華中科技大學(xué)02碩士研究生數(shù)學(xué)分析考試試題及答案

1、華中科技大學(xué)2002年碩士研究生數(shù)學(xué)分析考試試題一、 求。解：原式二、 設(shè)函數(shù)滿足方程組，期中 均為連續(xù)可微函數(shù)，求。解：因?yàn)?，解得；同理有，得。三?設(shè)函數(shù)在的可微，當(dāng)時(shí)，證明存在使得。證明：令，則，在上滿足羅爾定理，所以存在使得，即有，即。四、 證明不等式，（ ）。證明： 當(dāng)或或時(shí)，不等式顯然成立，下面利用多元函數(shù)極值方法證明，先求函數(shù)當(dāng)時(shí)，在球面上的最大值，作拉格朗日函數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)，得解得，代入約束條件，可得，由于目標(biāo)函數(shù)無(wú)最小值，所以唯一的駐點(diǎn)必是最大值點(diǎn)，于是有，即，在后一式中令，和，得到。五、設(shè)函數(shù)在的連續(xù)可微，且最少有一個(gè)零點(diǎn)，證明 。證明：設(shè)，對(duì)任意的有，上式積分得 。六、，

2、其中為單位圓周，逆時(shí)針?lè)较?。解?令，得 。七、設(shè)區(qū)域由分片光滑封閉曲面所圍成。證明：,其中為曲面的單位外法向量,，。證明：由，可知。因?yàn)?由Gauss公式，得到 。八、證明:對(duì)充分大的自然數(shù)有近似公式，當(dāng)時(shí)，其誤差與是等價(jià)無(wú)窮小。證明：:對(duì)充分大的自然數(shù)，即有近似公式。且，因此，即與是等價(jià)無(wú)窮小。九、展開(kāi)為上的正弦級(jí)數(shù)。十、設(shè)是區(qū)間上連續(xù)函數(shù)序列，它在上一致收斂于，假設(shè)每個(gè)在上不處處為負(fù)，證明在上也不處處為負(fù)。證明：由題設(shè)易知在區(qū)間上連續(xù)，下面用反證法證明，假設(shè)在上處處為負(fù)，即，又在上一致收斂于，所以存在，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有，即有，即有，即當(dāng)時(shí)，在上處處為負(fù)，矛盾。華中科技大學(xué)2003年碩士研

3、究生數(shù)學(xué)分析考試試題一、求。，則，故極限不存在。二、設(shè)是兩次連續(xù)可微函數(shù)，用極坐標(biāo)代換變換式子。解：，。三、設(shè)，在上連續(xù)，在可導(dǎo)且，證明存在使得。證明：由柯西中值定理存在使得，即。四、設(shè)，證明不等式：，。證明：，解得，這時(shí)，又且當(dāng)充分小時(shí)為無(wú)窮大，所以沒(méi)有最大值，是的最小值，即。五、 設(shè)在上兩次連續(xù)可微，證明。證明：，又,所以，即。六、 設(shè)是橢圓，是的單位切向量，指向反時(shí)針?lè)较?，求。解：設(shè)是的單位外法向量，則 ，又令，所以則，七、 設(shè)是橢球面，是原點(diǎn)到切平面的距離，求。 解：上點(diǎn)的切平面：，即，則，八、 將函數(shù)展成為的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂域。 解：當(dāng)，即時(shí)，有定義，且，易知級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。九?/p>

4、 在上展開(kāi)為的富立葉級(jí)數(shù)。十、 證明公式 ，其中是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，。證明：設(shè)，則，即單升，又有上界，故由單調(diào)有界原理知存在，記我為，則，令，即有，且。華中科技大學(xué)2004年碩士研究生數(shù)學(xué)分析考試試題一、 設(shè)求級(jí)數(shù)之和。解：，則。二、 設(shè)，證明，此估計(jì)能否改進(jìn)？證明：由泰勒公式存在使得 ，兩式相減得，所以有；不能改進(jìn)，例，滿足，的條件，但對(duì)任意，有。三、 設(shè)有處處連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，證明。證明：因?yàn)?，則由分部積分有。四、設(shè)在上連續(xù)，在可微，存在唯一的，使得，設(shè)，證明是在上的最大值。證明：由，存在，當(dāng)時(shí)，又在有界閉區(qū)間上連續(xù)，所以在上一定取到最大值，而在區(qū)間邊界；和上都有不能取到最大值，最大值只能在

