隨機(jī)預(yù)設(shè)時(shí)間的倒向隨機(jī)微分方程及其在違約風(fēng)險(xiǎn)中的應(yīng)用翻譯

1、隨機(jī)預(yù)設(shè)時(shí)間的倒向隨機(jī)微分方程及其在違約風(fēng)險(xiǎn)中的應(yīng)用山東大學(xué)數(shù)學(xué)系，中國(guó)濟(jì)南， 250100shige peng ,xiaoming xu概要在本文中， 我們所關(guān)心的是隨機(jī)預(yù)設(shè)時(shí)間的倒向隨機(jī)微分方程及其在違約風(fēng)險(xiǎn)中的應(yīng)用。這些由布朗運(yùn)動(dòng)決定的方程就像相互獨(dú)立的鞅出現(xiàn)在一個(gè)違約設(shè)置。我們證明了這些方程有獨(dú)特的解決方案和一個(gè)相對(duì)于他們解的比較定理。 作為應(yīng)用， 關(guān)于相關(guān)零和隨機(jī)微分對(duì)策問(wèn)題我們得到了有關(guān)鞍點(diǎn)策略關(guān)鍵詞：倒向隨機(jī)微分方程，隨機(jī)默認(rèn)時(shí)間，比較定理，零和隨機(jī)微分對(duì)策1 介紹信用風(fēng)險(xiǎn)是一種最根本的， 最古老和最危險(xiǎn)的財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)。 特別是在最近幾年得到了不止一次的密切關(guān)注。 信用風(fēng)險(xiǎn)研究最廣泛

2、的形式是違約風(fēng)險(xiǎn)， 特別是在金融合同中一個(gè)人將要履行的責(zé)任和他相關(guān)于合同的義務(wù)不符合的風(fēng)險(xiǎn)。 許多人， 別萊茨基， 賈羅，jeanblanc， kusuoka等等，都在研究這個(gè)項(xiàng)目。在一個(gè)違約市場(chǎng) ,噪聲是由布朗運(yùn)動(dòng) b 以及一個(gè)命名為預(yù)設(shè)時(shí)間的隨機(jī)時(shí)間 決定。關(guān)于時(shí)間 我們可以得到兩種信息：一個(gè)來(lái)源于資產(chǎn)價(jià)格，由 產(chǎn)生定義為 f ，一個(gè)來(lái)源于默認(rèn)時(shí)間，由隨機(jī)過(guò)程h : 1 t定義為h。這里應(yīng)該注意的是一般而言，隨機(jī)時(shí)間并不是一個(gè) f-stopping 時(shí)間。 我們所需要考慮篩選叫做擴(kuò)大篩選g ： = fv h.o我們應(yīng)該怎么處理這類(lèi)事件呢？ 一般而言，我們構(gòu)建一個(gè)過(guò)程，命名這個(gè)f-風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程為

3、 通過(guò)設(shè)t ： = -ln1-p（ 0,有兩類(lèi)信息：一類(lèi)來(lái)源于價(jià)格資產(chǎn)，由f (t)0tt定義，一類(lèi)來(lái)源于違約時(shí)間 i,i 1,2.k,由上面的h;i 1,2,.k定義。有關(guān)的過(guò)大過(guò)濾由g (t)tt定義這里t t h1 ht2.h：,這表明每個(gè)i是一個(gè)g - 停止時(shí)間但不一定是一個(gè)f-停止時(shí)間一般情況下?，F(xiàn)在我們做如下假設(shè)(見(jiàn)16)：(a)存在一個(gè)的f -適應(yīng)過(guò)程i 0(i 1,2.k)使得ii timt ： ht 01(i s) sds(i 1,2,3l k)是p下的g -鞅。(h)每個(gè)f -局部鞅是一個(gè)g -局部鞅。應(yīng)該提到，(h)是一個(gè)非常通用的和必要的假設(shè)在擴(kuò)大過(guò)濾面積中(見(jiàn)18)。

