第1章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、1 2 本章主要學(xué)習(xí)本章主要學(xué)習(xí) p時(shí)域離散信號(hào)的表示方法；時(shí)域離散信號(hào)的表示方法； p典型信號(hào)、線性時(shí)不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性典型信號(hào)、線性時(shí)不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性; ; p系統(tǒng)的輸入輸出描述法，線性常系數(shù)差分方程的解法系統(tǒng)的輸入輸出描述法，線性常系數(shù)差分方程的解法; ; p模擬信號(hào)數(shù)字處理方法。模擬信號(hào)數(shù)字處理方法。 1. 2 離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào) 離散時(shí)間信號(hào)是指一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的數(shù)字序列，它是整離散時(shí)間信號(hào)是指一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的數(shù)字序列，它是整 數(shù)自變量數(shù)自變量n的函數(shù)，表示為的函數(shù)，表示為x(n)。離散時(shí)間信號(hào)也常用圖形離散時(shí)間信號(hào)也常用圖形 描述。描述。 ),.3(),2(),1

2、(),0(),1(),2(.)(xxxxxxnx 4 一、常用的典型序列一、常用的典型序列 1 1單位脈沖單位脈沖( (采樣，沖激采樣，沖激) )序列序列 （a）單位脈沖序列；）單位脈沖序列； （b）單位沖激信號(hào)）單位沖激信號(hào) 00 01 )( n n n 10123 1 n (n) (t) t 0 ( a )( b ) 3矩形序列矩形序列 5 2 2單位階躍序列單位階躍序列u(n) 00 01 )( n n nu u(n) 0123 1 n 為其它0 101 )( n Nn nRN R4(n) 0123 1 n 矩形序列矩形序列(N=4) 6 4 4實(shí)指數(shù)序列實(shí)指數(shù)序列 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)anua

3、nx n )()( 7 5 5正弦型序列正弦型序列 式中式中是正弦序列數(shù)字域的頻率。它反映了序列變化快是正弦序列數(shù)字域的頻率。它反映了序列變化快 慢的速率，或相鄰兩個(gè)樣點(diǎn)的弧度數(shù)。慢的速率，或相鄰兩個(gè)樣點(diǎn)的弧度數(shù)。 )sin()(nnx 對(duì)連續(xù)信號(hào)中的正弦信號(hào)進(jìn)行采樣，可得正弦序列。對(duì)連續(xù)信號(hào)中的正弦信號(hào)進(jìn)行采樣，可得正弦序列。 模擬正弦信號(hào)：模擬正弦信號(hào)： 數(shù)字頻率數(shù)字頻率與模擬角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為 ：數(shù)字域頻率；：數(shù)字域頻率；：模擬域頻率：模擬域頻率 T：采樣周期；：采樣周期； fs：采樣頻率：采樣頻率 數(shù)字域頻率相當(dāng)于模擬域頻率對(duì)采樣頻率的歸一化值。數(shù)字域頻率相當(dāng)于

4、模擬域頻率對(duì)采樣頻率的歸一化值。 8 )sin()(ttxa )()sin()sin()(nxnnTtx nTt a s f T 式中，式中，為數(shù)字域頻率。若為數(shù)字域頻率。若=0=0，可得，可得 9 6 6復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列 nj enx )( )( )sin()cos()(njnenx nj 歐拉公式歐拉公式 復(fù)正弦序列復(fù)正弦序列 如果對(duì)所有如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小整數(shù)存在一個(gè)最小整數(shù)N，滿足，滿足 則稱則稱x(n)為周期序列，記為周期序列，記 ，最小周期為，最小周期為N。 例：例： 因此，因此，x(n)是周期為是周期為8的周期序列。的周期序列。 10 7.7.周期序列周期序列 nNnxn

5、x)()( )( nx )8( 4 sin) 4 sin()( nnnx 要使要使x(n+N)=x(n)，即，即 N，k為整數(shù)，且為整數(shù)，且k的取值保證的取值保證N是最小的正整數(shù)。是最小的正整數(shù)。 11 下面討論一般正弦序列的周期性下面討論一般正弦序列的周期性 )sin()( nAnx )sin()(sin()( NnANnANnx kN2 kN 2 （1）當(dāng)當(dāng) 為整數(shù)為整數(shù)時(shí)，取時(shí)，取k=1，x(n)即是周期為即是周期為 的周的周 期序列。期序列。 （2）當(dāng)當(dāng) 為有理數(shù)為有理數(shù)時(shí)（時(shí)（P、Q為互素的整數(shù)），為互素的整數(shù)）， 則正弦序列是以則正弦序列是以P為周期的周期序列。為周期的周期序列。

