垂徑定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1、垂徑定理（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)蘭甲明【教學(xué)內(nèi)容】73垂徑定理（初三幾何課本P76P78）【教學(xué)目標(biāo)】1知識(shí)目標(biāo)：通過觀察實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生理解圓的軸對(duì)稱性； 掌握垂徑定理，理解其證明，并會(huì)用它解決有關(guān)的證明與計(jì)算問題； 掌握輔助線的作法過圓心作一條與弦垂直的線段。2能力目標(biāo)：通過定理探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯思維和歸納概括能力； 向?qū)W生滲透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3情感目標(biāo)：結(jié)合本課教學(xué)特點(diǎn)，向?qū)W生進(jìn)行愛國(guó)主義教育和美育滲透； 激發(fā)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的興趣和欲望?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】垂徑定理及其應(yīng)用。【教學(xué)難點(diǎn)】垂徑定理的證明?！窘虒W(xué)方法】探究發(fā)現(xiàn)法?！窘叹邷?zhǔn)備】自制的教具、自

2、制課件、實(shí)物投影儀、電腦、三角板、圓規(guī)?！窘虒W(xué)設(shè)計(jì)】一、實(shí)例導(dǎo)入，激疑引趣 1實(shí)例：同學(xué)們都學(xué)過中國(guó)石拱橋這篇課文（初二語文第三冊(cè)第一課茅以升），其中介紹了我國(guó)隋代工匠李春建造的趙州橋（如圖）。因它位于現(xiàn)在的歷史文化名城河北省趙縣（古稱趙州）而得名，是世界上現(xiàn)存最早、保存最好的巨大石拱橋，距今已有1400多年歷史，被譽(yù)為“華北四寶之一”，它的結(jié)構(gòu)是當(dāng)時(shí)世界橋梁界的首創(chuàng)，這充分顯示了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的創(chuàng)造智慧。2導(dǎo)入：趙州橋的橋拱呈圓弧形的（如圖1），它的跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)）為37.4米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦AB的距離，也叫弓高）為7.2米。請(qǐng)問：橋拱的半徑（即AB所在圓的半徑）是多少？通過本節(jié)課

3、的學(xué)習(xí)，我們將能很容易解決這一問題。 （圖1）二、嘗試誘導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定理 1復(fù)習(xí)過渡： 如圖2(a)，弦AB將O分成幾部分？各部分的名稱是什么？ 如圖2(b)，將弦AB變成直徑，O被分成的兩部分各叫什么？E 在圖2(b)中，若將O沿直徑AB對(duì)折，兩部分是否重合？ (a) (b) (a) (b) (c) （圖2） （圖3）2實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：讓學(xué)生將準(zhǔn)備好的一張圓形紙片沿任一直徑對(duì)折，觀察兩部分是否重合；教師用電腦演示重疊的過程。從而得到圓的一條基本性質(zhì)圓是軸對(duì)稱圖形，過圓心的任意一條直線（或直徑所在的直線）都是它的對(duì)稱軸。3運(yùn)動(dòng)變換：如圖3(a)，AB、CD是O的兩條直徑，圖中有哪些相等的線段和相等的弧？

4、如圖3(b)，當(dāng)ABCD時(shí)，圖中又有哪些相等的線段和相等的??？如圖3(c)，當(dāng)AB向下平移，變成非直徑的弦時(shí)，圖中還有哪些相等的線段和相等的?。看送?，還有其他的相等關(guān)系嗎？4提出猜想：根據(jù)以上的研究和圖3(c)，我們可以大膽提出這樣的猜想 （板書） 5驗(yàn)證猜想：教師用電腦課件演示圖3(c)中沿直徑CD對(duì)折，這條特殊直徑兩側(cè)的圖形能夠完全重合，并給這條特殊的直徑命名為垂直于弦的直徑。三、引導(dǎo)探究，證明定理1引導(dǎo)證明：猜想是否正確，還有待于證明。引導(dǎo)學(xué)生從以下兩方面尋找證明思路。證明“AE=BE”，可通過連結(jié)OA、OB來實(shí)現(xiàn)，利用等腰三角形性質(zhì)證明。 證明“弧相等”，就是要證明它們“能夠完全重合”