4、以下只是出于簡(jiǎn)化的目的：(i) 符號(hào)的載體：tk),-1 ,2 ,i t) t ：(1 1 t t / 2 t t ,l 1 k t這里()、是轉(zhuǎn)置陣(ii) 符號(hào)的集l2(0,t； m)：0,t是逐步可測(cè)量且2dt2m、s (0,t;):0,t是逐步可測(cè)量且e sup。t tl2,t(0,t;mk):0,t是逐步可測(cè)量且21 t tdt:ji ,t1 tdt t i3隨機(jī)預(yù)設(shè)時(shí)間的倒向隨機(jī)微分方程本節(jié)討論了 一般形式的隨機(jī)預(yù)設(shè)時(shí)間的倒向隨機(jī)微分方程。我們通 過(guò)分析下面的在違約金融市場(chǎng)的一個(gè)例子開(kāi)始。3.1 一個(gè)例子開(kāi)始，我們假定這個(gè)違約市場(chǎng)是完整的，無(wú)套利的,也就是說(shuō)任彳gt-可測(cè)的隨機(jī)變量

5、可貿(mào)易的未定權(quán)益。在本節(jié)的剩余部分，bieleck等3,我們將見(jiàn)到一個(gè)馬爾可夫設(shè)置。為方便起見(jiàn)，我們假設(shè)這里 k = 1 ,密度是一個(gè)常數(shù)，交易發(fā)生在區(qū)間0 , t,以及動(dòng)態(tài)主要資產(chǎn)是dyti yi( idt vidbt kidmt),i1,2,3(ki0)或違約的這里ui,vi,ki1是連續(xù)的切主要資產(chǎn)可能是默認(rèn) (ki 0)。我們的目標(biāo)是復(fù)制一個(gè)未定權(quán)益的形式123123_123yt 1 tyt,* ,yt) 1 temm,*) g(ht,yt,yt ,yt)它落在時(shí)間t上。從市場(chǎng)的完整性，我們知道 yt是可復(fù)制的現(xiàn)在讓我們考慮一個(gè)小投資者，他們的行動(dòng)不能影響市場(chǎng)價(jià)格，他可以在t 0,t時(shí)

6、刻決定ti得多少數(shù)額的財(cái)富yt去投資的資產(chǎn)，i 1,2,3 當(dāng)然,他的決定只能基于當(dāng)前信息t,過(guò)程 (1, 2 , 3)和1 y 23)是可以預(yù)測(cè)的。在harrison-pliska13w，我們說(shuō)一個(gè)策略是財(cái)政自給的如果其滿(mǎn)足下列等式12377ti dmt 2 dy2t3 dy3yt yo0s 彳0 s 彳0s -y3-或者,相等的，如果財(cái)富過(guò)程滿(mǎn)足線(xiàn)性隨機(jī)微分方程3dytti idti 13tivibttikidmt注意到1 y 23),我們需要找到一個(gè)策略滿(mǎn)足，我們需要找到一個(gè)策略滿(mǎn)足2dy 1y ：( 21)t3( 31)dtv1yt2wv1)t3wv1)dbtk1丫：(k2k)；*31

7、23* g(ht,y1,y2,y3)使得zt vytt2(v2 vi)3 , t (v3v1), t1 tk1yt2t2&1)t3(k3k1).也就是說(shuō) 只在0, t上被很好的定義，事實(shí)上，我們有t1 tdmt tdm既然dmt 0 on0, t。然后經(jīng)簡(jiǎn)單的計(jì)算可得i(y,z, )(i 2,3)這里i(ggg)(i2,3)是下列的線(xiàn)性形式2_(y,z,)ki v3a2yvib2z c2itvi(k3 ki)(v2 %)(卜3ki) k3(k2ki)(v3kivi)(v2 vi)(k3ki)v3(k2ki)(v3vivi)(v2 vi)(k3ki)(k2 ki)(v3vi)3(y,z,)ki