5、的內(nèi)部取到，這時(shí)最大值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)，即該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零，而的內(nèi)部只存在唯一的使的點(diǎn)，知是在的最大值點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，記得是在上的最大值。五、 設(shè)處處有，證明曲線位于其任意切線上方，且與切線有唯一的交點(diǎn)。 證明：對(duì)任意，由泰勒公式存在使得 ，即曲線位于其任意切線上方；下面用反證法證明曲線與切線有唯一的交點(diǎn)，在曲線點(diǎn)的切線為，假若還有曲線點(diǎn)在切線上，則，即有，由微分中值定理存在，使得，再由羅爾定理存在使得，與題設(shè)矛盾。六、求， 其中為單位圓周，逆時(shí)針?lè)较?。解?令，得 。七、設(shè)是連續(xù)正函數(shù)，證明是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)。證明：，因此是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)。八、設(shè)收斂，證明。證明：因?yàn)槭諗?，的收斂半徑大于等?，則

6、的收斂半徑大于等于1，所以級(jí)數(shù)在收斂，故級(jí)數(shù)在上一致收斂，故。九、設(shè)在上連續(xù)，其零點(diǎn)：為證明：積分收斂級(jí)數(shù)收斂。證明：若收斂，由柯西準(zhǔn)則，對(duì)任意的，存在，當(dāng)時(shí)，有，又存在，當(dāng)，則對(duì)任意的正整數(shù)，即收斂。先不妨設(shè)，則，；若級(jí)數(shù)收斂，對(duì)任意的，存在，當(dāng)，有，即，當(dāng)時(shí)，由有，且不妨設(shè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，即，積分收斂。十、設(shè)，在上連續(xù)，在上一致收斂于，證明至少存在一點(diǎn)，使得。證明：在上連續(xù)，且，則，下面用反證法證明，假設(shè)在上都有，則有，矛盾。2005年試題一、 設(shè)，求極限。解：由微分中值定理，使，而，得，同理有，所以。二、 設(shè)在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，給出的一個(gè)估計(jì)。，所以在上的最大值為1，則三、設(shè)有連續(xù)的一

7、階偏導(dǎo)數(shù)，證明。證明：因?yàn)?，則，且，又因?yàn)?，則由分部積分有，即。四、設(shè)在區(qū)間上可微且恒大于零，單調(diào)減，證明，。證明：作函數(shù)，有，且單調(diào)減，又不妨設(shè) ，則有微分中值定理有 和，再由單減得，即有。五、設(shè)在上有兩階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明。證明：由分部積分得。7.證明：因?yàn)閒(x)在區(qū)間上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，所以在上連續(xù)，故存在使得同理在上連續(xù)，故存在使得又由于是f(x)在區(qū)間上的Fourier系數(shù)，所以因此有：所以存在常數(shù)，使得：所以存在常數(shù)M0，使得。8.解：由題設(shè)條件Q(x,y) 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，積分完全決定于L的起點(diǎn)與終點(diǎn)，所以根據(jù)格林公式有因此另一方面，對(duì)任何實(shí)數(shù)z成立等式：，故有：，即：，所以

8、：，把代入前式得到：，等式兩邊對(duì)z求導(dǎo)數(shù)得：，所以：，10.證明：用反證法，假設(shè)f(x)在a,b上沒(méi)有零點(diǎn)，則.f(x)在a,b上不變號(hào)，不妨設(shè)，由于是連續(xù)函數(shù)，且在a,b上一致收斂到f(x)，故f(x)也是連續(xù)函數(shù)，則存在從而，取，則由于在a,b上一致收斂到f(x)，故存在自然數(shù)N，當(dāng)時(shí)，對(duì)于一切，都有，所以就有：這與在a,b上有零點(diǎn)矛盾，故反設(shè)不成立，即f(x) 至少有一個(gè)零點(diǎn)。2006年試題1、 設(shè)是定義在上的連續(xù)可微函數(shù)，曲線在點(diǎn)有水平切線，求。解：，。2、 設(shè)在區(qū)間上的正值連續(xù)函數(shù)，證明方程在區(qū)間至少有一解。解：令，所以由連續(xù)函數(shù)介值定理存在，使得，即方程在區(qū)間至少有一解。3、設(shè)是由

