五年級(jí)思維訓(xùn)練23因數(shù)與倍數(shù)(原卷+解析版)

1、五年級(jí)思維訓(xùn)練23 因數(shù)與倍數(shù)1、 由不小于30人，不大于50人的學(xué)生圍成一個(gè)圓圈，由某人開始從1連續(xù)報(bào)數(shù)，如果報(bào)30和198是同一個(gè)人時(shí)，請(qǐng)問：這批學(xué)生一共多少人？.2、 有這樣一類2009位數(shù)，它們不含有數(shù)字0，任何相鄰兩位（按原來的順序）組成的兩位數(shù)都有一個(gè)因數(shù)和20相差1，這樣的2009位數(shù)共有多少個(gè)？3、 一個(gè)自然數(shù)，它的最大的因數(shù)和次大的因數(shù)和是111，這個(gè)自然數(shù)是（ 74 ）4、 筐中有60個(gè)蘋果，將它們?nèi)慷既〕鰜?，分成偶?shù)堆，使得每堆的個(gè)數(shù)相同。問：有多少種分法？5、 稱一個(gè)兩頭（首位和末位）都是1的數(shù)為“兩頭蛇數(shù)”。一個(gè)四位數(shù)的“兩頭蛇數(shù)”去掉兩頭得到一個(gè)兩位數(shù)，它恰好是這

2、個(gè)“兩頭蛇數(shù)”的因數(shù)，這個(gè)“兩頭蛇數(shù)”是 。（寫出所有可能）6、 你能在33的方格表（如下圖）中填入彼此不同的9個(gè)自然數(shù)（每個(gè)格子里只填一個(gè)數(shù)），使得每行、每列、兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的乘積都等于2005嗎？若能，請(qǐng)?zhí)畛鲆焕?；若不能，?qǐng)說明理由）7、 已知三位數(shù)240有d個(gè)不同的因數(shù)，求d的值。8、 100以內(nèi)有10個(gè)因數(shù)的最小自然數(shù)是( ),它的所有因數(shù)的和是（ ）。9、 一個(gè)正整數(shù)，它的2倍的因數(shù)恰好比它自己的因數(shù)多2個(gè)，它的3倍的數(shù)的因數(shù)恰好比自己的因數(shù)多3個(gè)。那么這個(gè)正整數(shù)是（ ）10、 能被2145整除且恰有2145個(gè)因數(shù)的數(shù)有（ ）個(gè)。11、 一個(gè)自然數(shù)恰好有18個(gè)因數(shù)，那么它最多有（

3、 ）個(gè)因數(shù)的個(gè)位是3.12、 N是1，2，3，.，1995，1996，1997的最小公倍數(shù)，請(qǐng)問N等于多少個(gè)2與一個(gè)奇數(shù)的積？13、 在下面一列數(shù)中，從第二個(gè)開始，每個(gè)數(shù)都比它前面相鄰的數(shù)大7，數(shù)列如下：8，15，22，29，36.它們前n-1個(gè)數(shù)相乘的積末尾0的個(gè)數(shù)比前n個(gè)數(shù)相乘積的末尾0的個(gè)數(shù)少3個(gè)，求n的最小值。14、 ，,.中，共有（ ）個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。15、 美術(shù)老師要在一張長(zhǎng)12分米、寬84厘米的紙上裁出同樣大小的正方形手工紙若干張，且沒有紙剩下，那么每張正方形紙的邊長(zhǎng)最大是（ ）厘米，一共能裁出（ ）張這樣的手工紙？16、 如下圖所示，某公園有兩段路，AB=175m,BC=125m,

