第二章 流體靜力學

1、第二章 流體靜力學 第一節(jié) 流體靜壓強及其特性 第二節(jié) 流體靜壓強的分布規(guī)律 第三節(jié) 壓強的計算基準和量度單位 第四節(jié) 液柱測壓計 第五節(jié) 作用于平面的液體壓力 第六節(jié) 作用于曲面的液體壓力 第七節(jié) 液體平衡微分方程 第八節(jié) 液體的相對平衡 第一節(jié) 流體靜壓強及其特性 流體在靜止時不能承受切向力，因為如有切向力存在， 靜止流體將會發(fā)生流動。流體不能承受拉力，沿法向方向的 力必為壓力（如圖2-1）。 流體靜壓強的特性 靜止體中任意點壓強的大小與作用面的方向無關(guān)。只是空 間坐標的函數(shù)，即 ( , , )pp x y z B I V D II A C D II CA B P A a 圖2-1 靜止流

2、體中的壓力 第一節(jié) 流體靜壓強及其特性 第二節(jié) 流體靜壓強的分布規(guī)律 液體靜壓強的基本方程式 式中 p液體內(nèi)某點的壓強，Pa； p0液面氣體壓強， Pa； 液體的密度，kg/m3； h某點在液面下的深度，m。 該式表明在靜止液體中，壓強隨深度按直線變化的 規(guī)律。靜止液體中任一點的壓強是由也面壓強和該點 在液面下的深度與密度和重力加速度的乘積兩部分組 成。從這兩部分看出，壓強的大小與容器大形狀無關(guān)。 ghpp 0 以單位體積液體的重量g 除以靜力學基本方程，得 式中 z 某點在基準面以上的高度，稱位置高度或 測壓管的液面到該點的高度，稱測壓管高 c g p z g p g p z 壓管水頭。 c

3、 g p z 靜止液體中，各點的測壓管水頭相同。 度。 位置水頭。 測壓管的液面到基準面的總高度，稱測 2 Z 1 Z g p 2 g p 1 2 1 OO 42圖測壓管水頭 例2-2 密度為 和 的兩種液體，裝在圖2-11的容器中，各 也面深度如圖所示。若=1000kg/m3 ，大氣壓強pa=98kPa, 求 及 。 解 先求 ，由于自由面的壓強均等于大氣壓強，所以， p1=p4=pa=98kPa 根據(jù)靜止、連續(xù)、同種液體的水平面為等壓面的規(guī)律， p2=p3。由基本方程式2-6得到 p2=pa+ g0.5m p3=pa+ g m 由p2=p3，故得 0.5 = =0.35 所以 ab ab

4、a a （0. 85-0. 5）b a （0. 85-0. 5） bb 33 ab =0.7=0.71000kg/m =700kg/m 再求A點的壓強pA ，先求出分界面上的壓強，然后，應用分 界面是多種液體壓強關(guān)系的聯(lián)系面，再求出分界面以下A點 的壓強pA。 分界面2-2是等壓面，面上各個點的壓強相等，即 再根據(jù)分界面上的壓強p2，求A點的壓強pA為 實際上，求A點的壓強，可以不先求出界面上的壓強， 就直接以界面為壓強關(guān)系的聯(lián)系面，一次就可以求出A 點的壓強。即 32 2aa p =p +0.5mg=98kPa+0.5700kg/m9.8m/s101.5kPa 32 A2b p =p +0.

5、5mg=101.5kPa+0.51000kg/m9.8m/s106.4kPa Aaab p =p +0.5mg+0.5g=106.4kPa 另外，我們也可以根據(jù)容器底面水平的特點，利用 水平面是等壓的規(guī)律，從容器做端一次求出A點壓強。 即 Aab p =p +0.85mg=106.4kPa 氣體壓強計算 以上規(guī)律，雖然是在液體的基礎(chǔ)上提出來的，但對于不 可壓縮氣體仍然適用。由于氣體密度很小的特點，在高 差不是很大的情況下，氣柱體產(chǎn)生的壓強很小，因而可 以忽略 的影響，則靜壓強的計算可以簡化為 上式表明空間各點氣體壓強相等，例如液體容器、 測壓管、鍋爐等上部的氣體空間，我們就認為各點的壓 強也是