8、v2a3yvib3z c3ivi(k2 ki)t23yz(v3 必)施 ki) & ki)(v2 vi)1 t(v3 vi)(k2 ki) *3 ki)(v2 vi)vi)1tv2 vi vi)(k2 ki) *3 ki)(v2a i ( 2i) a2 (3i )a3b ( 2i)b2 ( 3i)b3 c -( 232 ( 3i)q,然后(2)因?yàn)閐y (ayt byt ci t t)dt ztdbttdmty g(ht，yt2, yt3)這只是一個(gè)隨機(jī)預(yù)設(shè)時(shí)間的線(xiàn)性倒向隨機(jī)微分方程。假設(shè)ci,這實(shí) 際上比3多個(gè)除了有一個(gè)一般條件，設(shè)-ti 2qt : expln(i c)ht c 0i s

9、ds bbt - b t at也就是dqtqt (adt bdbt cdmt)qo ia應(yīng)用itos公式(見(jiàn)附件)在qtyt上，我們有dqyt cqti t tdt qt(zt by)dbt qt ( t cy )dmt cqt tdht qt(zt by)dbt qt ( t cy c t)dmt其滿(mǎn)足qty e iqtgety,yt2,*3),在金融市場(chǎng)上，y被稱(chēng)為未定權(quán)益的公平價(jià)格 g(ht,yt1,yt2,y3)3.2隨機(jī)預(yù)設(shè)時(shí)間的倒向隨機(jī)微分方程本屆中主要討論的模型是tttytht) t g(s,ys,zs, s)ds t zsd& t sdms(3)在違約的金融市場(chǎng)，(ht)代表了

10、時(shí)刻t的需要被復(fù)制一個(gè)未定權(quán)益， 取決于違約事件是否在時(shí)刻 t發(fā)生。交易發(fā)生在區(qū)間0,t。z和 代 表了套期保值策略的信息，例如，在線(xiàn)性案例中(見(jiàn)3.1節(jié))，我們可以 計(jì)算套期保值策略，通過(guò)z和。這項(xiàng)功能稱(chēng)為(3)的發(fā)生器。我們的目標(biāo)是找到一個(gè)三次的(y,zt, t) s2(0.t; m) l2(0.t; md) l2, (0.t;?mk)滿(mǎn)足(3)。為了這個(gè)目的，我 們先考慮一個(gè)十分簡(jiǎn)單的例子：g(y,z,)一個(gè)是一個(gè)真正的價(jià)值過(guò)程，變量(y,z,)是獨(dú)立的lemma3.1對(duì)于固定的(ht) l2( t;?)和go()滿(mǎn)足t2e( 0 g0(s)ds)這里存在一個(gè)特殊的三次過(guò)程 mg丘版(q

11、r岡x埒。廣舉)乂(4)珞,值?。恍?滿(mǎn)足物= 丁)十 隊(duì)(引右一如果b 星r；電心e rjxtrtf） x ir0,7*）-我們有下列基本估價(jià)|y十的門(mén)/f十i/f十ikm心t/由照如/產(chǎn)”勾+當(dāng)”回產(chǎn)源i）也特別的如十e即十匕十|仁陶也 elfn ）產(chǎn)產(chǎn)十幼 血產(chǎn)小心| j。 dij jo這里心兒：=憶1勾4際=3 kpl3秘 2 0-是任意常數(shù)我們同時(shí)有te sup也曰 5e解出/中十。（f困，（k（t/d這里常量ct取決于to證明：定義m=e51十/典咫.jq顯然，nt是一個(gè)二次可積的g -鞅。由kusuoka的鞅表示定理（見(jiàn)附件），存在一個(gè)獨(dú)特的雙相適應(yīng)的過(guò)程-l他丁配x4:幽風(fēng)=風(fēng)

12、十flz.db. +: jojo-表不有由=n - /%1占=nr - i的心-/ sdbs - i /d此. 7ajojt jt由四丁 =w + j；卬*.，我們可以立刻得出(4).。這是一個(gè)簡(jiǎn)單的唯一性結(jié)果估計(jì)(6),我們只需要證明先驗(yàn)估計(jì)為了證明(5),我們首先考慮 和g0 (g)都有界的情形。由山=產(chǎn)收片)+加弗,則過(guò)程y也是有界的。從方程式(4),我們有比% =一朵(5)品+石& +%心(我們?nèi)缓筇砑觟tos公式進(jìn)y2e s (見(jiàn)例子a.1)對(duì)于s t,t:好自=產(chǎn)(0蛀-2%典十曷產(chǎn)+匕|打“岫 包/用(九q+kfmm.整合s從t到t,并且取t的兩邊的條件期望，我們得到j(luò)yi叫心聲