4、在這兩段路上安路燈，要求A,B,C三點(diǎn)各設(shè)一個(gè)路燈，相鄰兩個(gè)路燈間的距離都相等，則在這兩段路上至少要安裝多少盞燈？17、 將一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字相加得到新的一個(gè)數(shù)稱為一次操作，經(jīng)連續(xù)若干次這樣的操作后可以變?yōu)?的數(shù)稱為“好數(shù)”，那么不超過2012的“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為( ),這些“好數(shù)”的最大公因數(shù)是（ ）。18、 自然數(shù)b與175的最大公因數(shù)記為d。如果176（b-11d+1)=5d+1,則b=( ).19、 三個(gè)兩兩不同的正整數(shù)，和為126，則它們兩兩最大公因數(shù)之和的最大值是（ ）。20、 電子鐘每走9分鐘亮一次燈，每到整點(diǎn)時(shí)響一次鈴，中午12點(diǎn)整，電子鐘響鈴又亮燈。問：下一次響鈴又亮燈是幾點(diǎn)鐘？

5、21、 已知a.b,c是三個(gè)自然數(shù)，且a與b的最小公倍數(shù)是60,a與c的最小公倍數(shù)是270.求b與c的最小公倍數(shù)。22、 一個(gè)數(shù)分別除以1，所得的商都是自然數(shù)，這個(gè)數(shù)最小是（ ）23、 如果兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是126，那么，它們的和是（ ）24、 兩個(gè)自然數(shù)A,B的最小公倍數(shù)等于50，問A+B有多少種可能的數(shù)值。25、 若兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210.這兩個(gè)自然數(shù)的和是77.則這兩個(gè)自然數(shù)是（ )和（ ）。26、 兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)是1925，這兩個(gè)整數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，得到兩個(gè)商的和是16.請(qǐng)寫出這兩個(gè)數(shù)。27、 如下圖所示，鼴鼠和老鼠分別從長(zhǎng)157米

6、的小路兩端A,B開始向另一端挖洞，老鼠對(duì)鼴鼠說：“你挖好后，我再挖?！边@樣一來，由于老鼠原來要挖的一些洞恰好也是鼴鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖（ ）個(gè)洞？28、 夜里下了一場(chǎng)大雪，早上，小明和爸爸一起步測(cè)花園里的一條環(huán)形小路的長(zhǎng)度，他們從同一點(diǎn)同向行走，小明每步長(zhǎng)54厘米，爸爸每步長(zhǎng)72厘米，兩人各走完一圈后又都回到出發(fā)點(diǎn)，這時(shí)雪地上只留下60個(gè)腳印。那么這條小路長(zhǎng)（ ）米。29、 若a,b,c是三個(gè)互不相等的大于0的自然數(shù)，且a+b+c=1155，則它們的最大公約數(shù)的最大值為（ 165 ），最小公倍數(shù)的最小值為（ 660 ），最小公倍數(shù)的最大值為（ ）。30、 已知a與b的最大公因數(shù)是12，

7、a與c最小公倍數(shù)是300，b與c的最小公倍數(shù)也是300.那么滿足上述條件的自然數(shù)a,b,c共有（ 30 ）組。（例：a=12,b=300,c=300這一組與a=300、b=12,c=300是不同的兩個(gè)自然數(shù)組）五年級(jí)思維訓(xùn)練23 因數(shù)與倍數(shù)參考答案1、 由不小于30人，不大于50人的學(xué)生圍成一個(gè)圓圈，由某人開始從1連續(xù)報(bào)數(shù)，如果報(bào)30和198是同一個(gè)人時(shí)，請(qǐng)問：這批學(xué)生一共多少人？【分析】因?yàn)閳?bào)30和198是同一個(gè)人，198-30=168，說明學(xué)生總?cè)藬?shù)是168的因數(shù)。而總?cè)藬?shù)是小于30人，不大于50人，又是168的因數(shù)，這個(gè)數(shù)只有42.答：這批學(xué)生一共42人.2、 有這樣一類2009位數(shù)，它

