畫(huà)法幾何課件

1、2021/3/141 2.6 2.6 曲線、曲面和立體曲線、曲面和立體 本節(jié)提要: （1）平面立體及其表面上的線和點(diǎn) （2）平面曲線和空間曲線 （3）曲面、曲面立體及其表面上的線和點(diǎn) 2021/3/142 線 直線:線上的諸點(diǎn)都位于同一直線上 曲線:線上的諸點(diǎn)都不位于同一直線上 面 平面:面上諸點(diǎn)都位于同一平面上 曲面:面上諸點(diǎn)都不位于同一平面上 立體:由面圍成的有限空間 立體 平面立體:全部表面都是由平面圍成的立體 曲面立體:由曲面或曲面和平面圍成的立體 2021/3/143 2.6.1 平面立體及其表面上的線和點(diǎn)平面立體及其表面上的線和點(diǎn) 平面立體是全部由平面表面圍成的立體,也稱(chēng)為多面 體

2、。 平面立體的每個(gè)表面都是平面多邊形。 2021/3/144 在平面立體表面上作點(diǎn)和線,也就是在它的各個(gè)平面 多邊形表面上作點(diǎn)和線。 線的投影為可見(jiàn)時(shí),畫(huà)粗實(shí)線;不可見(jiàn)時(shí),畫(huà)中虛線;當(dāng) 粗實(shí)線和中虛線重合時(shí)，應(yīng)畫(huà)粗實(shí)線。 繪制平面立體的投影,歸結(jié)為繪制它的所有多邊形表 面的投影,也就是繪制這些多邊形的邊和頂點(diǎn)的投影。 2021/3/145 2.6.1.1 棱柱及其表面上的線和點(diǎn) 棱柱:一個(gè)平面立體若有兩個(gè)平行的表面,而其余所有 的表面的每?jī)蓚€(gè)相鄰表面的交線都互相平行。 棱柱體的組成: 端面 棱面 棱線 頂邊 底邊 頂面 底面 2021/3/146 棱柱體 直棱柱:棱線垂直于端面的棱柱 正棱柱:

3、端面是正多邊形的直棱柱 斜棱柱:棱線傾斜于端面的棱柱 2021/3/147 正六棱柱的投影 正六棱柱的頂面及底面平行于水平投影面,其水平投 影反映實(shí)形;前后棱面與正面平行,其正面投影反映實(shí)形。 2021/3/148 判斷立體表面上點(diǎn)和線可見(jiàn)與否的原則是:如果點(diǎn)、線所在的表 面投影可見(jiàn),那么點(diǎn)、線的同面投影一定可見(jiàn),否則不可見(jiàn)。 求解方法求解方法有有: （1）從屬性法 當(dāng)點(diǎn)位于立體表面的某條棱線上時(shí),那么點(diǎn)的投 影必定在棱線的投影上,既可利用線上點(diǎn)的“從屬性”求解。 （2）積聚性法 當(dāng)點(diǎn)所在的立體表面對(duì)某投影面的投影具有積 聚性時(shí),那么點(diǎn)投影必定在該表面對(duì)這個(gè)投影面的積聚投影上。 （3）輔助線法

4、 平面立體表面上的點(diǎn)和直線平面立體表面上的點(diǎn)和直線 2021/3/149 表面上取點(diǎn):可由棱面的積聚投影和正面投影,通過(guò) 45輔助線求出側(cè)面投影。 a(a) a a aa 2021/3/1410 正五棱柱 如圖所示,正五棱柱的三面投影圖,補(bǔ)全這些點(diǎn)A、B、 C、D和折線EFGHI的三面投影。 a(b) e f g h i c(d) c (c) aa bb d (d) e e f g h f g hi i 2021/3/1411 2.6.1.2 棱椎及其表面上的線和點(diǎn) 棱椎:平面立體若有一個(gè)表面是多邊形,其余的各個(gè) 表面都是具有同一個(gè)頂點(diǎn)的三角形。 棱面 棱線 錐頂 正棱錐 正多邊形底面 202

5、1/3/1412 正五棱錐投影圖的作圖過(guò)程: 2021/3/1413 s d s s d s s d s 已知正三棱錐的兩面投影和正三棱錐表面上的點(diǎn)D的 水平投影d,求作它的正面投影d。 棱面上取點(diǎn),只能按在一般位置平面上取點(diǎn)的方法,用 輔助線來(lái)作圖。 d s d s a a d b b c e c e d 2021/3/1414 s s k(l) a b cd b cad e s cd be a e g h (f) 例例2.46 如圖所示如圖所示,已知正五棱錐表面上的點(diǎn)已知正五棱錐表面上的點(diǎn)F、K、 L和直線和直線GH的一個(gè)投影的一個(gè)投影,補(bǔ)全這些點(diǎn)和直線的三面投影。補(bǔ)全這些點(diǎn)和直線的三面投

