第2章 巖土流變力學(xué)

1、第二章 巖土流變力學(xué) 2-1 2-1 巖石工程中的流變問題巖石工程中的流變問題 巖體的變形隨時間增長而變化巖體的變形隨時間增長而變化 地下硐室的開挖地下硐室的開挖 巖基地基巖基地基 巖石邊坡巖石邊坡 一、流變的概念一、流變的概念 巖石的流變性巖石的流變性: :巖石應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系隨時間而變化的性質(zhì)。巖石應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系隨時間而變化的性質(zhì)。 外部條件不變時，應(yīng)力或變形隨時間而緩慢變化。外部條件不變時，應(yīng)力或變形隨時間而緩慢變化。 流變性（粘性）流變性（粘性） 蠕變?nèi)渥?松弛松弛 彈性后效彈性后效 長期強度長期強度 2-2 巖石流變力學(xué)屬性巖石流變力學(xué)屬性 蠕變?nèi)渥? :蠕變是當應(yīng)力不變時，變形隨時間增加

2、而增長的現(xiàn)象蠕變是當應(yīng)力不變時，變形隨時間增加而增長的現(xiàn)象 松弛松弛: :松弛是當應(yīng)變不變時，應(yīng)力隨時間增加而減小的現(xiàn)象松弛是當應(yīng)變不變時，應(yīng)力隨時間增加而減小的現(xiàn)象 彈性后效彈性后效: :彈性后效是加載或卸載時，彈性應(yīng)變滯后于應(yīng)力彈性后效是加載或卸載時，彈性應(yīng)變滯后于應(yīng)力 的現(xiàn)象的現(xiàn)象 長期強度長期強度: :在長期載荷持續(xù)作用下巖石的強度在長期載荷持續(xù)作用下巖石的強度 t t的強度的強度 長期 強度 方法方法1 1 方法方法2 2 二、巖石的蠕變性能二、巖石的蠕變性能 1 1、巖石的蠕變特性、巖石的蠕變特性 通常用蠕變曲線（通常用蠕變曲線（-t-t曲線）表示巖石的蠕變特性。曲線）表示巖石的蠕

3、變特性。 （1 1）穩(wěn)定蠕變穩(wěn)定蠕變：巖石在較小的恒定力作用下，變形隨時：巖石在較小的恒定力作用下，變形隨時 間增加到一定程度后就趨于穩(wěn)定，不再隨時間增加而變化，間增加到一定程度后就趨于穩(wěn)定，不再隨時間增加而變化， 應(yīng)變保持為一個常數(shù)。穩(wěn)定蠕變一般不會導(dǎo)致巖體整體失穩(wěn)。應(yīng)變保持為一個常數(shù)。穩(wěn)定蠕變一般不會導(dǎo)致巖體整體失穩(wěn)。 （2 2）非穩(wěn)定蠕變非穩(wěn)定蠕變：巖石承受的恒定荷載較大，當巖石應(yīng)：巖石承受的恒定荷載較大，當巖石應(yīng) 力超過某一臨界值時，變形隨時間增加而增大，其變形速率力超過某一臨界值時，變形隨時間增加而增大，其變形速率 逐漸增大，最終導(dǎo)致巖體整體失穩(wěn)破壞。逐漸增大，最終導(dǎo)致巖體整體失穩(wěn)破

4、壞。 2 2、巖石的典型蠕變曲線及其特征、巖石的典型蠕變曲線及其特征 典型的蠕變曲線可分為典型的蠕變曲線可分為4（3）個階段：個階段： (1)(1)瞬時彈性變形階段（瞬時彈性變形階段（OA）：）： E 0 0 (2)(2)一次蠕變階段（一次蠕變階段（AB）：）： （瞬態(tài)蠕變段（瞬態(tài)蠕變段/ /第第一蠕變階段一蠕變階段/ /初始蠕變段初始蠕變段/ / 減速蠕變階段減速蠕變階段） 此階段卸載此階段卸載 一部分應(yīng)變瞬時恢復(fù)一部分應(yīng)變瞬時恢復(fù)(PQ段段) 一部分應(yīng)變隨時間逐漸恢復(fù)（一部分應(yīng)變隨時間逐漸恢復(fù)（OROR段）段） 0 2 2 td d 粘彈性粘彈性 (4)(4)三次蠕變階段（三次蠕變階段（C