8、們不含有數(shù)字0，任何相鄰兩位（按原來的順序）組成的兩位數(shù)都有一個(gè)因數(shù)和20相差1，這樣的2009位數(shù)共有多少個(gè)？【分析】組成的兩位數(shù)都有一個(gè)約數(shù)和20差1，即都有一個(gè)19或21的約數(shù)。于是，兩位數(shù)中19的倍數(shù)有：19，38，57，76，95兩位數(shù)中21的倍數(shù)有：21，42，63，84觀察發(fā)現(xiàn)這9個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字分別包含19這9個(gè)數(shù)字，個(gè)位數(shù)字也包含這9個(gè)數(shù)字。也就是說符合題目要求的數(shù)字我們只要確定下其中的一位數(shù)字，那么其他的數(shù)字也就確定了。例如我們從最后一位數(shù)字選起，當(dāng)最后1位選1時(shí)，那么它的前一位只能是2，再前面一位只能是4，然后是8，3，6所以一共只有9種選法，即一共有9個(gè)數(shù)符合要求。3、

9、 一個(gè)自然數(shù)，它的最大的因數(shù)和次大的因數(shù)和是111，這個(gè)自然數(shù)是（ 74 ）【分析】111是奇數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。最大因數(shù)與次大因數(shù)是一奇一偶。一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是它本身，而一個(gè)數(shù)如果有偶因數(shù)則它是一個(gè)偶數(shù)，一個(gè)偶數(shù)的次大因數(shù)應(yīng)是它本身的。如設(shè)次大因數(shù)為a，則它本身為2a，由題意知：a+2a=111.求得：2a=744、 筐中有60個(gè)蘋果，將它們?nèi)慷既〕鰜?，分成偶?shù)堆，使得每堆的個(gè)數(shù)相同。問：有多少種分法？【分析】60的偶因數(shù)有8個(gè)，可分成2 ，4 ，6 ，10 ，12， 20 ，30 ，60 堆 。即有8種分法。5、 稱一個(gè)兩頭（首位和末位）都是1的數(shù)為“兩頭蛇數(shù)”。一個(gè)四位數(shù)的“兩頭蛇數(shù)

10、”去掉兩頭得到一個(gè)兩位數(shù)，它恰好是這個(gè)“兩頭蛇數(shù)”的因數(shù)，這個(gè)“兩頭蛇數(shù)”是 。（寫出所有可能）【分析】去掉兩頭得到的兩位數(shù)，它恰好是原數(shù)的因數(shù)，說明這個(gè)兩位數(shù)是1001的約數(shù)。1001的兩位因數(shù)有：11、13、77、91.所有可能的數(shù)有：1111，1131，1771，1911.6、 你能在33的方格表（如下圖）中填入彼此不同的9個(gè)自然數(shù)（每個(gè)格子里只填一個(gè)數(shù)），使得每行、每列、兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的乘積都等于2005嗎？若能，請(qǐng)?zhí)畛鲆焕?；若不能，?qǐng)說明理由）【分析】若能，則填入彼此不同的9個(gè)自然數(shù)將是2005的彼此不同的9個(gè)因數(shù)。而2005彼此不同的因數(shù)只有1、5、401、2005這4個(gè)。所以

11、不能。7、 已知三位數(shù)240有d個(gè)不同的因數(shù)，求d的值?！痉治觥?40=2435.由因數(shù)個(gè)數(shù)定理可知：d=（4+1）（1+1）（1+1）=208、 100以內(nèi)有10個(gè)因數(shù)的最小自然數(shù)是( ),它的所有因數(shù)的和是（ ）?！痉治觥?0=25=110，兩個(gè)質(zhì)因數(shù)要最小，質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)是1或4，不可能是0和9.因此取243=48，48的所有因數(shù)的和是：（20+21+22+23+24）（30+31）=1249、 一個(gè)正整數(shù)，它的2倍的因數(shù)恰好比它自己的因數(shù)多2個(gè)，它的3倍的數(shù)的因數(shù)恰好比自己的因數(shù)多3個(gè)。那么這個(gè)正整數(shù)是（ ）解;這個(gè)數(shù)有2個(gè)因數(shù)不是2的倍數(shù)，有3個(gè)因數(shù)不是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)只有質(zhì)因數(shù)2和3