6、影。 k k l l 3 3 f f g h g h 1 2 1 2 s s k(l) a b cd b cad e s cd be a e g h (f) 2021/3/1415 2.6.1.3 一些平面立體的投影圖示例 正三棱柱 左端切割成正 垂面的L形柱 斜三棱柱 正四棱臺(tái) 2021/3/1416 楔形塊 疊加組合體 2021/3/1417 2.6.2 平面曲線和空間曲線平面曲線和空間曲線 曲線可以看作是不斷改變方向的 點(diǎn)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)的軌跡。 曲線的投影是曲線上諸點(diǎn)的投影的集合 曲線 平面曲線:所有的點(diǎn)都位于同一平 面上的曲線,如圓 空間曲線:連續(xù)四點(diǎn)不在同一平面 上的曲線,如圓柱螺旋線

7、2021/3/1418 2.6.2.1 平面曲線及其投影特性 曲線所在的平面平行于投影面時(shí),在該投影面上的 投影反映真形; 平面曲線投影特性: 2021/3/1419 曲線所在的平面垂直于投影面時(shí),在該投影面上的 投影成為一直線段; 曲線所在的平面傾斜于投影面時(shí),在該投影面上的 投影成為形狀縮小的類(lèi)似形。 2021/3/1420 例例2.47 如圖所示如圖所示,已知已知PQR及平面內(nèi)的平面曲線及平面內(nèi)的平面曲線 AE的水平投影的水平投影,求作這條平面曲線的正面投影。求作這條平面曲線的正面投影。 b 1 c d 2 3 4 5 f 1 2 3 4 5 f b c d a e 2021/3/142

8、1 2.6.2.2 圓及其投影特性 正平圓的投影特性: V面上的投影反映真形; H面、W面上的投影為直 線,并分別平行于OX軸和 OZ軸,長(zhǎng)度等于直徑，中點(diǎn) 是圓心C的投影c、c 。 X O Z YH YW c c c 2021/3/1422 鉛垂圓的投影 長(zhǎng)軸長(zhǎng)軸: :鉛垂直徑CD的投影cd=D 短軸短軸: :水平直徑AB的投影ab=Dcos 2021/3/1423 鉛垂圓的投影特性: 水平面上的投影成直線,該直 線反映圓平面對(duì)V面的夾角,長(zhǎng) 度等于直徑，中點(diǎn)是圓心C的投 影c。 正面上的投影為一橢圓,長(zhǎng)軸 是這個(gè)鉛垂圓的唯一一條鉛垂直 徑的正面投影,且反映真長(zhǎng)，短 軸是這個(gè)圓平面上與鉛垂直

9、徑相 垂直的直徑,長(zhǎng)短軸的交點(diǎn)是橢圓的中心,也是圓心的投影。 2021/3/1424 鉛垂圓的兩面投影及其作圖過(guò)程 b a OX d acb e ecd 2021/3/1425 從上述可歸納出圓的投影特性: 在與圓平面平行的投影面上的投影反映真形。 在與圓平面垂直的投影面上的投影成直線,長(zhǎng)度等 于圓的直徑,中點(diǎn)是圓心的投影。 在與圓平面傾斜的投影面上的投影是橢圓:橢圓的 中心是圓心的投影;長(zhǎng)軸是平行于這個(gè)投影面的直徑的投 影,且反映真長(zhǎng);短軸是平行于投影面的直徑相垂直的直徑 的投影。 2021/3/1426 推知:鉛垂圓的側(cè)面投影也是橢圓,長(zhǎng)軸是圓平面上平 行于側(cè)面W的直徑的投影,短軸是圓平面

10、上與上述直徑相 垂直的直徑的投影。 2021/3/1427 例例2.48 如圖所示如圖所示,已知直已知直 徑為徑為24mm的鉛垂圓的圓心的鉛垂圓的圓心C的的 兩面投影兩面投影,圓平面與圓平面與V面的傾角面的傾角 =30，水平直徑的方向是從，水平直徑的方向是從 左后往右前，作出這個(gè)鉛垂圓的左后往右前，作出這個(gè)鉛垂圓的 水平投影，并用換面法和連點(diǎn)法水平投影，并用換面法和連點(diǎn)法 作出這個(gè)圓的正面投影。作出這個(gè)圓的正面投影。 XO V H c c OX V H c c 30 a b O1 X1 H V1 c1 a1 b1 d1 e1 dc e ab d e 11 21 31 41 51 61 71 8