5、D）：應(yīng)變速率迅）：應(yīng)變速率迅 速增加，直到破壞速增加，直到破壞 （第三（第三蠕變階段蠕變階段/ /加速蠕變段）加速蠕變段） 0 2 2 td d (3)(3)二次蠕變階段（二次蠕變階段（BC）：應(yīng)變速率不變）：應(yīng)變速率不變 （第二蠕變階段第二蠕變階段/ /等速或穩(wěn)定蠕變段）等速或穩(wěn)定蠕變段） 0 2 2 td d 此階段卸載此階段卸載 一部分應(yīng)變瞬時恢復(fù)一部分應(yīng)變瞬時恢復(fù) 一部分應(yīng)變隨時間逐漸恢復(fù)一部分應(yīng)變隨時間逐漸恢復(fù) 一部分應(yīng)變不能恢復(fù)（一部分應(yīng)變不能恢復(fù)（v v） 粘彈塑性粘彈塑性 當應(yīng)力水平當應(yīng)力水平 較低時，可能無此階段較低時，可能無此階段 （穩(wěn)定蠕變）（穩(wěn)定蠕變） 蠕變變形總量：

6、蠕變變形總量：=0 0+ +1 1(t)+(t)+2 2(t)+(t)+3 3(t)(t) 式中式中：0 0為瞬時彈性應(yīng)變；為瞬時彈性應(yīng)變；1 1(t)(t)，2 2(t)(t)，3 3(t)(t)為與時間有關(guān)的一次蠕為與時間有關(guān)的一次蠕 變、二次蠕變、三次蠕變。變、二次蠕變、三次蠕變。v v 為粘塑性應(yīng)變， 為粘塑性應(yīng)變， Q Q 為粘彈性應(yīng)變。 為粘彈性應(yīng)變。 3 3、巖石的蠕變曲線類型、巖石的蠕變曲線類型 類型類型1 1：穩(wěn)定蠕變：穩(wěn)定蠕變 。曲線包含瞬時彈性變形、瞬態(tài)蠕變和穩(wěn)定蠕。曲線包含瞬時彈性變形、瞬態(tài)蠕變和穩(wěn)定蠕 變變3 3個階段（壓應(yīng)力個階段（壓應(yīng)力10MPa10MPa，12.

7、5MPa12.5MPa），無第三階段蠕變），無第三階段蠕變 類型類型2 2：典型：典型蠕變?nèi)渥?。曲線包含。曲線包含4 4個階段（壓應(yīng)力個階段（壓應(yīng)力15MPa15MPa，18.1MPa18.1MPa） 類型類型3 3：加速：加速蠕變?nèi)渥?。曲線幾乎無穩(wěn)定蠕變階段，應(yīng)變率很高（壓。曲線幾乎無穩(wěn)定蠕變階段，應(yīng)變率很高（壓 應(yīng)力應(yīng)力20.5MPa20.5MPa，25MPa25MPa）變形近似直線狀急劇發(fā)展，迅速破壞）變形近似直線狀急劇發(fā)展，迅速破壞 3-3 巖石的流變模型巖石的流變模型 巖石的流變本構(gòu)模型巖石的流變本構(gòu)模型 ：用于描述巖石應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系隨：用于描述巖石應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系隨 時間變化的規(guī)律。

8、它是通過試驗理論應(yīng)用證實而得到的。時間變化的規(guī)律。它是通過試驗理論應(yīng)用證實而得到的。 本構(gòu)模型分類：本構(gòu)模型分類： 1 1、經(jīng)驗公式模型、經(jīng)驗公式模型：根據(jù)不同試驗條件及不同巖石種類求得：根據(jù)不同試驗條件及不同巖石種類求得 的數(shù)學(xué)表達式，這種表達式通常采用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、的數(shù)學(xué)表達式，這種表達式通常采用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、 對數(shù)函數(shù)的形式表達。對數(shù)函數(shù)的形式表達。 2 2、積分模型、積分模型：是在考慮施加的應(yīng)力不是一個常數(shù)時的更一：是在考慮施加的應(yīng)力不是一個常數(shù)時的更一 般的情況下，采用積分的形式表示應(yīng)力應(yīng)變時間關(guān)系般的情況下，采用積分的形式表示應(yīng)力應(yīng)變時間關(guān)系 的本構(gòu)方程。的本構(gòu)方程。 3