6、（3）當(dāng)當(dāng) 為無理數(shù)為無理數(shù)時(shí)，任何整數(shù)時(shí)，任何整數(shù)k 都不能使都不能使N為正整為正整 數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。 分三種情況討論分三種情況討論kN 2 2 2 Q P 2 2 （1）當(dāng)當(dāng) 為整數(shù)為整數(shù)時(shí)，取時(shí)，取k=1，x(n)即是周期為即是周期為 的周的周 期序列。期序列。 （2）當(dāng)當(dāng) 為有理數(shù)為有理數(shù)時(shí)（時(shí)（P、Q為互素的整數(shù)），為互素的整數(shù)）， 則正弦序列是以則正弦序列是以P為周期的周期序列。為周期的周期序列。 （3）當(dāng)當(dāng) 為無理數(shù)為無理數(shù)時(shí)，任何整數(shù)時(shí)，任何整數(shù)k 都不能使都不能使N為正整為正整 數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。

7、數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。 2 2 （1）當(dāng)當(dāng) 為整數(shù)為整數(shù)時(shí)，取時(shí)，取k=1，x(n)即是周期為即是周期為 的周的周 期序列。期序列。 （2）當(dāng)當(dāng) 為有理數(shù)為有理數(shù)時(shí)（時(shí)（P、Q為互素的整數(shù)），為互素的整數(shù)）， 則正弦序列是以則正弦序列是以P為周期的周期序列。為周期的周期序列。 （3）當(dāng)當(dāng) 為無理數(shù)為無理數(shù)時(shí)，任何整數(shù)時(shí)，任何整數(shù)k 都不能使都不能使N為正整為正整 數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。 2 例例1-2 判斷下列函數(shù)的周期性，并畫出相應(yīng)的波形。判斷下列函數(shù)的周期性，并畫出相應(yīng)的波形。 ) 8 cos(2)(nnx ) 11 4

8、 cos(2)(nnx ) 4 1 sin(2)(nnx 05101520 -2 -1 0 1 2 正弦序列（周期為16） 05101520 -2 -1 0 1 2 正弦序列（周期為11） 14 二、序列運(yùn)算二、序列運(yùn)算 1.1.乘法和加法乘法和加法 15 2 2移位及翻轉(zhuǎn)移位及翻轉(zhuǎn) 表示序列右移（延時(shí)）；表示序列右移（延時(shí)）； 表示序列左移（超前）。表示序列左移（超前）。 是以是以n=0的縱軸為對(duì)稱軸左右翻轉(zhuǎn)得到。的縱軸為對(duì)稱軸左右翻轉(zhuǎn)得到。 序列的移位圖序列的移位圖 序列的翻轉(zhuǎn)序列的翻轉(zhuǎn) )(mnx )(mnx )()(nxny 16 3. 3. 尺度變換尺度變換 表示序列每表示序列每m點(diǎn)

9、點(diǎn)( (或每隔或每隔m-1點(diǎn)點(diǎn)) )取一點(diǎn)，稱為取一點(diǎn)，稱為序序 列的壓縮或抽取列的壓縮或抽取。 表示把原序列兩相鄰值之間插入零值，稱為表示把原序列兩相鄰值之間插入零值，稱為序列序列 的伸展或內(nèi)插零值的伸展或內(nèi)插零值。 )(mnx )( m n x 任意序列可表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和。任意序列可表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和。即即 例如例如 三、任意序列的單位脈沖序列表示三、任意序列的單位脈沖序列表示 m mnmxnx)()()( ) 4(2) 3() 2(5 . 1) 1(3)(2) 1(3) 2(2)( nnnnnnnnx ) 2( x) 4 ( x) 1( x 18 1.3 1.3

10、 離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng) 系統(tǒng)系統(tǒng)將輸入序列將輸入序列x(n)變換成輸出序列變換成輸出序列y(n)的一種運(yùn)的一種運(yùn) 算，以算，以T 表示，則一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)可用下圖來表示表示，則一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)可用下圖來表示 記為記為 y(n)=Tx(n) T y(n)x(n) n 19 1. Linear Systems 線性系統(tǒng)滿足線性系統(tǒng)滿足疊加性疊加性和和均勻性均勻性。 設(shè)設(shè)Tx1(n)=y1(n)，Tx2(n)=y2(n) 如果如果Tax1(n)+ bx2(n)=Tax1(n)+Tbx2(n) =aTx1(n)+bTx2(n) =ay1(n)+by2(n) 成立，則此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，否則為非線性系

11、統(tǒng)。成立，則此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。 20 例例1-31-3：判別系統(tǒng)：判別系統(tǒng)y(n) =Tx(n)=ax(n)+ b是否為線性系統(tǒng)？是否為線性系統(tǒng)？ 解解: :設(shè)設(shè)Tx1(n)= ax1(n)+ b Tx2(n)= ax2(n)+ b 因?yàn)橐驗(yàn)門cx1(n)+dx2(n)=acx1(n)+dx2(n)+b 而而 cy1(n)+dy2(n)=cax1(n)+dax2(n)+b(c+d)Tcx1(n)+dx2(n) 故此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。故此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。 線性系統(tǒng) z(n) x(n) y(n) y0(n) 增量線性系統(tǒng) 21 2. Time-Invariant Systems

