帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)最小面積問(wèn)題

1、帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)最小面積問(wèn)題例1.在xOy平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為m,電荷量為e）,從坐標(biāo)原點(diǎn)O不斷以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如圖所示.現(xiàn)加上一個(gè)垂直于xOy平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng),要求這些電子穿過(guò)該磁場(chǎng)后都能沿平行于x軸正方向運(yùn)動(dòng),試求出符合條件的磁場(chǎng)最小面積.例2一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子以速度v0從O點(diǎn)沿y軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從b處穿過(guò)x軸，速度方向與x軸正方向夾角30，如圖所示(粒子重力忽略不計(jì))試求： (1)圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積(2)粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域到達(dá)b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間(3

2、)b點(diǎn)的坐標(biāo)例3一個(gè)質(zhì)量為m，帶q電量的粒子在BC邊上的M點(diǎn)以速度v垂直于BC邊飛入正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點(diǎn) 圖示 (CMCN)垂直于AC邊飛出三角形ABC，可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋€(gè)垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)也是正三角形的區(qū)域內(nèi)，且不計(jì)粒子的重力試求：(1)粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r及周期T；(2)該粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；(3)該正三角形磁場(chǎng)區(qū)域的最小邊長(zhǎng)； 針對(duì)訓(xùn)練1(09年海南高考)如圖甲所示，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng)電子從

3、BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)不計(jì)重力，求：(1)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向(2)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積2（09年福建卷）圖為可測(cè)定比荷的某裝置的簡(jiǎn)化示意圖，在第一象限區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=2.010-3T,在X軸上距坐標(biāo)原點(diǎn)L=0.50m的P處為離子的入射口，在Y上安放接收器，現(xiàn)將一帶正電荷的粒子以v=3.5104m/s的速率從P處射入磁場(chǎng)，若粒子在y軸上距坐標(biāo)原點(diǎn)L=0.50m的M處被觀測(cè)到，且運(yùn)動(dòng)軌跡半徑恰好最小，設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m,電量為q,不記其重力。（1）求上述粒子的比荷q/m（2）如果在上述粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某個(gè)時(shí)刻，在第一

4、象限內(nèi)再加一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，就可以使其沿y軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向，并求出從粒子射入磁場(chǎng)開(kāi)始計(jì)時(shí)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間加這個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)；（3）為了在M處觀測(cè)到按題設(shè)條件運(yùn)動(dòng)的上述粒子，在第一象限內(nèi)的磁場(chǎng)可以局限在一個(gè)矩形區(qū)域內(nèi)，求此矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積，并在圖中畫(huà)出該矩形。3、（1994年全國(guó)高考試題）如圖12所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最

5、小半徑。重力忽略不計(jì)。 4.2010寧波模擬 如圖甲所示，水平放置的平行金屬板A和B間的距離為d，板長(zhǎng)L2d，B板的右側(cè)邊緣恰好是傾斜擋板NM上的一個(gè)小孔K，NM與水平擋板NP成60角，K與N間的距離Ka.現(xiàn)有質(zhì)量為m、帶正電且電荷量為q的粒子組成的粒子束，從AB的中點(diǎn)O以平行于金屬板方向OO的速度v0不斷射入，不計(jì)粒子所受的重力 (1)若在A、B板上加一恒定電壓UU0，則要使粒子穿過(guò)金屬板后恰好打到小孔K，求U0的大小 (2)若在A、B板上加上如圖乙所示的電壓，電壓為正表示A板比B板的電勢(shì)高，其中T，且粒子只在0時(shí)間內(nèi)入射，則能打到小孔K的粒子在何時(shí)從O點(diǎn)射入？(3)在NM和NP兩擋板所夾的

6、某一區(qū)域存在一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使?jié)M足條件(2)從小孔K飛入的粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后能垂直打到水平擋板NP上(之前與擋板沒(méi)有碰撞)，求該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值5.如圖，一帶電粒子以某一速度在豎直平面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后進(jìn)入一垂直于紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的最小的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域(圖中未畫(huà)出磁場(chǎng)區(qū)域)，粒子飛出磁場(chǎng)后垂直電場(chǎng)方向進(jìn)入寬為L(zhǎng)的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向豎直向上當(dāng)粒子穿出電場(chǎng)時(shí)速率變?yōu)樵瓉?lái)的 倍已知帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，重力不計(jì)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)前的速度與水平方向成60角試回答：(1)粒子帶什么電？(2)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度多大？(3)該最小的圓形磁場(chǎng)