11、1 7 8 5 6 1 2 3 4 1 2 35 7 8 64 2021/3/1428 進(jìn)一步推知: 當(dāng)圓平面處于一般位置時(shí),圓的三面投影都是橢圓。 橢圓的長(zhǎng)短軸也分別都是平行于該投影面的直徑以 及與這條直徑相垂直的直徑的投影。 2021/3/1429 這三個(gè)橢圓的長(zhǎng)短軸是圓的三對(duì)不同位置的互相垂 直的直徑的投影,可按圓的投影特性、平面上的直線的幾 何條件、一邊平行于投影面的直角的投影特性、已知直線 的真長(zhǎng)反求直線的投影的作圖方法,或者用換面法，分別 直接作出。 2021/3/1430 2.6.2.3 空間曲線的投影 空間曲線的投影是一條平面曲線 空間曲線的投影圖除了標(biāo)注出端點(diǎn)的投影符號(hào)外,有

12、 時(shí)還需要標(biāo)注出曲線上的一些能夠確定曲線的形狀和走向 的點(diǎn)的投影符號(hào)。 空間曲線立體圖空間曲線投影圖 2021/3/1431 2.6.3 曲面、曲面立體及其表面上的線和點(diǎn)曲面、曲面立體及其表面上的線和點(diǎn) 2.6.3.1 曲面的形成和分類(lèi) 曲面 不規(guī)則曲面:不按幾何規(guī)律形成的曲面,如地面 規(guī)則曲面:按幾何規(guī)律形成的曲面,如圓柱 規(guī)則曲面可以看作為一條線 按一定的規(guī)律運(yùn)動(dòng)的軌跡 2021/3/1432 母線:可以是直 線或曲線 素線:母線的任意位置 導(dǎo)點(diǎn)、導(dǎo)線、導(dǎo)面:控 制母線運(yùn)動(dòng)而本身不 動(dòng)的點(diǎn)、線、面 2021/3/1433 曲面 回轉(zhuǎn)面:由母線旋轉(zhuǎn)而形成的曲面,如圓柱 非回轉(zhuǎn)面:如雙曲拋物面

13、等 回轉(zhuǎn)面 直紋面:由直線作為母線旋轉(zhuǎn)而形成的曲面, 如柱面、錐面等 曲線面:由曲線作為母線旋轉(zhuǎn)而形成的曲面, 如球面、圓環(huán)面等 2021/3/1434 直線面 單曲面:連續(xù)兩素線（指無(wú)限接近的相鄰兩素線） 彼此平行或相交的曲面,如圖柱面和圓 錐面等 扭曲面:連續(xù)兩素線彼此交叉的曲面,如單葉雙曲 回轉(zhuǎn)面和錐狀面等 2021/3/1435 曲面 可展曲面:曲面能展開(kāi)成平面,如直紋面中的柱面、 錐面和切線面等單曲面的連續(xù)素線彼 此平行或相交,故為可展曲面 不可展曲面:曲面不能展開(kāi)成平面,如扭曲面的連 續(xù)兩素線彼此交叉,故為不可展曲 面，另外還有曲線面 2021/3/1436 從幾何觀點(diǎn)來(lái)看,畫(huà)出形

14、成曲面的各個(gè)幾何元素的投 影,該曲面即可確定。但為了使圖形更加形象易懂，通常 還需畫(huà)出以下幾何元素的投影: 曲面的表示法 2021/3/1437 曲面邊界線的投影 除球面、環(huán)面等封閉曲面外,多數(shù)曲面都是可以無(wú)限 擴(kuò)大的。為了表示曲面的有限范圍,一般利用曲面上起始 和終止位置的素線及其母線端點(diǎn)的軌跡曲線等對(duì)曲面的范 圍加以限制。 2021/3/1438 將曲面向某投影面投影時(shí),曲面與投影面有一系列切 點(diǎn),這些切點(diǎn)的連線（直線或曲線）稱(chēng)為曲面對(duì)該投影面 的輪廓線。畫(huà)圖時(shí)，對(duì)某一投影面的輪廓線，只需畫(huà)出它 在該投影面上的投影，其余 投影不必畫(huà)出。此外，曲面 對(duì)某投影面的輪廓線也是曲 面對(duì)該投影面的可

