高二數(shù)學(xué)課件：必修2-1 第三章 3.4直線與平面的垂直關(guān)系

1、3.4 直線與平面的垂直關(guān)系直線與平面的垂直關(guān)系3.4 直線與平面的垂直關(guān)系直線與平面的垂直關(guān)系 用空間向量判斷空間中的位置關(guān)系的常用用空間向量判斷空間中的位置關(guān)系的常用 方法方法 (1)線線平行 證明兩條直線垂直，只需證明兩條直線的 方向向量是共線向量 (2)線線垂直 證明兩條直線平行，只需證明兩直線的方 向向量垂直，即abab0. (3)線面平行 用向量證明線面平行的方法主要有： 證明直線的方向向量與平面的法向量垂 直； 證明可在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與直線方 向向量是共線向量， 利用共面向量定理，即證明可在平面內(nèi) 找到兩不共線向量來線性表示直線的方向 向量 (4)線面垂直 用向量證明線面垂直

2、的方法主要有： 證明直線方向向量與平面法向量平行； 利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂 直問題 (5)面面平行 證明兩個(gè)平面的法向量平行(即是共線向 量)； 轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題 (6)面面垂直面面垂直 證明兩個(gè)平面的法向量互相垂 直； 轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問 題 練習(xí)如下圖，長方體ABCDA1B1C1D1 中，E，F(xiàn)分別是面對角線B1D1，A1B上的 點(diǎn)，且D1E2E1B，BF2FA1. (1)求證：直線EFAC1； (2)若EF是兩異面直線B1D1，A1B的公垂線， 求證：該長方體為正方體 化簡，得a2b2c2，abc. 所以該長方體為正方體 性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理 線面垂直

3、 線線垂直 線面垂直 線線垂直 PO 平面PAO aPO PA a PAa AOa a平面PAO 直線a 在一定要在平面 內(nèi)，如果 a 不在平面內(nèi)， 定理就不一定成立。 P A Oa 例如：當(dāng) b 時(shí)， bOA 如果將定理“在 平面內(nèi)”的條件去掉， 結(jié)論仍然成立嗎？ b 但 b不垂直于OP 例例1 直接利用三垂線定理證明下列各題：直接利用三垂線定理證明下列各題： (1) 已知：已知：PA正方形正方形ABCD所在平面，所在平面，O為對角線為對角線BD的中點(diǎn)的中點(diǎn) 求證：求證：POBD，PCBD (3) 已知：在正方體已知：在正方體AC1中，求證：中，求證：A1CB1D1，A1CBC1 (2) 已

4、知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 求證：求證：BCAM A D C B A1 D1 B1 C1 (1) (2) B P M C A (3) P O A BC D (1) PA正方形正方形ABCD所在平所在平 面，面，O為對角線為對角線BD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 求證：求證：POBD，PCBD P O A BC D 證明證明: ABCD為正方形為正方形 O為為BD的中點(diǎn)的中點(diǎn) AOBD 同理，同理，ACACBD ACAC是是PCPC在在ABCDABCD上的射影上的射影 PCBD POBD AOAO是是POPO在在平面平面ABCD上的射影上的射影 PA平面平面ABCD

5、 BD 平面平面ABCD又 P M C A B (2) 已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC， M是是BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 求證：求證：BCAM 證明證明: PM BC BCAM PM是是AM在平面在平面PBC上的射影上的射影 PA平面平面PBC PB=PC M是是BC的中點(diǎn)的中點(diǎn) BC 平面平面PBC又 (3) 在正方體在正方體AC1中，中， 求證：求證：A1CBC1 ， A1CB1D1 在正方體在正方體AC1中中 A1B1面面BCC1B1且且BC1 B1C B1C是是A1C在面在面BCC1B1上的射影上的射影 C B A1 B1 C1 A D D1 證明：證明： C B A1 B1

6、C1 A D D1 同理可證，同理可證， A1CB1D1 由三垂線定理知由三垂線定理知 A1CBC1 P M C A B P AO a A1 C1 C B B1 OA a P 我們要學(xué)會從紛繁的已知條件中找出我們要學(xué)會從紛繁的已知條件中找出 或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件 解題回顧解題回顧 三垂線定理解題的關(guān)鍵：三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！找三垂！ 怎么找？怎么找？ 一找直線和平面垂直一找直線和平面垂直 二找平面的斜線在平面二找平面的斜線在平面 內(nèi)的射影和平面內(nèi)的內(nèi)的射影和平面內(nèi)的 一條直線垂直一條直線垂直 注意：注意：由一垂、二垂直接得出第三垂由一垂、二垂直接

7、得出第三垂 并不是三垂都作為已知條件并不是三垂都作為已知條件 解題回顧解題回顧 P AO a P AO a 三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？ 線射垂直線射垂直 P AO a 線面垂直線面垂直 線斜垂直線斜垂直 P AO a 直直 線線 和和 平平面面垂直垂直 平面內(nèi)的直平面內(nèi)的直線線 和平面一條斜和平面一條斜 線的線的射射影垂直影垂直 平面內(nèi)的直平面內(nèi)的直線線 和平面的一條和平面的一條 斜斜線垂直線垂直 線射垂直線射垂直 線斜垂直線斜垂直P AO a P AO a 平面內(nèi)的一條直平面內(nèi)的一條直線線和和 平面的一條斜線在平平面的一條斜線在平 面內(nèi)的面內(nèi)的射射影影垂直垂直

8、平面內(nèi)的一條直平面內(nèi)的一條直 線線和平面的一條和平面的一條 斜斜線線垂直垂直 三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理 P AOa 已知：已知：PA，PO分分 別是平面別是平面 的垂線和斜的垂線和斜 線，線，AO是是PO在平面在平面 的射影的射影,a ,a PO 求證：求證：a AO 三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理 例例2 如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等， 那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上。那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上。 已知：已知：BAC在平面在平面 內(nèi)，點(diǎn)內(nèi)，點(diǎn)P，PEAB，PFAC， PO ，垂足分別是垂足分別是E、F、O，PE=PF 求證：求證：BAO=CAO 分析：分析： 要證要證 BAO=CAO 只須證只須證OE=OF