7、區(qū)域的面積為多大？參考答案例1.在xOy平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為m,電荷量為e）,從坐標(biāo)原點(diǎn)O不斷以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如圖所示.現(xiàn)加上一個(gè)垂直于xOy平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng),要求這些電子穿過(guò)該磁場(chǎng)后都能沿平行于x軸正方向運(yùn)動(dòng),試求出符合條件的磁場(chǎng)最小面積.解：由于電子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑Rmv0/Be是確定的，設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動(dòng)軌道如圖所示，因?yàn)殡娮又荒芟虻谝幌笙奁矫鎯?nèi)發(fā)射，所以電子運(yùn)動(dòng)的最上面一條軌跡必為圓O1，它就是磁場(chǎng)的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點(diǎn)O為圓心，以R為半徑的圓弧O1O2On。由于要求所有電子均平行于x

8、軸向右飛出磁場(chǎng)，故由幾何知識(shí)有電子的飛出點(diǎn)必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)。如對(duì)圖中任一軌跡圓O2而言，要使電子能平行于x軸向右飛出磁場(chǎng)，過(guò)O2作弦的垂線O2A，則電子必將從點(diǎn)A飛出，相當(dāng)于將此軌跡的圓心O2沿y方向平移了半徑R即為此電子的出場(chǎng)位置。由此可見(jiàn)我們將軌跡的圓心組成的圓弧O1O2On沿y方向向上平移了半徑R后所在的位置即為磁場(chǎng)的下邊界，圖中圓弧OAP示。綜上所述，要求的磁場(chǎng)的最小區(qū)域?yàn)榛AP與弧OBP所圍。利用正方形OO1PC的面積減去扇形OO1P的面積即為OBPC的面積；即R2-R2/4。根據(jù)幾何關(guān)系有最小磁場(chǎng)區(qū)域的面積為S2（R2-R2/4）（/2 -1）（mv0/Be）2。例2.

9、一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子以速度v0從O點(diǎn)沿y軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從b處穿過(guò)x軸，速度方向與x軸正方向夾角30，如圖所示(粒子重力忽略不計(jì))試求： (1)圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積(2)粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域到達(dá)b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間(3)b點(diǎn)的坐標(biāo)解析：(1)帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R由圖可知aOb60磁場(chǎng)區(qū)域最小半徑rRcos 30磁場(chǎng)區(qū)域最小面積Sr2.(2)由O到a過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間t1由幾何關(guān)系得abR粒子由a到b所經(jīng)歷的時(shí)間t2粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域到達(dá)b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間tt1t2()(3)因?yàn)閟in 30，Ob

10、2R得Ob3R故b點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)例3、一個(gè)質(zhì)量為m，帶q電量的粒子在BC邊上的M點(diǎn)以速度v垂直于BC邊飛入正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點(diǎn) 圖示 (CMCN)垂直于AC邊飛出三角形ABC，可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋€(gè)垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)也是正三角形的區(qū)域內(nèi)，且不計(jì)粒子的重力試求：(1)粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r及周期T；(2)該粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；(3)該正三角形磁場(chǎng)區(qū)域的最小邊長(zhǎng)； 針對(duì)訓(xùn)練1如圖甲所示，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁

11、場(chǎng)電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)不計(jì)重力，求：甲(1)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向(2)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積【答案】(1)方向垂直紙面向外(2)a22（09年福建卷）22.(20分)圖為可測(cè)定比荷的某裝置的簡(jiǎn)化示意圖，在第一象限區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=2.010-3T,在X軸上距坐標(biāo)原點(diǎn)L=0.50m的P處為離子的入射口，在Y上安放接收器，現(xiàn)將一帶正電荷的粒子以v=3.5104m/s的速率從P處射入磁場(chǎng)，若粒子在y軸上距坐標(biāo)原點(diǎn)L=0.50m的M處被觀測(cè)到，且運(yùn)動(dòng)軌跡半徑恰好最小，設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m,電量為q,不記其重力。（1）求上

12、述粒子的比荷；（2）如果在上述粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某個(gè)時(shí)刻，在第一象限內(nèi)再加一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，就可以使其沿y軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向，并求出從粒子射入磁場(chǎng)開(kāi)始計(jì)時(shí)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間加這個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)；（3）為了在M處觀測(cè)到按題設(shè)條件運(yùn)動(dòng)的上述粒子，在第一象限內(nèi)的磁場(chǎng)可以局限在一個(gè)矩形區(qū)域內(nèi)，求此矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積，并在圖中畫(huà)出該矩形。答案（1）=4.9C/kg（或5.0C/kg）；（2） ； （3）解析：第（1）問(wèn)本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。第（2）問(wèn)涉及到復(fù)合場(chǎng)（速度選擇器模型）第（3）問(wèn)是帶電粒子在有界磁場(chǎng)（矩形區(qū)域）中的運(yùn)動(dòng)。（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為r。如圖甲，