12、 系統(tǒng)的響應(yīng)與輸入信號(hào)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無關(guān)?；蛘哒f，系統(tǒng)的響應(yīng)與輸入信號(hào)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無關(guān)。或者說， 系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間變化，即不管輸入信號(hào)作用的時(shí)間先后，系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間變化，即不管輸入信號(hào)作用的時(shí)間先后， 輸出信號(hào)的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時(shí)間不同。輸出信號(hào)的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時(shí)間不同。 設(shè)設(shè)y(n) =Tx(n)，則，則 y(n-k) =Tx(n-k)成立成立 22 系統(tǒng)時(shí)不變說明的示意圖系統(tǒng)時(shí)不變說明的示意圖 23 例例1-5 判別判別y(n)=nx(n)所代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)。所代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)。 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?因此該系統(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)。因此該系統(tǒng)不是時(shí)不變

13、系統(tǒng)。 )()()(knxknkny )()(knnxknxT )()(knxTkny 3.3.線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng) 同時(shí)具有線性和時(shí)不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)稱為線性時(shí)不同時(shí)具有線性和時(shí)不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)稱為線性時(shí)不 變系統(tǒng)。變系統(tǒng)。 （1 1）輸入與輸出之間的關(guān)系）輸入與輸出之間的關(guān)系 輸入為單位脈沖序列時(shí)系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖響應(yīng)。輸入為單位脈沖序列時(shí)系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖響應(yīng)。 由由h(n)可以確定任意輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出，從而推出線性可以確定任意輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出，從而推出線性 時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)一個(gè)非常重要的描述關(guān)系式。時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)一個(gè)非常重要的描述關(guān)系式。 )()(nTnh

14、T )(n )(nh 25 對(duì)對(duì)LTI系統(tǒng)，討論對(duì)任意輸入的系統(tǒng)輸出系統(tǒng)，討論對(duì)任意輸入的系統(tǒng)輸出 任意輸入序列：任意輸入序列： 系統(tǒng)輸出：系統(tǒng)輸出： T )(nx)(ny )(*)()()( )()( )()( )()()()( nhnxmnhmx mnTmxmnmxT mnmxTnxTny m mm m m mnmxnx)()()( 任意序列都可 以表示成單位脈沖 序列的移位加權(quán)和 )()()()()(nhnxmnhmxny m 離散卷積或線性卷積離散卷積或線性卷積 26 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng) 卷積運(yùn)算有明確的物理意義，就是在一般意義上描述了卷積運(yùn)算有明確的物理意義，就是在一般意義

15、上描述了 線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)輸入序列的作用或處理作用。線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)輸入序列的作用或處理作用。 一個(gè)一個(gè)LTI系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)h(n)來表征，任意輸來表征，任意輸 入的系統(tǒng)輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)入的系統(tǒng)輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)的卷的卷 積。積。 )(nh)()()(nhnxny )(nx 27 （2 2）線性卷積的計(jì)算）線性卷積的計(jì)算 計(jì)算它們的卷積的步驟如下：計(jì)算它們的卷積的步驟如下： （1）換元換元：x(m)和和h(m) （2）翻轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn)（折疊）折疊）：先在啞變量坐標(biāo)軸：先在啞變量坐標(biāo)軸m上畫出上畫出x(m)和和

16、h(m)，將，將h(m)以縱坐標(biāo)為對(duì)稱軸折疊成以縱坐標(biāo)為對(duì)稱軸折疊成 h(-m)。 （3）移位移位：將：將h(-m)移位移位n，得，得h(n-m)。當(dāng)。當(dāng)m為正數(shù)時(shí)，為正數(shù)時(shí)， 右移右移m；當(dāng)；當(dāng)m為負(fù)數(shù)時(shí)，左移為負(fù)數(shù)時(shí)，左移m。 （4）相乘相乘：將將h(n-m)和和x(m)的對(duì)應(yīng)取樣值相乘的對(duì)應(yīng)取樣值相乘。 （5）相加相加：把：把所有的乘積累加起來，即得所有的乘積累加起來，即得y(n)。 )()()()()(nhnxmnhmxny m 例例1-6 設(shè)設(shè)x(n)=R4(n)， h(n)=R4(n)，求，求y(n)=x(n)*h(n)。 解：采用圖解法。解：采用圖解法。 )()( 4 nRnx