9、3、組合模型、組合模型：將巖石抽象成一系列簡單元件（彈簧、阻尼：將巖石抽象成一系列簡單元件（彈簧、阻尼 器、摩擦塊），將其組合來模擬巖石的流變特性而建立的器、摩擦塊），將其組合來模擬巖石的流變特性而建立的 本構(gòu)方程。本構(gòu)方程。 （一）經(jīng)驗公式模型（一）經(jīng)驗公式模型 45690. 0 101610. 1 t 1 1、冪函數(shù)型、冪函數(shù)型 ： DtBt e lg)( )10()( nAtt n 式中：式中：A A和和n n是經(jīng)驗常數(shù)，其值取決于應(yīng)力水平、材料物是經(jīng)驗常數(shù)，其值取決于應(yīng)力水平、材料物 理特性及溫度條件。理特性及溫度條件。 2 2、對數(shù)型、對數(shù)型 ： 式中：式中： e 為瞬時彈性應(yīng)變；為

10、瞬時彈性應(yīng)變；B B，D D取決于應(yīng)力性質(zhì)及水平的待定常數(shù)。取決于應(yīng)力性質(zhì)及水平的待定常數(shù)。 大理巖試驗大理巖試驗 （ 軸向、側(cè)向）軸向、側(cè)向） 第一、第二階段第一、第二階段 軸向蠕變方程軸向蠕變方程 45044. 0 104205. 0 t 第一、第二階段第一、第二階段 側(cè)向蠕變方程側(cè)向蠕變方程 通常形式通常形式 通常形式通常形式 如：如： 式中：式中： e 為瞬時彈性應(yīng)變；為瞬時彈性應(yīng)變；A A為蠕變系數(shù)。為蠕變系數(shù)。 羅伯遜（羅伯遜（RoberstsonRoberstson）根據(jù)開爾文（）根據(jù)開爾文（KelvinKelvin）粘彈性模型通過試）粘彈性模型通過試 驗曲線修正后得到半經(jīng)驗公式

11、：驗曲線修正后得到半經(jīng)驗公式： 如：如： tAt e ln)( c n E A)( 單軸單軸 c n G A) 2 ( 31 三軸三軸 n nc c 為蠕變指數(shù)為蠕變指數(shù) )(exp1)(tfAt 3 3、指指數(shù)型數(shù)型 ： 式中：式中： A A為試驗常數(shù)，為試驗常數(shù)，f(t)f(t)是時間是時間t t的函數(shù)。的函數(shù)。 通常形式通常形式 如：如： 伊文思（伊文思（EvansEvans）對花崗巖、砂巖研究得到：）對花崗巖、砂巖研究得到： )1exp(1 )( 4 . 0 ctAt 式中：式中： A A、c c為試驗常數(shù)為試驗常數(shù) 4 4、冪函數(shù)、冪函數(shù)、指指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù) 混合型

12、混合型： 如：如： 干燥的鈣質(zhì)石灰?guī)r：干燥的鈣質(zhì)石灰?guī)r： 6651. 0 10)48lg52822()( ttt 干燥的白云質(zhì)石灰?guī)r：干燥的白云質(zhì)石灰?guī)r： 6489. 049. 0 10)567 . 0648()( tet t 干燥的砂巖：干燥的砂巖： 6687. 001. 0 10)410581858()( tet t 經(jīng)驗法簡單實用，經(jīng)驗法簡單實用，對特定的巖石試驗而得，難以推廣到對特定的巖石試驗而得，難以推廣到 所有情況所有情況 （二）積分模型（二）積分模型 （一維） 流變方程：流變方程： 0),(tf應(yīng)力為常數(shù)，蠕變方程應(yīng)力為常數(shù)，蠕變方程 0),(tf應(yīng)變?yōu)槌?shù)，松弛方程應(yīng)變?yōu)槌?shù)，

