折線作為由初始 點(diǎn)A出發(fā)的相軌跡曲線。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)50 2021-7-2 上述作圖方法, 由于近似和作圖誤差, 以及誤差的逐步累積, 因此結(jié)果可能誤差較大。一般來說, 精確度取決于等傾線的密 度和相軌跡本身斜率變化的快慢。 等傾線愈密, 相鄰等傾線的 k值之差愈小, 取短線段斜率引入的誤差愈小, 但作圖的步驟增 多, 引入的累積作圖誤差增大, 且作圖的工作量增大。因此, 等 傾線的密度要適當(dāng), 一般每隔510畫一條等傾線為宜。 為提高作圖精度, 可采用平均

37、斜率法, 即取兩條相鄰等傾線所對 應(yīng)的斜率的平均值作為短線段的斜率。 對線性二階系統(tǒng), 等傾線是一些直線。但一般來說, 非線性 系統(tǒng)的等傾線則是曲線或折線。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)51 2021-7-2 7.2.3 由相平面圖求時間解由相平面圖求時間解 相軌跡是消去時間后畫出的, 盡管它直觀地給出了系統(tǒng)狀態(tài) 的運(yùn)動軌跡, 但卻將時間信息隱含其中, 使時間信息變得不直觀 了。有時我們希望給出時間響應(yīng)以便得到與時間有關(guān)的性能指 標(biāo), 這就需通過相軌跡求出時間信息。我們可通過以下方法求 出時間信息。 因?yàn)?x=dx/dt, 所以 . x dx dt 通過積分可得 d

38、x x tt x x 2 1 1 12 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)52 2021-7-2 當(dāng)然, 對于無解析解的情況, 也可以通過選取合理的增量, 變成下式求出時間: 2/ )( 12 12 xx xx x x t (7-39) 式中, 為對應(yīng)x范圍內(nèi)的x平均值。 x . 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)53 2021-7-2 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)54 2021-7-2 許多與信號有關(guān)的非線性控制系統(tǒng)由分區(qū)線性系統(tǒng)構(gòu)成。 所以對這類非線性系統(tǒng)可以按照非線性特性將相平面劃分為 幾個區(qū)域, 每個區(qū)域?qū)?yīng)一個線

39、性系統(tǒng)。分析每一個線性系統(tǒng) 奇點(diǎn)的性質(zhì), 并結(jié)合某種作圖方法就可以繪制出該區(qū)域內(nèi)的相 軌跡。 線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)如果在線性系統(tǒng)對應(yīng)的區(qū)域內(nèi), 就稱 為實(shí)奇點(diǎn), 否則稱為虛奇點(diǎn)。因?yàn)樘撈纥c(diǎn)對應(yīng)的運(yùn)動方程不適 用于該虛奇點(diǎn)所在的區(qū)域, 所以即使虛奇點(diǎn)是穩(wěn)定的, 運(yùn)動也 無法到達(dá)該虛奇點(diǎn)。 7.2.4 非線性系統(tǒng)的相平面分析非線性系統(tǒng)的相平面分析 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)55 2021-7-2 1. 含飽和特性的非線性系統(tǒng)分析含飽和特性的非線性系統(tǒng)分析 非線性系統(tǒng)方框圖如圖非線性系統(tǒng)方框圖如圖7-22 所示所示 則， 線性部分的系統(tǒng)方程為 ( ) ( )(1) C sK

40、M ss Ts TccKx 由圖7-22可得 ( )( )( )e tr tc t 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)56 2021-7-2 所以微分方程為 TeeKxTrr 由圖7-22可得非線性特性的表達(dá)式為 0 0 0 xeee Mee x Mee 由于e和x的關(guān)系分為3個線性段。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)57 2021-7-2 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)58 2021-7-2 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)59 2021-7-2 7.2.4 非線性系統(tǒng)的相平面分析非線性系統(tǒng)的相