17、)()( 4 nRnh )()()(nhnxny 例例1-7 設(shè)設(shè)x(n)=3(n)+2(n-1)+(n-2)， h(n)=2(n)+(n-1)+(n-2)， 求求y(n)=x(n)*h(n)。 解：采用列表法。解：采用列表法。 n=? 3 2 1 1 1 2 6 1 1 2 7 1 1 2 7 1 1 2 3 1 1 2 1 )4()3(3)2(7)1(7)(6)( nnnnnny 30 在在Matlab中，卷積可通過調(diào)用函數(shù)中，卷積可通過調(diào)用函數(shù)y=conv(x,h)來實(shí)現(xiàn)。來實(shí)現(xiàn)。 卷積的性質(zhì)：卷積的性質(zhì)： 1）兩個(gè)長度分別為）兩個(gè)長度分別為N和和M的序列，線性卷積后的序列長的序列，線性

18、卷積后的序列長 度為度為N+M-1。 證明：證明： 設(shè)設(shè)x1(n)是長度為是長度為N的有限長序列（的有限長序列（0nN-1），），x2(n) 是長度為是長度為M的有限長序列（的有限長序列（0nM-1）。）。 x1(m)的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為0mN-1，x2(n-m)的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為 0n-mM-1，兩個(gè)不等式相加有，兩個(gè)不等式相加有0nN+M-2，所以，所以， y(n)是一個(gè)長度為是一個(gè)長度為N+M-1的有限長序列。的有限長序列。 1 0 2121 )()()()()( N mm mnxmxmnxmxny 31 2 2）線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律）線性卷積服從交換律、結(jié)合律和

19、分配律 )()()()()()( 2121 nhnhnxnhnhnx )()()()()()()( 2121 nhnxnhnxnhnhnx 32 4.因果系統(tǒng)因果系統(tǒng) 如果系統(tǒng)如果系統(tǒng)n0時(shí)刻的輸出，只取決于時(shí)刻的輸出，只取決于n0時(shí)刻以及時(shí)刻以及n0時(shí)刻以時(shí)刻以 前的輸入序列，而和前的輸入序列，而和n0時(shí)刻以后的輸入序列無關(guān)，則稱為因時(shí)刻以后的輸入序列無關(guān)，則稱為因 果系統(tǒng)。果系統(tǒng)。 在數(shù)學(xué)上因果系統(tǒng)滿足方程：在數(shù)學(xué)上因果系統(tǒng)滿足方程： y(n)=fx(n)，x(n-1)，x(n-2)， 一個(gè)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)為為因果系統(tǒng)的充分必要條件因果系統(tǒng)的充分必要條件是是: : 因果系統(tǒng)

20、的因果性是指系統(tǒng)物理上的可實(shí)現(xiàn)性。因果系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)物理上的可實(shí)現(xiàn)性。 0,0)( nnh 33 非因果系統(tǒng)的延時(shí)實(shí)現(xiàn)非因果系統(tǒng)的延時(shí)實(shí)現(xiàn) 34 5.穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng) 穩(wěn)定系統(tǒng)是指穩(wěn)定系統(tǒng)是指有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)。即即 如果如果|x(n)|M（M為正常數(shù)），有為正常數(shù)），有|y(n)|+，則該系統(tǒng)被，則該系統(tǒng)被 稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。 一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件穩(wěn)定的充分和必要條件是其單位取樣是其單位取樣 響應(yīng)響應(yīng)h(n)絕對(duì)可和，即絕對(duì)可和，即 n nh| )(| 35 例例1-8 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)設(shè)線性

21、時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)=anu(n)， 式中式中a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。 解：（解：（1 1）因果性）因果性 由于由于n0時(shí)，時(shí)，h(n)=0，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。 （2）穩(wěn)定性）穩(wěn)定性 因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是: : a anh n n n 1 1 )( 0 1 a 1 a 36 例例1-9 判別系統(tǒng)判別系統(tǒng)y(n) =Tx(n)=x(n)cos(n+)的因果穩(wěn)定性。的因果穩(wěn)定性。 解：（解：（1）因果性）因果性 因?yàn)橐驗(yàn)閥(n) =Tx(n)=x(n)cos(n+)只與只與x(n)的當(dāng)前值有的當(dāng)前值有

22、 關(guān)，而與關(guān)，而與x(n+1)，x(n+2)等未來值無關(guān)，故系統(tǒng)是因果的。等未來值無關(guān)，故系統(tǒng)是因果的。 （2）穩(wěn)定性）穩(wěn)定性 當(dāng)當(dāng)|x(n)|M時(shí)有時(shí)有Tx(n)|M|cos(n+ )|，由于，由于 |cos(n+)|1是有界的，所以是有界的，所以y(n) =Tx(n)也是有界的，故系也是有界的，故系 統(tǒng)是穩(wěn)定的。統(tǒng)是穩(wěn)定的。 37 系統(tǒng)的系統(tǒng)的線性線性、時(shí)不變性時(shí)不變性、因果性因果性和和穩(wěn)定性穩(wěn)定性是系是系 統(tǒng)的四個(gè)統(tǒng)的四個(gè)互不相關(guān)互不相關(guān)的性質(zhì)。的性質(zhì)。 38 1.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域描述離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域描述差分方程差分方程 一、常系數(shù)線性差分方程的一般表達(dá)式一、常系數(shù)線性差分方程的