13、松弛方程 蠕變方程蠕變方程 應(yīng)力隨時間應(yīng)力隨時間 的變化規(guī)律的變化規(guī)律 每時刻在給定應(yīng)力下的應(yīng)變每時刻在給定應(yīng)力下的應(yīng)變 應(yīng)力不為常數(shù)時應(yīng)力不為常數(shù)時 )( 0 tJ 蠕變方程蠕變方程 恒定應(yīng)力t的函數(shù) 0 0時刻：作用應(yīng)力：時刻：作用應(yīng)力：0 0 -t-t時刻：作用應(yīng)力：時刻：作用應(yīng)力： 0 0+0 0 t t時刻：應(yīng)變：時刻：應(yīng)變： )()( 00 tJtJ 設(shè)應(yīng)力增量設(shè)應(yīng)力增量作用在作用在0 0時刻：時刻： 時刻的應(yīng)變?yōu)椋簳r刻的應(yīng)變?yōu)椋?)0()( 000 tJtJ t ti i時刻應(yīng)力相對前一時間時刻應(yīng)力相對前一時間 步步t ti-1 i-1增加 增加i i，相應(yīng)，相應(yīng)應(yīng)變應(yīng)變 增量為

14、：增量為： )( iii tJ 引起的引起的總應(yīng)變：總應(yīng)變： t i ii tJtJ 0 0 )()( 積分形式積分形式： )()()( )()()( 0 0 0 0 dtJtJ dtJtJ t t 積分形式的流變方程積分形式的流變方程 )()()( 0 0 dtJtJ t 令：令： vduuvudv )(),(ddvtJu 利用分部積分：利用分部積分： dtJtJJtJ tdJtJtJt t t t )()()0()()()0()( )()()|()()()( 0 0 0 00 dtJtJJtJt t )()()0()()()0()()( 0 0 E J 1 )0( 式中：式中： 為為0 0

15、時刻的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，有：時刻的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，有： )0(J )( 1 )(tK E tJ 令：令： 材料蠕變核材料蠕變核 dtKt E t t )()()( 1 )( 0 積分形式的流變方程常用通式積分形式的流變方程常用通式 dtRtEt t )()()()( 0 積分形式的松弛方程常用通式積分形式的松弛方程常用通式 同理同理 材料松弛核材料松弛核 （三）組合模型（三）組合模型 1 1、流變模型元件、流變模型元件 （1 1）彈性介質(zhì)及彈性元件（虎克體）彈性介質(zhì)及彈性元件（虎克體） ： 滿足虎克定律滿足虎克定律 E 彈性介質(zhì)性質(zhì)：彈性介質(zhì)性質(zhì)： （1）具有瞬時變形性質(zhì)；）具有瞬時變形性質(zhì)； （2

16、）常數(shù)，則常數(shù)，則保持不變，故無保持不變，故無 應(yīng)力松弛性質(zhì)；應(yīng)力松弛性質(zhì)； （3）常數(shù)，則常數(shù)，則也保持不變，故也保持不變，故 無蠕變性質(zhì)；無蠕變性質(zhì)； （4）0（卸載），則（卸載），則0，無，無 彈性后效。彈性后效。 可見，可見，、與時間與時間t無關(guān)無關(guān)(無蠕變無蠕變) （2）粘性介質(zhì)及粘性元件（牛頓體） 滿足牛頓定律 dt d ct t 0 加載瞬間，無變形加載瞬間，無變形 即當即當t=0t=0時時, ,=0 0,=0,=0,則則 c=0 粘性介質(zhì)性質(zhì)：粘性介質(zhì)性質(zhì)： （1）當）當0時，時， 說明在受應(yīng)力說明在受應(yīng)力 0作用，要產(chǎn)生相應(yīng)的變形作用，要產(chǎn)生相應(yīng)的變形 必須經(jīng)過時間必須經(jīng)過時

17、間t，表明無瞬時變形，表明無瞬時變形，粘性元件具有蠕變性質(zhì)；粘性元件具有蠕變性質(zhì)； t 0 0 （2）0（卸載），則（卸載），則常數(shù)，故無彈性后效，有永久變形。常數(shù)，故無彈性后效，有永久變形。 （3）常數(shù)，則常數(shù)，則=dd/dt/dt0，粘性元件不受力，故無應(yīng)力松弛，粘性元件不受力，故無應(yīng)力松弛 性質(zhì)。性質(zhì)。 牛牛 頓頓 粘粘 性性 系系 數(shù)數(shù) （3）塑性介質(zhì)及塑性元件（圣維南體） 當當: :s s ，=0=0 s s , , 可模擬剛塑性體的變形性質(zhì)。 牛頓體具有粘性流動的特點。塑性元件具有剛塑性體變形牛頓體具有粘性流動的特點。塑性元件具有剛塑性體變形 （塑性變形也稱塑性流動）的特點。（塑性