41、平面分析 例例 7-6 機(jī)械系統(tǒng)中的庫侖摩擦力。對于如圖7-10所示的機(jī) 械系統(tǒng),分析其運(yùn)動特性, 其中物體m受到彈簧力和庫侖摩擦力。 解解 系統(tǒng)可表示為 )0( )0( xFkxxm xFkxxm 即 )0( )0( xdx k F x m k dx xd x xdx k F x m k dx xd x 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)60 2021-7-2 積分并整理得 )0(1 / )0(1 / 2 2 2 2 2 2 2 2 x kmC k F x C x x kmC k F x C x 其中, C為積分常數(shù)。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線

42、性系統(tǒng)61 2021-7-2 圖 7-10 機(jī)械系統(tǒng) m k x 庫 侖 摩 擦 力 Fsgn( ) x 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)62 2021-7-2 由此可見, 當(dāng)x0時, 系統(tǒng)相軌跡是中心在(-F/k, 0)的一簇 橢圓; 而當(dāng)x0時, 其相軌跡是中心在(F/k, 0)的一簇橢圓(見圖7- 11)。 由圖可見, 當(dāng)物體沿相軌跡運(yùn)動到x軸的(-F/k, 0)和(F/k, 0) 之間時將停止運(yùn)動, 這是庫侖摩擦力造成的運(yùn)動死區(qū)。x軸從(- F/k, 0)到(F/k, 0)的部分為奇點(diǎn)。若初始點(diǎn)為A點(diǎn), 則相軌跡為 ABC, 終止于C點(diǎn)。 . . 機(jī)械工程控制基

43、礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)63 2021-7-2 圖 7-11 機(jī)械系統(tǒng)的相軌跡 A F/k C 0 F/kB x x 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)64 2021-7-2 許多與信號有關(guān)的非線性控制系統(tǒng)由分區(qū)線性系統(tǒng)構(gòu)成。 所以對這類非線性系統(tǒng)可以按照非線性特性將相平面劃分為 幾個區(qū)域, 每個區(qū)域?qū)?yīng)一個線性系統(tǒng)。分析每一個線性系統(tǒng) 奇點(diǎn)的性質(zhì), 并結(jié)合某種作圖方法就可以繪制出該區(qū)域內(nèi)的相 軌跡。 線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)如果在線性系統(tǒng)對應(yīng)的區(qū)域內(nèi), 就稱 為實(shí)奇點(diǎn), 否則稱為虛奇點(diǎn)。因?yàn)樘撈纥c(diǎn)對應(yīng)的運(yùn)動方程不適 用于該虛奇點(diǎn)所在的區(qū)域, 所以即使虛奇點(diǎn)是穩(wěn)定

44、的, 運(yùn)動也 無法到達(dá)該虛奇點(diǎn)。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)65 2021-7-2 例例 7-7 分段線性的角度隨動系統(tǒng)。圖7-12(a)所示的是某角 度隨動系統(tǒng)的方塊圖, 其中執(zhí)行電機(jī)近似為一階慣性環(huán)節(jié), 增益 K1(e)是隨信號大小變化的, 大信號時的增益為1, 小信號時的增益 為k(k1), 其特性如圖7-12(b)所示。分析輸入為階躍信號和斜坡 信號時的系統(tǒng)運(yùn)動情況。 解解 線性部分的系統(tǒng)方程為 ) 1()( )( Tss K sM sC 由圖7-12(a)可得 )( ) 1( )()()()(sM Tss K sRsCsRsE 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七

45、章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)66 2021-7-2 所以微分方程為 KmrrTeeT 由圖7-12(b)可得非線性特性的表達(dá)式為 1 | | 0 0 k eeke eee m 由于e和m的關(guān)系分為3個線性段, 在|e|e0時斜率均為1,在|e|e0 時斜率均為k1, 所以盡管在相平面上有3個區(qū)域(記為,和), 但系統(tǒng)只有兩個不同的微分方程。假設(shè)系統(tǒng)原來處于靜止?fàn)顟B(tài), 便可令 。 0)0(,)0( 0 eee 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)67 2021-7-2 圖 7-12 分段線性的角度隨動系統(tǒng) K1(e) em ) 1(Tss Kr (a) e k 0 e0 e