23、一般表達(dá)式 或或 其中其中ak，br都是常數(shù)都是常數(shù)。 M r N k kr knyarnxbny 01 )()()( 1, )()( 0 00 arnxbknya M r r N k k 39 說明：說明： 1）差分方程的階數(shù)是用方程差分方程的階數(shù)是用方程y(n-k)項(xiàng)中的項(xiàng)中的k取值最大與取值最大與 最小之差確定的。最小之差確定的。 2） 該式說明，系統(tǒng)在該式說明，系統(tǒng)在某時(shí)刻某時(shí)刻n的輸出值的輸出值y(n)不僅與不僅與該時(shí)刻該時(shí)刻的的 輸入輸入x(n)、過去時(shí)刻的輸入過去時(shí)刻的輸入x(n-1)，x(n-2)等有關(guān)，還與等有關(guān)，還與該時(shí)該時(shí) 刻以前刻以前的輸出值的輸出值y(n-1)，y(n

24、-2)等有關(guān)。等有關(guān)。 M r N k kr knyarnxbny 01 )()()( 40 差分方程的特點(diǎn)差分方程的特點(diǎn) 采用差分方程描述系統(tǒng)簡便、直觀、易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)采用差分方程描述系統(tǒng)簡便、直觀、易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn) 容易得到系統(tǒng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)容易得到系統(tǒng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu) 便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 但差分方程不能直接反應(yīng)系統(tǒng)的頻率特性和穩(wěn)定性等。但差分方程不能直接反應(yīng)系統(tǒng)的頻率特性和穩(wěn)定性等。 實(shí)際上用來描述系統(tǒng)多數(shù)還是由實(shí)際上用來描述系統(tǒng)多數(shù)還是由系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)。 41 二、差分方程的求解二、差分方程的求解 常系數(shù)差分方程的求解方法有迭代法，時(shí)域經(jīng)典法，卷常系數(shù)差分方程的求解方法

25、有迭代法，時(shí)域經(jīng)典法，卷 積法和變換域法。積法和變換域法。 時(shí)域經(jīng)典法時(shí)域經(jīng)典法類似于解微分方程，過程繁瑣，應(yīng)用很少，類似于解微分方程，過程繁瑣，應(yīng)用很少， 但物理概念比較清楚。但物理概念比較清楚。 迭代法迭代法( (遞推法遞推法) )比較簡單，且適合于計(jì)算機(jī)求解，但不比較簡單，且適合于計(jì)算機(jī)求解，但不 能直接給出一個(gè)完整的解析式作為解答（也稱閉合形式解能直接給出一個(gè)完整的解析式作為解答（也稱閉合形式解 答）。答）。 卷積法卷積法適用于系統(tǒng)起始狀態(tài)為零時(shí)的求解。適用于系統(tǒng)起始狀態(tài)為零時(shí)的求解。 變換域方法變換域方法類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的拉普拉斯變換，這里類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的拉普拉斯變換，這里 采

26、用采用Z變換法變換法來求解差分方程，這在實(shí)際使用上是最簡單有來求解差分方程，這在實(shí)際使用上是最簡單有 效的方法。效的方法。 例例1-10：若系統(tǒng)用差分方程若系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸描述，輸 入序列入序列x(n)=(n)，求初始條件分別為，求初始條件分別為h(n)=0，n0時(shí)的單位脈沖響應(yīng)時(shí)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。 解：解：（1）令）令x(n)=(n)，根據(jù)初始條件可遞推如下，根據(jù)初始條件可遞推如下 y(0)=ay(-1)+(0)=1 y(1)=ay(0)+(1)=a y(2)=ay(1)+(2)=a2 y(n)=ay(n-1)=an 因此，因此，h(n)=y(n

27、)=anu(n) 43 例例1-10：若系統(tǒng)用差分方程若系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸描述，輸 入序列入序列x(n)=(n)，求初始條件分別為，求初始條件分別為h(n)=0，n0時(shí)的單位脈沖響應(yīng)時(shí)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。 解：解：將差分方程改寫成將差分方程改寫成y(n-1)= a-1y(n)-x(n) 根據(jù)初始條件可遞推如下根據(jù)初始條件可遞推如下 y(0)=a-1y(1)-(1)=0 y(-1)= a-1y(0)-(0)=- a-1 y(n)=ay(n-1)=-an 因此，因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1) 44 以上結(jié)果說明：以上結(jié)果說明： （1 1）一