18、變形也稱塑性流動）的特點。 粘性流動粘性流動：只要有微小的力就會發(fā)生流動。：只要有微小的力就會發(fā)生流動。 塑性流動塑性流動：只有當應(yīng)力：只有當應(yīng)力達到或超過屈服極限達到或超過屈服極限s才會產(chǎn)生才會產(chǎn)生 流動。流動。 粘彈性體粘彈性體：研究應(yīng)力小于屈服極限時的應(yīng)力、應(yīng)變與時間：研究應(yīng)力小于屈服極限時的應(yīng)力、應(yīng)變與時間 的關(guān)系；的關(guān)系； 粘彈塑性體粘彈塑性體：研究應(yīng)力大于屈服極限時的應(yīng)力、應(yīng)變與時：研究應(yīng)力大于屈服極限時的應(yīng)力、應(yīng)變與時 間的關(guān)系；間的關(guān)系； 2、巖石的組合流變模型 基本元件基本元件巖石一種性質(zhì)巖石一種性質(zhì) 巖石性質(zhì)巖石性質(zhì) 彈性彈性 塑性塑性 粘性粘性 組合組合 組合方式組合方式

19、 串聯(lián)串聯(lián) 并聯(lián)并聯(lián) 應(yīng)力：應(yīng)力： n 21 應(yīng)變：應(yīng)變： n 21 應(yīng)力：應(yīng)力： n 21 應(yīng)變：應(yīng)變： n 21 （1 1）理想彈塑性介質(zhì)模型）理想彈塑性介質(zhì)模型 o s 當當: :s s ， =s s , , 保持不變，保持不變， 持續(xù)增大，持續(xù)增大，。 E 無蠕變、無松弛、無彈性后效無蠕變、無松弛、無彈性后效 （2 2）理想粘塑性介質(zhì)模型）理想粘塑性介質(zhì)模型 1 1+2 2， 1 1 = =2 2 : 0: 1 1 s s 2 阻尼器：阻尼器： 摩擦片：摩擦片： s ss s : 0: 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 s s s : 0: A A、蠕變曲線：、蠕變曲線：當當保持不變，保持不變， 即即

20、 0 0常數(shù)常數(shù) 通解為：通解為：ct s 0 初始條件：初始條件： 加載瞬間加載瞬間 00時，t t s 0 s s :考慮： 蠕變方程：蠕變方程： 蠕變曲線蠕變曲線 B B、卸載曲線：、卸載曲線： 當當t=tt=t1 1時卸載，時卸載， 1 0 t s 由于：由于：1 1 = =2 2 1 1 為塑性變形，故 為塑性變形，故為為 永久變形，永久變形， 無彈性后效無彈性后效 C C、松弛曲線、松弛曲線： 當當保持不變，保持不變， d/dtd/dt=0,=0, 代入代入 s s 無松弛無松弛 （3）馬克斯威爾模型（Maxwell）（粘彈性體） 該模型由彈性元件和粘性元件串聯(lián)而成，可模擬變形隨該

21、模型由彈性元件和粘性元件串聯(lián)而成，可模擬變形隨 時間增長而無限增大的力學(xué)介質(zhì)。時間增長而無限增大的力學(xué)介質(zhì)。 1 1 2 2 設(shè)彈簧和粘性元件的應(yīng)力、設(shè)彈簧和粘性元件的應(yīng)力、 應(yīng)變分別為應(yīng)變分別為1 1,1 1和和 2 2 , ,2 2， ， 組合模型的總應(yīng)力為組合模型的總應(yīng)力為和和。 彈簧彈簧: : tttd d d d d d 21 E 1 1 tEtEtd d1 d d1 d d 11 22 d d t 由由( (b):b): 粘性粘性元件元件: : 則則 1 12 2， (a) (a) 1 1 2 2 (b) (b) tE d d1馬克斯威爾模馬克斯威爾模 型本構(gòu)方程型本構(gòu)方程 馬克斯