5、，可利用圓的對(duì)稱性證明。2歸納定理：根據(jù)上面的證明，請(qǐng)學(xué)生自己用文字語文進(jìn)行歸納，并將其命名為“垂徑定理”。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。3鞏固定理：在下列圖形（如圖4(a)(d)）中，AB是O的弦，CD是O的弦，它們是否適用于“垂徑定理”？若不適用，說明理由；若適用，能得到什么結(jié)論。(a)ABCD于E (b)E是AB中點(diǎn) (c)OCAB于E (d)OEAB于E（圖4） 向?qū)W生強(qiáng)調(diào)：(1)定理中的兩個(gè)條件缺一不可；(2)定理的變式圖形。四、例題示范，變式練習(xí)1運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算。例1如圖5，在O中，若弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑。 分析：因

6、為已知“圓心O到AB的距離為3cm”，所以要作輔助線OEAB；因?yàn)橐蟀霃?，所以還要連結(jié)OA。 解：（略）學(xué)生口述，教師板書。 （圖5）變式一在圖5中，若O的半徑為10cm，OE=6cm，則AB= 。思考一：若圓的半徑為R，一條弦長(zhǎng)為a，圓心到弦的距離為d， 則R、a、d三者之間的關(guān)系式是 。變式二如圖6，在O中，半徑OCAB，垂足為E， 若CE=2cm，AB=8cm，則O的半徑= 。 （圖6）思考二：你能解決本課一開始提出的問題嗎？（由學(xué)生口述方法）2運(yùn)用定理進(jìn)行證明例2已知：如圖7，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中， 大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)。 求證：ACBD。 （圖7）分析：證明兩條線段

7、相等，最常用的方法是什么？用這種方法怎樣證明？ （證明OACOBD或證明OADOBC） 此外，還有更簡(jiǎn)捷的證明方法嗎？若有，又怎樣證明？（垂徑定理） 證法一：連結(jié)OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”證明。證法二：過點(diǎn)O作OEAB于E，用“垂徑定理”證明。（詳見課本P77例2）注1：通過兩種證明方法的比較，選擇最優(yōu)證法。注2：輔助線“過圓心作弦的垂線段”是第二種證法的關(guān)鍵，也是常用輔助線。思考：在圖7中，若AC=2，AB=10，則圓環(huán)的面積是 。變式一若將圖7中的大圓隱去，還需什么條件， 才能保證AC=BD？變式二若將圖7中的小圓隱去，還需什么條件， 才能保證AC=BD？變式三將圖7變成圖8

8、（三個(gè)同心圓），你可以 證明哪些線段相等？ （圖8）例3（選講）如圖9，RtABC中，ACB90，AC3，BC，以C為圓心、CA長(zhǎng)為半徑畫弧，交斜邊AB于D，求AD的長(zhǎng)。（答案：2）略解：過點(diǎn)C作CEAB于E，先用勾股定理求得 （圖9）AB=9，再用面積法求得CE=，最后用勾股定理求得AE=1，由垂徑定理得AD=2。五、師生小結(jié)，納入系統(tǒng)1定理的三種基本圖形如圖10、11、12。2計(jì)算中三個(gè)量的關(guān)系如圖13，。3證明中常用的輔助線過圓心作弦的垂線段。（圖10） （圖11） （圖12） （圖13）六、達(dá)標(biāo)檢測(cè)，反饋效果 1（課本P78練習(xí)第1題）如圖14，在O的半徑為50mm，弦AB=50mm，則點(diǎn)O到AB的距離為 ，AOB 度。2作圖題：經(jīng)過已知O內(nèi)的已知點(diǎn)A作弦，使它以點(diǎn)A為中點(diǎn)（如圖15）。3課本P78練習(xí)第2題。 （圖14） （圖15）課 堂 練 習(xí) 姓名 得分 1 如圖，O的半徑為50mm，弦AB=50mm，則點(diǎn)O到AB的距離為 ，AOB 度