12、.這個(gè)正整數(shù)是22 31 = 12 他有約數(shù) (2+1)(1+1) = 6 個(gè) 他的2倍 24有約數(shù) (3+1)(1+1) = 8 個(gè) 他的3倍 36有約數(shù) (2+1)(2+1) = 9 個(gè)。10、 能被2145整除且恰有2145個(gè)因數(shù)的數(shù)有（ ）個(gè)。 【分析】先將2145分解質(zhì)因數(shù)：2145351113，所以能被2145整除的數(shù)必定含有3，5，11，13這4個(gè)質(zhì)因數(shù)；由于這樣的數(shù)恰有2145個(gè)約數(shù)，所以它至多只有4個(gè)質(zhì)因數(shù)，否則至少有5個(gè)質(zhì)因數(shù)，根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，則有5個(gè)大于1的整數(shù)的乘積等于2145，而2145只能分解成3，5，11，13的乘積，矛盾所以所求的數(shù)恰好只有3，5，11，

13、13這4個(gè)質(zhì)因數(shù)對(duì)于這樣的每一個(gè)數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)后3，5，11，13這4個(gè)因子的冪次都恰好是231，451，10111，12131的一個(gè)排列，所以共有4！24種。11、 一個(gè)自然數(shù)恰好有18個(gè)因數(shù)，那么它最多有（ 9 ）個(gè)因數(shù)的個(gè)位是3. 【分析】一、 18 = 233 = (1+1)(2+1)(2+1) 這個(gè)自然數(shù)可能是MN2K2的形式。 則使其因數(shù)個(gè)位含3的盡可能多是： M是個(gè)位為3的質(zhì)數(shù)、N、K是個(gè)位為1的質(zhì)數(shù)。 則個(gè)位含3的因數(shù)個(gè)數(shù)有：(2+1)(2+1) = 9 個(gè)。（包含這個(gè)自然數(shù)本身） 二、 18 = 36 = (2+1)(5+1) 這個(gè)自然數(shù)可能是M2N5的形式。 則使其因數(shù)個(gè)位

14、含3的最大可能是： M是個(gè)位為3的質(zhì)數(shù)、N是個(gè)位為1的質(zhì)數(shù)，則個(gè)位含3的因數(shù)個(gè)數(shù)有5+1=6個(gè)。 粗略考慮其他情況如：7的3次方尾數(shù)為3等，均使得M、N可用的冪次數(shù)大大下降，則個(gè)位含3的因數(shù)個(gè)數(shù)無法超過24、33的情況，即不會(huì)比9多。 綜上，一個(gè)自然數(shù)恰好有18個(gè)因數(shù)，最多有9個(gè)因數(shù)個(gè)位是3。12、 N是1，2，3，.，1995，1996，1997的最小公倍數(shù)，請(qǐng)問N等于多少個(gè)2與一個(gè)奇數(shù)的積？【分析】在這些數(shù)中1024是2的10次方，含2的次數(shù)最多，其它含因數(shù)2的數(shù)在計(jì)算最小公倍數(shù)的時(shí)候可以約去2，所以N是10個(gè)2和某一個(gè)奇數(shù)的積。13、 在下面一列數(shù)中，從第二個(gè)開始，每個(gè)數(shù)都比它前面相鄰的