28、個(gè)常系數(shù)線性差分方程不一定代表一個(gè)因果系統(tǒng)一個(gè)常系數(shù)線性差分方程不一定代表一個(gè)因果系統(tǒng) （2 2）一個(gè)常系數(shù)線性差分方程，如果沒有附加的起始條）一個(gè)常系數(shù)線性差分方程，如果沒有附加的起始條 件，不能唯一的確定一個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，并且件，不能唯一的確定一個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，并且 只有當(dāng)起始條件選擇合適時(shí)，才相當(dāng)于一個(gè)線性時(shí)不只有當(dāng)起始條件選擇合適時(shí)，才相當(dāng)于一個(gè)線性時(shí)不 變系統(tǒng)。變系統(tǒng)。 在以下的討論中，除非另外聲明，我們都假設(shè)常系數(shù)線在以下的討論中，除非另外聲明，我們都假設(shè)常系數(shù)線 性差分方程所表示的系統(tǒng)都是指線性時(shí)不變系統(tǒng)，并且多數(shù)性差分方程所表示的系統(tǒng)都是指線性時(shí)不變系統(tǒng)，并且多數(shù)

29、是指因果系統(tǒng)。是指因果系統(tǒng)。 三、三、MatlabMatlab實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) y=filter(b,a,x) 例例1-11 解：解：MATLAB程序程序 a=1,-1,0.9; b=1; x=impseq(0,-20,120); % 輸入輸入 n=-20:120; h=filter(b,a,x); % 系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出 stem(n,h,.); nnxnynyny );()2(9 . 0)1()( 1.5 1.5 模擬信號(hào)數(shù)字處理方法（采樣）模擬信號(hào)數(shù)字處理方法（采樣） 前置預(yù)前置預(yù) 濾波器濾波器 A/D 變換器變換器 數(shù)字信號(hào)數(shù)字信號(hào) 處理器處理器 D/A 變換器變換器 模擬模擬 濾波器濾波器 模

30、擬模擬 xa(t) PrFADCDSPDACPoF 模擬模擬 ya(t) 采樣采樣采樣恢復(fù)采樣恢復(fù) 所謂所謂“采樣采樣”，就是利用采樣脈沖序列從連續(xù)時(shí)間信號(hào)，就是利用采樣脈沖序列從連續(xù)時(shí)間信號(hào) 中抽取一系列的離散樣值，由此得到的離散時(shí)間信號(hào)通常稱中抽取一系列的離散樣值，由此得到的離散時(shí)間信號(hào)通常稱 為采樣信號(hào)，以為采樣信號(hào)，以 表示。表示。 采樣的原理框圖采樣的原理框圖 47 一、采樣的基本概念一、采樣的基本概念 )(txa 采樣器采樣器 連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào) 采樣脈沖采樣脈沖 采樣信號(hào)采樣信號(hào) 48 （a）實(shí)際采樣）實(shí)際采樣 （b） 理想采樣理想采樣 圖圖1-22 兩種采樣方式兩種采樣方式 49

31、 二、理想采樣及其頻譜二、理想采樣及其頻譜 1.時(shí)域分析時(shí)域分析 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 采樣脈沖：采樣脈沖： 理想采樣輸出理想采樣輸出: : n T nTtttp)()()( n aTaa nTtnTxttxtx)()()()()( )()( 2 1 )( aa PXX 50 2. 2.頻域分析頻域分析 映射 時(shí)域相乘時(shí)域相乘 頻域卷積頻域卷積 （模擬系統(tǒng)）（模擬系統(tǒng)） 1)1)沖激函數(shù)序列沖激函數(shù)序列T(t)的頻譜的頻譜 考慮到周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開，因此，沖激函考慮到周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開，因此，沖激函 數(shù)序列數(shù)序列T(t)可用傅里葉級(jí)數(shù)表示為可用傅里葉級(jí)數(shù)表示為: : 其中其中

32、n tjn nT s eFt)( )()( 2 1 )( aa PXX )()()( aa tptxtx T/2 s 2/ 2/ )( 1 T T tjn n dtet T F s T dtt T T T 1 )( 1 2/ 2/ 51 因此，因此， 上式表明沖激函數(shù)序列具有梳狀譜的結(jié)構(gòu)，即它的各次上式表明沖激函數(shù)序列具有梳狀譜的結(jié)構(gòu)，即它的各次 諧波都具有相等的幅度諧波都具有相等的幅度1/T。 因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以 2, 1, 0, 1 )( ne T t n tjn T s )(2 s s tj e nn jn n T e T FP)( 2 1 )( s s 幅度譜頻譜 52 2 2）理