22、威爾模型本構(gòu)方程： A A、蠕變曲線：、蠕變曲線：當當保持不變，保持不變， 即即 0 0常數(shù)，常數(shù)，d/dtd/dt=0,=0, 代入上式得：代入上式得： tEtd d1 d d 0 d d t 通解為：通解為：ct 0 初始條件：初始條件： 加載瞬間加載瞬間 E t 0 0 0 時，時， 得：得： c = c = 0 0 t E t 000 0 蠕變方程：蠕變方程： 0 1 1 2 2 B B、卸載曲線：、卸載曲線：當當t=tt=t1 1時卸載，彈時卸載，彈 性變形性變形0 0立即恢復(fù)，則卸載曲線立即恢復(fù)，則卸載曲線 為：為： 1 0 t 這是不可恢復(fù)的塑性變形。這是不可恢復(fù)的塑性變形。 t

23、 E t 000 0 1 1 2 2 0 C C、松弛曲線、松弛曲線：當：當保持不變，保持不變， 即即0 0常數(shù)，常數(shù)，d/dtd/dt=0,=0, 代入上式得：代入上式得： tEtd d1 d d 0 1 dt d E 通解為：通解為： ct E ln 初始條件：初始條件： 0 0 時，時， t 得：得：c = lnc = ln0 0 t E e 0 松弛方程：松弛方程： 1 1 2 2 可見：馬克斯威爾模型可見：馬克斯威爾模型具有瞬時變形、蠕變和松弛的具有瞬時變形、蠕變和松弛的 性質(zhì)，可模擬變形隨時間增長而無限增大的力學(xué)介質(zhì)。性質(zhì)，可模擬變形隨時間增長而無限增大的力學(xué)介質(zhì)。 1 2 2 1

24、 （4）開爾文(Kelvin)模型 設(shè)彈簧和阻尼元件的應(yīng)力、應(yīng)設(shè)彈簧和阻尼元件的應(yīng)力、應(yīng) 變分別為變分別為1 1 、1 1和和2 2 、 、2 2， ，組 組 合模型的總應(yīng)力為合模型的總應(yīng)力為和和 。 彈簧彈簧: : EE 11 ttd d d d 2 2 由由( (a):a): 阻尼元件阻尼元件: : 則則 1 1+2 2， (a) (a) 1 1 = =2 2 (b) (b) 開爾文開爾文模型本構(gòu)方程模型本構(gòu)方程 t E d d (c)(c) (d)(d) 開爾文模型本構(gòu)方程： A A、蠕變曲線、蠕變曲線：當：當保持不變，保持不變， 即即 0 0常數(shù)，代入上式得：常數(shù)，代入上式得： 通解為

25、：通解為： t E Ae E 0 初始條件：初始條件：加載瞬間，粘性元件不加載瞬間，粘性元件不 變形，即變形，即 00時，時， t 得：得： )1( 0 t E e E 蠕變方程蠕變方程： t E d d t E d d 0 E A 0 ( (c)c) 1 2 2 1 ( (e)e) )1( 0 t E e E 可見：可見：當當t=0t=0時時, , =0=0，當當t t 時，時， 0 00 0/E ,/E ,即彈性變形即彈性變形 趨于常數(shù)趨于常數(shù) ( (e)e) 蠕變方程 1 2 2 1 凱爾文模型能模擬穩(wěn)定蠕凱爾文模型能模擬穩(wěn)定蠕 變，不能模擬瞬時彈性變形。變，不能模擬瞬時彈性變形。 若在

26、若在t tt t1 1 時卸載，時卸載，0 0， 由本構(gòu)方程：由本構(gòu)方程： 0 d d t E B、卸載曲線方程 t E d d 得：得： 通解為：通解為： t E Ae 1 2 2 1 初始條件：初始條件： 11t tt ， 得卸載曲線：得卸載曲線： 1 1 t E t eA 當當t t時，時，0,0, 即卸載后，變形慢慢恢復(fù)到即卸載后，變形慢慢恢復(fù)到0 0（彈性（彈性 后效）。后效）。 得得: : )( 1 1 tt E t e 1 2 2 1 彈性后效彈性后效 C C、松弛曲線：、松弛曲線：當當保持不變，保持不變， 即即0 0常數(shù)，常數(shù)，d/dtd/dt=0,=0, 代入開爾文代入開爾文

