經(jīng)典研材料裂項相消法求和大全6頁

1、WORD格式整理開一數(shù)學組教研材料 （裂項相消法求和之再研究 ） 張明剛一項拆成兩項，消掉中間所有項，剩下首尾對稱項基本類型：1.形如型。如；2.形如an型；3.4.5.6.形如an型7.形如an型；8.9.形如an型；10.11.12.13.14.15.利用兩角差的正切公式進行裂項把兩角差的正切公式進行恒等變形，例如 可以另一方面，利用，得16 利用對數(shù)的運算性質(zhì)進行裂項對數(shù)運算有性質(zhì)，有些試題則可以構(gòu)造這種形式進行裂項.17 利用排列數(shù)或組合數(shù)的性質(zhì)進行裂項排列數(shù)有性質(zhì)，組合數(shù)有這樣的性質(zhì)，都可以作為裂項的依據(jù).例7 求和：分析 直接利用可得結(jié)果是.18.求和：.有，從而.裂項相消法求和之

2、再研究一項拆成兩項，消掉中間所有項，剩下首尾對稱項 一、多項式數(shù)列求和。（1）用裂項相消法求等差數(shù)列前n項和。即形如的數(shù)列求前n項和此類型可設(shè)左邊化簡對應系數(shù)相等求出A,B。例1：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。（2）用裂項相消法求多項式數(shù)列前n項和。即形如的數(shù)列求前n項和。此類型可上邊化簡對應系數(shù)相等得到一個含有m元一次方程組。說明：解這個方程組采用代入法，不難求。系數(shù)化簡可以用二項式定理，這里不解釋。解出。再裂項相消法用易知例2：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。二、二、多項式數(shù)列與等比數(shù)列乘積構(gòu)成的數(shù)列。（1）用裂項相消法求等比數(shù)列前n項和。即形如的數(shù)列求前n項和。這里不妨設(shè)。

3、（時為常數(shù)列，前n項和顯然為）此類型可設(shè)，則有，從而有。再用裂項相消法求得例3：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。解：設(shè)，則有，從而有，故。（2）用裂項相消法求等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積構(gòu)成的數(shù)列前n項和。即形如的數(shù)列求前n項和。此類型通常的方法是乘公比錯位錯位相減法，其實也可以用裂項相消法。這里依然不妨設(shè)，（時為等差數(shù)列，不再贅述。）可設(shè)，則有，從而得到方程組，繼而解出A，B。再用裂項相消法求得例4：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。解：設(shè)，則有，從而得到方程組，解得。（3）用裂項相消法求多項式數(shù)列與等比數(shù)列乘積構(gòu)成的數(shù)列前n項和。即形如的數(shù)列求前n項和。此類型有一個采用m次錯位相減法的

4、方法求出，但是當次數(shù)較高時錯位相減法的優(yōu)勢就完全失去了。同樣這里依然不妨設(shè)，（時為多項式數(shù)列，不再贅述。）下面介紹錯位相減法的方法：設(shè)。先對上式化簡成的形式，其中是用來表示的一次式子。同樣讓對應系數(shù)相等得到一個m元一次方程組，用代入法可以解出再用用裂項相消法求得。例5：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。解：設(shè)，則有從而得到，解得，所以事實上裂項求和適合用于所有能將化成形式的所有數(shù)列，與存在形式上相似性，從而利用待定系數(shù)法的方式得到的表達式，最終可以得到。這里部分可用倒敘相加法的數(shù)列不能使用此法是因為它沒有一個統(tǒng)一形式不帶省略號的前n項和公式。例如調(diào)和數(shù)列也不能用此法，事實上調(diào)和數(shù)列是不可求

5、前n項和的數(shù)列。四、結(jié)論。 從上面的論斷不難得出裂項相消法，適合所有可求前n項和的數(shù)列。不愧為數(shù)列求前n項和的萬能方法。不過值得肯定的是有部分數(shù)列利用裂項相消法，不易找出它的裂項方法，尤其是與指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)這些比較高級的基本初等函數(shù)相關(guān)的初等函數(shù)。對于前兩個大點得出的結(jié)論，我們當然也可以使用待定系數(shù)法來求，只是不要忘記它們都是用裂項相消法證明出來的結(jié)論。保留原來的參數(shù)得到結(jié)論也可以使用，從而直接得出待定參數(shù)的值，但對記性的要求很高，這里就不再啰嗦。例6：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。解：設(shè)則所以，解得，所以例7：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。解：例8：已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和，。解：，作業(yè)：1、請用裂項相消法求下列各數(shù)列的和.（1）已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。（2）已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。（3）已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。（4）已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。（5）已知數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和。山水是一部書，枝枝葉葉的文字間，聲聲鳥鳴是抑揚頓挫的標點，在茂密縱深間，一條曲徑，是整部書最芬芳的禪意。春風翻一頁，桃花面，杏花眼，柳腰