6、相等的。 gh 0 pp 第三節(jié) 壓強的計算基準和量度單位 壓強的兩種計算基準 壓強有兩種計算基準：絕對壓強和相對壓強。以毫無一點 氣體存在的絕對真空為零點起計算的壓強，稱為絕對壓強， 以 表示，當問題涉及流體本身的性質(zhì)，例如采用氣體狀態(tài) 方程進行計算時，必須采用絕對壓強。 以當?shù)赝叱痰拇髿鈮簭?為零點起計算的壓強，稱為相對 壓強，以p表示。采用相對壓強基準，則大氣壓強的相對壓 強為零。相對壓強、絕對壓強和大氣壓強的相互關(guān)系是 負壓的絕對值又稱為真空度（真空表讀數(shù)），以 表示， 當pP，則物體下沉至底； （2）重力等于浮力，即G=P，則物體可在任一水深維持平衡； （3）重力小于浮力，即GP，

7、則物體浮出液體表面，直至液 面下部分所排開的液體所受重力等于物體所受重力為止。這 種物體稱浮體，船就是浮體的一個例子。 第七節(jié) 流體平衡微分方程 x 靜止流體內(nèi)取邊長分別為 dx, dy, dz 的微元六面體， y O z O dx dy dz x a y z b c d d a b c pM pN 中心點 O(x,y,z) 壓強 p(x,y,z)。 足力平衡方程。以 x 方向為例： M N 表面力：除 abcd 與 abcd 兩面外，其余面上作用的力 在 x 軸 上投影均為0。此兩面中心點壓強可用泰勒 (G.Taylor) 級數(shù)展開，取前兩項： 兩個面上的總壓力則為： x x p ppd 2

8、 1 M x x p ppd 2 1 N zyx x p pPddd 2 1 M zyx x p pPddd 2 1 N zyxXFddd bx 列 x 方向力平衡方程得： 化簡后得: 上式即液體平衡微分方程，由瑞士學者歐拉（L.Euler)于 0dddddd 2 1 ddd 2 1 zyxXzyx x p pzyx x p p 0 1 x p X 同理: 0 1 y p Y 0 1 z p Z 1755導出，又稱歐拉平衡微分方程。 等壓面等壓面 等壓面壓強相等的空間點構(gòu)成的面。 在等壓面上，p = c，dp = 0，平衡微分方程的全微分式 則可表示為： 上式稱等壓面方程。 根據(jù)等壓面方程，單

9、位質(zhì)量力與等壓面上任意線段的點 0dddzZyYxX lfzZyYxXdddd 等壓面方程中，X、Y、Z 為單位質(zhì)量力在三個坐標軸的 分力，而 dx、dy、dz 則是等壓面上任意線段在三個坐標軸 的投影，由矢量代數(shù)得： 乘積等于0，這說明這兩個向量相互垂直，即質(zhì)量力與等壓 面相互垂直，如重力與水平面。 第八節(jié) 液體的相對平衡 a l等加速直線運動中液體的平衡 如圖2-35,一敞開容器盛有液體,以等加速度a向前做直線運動 質(zhì)量力有重力 慣性力 總的質(zhì)量力為 12 12 12 0 XXXa YYY ZZZg 111 0,0,XYZg 222 ,0,0Xa YZ g y x z 圖2-35 a a

10、由平衡微分方程可得: 積分并根據(jù)邊界定積分常數(shù)得 對于自由液面, ,則上式為 可見自由液面為傾斜面,該斜面與水平面夾角為 . 容易看出該斜面和質(zhì)量力的合力正交。等加速直線運動的 等壓面，不再象靜止液體那樣水平，而是傾斜，原因是在x方 向上有質(zhì)量力，x方向上也有壓強的變化。 tan a g ()dpadxgdz ()paxgz a zx g 0p l容器等角速度旋轉(zhuǎn)運動中液體的平衡 和等加速直線運動類似，如圖2-36, 質(zhì)量力有重力： 慣性力 總質(zhì)量力 111 0,0,XYZg 2 12 2 12 12 XXXx YYYx ZZZg 22 222 ,0Xx Yy Z y x y x z o A g x y A r 2 r 2 x 2 y 圖2-36 代入平衡微分方程，積分整理后得； 壓強p為常數(shù)時得等壓面方程 常數(shù)或 常數(shù) P=0時，即自由面為 在等角速度旋轉(zhuǎn)運動同一水平面上 ，旋轉(zhuǎn)中心壓強最低， 外邊緣最高。等角速度旋轉(zhuǎn)運動的這一特性在實際問題中有 許多應用的例子，如油脂分離器，空氣除塵等。 2 22 1 22 u prgzgz 2 2 u z g 2 2 2 r z g 22 1 2 r z g 例例2-8一半徑為R=30cm的圓柱形容器盛滿水，然后用螺栓 連接的蓋板封閉，蓋板中心開有一小圓孔，如圖2-40。