46、0e (b) c 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)68 2021-7-2 (1) 階躍輸入r(t)1(t) 的情形。由于 , 故有 0, 0rr 0 0 kKeeeT KeeeT (區(qū)域和) (區(qū)域) (7.12) (7.13) 奇點(diǎn)為e=0, e=0, 即原點(diǎn)。所以對區(qū)域, 它是實(shí)奇點(diǎn); 對區(qū)域 和, 它是虛奇點(diǎn)。 通過選K和T值, 使14kKT0, 且使14KT0。不妨設(shè)T 1, K4, k0.062, e00.2。輸入較大時, 如|e|e0, 運(yùn)動方程為 式(7.12), 14KT0, 為欠阻尼, 所以原點(diǎn)是穩(wěn)定焦點(diǎn); 輸入較小 時, 如|e|e0, 運(yùn)動方程為式

47、(7.13), 14kKT0, 為過阻尼, 故原 點(diǎn)是穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。 其相軌跡如圖7-13所示。 . 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)69 2021-7-2 圖 7-13 系統(tǒng)在階躍輸入下的相軌跡 e e 0.2 A B C D 0 O 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)70 2021-7-2 由A點(diǎn)出發(fā)的運(yùn)動以原點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn), 但到達(dá)邊界的B點(diǎn) 后, 原點(diǎn)又變成了穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。CD段的運(yùn)動方程又變?yōu)槭?7.12)。 如此每經(jīng)過邊界時, 都改變運(yùn)動的性質(zhì), 只有最后進(jìn)入?yún)^(qū)域, 沿DO段漸近收斂到原點(diǎn)。在這種情況下,調(diào)節(jié)過程可以加快。 因?yàn)檎`差信號較大時,

48、系統(tǒng)為欠阻尼, 運(yùn)動速度較快, 所以使誤 差很快變小; 而誤差變小后, 系統(tǒng)為過阻尼, 可以避免振蕩。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)71 2021-7-2 (2) 斜坡輸入r(t)RVt的情形。由于r=V, r =0, 故有 . VkKeeeT VKeeeT (區(qū)域和) (區(qū)域) (7.14) (7.15) 在區(qū)域, 奇點(diǎn)為e=V/(kK), e=0, 記P2V/(kK)。在區(qū)域 和, 奇點(diǎn)為e=V/(K), e=0, 記P1V/(K)。顯然, P2 P1。參數(shù)設(shè) 置同上, 則14kKT0, 且14KT0。則e軸上的P2點(diǎn)是穩(wěn)定節(jié) 點(diǎn), P1點(diǎn)是穩(wěn)定焦點(diǎn)。但它們的位

49、置將與參數(shù)設(shè)定有關(guān)。下面 分3種情況討論： . . 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)72 2021-7-2 VkKe0。這時P2V/(kK)e0 , 所以是實(shí)奇點(diǎn); P1V/(K) ke0e0, 所以是虛奇點(diǎn)。設(shè)r(t)0.30.04t, 則 04. 0)0()0()0( 3 . 0)0()0()0( cre cre 又V0.04, 所以P2V/(kK)0.16, P1V/(K)0.01。其相軌跡如 圖7-14所示。運(yùn)動在到達(dá)邊界進(jìn)入?yún)^(qū)域后改變性質(zhì), P2代表穩(wěn) 定的實(shí)節(jié)點(diǎn), 所以運(yùn)動收斂到P2, 因此穩(wěn)態(tài)誤差ess= P2 。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線