15、數(shù)大7，數(shù)列如下：8，15，22，29，36.它們前n-1個(gè)數(shù)相乘的積末尾0的個(gè)數(shù)比前n個(gè)數(shù)相乘積的末尾0的個(gè)數(shù)少3個(gè)，求n的最小值?！痉治觥坑蛇@列數(shù)可知：每個(gè)數(shù)除以7余數(shù)為1，因?yàn)榍皀-1個(gè)數(shù)相乘的積末尾0的個(gè)數(shù)比前n個(gè)數(shù)相乘積的末尾0的個(gè)數(shù)少3個(gè)，所以是后一個(gè)數(shù)必有3個(gè)5的因數(shù)。第n個(gè)數(shù)可以寫成125a，要使n最小，又要除以7余1，a取6，1256=750，（750-1）7=107答：n的最小值是107。14、 ，,.中，共有（ ）個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)?！痉治觥窟@些分?jǐn)?shù)是分子比分母小7，那么如果分子是7的倍數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)；如果不是7的倍數(shù)那它就是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。20027=286（個(gè)），不是7

16、的倍數(shù)有：2002-286=1716.答：共有1716個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。15、 美術(shù)老師要在一張長(zhǎng)12分米、寬84厘米的紙上裁出同樣大小的正方形手工紙若干張，且沒有紙剩下，那么每張正方形紙的邊長(zhǎng)最大是（ ）厘米，一共能裁出（ ）張這樣的手工紙？【分析】這個(gè)正方形有的邊長(zhǎng)是120、84的最大公約數(shù)：（120，84）=12.12084（1212）=70（張）答：那么每張正方形紙的邊長(zhǎng)最大是12厘米，一共能裁出70張這樣的手工紙.16、 如下圖所示，某公園有兩段路，AB=175m,BC=125m,在這兩段路上安路燈，要求A,B,C三點(diǎn)各設(shè)一個(gè)路燈，相鄰兩個(gè)路燈間的距離都相等，則在這兩段路上至少要安裝多少盞

17、燈？【分析】175和125的最大公約數(shù)為25 以25m作為間隔鋪設(shè)路燈，125=257，在AB上有7+1=8盞，125=255，BC上有5+1=6盞，其中B處重復(fù)一次，需要減去，故結(jié)果為13盞.17、 將一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字相加得到新的一個(gè)數(shù)稱為一次操作，經(jīng)連續(xù)若干次這樣的操作后可以變?yōu)?的數(shù)稱為“好數(shù)”，那么不超過2012的“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為( ),這些“好數(shù)”的最大公因數(shù)是（ ）?！痉治觥坷e找規(guī)律：1位數(shù)只有6 ，2位數(shù)：相加直接得6的，有15、24、33、42、51、60 ，個(gè)位、十位數(shù)相加得15的，有：69、78、87、96 把這些數(shù)排成數(shù)列，可以看到 6、15、24、33、42 這是個(gè)前

18、后兩個(gè)數(shù)相差為9的等差數(shù)列 （2012-6）9 = 2228 因此這個(gè)數(shù)列的尾項(xiàng)是6 + 9222 = 2004 項(xiàng)數(shù)（個(gè)數(shù)）是（2004 - 6）9 + 1 = 223個(gè)。 答： 不超過2012的“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為223，這些“好數(shù)”的最大公約數(shù)是3。18、 自然數(shù)b與175的最大公因數(shù)記為d。如果176（b-11d+1)=5d+1,則b=( 385 ).【分析】d是175的約數(shù)，175=557，所以d只在取1，5，7，25，35，175中的某一個(gè)。由176（b-11d+1)=5d+1可知：5d+1176，d35.d可取35，175.如取35，176（b-1135+1)=535+1，b=385

19、.如d取175，176（b-11175+1)=5175+1=876，b不是整數(shù)，所以175不合要求。答：b 是385,最大公因數(shù)是35.19、 三個(gè)兩兩不同的正整數(shù)，和為126，則它們兩兩最大公因數(shù)之和的最大值是（ ）?！痉治觥?26=2*3*3*7我們可以把其中的約數(shù)6分解成6=1+2+3，也可以把7分解成7=1+2+4(1) 126=21+42+63 此時(shí)兩兩的最大公約數(shù)之和為21+21+21=63(2) 126=18+36+72 此時(shí)兩兩的最大公約數(shù)之和為 18+18+36=72通過比較發(fā)現(xiàn)第二種情況的兩兩最大公約數(shù)之和最大，其值為7220、 電子鐘每走9分鐘亮一次燈，每到整點(diǎn)時(shí)響一次鈴