27、模型本構(gòu)方程模型本構(gòu)方程 0 E 可見，應(yīng)變恒定，應(yīng)力恒定。即無應(yīng)力松弛現(xiàn)象可見，應(yīng)變恒定，應(yīng)力恒定。即無應(yīng)力松弛現(xiàn)象 該模型反映了有彈性后效現(xiàn)象和穩(wěn)定蠕變，無應(yīng)力松弛的該模型反映了有彈性后效現(xiàn)象和穩(wěn)定蠕變，無應(yīng)力松弛的 性質(zhì)。性質(zhì)。開爾文開爾文模型是一種粘彈性模型。模型是一種粘彈性模型。 t E d d 1 2 2 1 （5）廣義開爾文模型 一個彈簧一個彈簧 一個開爾文元件一個開爾文元件 彈簧彈簧: : 111 E 1 12 2= = (a) (a) 1 1+2 2 = = (b) (b) E E1 1, ,1 1 E E2 2, ,2 2 , ,2 2 串聯(lián)串聯(lián) 111 E 廣義開爾文廣義

28、開爾文模型本構(gòu)方程模型本構(gòu)方程 E E1 1, ,1 1 E E2 2, ,2 2 , ,2 2 )()( )()( 11 2 112 EE E E 開爾文開爾文 體體: : 222 E 即即: : 2 1 2 1 )1 (E E E E 整理整理: : 當當保持不變，即保持不變，即 0 0常數(shù)，常數(shù)， 代入本構(gòu)方程代入本構(gòu)方程 )1 ( 2 2 0 1 0 t E e EE 蠕變方程蠕變方程： 1 0 0 E E E1 1, ,1 1 E E2 2, ,2 2 , ,2 2 A A、蠕變曲線：、蠕變曲線： 初始條件：初始條件： 解微分方程解微分方程 1 0 0 E t=0t=0 2 0 1

29、0 EE t t 蠕變范圍蠕變范圍： 1 0 E 2 0 1 0 EE 廣義開爾文蠕變曲線廣義開爾文蠕變曲線 1 0 E 1 0 E 2 0 E 若在若在t tt t1 1 時卸載，時卸載，0 0， 由本構(gòu)方程：由本構(gòu)方程： B、卸載曲線方程 1 0 E 1 0 E 2 0 E 通解通解 初始條件：初始條件： 特解特解 C C、松弛曲線：、松弛曲線：當當保持不變，保持不變， 即即0 0常數(shù)，常數(shù)，d/dtd/dt=0,=0, 代入代入本構(gòu)方程本構(gòu)方程 0 21 2 21 21 )( 21 1 t EE e EE E EE EE （6）賓漢姆(Bingham)模型 一個彈簧一個彈簧 一個理想粘塑

30、性元件一個理想粘塑性元件 串聯(lián)串聯(lián) EE 11 串聯(lián)串聯(lián) 21, , s 串聯(lián)串聯(lián) 22, , 1 ,E 彈簧：彈簧： 理想粘塑性元件：理想粘塑性元件： s s s : 0: 1 21 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 21 s s s E EE : ,: 1 當當保持不變，即保持不變，即 0 0常數(shù)常數(shù) A A、蠕變曲線：、蠕變曲線： s s s : : 1 1 變只有彈簧有變形，無蠕 E t s00 蠕變方程蠕變方程： 解微分方程解微分方程 E 0 0 初始條件：初始條件： 微分方程微分方程 B B、松弛方程：、松弛方程： 當當保持不變保持不變 即即0 0常數(shù)常數(shù) d/dtd/dt=0=0 0: : 1

31、01 s s s E E 無松弛常數(shù)， 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 s s s E EE : ,: 1 0 s E t E ss e )( 0 松弛方程松弛方程： 解微分方程解微分方程 0 初始條件：初始條件： 微分方程微分方程 松弛范圍：松弛范圍： s 0 （7）伯格斯（Burgers）模型 串聯(lián)串聯(lián) 馬克斯威爾模型馬克斯威爾模型 開爾文模型開爾文模型 串聯(lián)串聯(lián) E E1 1 E E2 2 開爾文開爾文 體體: : 1111 E 馬克斯威爾模型本構(gòu)方程馬克斯威爾模型本構(gòu)方程： 2 2 2 E 21 21 111121 E )()( 21 22 11 E E 1 21 2 21 21 1 1 2 2 1 2 )( EE E EEEEE 數(shù)學(xué)變換數(shù)學(xué)變換 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 1 21 2 21 21 1 1 2 2 1 2 )( EE E EEEEE 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 當當保持不變，即保持不變，即 0 0常數(shù)常數(shù) A A、蠕變方程：、蠕變方程： 2 0 0 E 初始條件：初始條件： 0 21 0 ) 11 ( )1 ( 1 1 1 0