50、性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)73 2021-7-2 圖 7-14 系統(tǒng)在斜坡輸入下的相軌跡 0.20 e P1 P2 A(0.3，0.04) e0.2 B 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)74 2021-7-2 kKe0VKe0 。這時P2V/(kK)e0, 所以是虛奇點(diǎn); P1 V/(K)e0, 也是虛奇點(diǎn)。設(shè)r(t)0.4t, 則 4 . 0)0()0()0(, 0)0()0()0(crecre 又V0.4, 所以P2V/(kK)1.6, P1V/(K)0.1。其相軌跡如圖 7-15所示。因?yàn)閮蓚€奇點(diǎn)都是虛奇點(diǎn), 運(yùn)動無法收斂到任何奇點(diǎn), 每到達(dá)邊界便改變運(yùn)動方程, 最后將終止

51、在邊界處, 因此穩(wěn)態(tài)誤 差ess=e0。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)75 2021-7-2 圖 7-15 系統(tǒng)在斜坡輸入下的相軌跡 e B 0 0.5 D P1 C 0.2 A(0，0.4) 11.5 P2 e 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)76 2021-7-2 VKe0 。這時P2V/(kK)V/Ke0 是虛奇點(diǎn); P1V/(K) e0是實(shí)奇點(diǎn)。設(shè)r(t)1.2t,則 e(0)=r(0)-c(0)=0, e(0)=r(0)-c(0)=1.2 又V1.2, 所以P2V/(kK)4.7, P1V/(K)0.3。其相軌跡如圖 7-16所示。

52、初始點(diǎn)A在區(qū)域內(nèi), 所以系統(tǒng)遵循式(7.15)向P2穩(wěn)定 節(jié)點(diǎn)運(yùn)動, 而一旦運(yùn)動到邊界, 進(jìn)入?yún)^(qū)域后, 系統(tǒng)便遵循式(7.14) 向P1穩(wěn)定焦點(diǎn)運(yùn)動, 如此在e0=0.2線兩邊穿越, 直至收斂到P P1點(diǎn), 因此穩(wěn)態(tài)誤差ess= P1 。 . 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)77 2021-7-2 圖 7-16 系統(tǒng)在斜坡輸入下的相軌跡 e B 0 1 D P1 C 0.2 A(0， 1.2) 234P2e 5 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)78 2021-7-2 7.3 描描 述述 函函 數(shù)數(shù) 法法 7.3.1 定義定義 對于線性系統(tǒng), 當(dāng)輸

53、入是正弦信號時, 輸出穩(wěn)定后是相同頻 率的正弦信號, 其幅值和相位隨著頻率的變化而變化, 這就是利 用頻率特性分析系統(tǒng)的頻域法的基礎(chǔ)。對于非線性系統(tǒng), 當(dāng)輸 入是正弦信號時, 輸出穩(wěn)定后通常不是正弦的, 而是與輸入同頻 率的周期非正弦信號, 它可以分解成一系列正弦波的疊加, 其基 波頻率與輸入正弦信號的頻率相同。 設(shè)非線性環(huán)節(jié)的正弦輸入為x(t)=X sint, 則輸出為 1 0 )sincos()( n nn tnBtnAAty (7.16) 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)79 2021-7-2 式中, )(sin)( 1 )(cos)( 1 2 0 2 0 ttd

54、ntyB ttdntyA n n (7.17) (7.17) 令 n n n nnn B A arctg BAY 22 式(7.17)(7.20)中, n1, 2, 。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)80 2021-7-2 由于系統(tǒng)通常具有低通濾波特性, 其他諧波各項(xiàng)比基波小, 所以可以用基波分量近似系統(tǒng)的輸出。假定非線性環(huán)節(jié)關(guān)于原 點(diǎn)對稱, 則輸出的直流分量等于零, 即A00, 則 y(t)=A1 cost+B1 sint=Y1sin(t+1) (7.21) 定義非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為非線性環(huán)節(jié)輸出的基波與輸入信 號二者的復(fù)數(shù)符號的比值, 即 1 1 j e X Y