9、方程表示的曲面，其中連續(xù)可微函數(shù)，是外的一點(diǎn)，是上的距離最近的點(diǎn)，求曲面在點(diǎn)處的切平面方程。解：令，上的距離最近的點(diǎn)滿足條件，曲面在點(diǎn)處的切平面方程為，即得4、設(shè)是區(qū)間上的兩次可微函數(shù)， ，是曲邊梯形的面積，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的梯形的面積，比較，的大小，給出結(jié)果的分析證明。解：，即，證明：令，所以，所以，故有，即。5、求，是取逆時(shí)針?lè)较虻膱A周，解：，則。6、設(shè)是區(qū)間上的正值連續(xù)函數(shù)，證明是區(qū)間上的嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)。解：，由連續(xù)，知當(dāng)時(shí)，且連續(xù)，所以是區(qū)間上連續(xù)，且，所以是區(qū)間上的嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)。7、設(shè)是不含原點(diǎn)的有界閉區(qū)域，體積為，其邊界是光滑的簡(jiǎn)單閉曲面，是的外向單位法向量，是上的連續(xù)

10、可微函數(shù)，它滿足方程，求。解：設(shè)，則。8、設(shè)在有定義，發(fā)散，（1）已知極限存在，求。（2）證明級(jí)數(shù)對(duì)一致收斂。解：（1）時(shí)，收斂，則級(jí)數(shù)收斂半徑，又發(fā)散，則，故，因?yàn)榇嬖?，則；（2）級(jí)數(shù)在上收斂，因?yàn)槭諗?，?duì)任意，關(guān)于單調(diào)，且，一致有界，所以由阿貝爾判別法知級(jí)數(shù)對(duì)一致收斂。9、設(shè)，級(jí)數(shù)收斂，是在區(qū)間上的正鉉級(jí)數(shù)，求。解：，又一致收斂，則10、對(duì)任意自然數(shù)，在區(qū)間上連續(xù)且至少有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上一致收斂于函數(shù)，證明在區(qū)間上至少有一個(gè)零點(diǎn)。解：在區(qū)間上連續(xù)且一致收斂于函數(shù)，所以在上連續(xù)，反證法，在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，則在區(qū)間上保號(hào)，不妨設(shè)，又設(shè)是在區(qū)間上最小值，所以，又在區(qū)間上一致收斂于函數(shù)，由

11、定義，存在，對(duì)任意的有，即有，即在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，矛盾，故命題成立。2007年1、 設(shè)，證明數(shù)列收斂，并求其極限。解：設(shè)，則，所以由歸納法知有上界，即，又，知單調(diào)增加，所以由單調(diào)有界原理知數(shù)列收斂，記，則，即。2、 求極限。解：。3、 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足：（1）對(duì)任意，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)，（2）開(kāi)區(qū)間內(nèi)一致收斂于，證明在開(kāi)區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)。證明：，由開(kāi)區(qū)間內(nèi)一致收斂于所以對(duì)任意的，存在，當(dāng)，對(duì)，有，由在開(kāi)區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)，所以在開(kāi)區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)，存在，對(duì)和，有，故對(duì)和時(shí)有，即在開(kāi)區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)。4、 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)且滿足，又設(shè)在區(qū)間內(nèi)取到最大值。證明：。證明： 設(shè)為函數(shù)的最大值點(diǎn)，則，。以代入在點(diǎn)的帶Lagrange余項(xiàng)的Taylor公式，得到。5、 證明函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)。證明：對(duì)任意的，存在，使得，考慮區(qū)間，對(duì)任意，關(guān)于單調(diào)，且 ，一致趨于0，且，一致有界，所以由迪雷克雷判別法知在上一致收斂，故在上連續(xù)，即在連續(xù)，再由的任意性有在區(qū)間上連續(xù)。6、 設(shè)在內(nèi)具有二階可導(dǎo)并且滿足，。令，求冪級(jí)數(shù)的收斂域。證明： 由可知, 且于是泰勒公式得存在使得，而，所以存在，當(dāng)時(shí) ,冪級(jí)數(shù)收斂半徑，且時(shí)，由，知收斂，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?、 計(jì)算曲面積分8、 設(shè)為