20、，中午12點(diǎn)整，電子鐘響鈴又亮燈。問：下一次響鈴又亮燈是幾點(diǎn)鐘？【分析】由題意可知，既響鈴又亮燈的時(shí)間是9和60的公倍數(shù)。【9，60】=180，中午12點(diǎn)整既響鈴又亮燈，說明下一次既響鈴又亮燈的時(shí)間 是再過180分鐘。180分=3時(shí)。答：下一次既響鈴又亮燈是下午3時(shí)。21、 已知a.b,c是三個(gè)自然數(shù)，且a與b的最小公倍數(shù)是60,a與c的最小公倍數(shù)是270.求b與c的最小公倍數(shù)?！痉治觥?0=2235，270=2335.b有因數(shù)22，c有因數(shù)33.若因數(shù)5是b 和c都有的，則【b,c=22335=540；若因數(shù)5是a的，則【b,c=2233=108.答：b與c的最小公倍數(shù)可能是540，也可能是

21、108.22、 一個(gè)數(shù)分別除以1，所得的商都是自然數(shù)，這個(gè)數(shù)最小是（ ）【分析】，這三個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)是7，分子的最小公倍數(shù)是60.這個(gè)數(shù)最小是。23、 如果兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是126，那么，它們的和是（23 ）【分析】126=149.14+9=2324、 兩個(gè)自然數(shù)A,B的最小公倍數(shù)等于50，問A+B有多少種可能的數(shù)值。【分析】50=255，A,B的值可能取1，2，5，10，25，50.或A取50，B有1，2，5，10，25，50.6種可能 ，若A取25，則B有2、10兩種取法。共8種可能的數(shù)值。25、 若兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210.這兩個(gè)自然數(shù)的和是7

22、7.則這兩個(gè)自然數(shù)是（ 35 )和（ 42 ）?！痉治觥吭O(shè)這兩個(gè)自然數(shù)為A,B。（A,B)=7，我們可設(shè)A=7a，B=7b。則ab=2107=30，a+b=777=11.可得出a=5,b=6.這兩個(gè)自然數(shù)是57=35，67=4226、 兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)是1925，這兩個(gè)整數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，得到兩個(gè)商的和是16.請(qǐng)寫出這兩個(gè)數(shù)。【分析】1925=55711 由于商的和是16，看約數(shù)情況，這里只能是11+5=16 所以2個(gè)商應(yīng)該是11和5，所以這兩個(gè)數(shù)應(yīng)該是575和5711 這樣除以最大公約數(shù)57就剩下5和11. 所以這兩個(gè)數(shù)就是575=175和5711=38527、 如下圖所示，鼴

23、鼠和老鼠分別從長(zhǎng)157米的小路兩端A,B開始向另一端挖洞，老鼠對(duì)鼴鼠說：“你挖好后，我再挖。”這樣一來，由于老鼠原來要挖的一些洞恰好也是鼴鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖（ ）個(gè)洞？【分析】由于老鼠是“倒”著挖，挖洞的地點(diǎn)的個(gè)位數(shù)字不一定是0，或5，需要具體分析，所以把它作為突破口，老鼠挖洞的地點(diǎn)依次為152、147，147同時(shí)也是3的倍數(shù)，這樣，依次往前遞減15所得到的數(shù)一定既是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)，因此一共少挖1473，5+1個(gè)洞【分析】147（35）=912，9+1=10（個(gè)）；答：所以老鼠可以少挖10個(gè)洞28、 夜里下了一場(chǎng)大雪，早上，小明和爸爸一起步測(cè)花園里的一條環(huán)形小路的長(zhǎng)度，他們從同一點(diǎn)同向行走，小明每步長(zhǎng)54厘米，爸爸每步長(zhǎng)72