高中數(shù)學必修4三角函數(shù)常考題型：三角函數(shù)線及其應用

1、三角函數(shù)線及其應用【知識梳理】1 .有向線段帶有方向的線段叫做有向線段.2 .三角函數(shù)線圖示正弦線a的終邊與單位圓交于 p,過p作pm垂直于x軸，有向線段 mp即為正弦線余弦線有向線段刎即為余弦線正切線過a(1,0)作x軸的垂線，交a的終辿或其終邊的反向延長線于t,有向線段上工即為正切線【常考題型】題型一、三角函數(shù)線的作法3【例1】 作出季的正弦線、余弦線和正切線. 4解角3如終邊(如圖)與單位圓的交點為p.作pm垂直于x軸，垂足為 m,過a(1,0)作單位圓的切線 at, 與寧的終邊的反向延長線交于點 t,則3j的正弦線為mp,余弦線為om ,正切線為at.【類題通法】三角函數(shù)線的畫法(1)

2、作正弦線、余弦線時，首先找到角的終邊與單位圓的交點，然后過此交點作x軸的垂線, 得到垂足，從而得正弦線和余弦線.(2)作正切線時，應從 a(1,0)點引單位圓的切線，交角的終邊或終邊的反向延長線于一點 即可得到正切線 at.【對點訓練】作出一9曲勺正弦線、余弦線和正切線.4解：如圖所示,9 7r. 一 一一1的正弦線為mp,余弦線為om,正切線為at.題型二、利用三角函數(shù)線比較大小例 2 分另肚匕較 sin23% sin cos23% cos4 tan% tan4l勺大/j、.解在直角坐標系中作單位圓如圖所示.以x軸非負半軸為始邊，2兀一，、,，、，、一、一 .，一一、，、，、一，作工的終邊與

3、單位圓交于p點，作pmlox,垂足為m.由單位圓與 ox3一.、，、，一 ，一_ 一一， ,一 2 71正方向的交點 a作ox的垂線與op的反向延長線交于 t點，則sin=3mp, cos2= om, tan275= at. 33同理，可作出4的正弦線、余弦線和正切線，sin( m p , cos4f= om ,tan4= at. 由圖形可知，mpm p，符號相同，則singsin等; omom,符號相同，則cos34cos青; atat,符號相同，貝u tan2tan.35【類題通法】利用三角函數(shù)線比較大小的步驟利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時，一般分三步：角的位置要“對號入座”；比較三

4、角函數(shù)線的長度；確定有向線段的正負.【對點訓練】設示必5,試比較角”的正弦線、余弦線和正切線的長度.如果 2依芋 上述長度關系又 如何？解：如圖所示，當* “mpom;當聲必劃角的正弦線為m p，余弦線為om,正切 線為at ,顯然在長度上， at m p om.題型三、利用三角函數(shù)線解不等式【例3】利用三角函數(shù)線，求滿足下列條件的a的范圍.1 ,13(1)sin a 2； (2)cos 用彳.1 .解(1)如圖，過點 0,作x軸的平行線交單位圓于 p, p兩點，則sinaop = sin zxop，=,，zxop = , op，=266故a的范圍是 a + 2k兀o+ 2k tt, k& .

5、66（2）如圖，過點興m /兀萬,xop= 6,/xop兀60作x軸的垂線與單位圓交于 p, p兩點，則cosaop=cos/xop 兀兀_故a的氾圍是 a - 6+2卜兀ab, cos x a（或sin x b, cos xc（或tan xc）,則取點（1, c）,連接該點和原點即得角的終邊所在的位置，并反向延長，結 合圖像可得.【對點訓練】利用三角函數(shù)線求滿足tan 通 走的角”的范圍.門3y解：如圖，過點a（1,0）作單位圓。的切線，在切線上沿 y軸正方向取0近上一點t,使at=卷,過點o, t作直線，則當角a的終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)333（包含所作直線，不包含 y軸）時，tan介3 .由三

6、角函數(shù)線可知，在0 , 360 ）內(nèi)，tan介3 ,有 30y “90或 210y a阻 有 k 180 +30y ak 180 +90, kz.【練習反饋】1 .已知角”的正弦線和余弦線是符號相反、長度相等的有向線段，則a的終邊在（）a.第一象限的角平分線上b.第四象限的角平分線上c.第二、四象限的角平分線上d.第一、三象限的角平分線上解析：選c 由條件知sin a= - cos a, a的終邊應在第二、四象限的角平分線上.2 .如果mp和om分別是角a= （j的正弦線和余弦線，那么下列結論中正確的是（）a. mpom0mpc. ommp0om解析：選d 如右圖所示，正弦線為 mp,余弦線為om,結合圖”可知：mp0, om0,故 om0om ,即 sin 1cos 1.