13、/慟/ +1島f +仁也”晶譏f大=國(guó)鏟和一)十碎f 2孔g1s公_ syf弁：=f十f亦心一 /球狙i 一 m%和h由n, k,gn和gk的有界性對(duì)每個(gè)正整數(shù)n和k,我們有is?|2 +廬j；閣明 + i明+ici丁m盤(pán)閭廬噌千潑bt +音總公丁尻網(wǎng)1m和/圖虱1 -必卜+以-卻+ k - 出 p _凹盯十日七依|死（） _姐|%函推.第二個(gè)不等式意味著yy，zn，n過(guò)程是柯西序列在它們相應(yīng)的空間。所以（5）可證通過(guò)使n趨于在（8）中。我們將很容易的得到如毛里取t）e當(dāng)（7）是（6）和b-d-g不等式應(yīng)用于（4）得到的。由上述基本估計(jì)，我們現(xiàn)在可以考慮的一般情形（3）。我們假定 的小山,q

14、0 x 07x即乂 rx即-即符合下列條件：（a）期s孤丁3巧（a）（b）李普希茨條件,對(duì)每個(gè)億%g,（八/g e也邛x re xltwtscojtoljlr r ,存在一個(gè)常量c。使得|g 化電劣 q） c（y-y + 上一乏i 十 k 41匕刈#57）.定理3.1假設(shè)g滿(mǎn)足（a）和（b）,則對(duì)于任意給定的終端條件，（?。﹚ l2的;工倒向隨機(jī)微分方程有一個(gè)特殊解，即，存在一個(gè)特殊的三次t-適應(yīng)過(guò)程（心43| 封也?。毁A）x l（* tw嗎 x 后t也 r；rmxl）滿(mǎn)足（3）.證明；首先，我們引進(jìn)一種規(guī)范在冷曲r還我政門(mén)；x管or5力沖,m，皿）i以三伊 ，口k=（r）十 i。（與上-岫一

15、 / zetlbs - i gdal.設(shè)上人人我們定義下面的映像我碌，t；rm卜妤鳴??；rf x4w.t;z）到 其自身：1幾4=八：八j1。接下來(lái)，我們將證明i是一個(gè)嚴(yán)格的收縮映射在規(guī)范|g|下。對(duì)任意兩i兀索(y, z,）和(譏另0 e (0. t; m) x悠th1碼工4佻rw力我們?cè)O(shè)（kzq = fgt （匕2 =/叱初并且表示出他們之間的差異通過(guò)國(guó)自mr-en6 =丫 2,1）,由的基本估計(jì)，我們有t.7e f芻山旺|勿2十|（）戶(hù)/e f mg%：、j一虱/a.g）產(chǎn)產(chǎn)熱兒上p jft 由于g符合李普希茨條件，有e/斗匕十十%冷產(chǎn)人 警召（他十閡、|端圖八.使,l + u,得到gp丁 / （|。產(chǎn)十位十i匕曲的金 。|2 +屬十|悶?zāi)弦蝗ィ琷a& jo或4 具 ai|（”區(qū)。|小0|的五。|團(tuán)所以i是一個(gè)嚴(yán)格的收縮映射 境（.臟力乂謊 廠rm叫a l?（07： rm力它遵循不動(dòng)點(diǎn)定理即倒向隨機(jī)微分方程（3）有一個(gè)獨(dú)特的解。由（a）和（b）,zc） 礎(chǔ)。門(mén)中是顯然的，由引理3.1,我們有飛翎:圖上備注3.1在上述定理的條件中，由分動(dòng)器g滿(mǎn)足的條件，我們知道這里g是獨(dú)立的最后一個(gè)元素 在違約發(fā)生后，即在t 時(shí) 城匕辦工）三。億乩田。其金融解釋是，在違約發(fā)生后，未定權(quán)益的影 響因素是和違約風(fēng)險(xiǎn)絕對(duì)相互獨(dú)立的。備注3