55、 N (7.22) 式中, N為描述函數(shù), X是正弦輸入信號的幅值, Y1是輸出信號基 波的幅值, 1為輸出信號基波與輸入信號的相位差。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)81 2021-7-2 如果非線性環(huán)節(jié)中不包含儲能機(jī)構(gòu)(即非記憶), 即N的特性 可以用代數(shù)方程(而不是微分方程)描述, 則y(t)與頻率無關(guān)。 描 述函數(shù)只是輸入信號幅值X的函數(shù), 即NN(X), 而與無關(guān)。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)82 2021-7-2 7.3.2 典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù) 1. 飽和特性飽和特性 若非線性環(huán)節(jié)具有飽和特性(如

56、圖7-17(a)所示), 則 x(t)=X sint 當(dāng)輸入為正弦信號時, 其輸出波形如圖7-17(b)所示。根據(jù)輸出波 形, 飽和非線性環(huán)節(jié)的輸出由下式表示: tkX ka tkX ty sin sin )( (t) (t-) (-t) 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)83 2021-7-2 由式(7.17)和式(7.17)可求得 coscossin 2 1 2 4 )(sin)( 2 )2cos(14 )(sin 4 )(sin 4 )(sin)( 1 0 0 2/ 2/ 0 2 2 0 1 1 aX Xk ttdatd t X k ttdkattdkXttdtyB

57、 A 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)84 2021-7-2 因 2 )/(1cos,sin,arcsin,sinXa X a X a Xa將 代入上式有 2 1 1arcsin 2 X a X a X akX B 則 2 1 1 1 1arcsin 2 0 X a X a X ak X B X Y N (7.24) 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)85 2021-7-2 當(dāng)輸入X幅值較小, 不超出線性區(qū)時, 該環(huán)節(jié)是個比例系數(shù)為 k的比例環(huán)節(jié), 所以飽和特性的描述函數(shù)為 k X a X a X ak N 2 1arcsin 2 (Xa) (Xa

58、) 由此可見, 飽和特性的描述函數(shù)N與頻率無關(guān), 它僅僅是輸入信 號振幅的函數(shù)。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)86 2021-7-2 圖7-17 飽和特性及其正弦響應(yīng) a 0 斜率k ax y x(t) Xsint Xa 0 x t t ka ka ka y(t) y 0 y1(t) Y1sint (a)(b) 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)87 2021-7-2 2. 死區(qū)特性死區(qū)特性 死區(qū)非線性環(huán)節(jié)的正弦輸入時的輸入輸出關(guān)系如圖7-17所 示。 輸出的時間函數(shù)表示為 0 )sin( 0 )(atXkty (t) ( t- ) (-t)

59、(7.26) 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)88 2021-7-2 圖7-17 死區(qū)特性及其正弦響應(yīng) a 0 斜率k ax y x X a y 0 k(X a) x(t) Xsint t y1(t) Y1sint y(t) k(X a) k(X a) (a)(b) 0 t 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)89 2021-7-2 同樣, 根據(jù)式(7.17)和式(7.17)可求得 )()sin( 2 )2cos(14 )(sin)sin( 4 )(sin)( 1 0 /2 /22 0 1 1 tdta t X k ttdatXkttdtyB A 因

60、 2 )/(1cos,/sin),/arcsin(,sinXaXaXaXa將 代入上式有 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)90 2021-7-2 2 22 1 1arcsin 2 2 11arcsin 22 4 X a X a X akX X a a X a X a X aXk B 則 2 1 1 1 1arcsin 2 0 X a X a X ak k X B X Y N 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件 第七章第七章 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)91 2021-7-2 當(dāng)輸入X幅值小于死區(qū)a時, 輸出為零, 因而描述函數(shù)N也為零, 故 死區(qū)特性描述函數(shù)為 0 2 2 1arcsin X