33、想采樣信號(hào)）理想采樣信號(hào) 的頻譜的頻譜 上式表明：上式表明： （1）頻譜產(chǎn)生周期延拓頻譜產(chǎn)生周期延拓。 即采樣信號(hào)的頻譜是頻率的周即采樣信號(hào)的頻譜是頻率的周 期函數(shù)，其周期為期函數(shù)，其周期為s。 （2）頻譜的幅度是）頻譜的幅度是Xa(j) 的的1/T倍。倍。 )(*)( 2 1 )( PXjX aa )( 2 *)( 2 1 n sa n T X n sa nX T )( 1 )(txa 53 三、時(shí)域采樣定理三、時(shí)域采樣定理 如果信號(hào)如果信號(hào)xa(t)是帶是帶限信號(hào)，且最高頻率不超過限信號(hào)，且最高頻率不超過s/2，即，即 那么采樣頻譜中，那么采樣頻譜中，基帶頻譜基帶頻譜以及以及各次諧波頻譜各

34、次諧波頻譜彼此是不重疊彼此是不重疊 的。的。 用一個(gè)帶寬為用一個(gè)帶寬為s/2的理想低通濾波器，可以不失真的還的理想低通濾波器，可以不失真的還 原出原來的連續(xù)信號(hào)。原出原來的連續(xù)信號(hào)。 但是，如果信號(hào)最高頻譜超過但是，如果信號(hào)最高頻譜超過s/2，那么在采樣頻譜，那么在采樣頻譜 中，各次調(diào)制頻譜就會(huì)相互交疊起來，這就是中，各次調(diào)制頻譜就會(huì)相互交疊起來，這就是頻譜混疊現(xiàn)頻譜混疊現(xiàn) 象象。其中，。其中，s/2 或或 fs/2，稱作，稱作折疊頻率折疊頻率 。 2/|0 2/|)( )( s sa a jX jX 54 圖圖1-24 1-24 采樣信號(hào)的頻譜圖采樣信號(hào)的頻譜圖 55 圖圖1-26 1-26

35、 單音（余弦）信號(hào)采樣中的頻譜混疊情況示意圖單音（余弦）信號(hào)采樣中的頻譜混疊情況示意圖 56 設(shè)設(shè) 沒有混疊時(shí)，恢復(fù)出的輸出為沒有混疊時(shí)，恢復(fù)出的輸出為 有混疊時(shí)，則是有混疊時(shí)，則是 結(jié)論：結(jié)論：為使采樣后能不失真的還原出原信號(hào)，采樣頻率為使采樣后能不失真的還原出原信號(hào)，采樣頻率 必須大于兩倍信號(hào)最高頻率，這就是必須大于兩倍信號(hào)最高頻率，這就是奈奎斯特采樣定理奈奎斯特采樣定理。 ttxa 0 cos)( ttya 0 cos)( tty sa )cos()( 0 57 許多人在在看電影或電視時(shí)，汽車輪子細(xì)節(jié)會(huì)模糊看不許多人在在看電影或電視時(shí)，汽車輪子細(xì)節(jié)會(huì)模糊看不 清楚，這就是混疊的直接結(jié)果。

36、也就是拍攝時(shí)掃描的速度清楚，這就是混疊的直接結(jié)果。也就是拍攝時(shí)掃描的速度 （幀頻）不夠快，沒有正確記錄輪子的旋轉(zhuǎn)情況。（幀頻）不夠快，沒有正確記錄輪子的旋轉(zhuǎn)情況。 作業(yè)作業(yè)：設(shè)：設(shè)一般電影拍攝的幀頻為一般電影拍攝的幀頻為 16 張張/秒，對(duì)直徑為秒，對(duì)直徑為 0.6m 的普通輪子，在此記錄速度下，為了清楚的記錄輪子的普通輪子，在此記錄速度下，為了清楚的記錄輪子 的旋轉(zhuǎn)情況，車速不能大于的旋轉(zhuǎn)情況，車速不能大于km/h？ 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 59 關(guān)于帶通信號(hào)的采樣關(guān)于帶通信號(hào)的采樣 對(duì)于帶通信號(hào)，信號(hào)的頻率范圍為對(duì)于帶通信號(hào)，信號(hào)的頻率范圍為 f1 f f2，而不是，而不是 0 f f1，則沒有