13、依題意M、P連線即為該粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的直徑，由幾何關(guān)系得 由洛倫茲力提供粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，可得 聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得=4.9C/kg（或5.0C/kg） （2）設(shè)所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E。如圖乙，當(dāng)粒子子經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)，速度沿y軸正方向，依題意，在此時(shí)加入沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)力與此時(shí)洛倫茲力平衡，則有 代入數(shù)據(jù)得 所加電場(chǎng)的長(zhǎng)槍方向沿x軸正方向。由幾何關(guān)系可知，圓弧PQ所對(duì)應(yīng)的圓心角為45，設(shè)帶點(diǎn)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，所求時(shí)間為t，則有 聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得 （3）如圖丙，所求的最小矩形是，該區(qū)域面積 聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得 矩形如圖丙中（虛線）、3、（1994年全國(guó)

14、高考試題）如圖12所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計(jì)。解析：質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，qvB=（Mv2）/R，得R=（MV）/（qB）。根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周，這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切。如圖13所示，過(guò)a點(diǎn)作平行于x軸的直線，過(guò)b點(diǎn)作平行于y軸的直線，則與這兩直線均相距

15、R的O點(diǎn)就是圓周的圓心。質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道就是以O(shè)為圓心、R為半徑的圓（圖中虛線圓）上的圓弧MN，M點(diǎn)和N點(diǎn)應(yīng)在所求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的邊界上。在通過(guò)M、N兩點(diǎn)的不同的圓周中，最小的一個(gè)是以MN連線為直徑的圓周。所以本題所求的圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑為：，所求磁場(chǎng)區(qū)域如圖13所示中實(shí)線圓所示。42010寧波模擬 如圖395甲所示，水平放置的平行金屬板A和B間的距離為d，板長(zhǎng)L2d，B板的右側(cè)邊緣恰好是傾斜擋板NM上的一個(gè)小孔K，NM與水平擋板NP成60角，K與N間的距離Ka.現(xiàn)有質(zhì)量為m、帶正電且電荷量為q的粒子組成的粒子束，從AB的中點(diǎn)O以平行于金屬板方向OO的速度v0不斷射入，不計(jì)粒子所受的重

16、力圖395(1)若在A、B板上加一恒定電壓UU0，則要使粒子穿過(guò)金屬板后恰好打到小孔K，求U0的大小(2)若在A、B板上加上如圖乙所示的電壓，電壓為正表示A板比B板的電勢(shì)高，其中T，且粒子只在0時(shí)間內(nèi)入射，則能打到小孔K的粒子在何時(shí)從O點(diǎn)射入？(3)在NM和NP兩擋板所夾的某一區(qū)域存在一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使?jié)M足條件(2)從小孔K飛入的粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后能垂直打到水平擋板NP上(之前與擋板沒(méi)有碰撞)，求該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值例3(1)(2)tx(3)解析 (1)A、B板間加上電壓后，帶電粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，則：Lv0tt2把L2d代入式可得：U0(2)粒子在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)

17、動(dòng)的時(shí)間均為t，設(shè)粒子在tx時(shí)刻進(jìn)入金屬板，則在tx時(shí)刻開(kāi)始做類拋運(yùn)動(dòng)，平拋的時(shí)間為tx，則：t把代入式可得：tx(3)在射入的粒子，在進(jìn)入K時(shí)豎直方向的分速度為vy，則vyatxtan vv0則30，即粒子垂直MN板入射如圖甲所示，粒子從K點(diǎn)入射后做勻速直線運(yùn)動(dòng)從D點(diǎn)開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子在進(jìn)入磁場(chǎng)后，根據(jù)左手定則，所受的洛倫茲力斜向上，要使粒子能垂直打到水平擋板NP，則粒子需偏轉(zhuǎn)300后從E射出，做勻速直線運(yùn)動(dòng)垂直打到NP.粒子做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力，即qvB可得B要使B最小，則要半徑r最大，臨界情況是圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡恰好跟兩擋板相切，如圖乙所示，根據(jù)對(duì)稱性圓周運(yùn)動(dòng)的圓心C、交點(diǎn)G位于

18、MNP的角平分線上，則由幾何關(guān)系可得：CDKF是邊長(zhǎng)為r的正方形則在三角形NCF中，有rar，可得r，B.5(2011年遼寧撫順六校聯(lián)合體模擬)如圖835所示，一帶電粒子以某一速度在豎直平面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后進(jìn)入一垂直于紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的最小的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域(圖中未畫(huà)出磁場(chǎng)區(qū)域)，粒子飛出磁場(chǎng)后垂直電場(chǎng)方向進(jìn)入寬為L(zhǎng)的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向豎直向上當(dāng)粒子穿出電場(chǎng)時(shí)速率變?yōu)樵瓉?lái)的 倍已知帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，重力不計(jì)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)前的速度與水平方向成60角試回答：(1)粒子帶什么電？(2)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度多大？(3)該最小的圓形磁場(chǎng)區(qū)域的面積為多大？解析：(1)根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的情況