37、必要以兩倍的最高頻率或，則沒有必要以兩倍的最高頻率或 2f2 進(jìn)行采樣。此進(jìn)行采樣。此 時(shí)，最小采樣極限取決于信號(hào)的帶寬時(shí)，最小采樣極限取決于信號(hào)的帶寬 f2f1 以及帶寬在頻譜以及帶寬在頻譜 中的位置，取樣頻率至少必須是帶寬的兩倍，但可以更高中的位置，取樣頻率至少必須是帶寬的兩倍，但可以更高 些，關(guān)鍵是要保證沒有頻譜混疊。些，關(guān)鍵是要保證沒有頻譜混疊。 這種對(duì)帶限信號(hào)的取樣并未遵循奈奎斯特條件，稱為欠這種對(duì)帶限信號(hào)的取樣并未遵循奈奎斯特條件，稱為欠 采樣（采樣（Undersampling）。）。 例如，一個(gè)例如，一個(gè)GSM 蜂窩電話在蜂窩電話在900MHZ 頻段上占頻段上占 30kHz 帶寬

38、，通過欠取樣，只用比帶寬，通過欠取樣，只用比 60kHz 略高一點(diǎn)的采樣頻率，而略高一點(diǎn)的采樣頻率，而 非非1.8GHz，就可以恢復(fù)信號(hào)。，就可以恢復(fù)信號(hào)。 60 相對(duì)應(yīng)的有過采樣（相對(duì)應(yīng)的有過采樣（Oversampling） 用遠(yuǎn)高于奈用遠(yuǎn)高于奈 奎斯特取樣頻率的頻率去取樣，降低對(duì)抗混疊濾波器的要奎斯特取樣頻率的頻率去取樣，降低對(duì)抗混疊濾波器的要 求。經(jīng)過粗略的模擬濾波和取樣后，使離散數(shù)字信號(hào)經(jīng)過一求。經(jīng)過粗略的模擬濾波和取樣后，使離散數(shù)字信號(hào)經(jīng)過一 個(gè)具有良好滾降特性的數(shù)字抗混疊濾波器，使之在個(gè)具有良好滾降特性的數(shù)字抗混疊濾波器，使之在 f1Hz 處處 銳利截止，然后再通過甩點(diǎn)（銳利截止，

39、然后再通過甩點(diǎn)（Decimation）降低碼率。）降低碼率。 過采樣的倍數(shù)有過采樣的倍數(shù)有 4、8、16、32 倍，甚至高達(dá)倍，甚至高達(dá) 256。 例如高質(zhì)量的聲音帶寬為例如高質(zhì)量的聲音帶寬為 20kHz，但現(xiàn)在的許多，但現(xiàn)在的許多 ADC 變換器的采樣頻率為變換器的采樣頻率為 256kHz，甚至更高，提高，甚至更高，提高 ADC 轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換 后的信噪比。后的信噪比。 61 四、采樣的恢復(fù)（內(nèi)插）四、采樣的恢復(fù)（內(nèi)插） 1.1.頻域分析頻域分析 2/,0 2/, )( s s T jG )( )()( 1 )()( )( jX jGjX T jGjXjY a a a )()(txty a 62

40、2.2.時(shí)域分析時(shí)域分析 把輸出看成是把輸出看成是 與理想低通單位沖激響應(yīng)與理想低通單位沖激響應(yīng)g(t)的卷積的卷積 理想低通理想低通G(j)的沖激響應(yīng)為的沖激響應(yīng)為 )(txa 2/ 2/ 2 )( 2 1 )( s s de T dejGtg tjtj t T t T t t s s sin 2 2 sin 63 根據(jù)卷積公式，低通濾波器的輸出為：根據(jù)卷積公式，低通濾波器的輸出為： dtgxtxty aa )()()()( dtgnTx n a )( )()( n a dnTtgx )()()( n a n a nTt T nTt T nTxnTtgnTx )( )(sin )()()(

41、64 其中：其中： n aa nTt T nTt T nTxtx )( )(sin )()( )( )(sin )( nTt T nTt T nTtg 采樣內(nèi)插公式采樣內(nèi)插公式 內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù) 內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù) 權(quán)內(nèi)插公式 內(nèi)插結(jié)果使得被恢復(fù)的信號(hào)在內(nèi)插結(jié)果使得被恢復(fù)的信號(hào)在采樣點(diǎn)的值就等于采樣點(diǎn)的值就等于xa(nT)， 采樣點(diǎn)之間的信號(hào)則是由采樣點(diǎn)之間的信號(hào)則是由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加疊加 而成的。而成的。 65 要完全恢復(fù)原來的連續(xù)信號(hào)要完全恢復(fù)原來的連續(xù)信號(hào)xa(t)，需要以下條件：需要以下條件： 限帶信號(hào)限帶信號(hào)； 無限次的理想取樣無限次的理想取樣（函數(shù)）；（函數(shù)）；（N） 理想低通濾波器，即理想低通濾波器，即Sinc內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)（其截止頻率滿（其截止頻率滿 足足fc f fs/2） 但后兩條在物理上都是不可實(shí)現(xiàn)的，因此，但后兩條在物理上都是不可實(shí)現(xiàn)的，因此，原始信號(hào)在