15、見(jiàn)性分界 線。 曲面輪廓線的投影 2021/3/1439 曲面立體:由曲面或曲面和平面所圍成的立體 球面 球體 圓柱面 底面 頂面 圓柱體 2021/3/1440 底面 圓錐面 圓錐體 回轉(zhuǎn)體:由回轉(zhuǎn)面圍成的立體或由回轉(zhuǎn)面為 主要表面與平面一起所圍成的立體 在曲面立體上作線和點(diǎn),也就是在圍成這個(gè) 立體的曲面或曲面和平面上作線和點(diǎn) 2021/3/1441 2.6.3.2 回轉(zhuǎn)面和回轉(zhuǎn)體 直紋面圓柱面、圓錐面、單葉雙曲回轉(zhuǎn)面 曲線面球面、環(huán)面等。 組合回轉(zhuǎn)面:由各段不同的回轉(zhuǎn)面連接而構(gòu)成 本節(jié)主要闡述:圓柱、圓錐和圓臺(tái)、球、環(huán)、一般回 轉(zhuǎn)面和組合回轉(zhuǎn)面、單葉雙曲回轉(zhuǎn)面、切割或疊加的回轉(zhuǎn) 體。 簡(jiǎn)要

16、說(shuō)明:在回轉(zhuǎn)體表面上作點(diǎn)或線的投影的原理和 方法。 回轉(zhuǎn)面 2021/3/1442 回轉(zhuǎn)面的兩個(gè)基本性質(zhì) （1）回轉(zhuǎn)面母線上任一點(diǎn),隨母線運(yùn)動(dòng)的軌跡均為圓, 該圓稱(chēng)為緯圓。緯圓所在的平面垂直于軸線。因此，所有 垂直于回轉(zhuǎn)軸線的平面與回轉(zhuǎn)面的交線均為圓，圓心即該 平面與軸線的交點(diǎn)O， 半徑r等于該平面與任一素 線的交點(diǎn)C到圓心O的距離。 在與回轉(zhuǎn)軸線垂直的投影面 上，所有緯圓的投影均為圓。 2021/3/1443 （2）回轉(zhuǎn)面與包含軸線的平面相交得到兩條素線。 當(dāng)該平面平行于某投影面時(shí),這兩條素線為回轉(zhuǎn)面對(duì)該投 影面的可見(jiàn)性邊界線,即回轉(zhuǎn)面對(duì)該投影面的輪廓線。它 們?cè)谠撏队懊嫔系耐队胺从郴剞D(zhuǎn)面母

17、線的實(shí)形以及母線 與軸線的相對(duì)位置。 2021/3/1444 （1）圓柱 最前素線 最左素線 最后素線 最右素線 最左素線 最前素線 圓柱軸線垂直于H面,上下端 面的H面投影反映實(shí)形,V面和W 面的投影積聚為直線。圓柱面的 H投影積聚為圓周，V面和W面投 影為矩形。 注意圓柱面上最左、最右、 最前、最后素線在V面和W面投 影中的位置。 后半圓柱面的V面投影不可見(jiàn);右 半圓柱面的W面投影不可見(jiàn)。 最右素線 最后素線 2021/3/1445 c d a(b) a 如圖所示,已知圓柱表面上的點(diǎn)A、B的水平投影a(b), 以及曲線CD的正面投影cd，補(bǔ)全這些點(diǎn)和線的三面投影。 圓柱面上取點(diǎn),可利用H面

18、投影的積聚性來(lái)求其余投影。 注意后半圓柱面的V面投影不可見(jiàn);右半圓柱面的W面投影 不可見(jiàn)。 b a b c c d d e e e f f f 2021/3/1446 （2）圓錐和圓臺(tái) 圓錐軸線垂直于H面,底面的 H面投影反映實(shí)形,V面和W面的 投影積聚為直線。圓錐面的H面 投影無(wú)積聚性，V面和W面投影 是等腰三角形。 注意圓錐面上最左、最右、 最前、最后素線在V面和W面投 影中的位置。 后半圓錐面的V面投影不可見(jiàn);右 半圓錐面的W面投影不可見(jiàn)。 最前素線最左素線 最右素線 最后素線 2021/3/1447 圓錐面上取點(diǎn),可用直素線 法和緯圓法求。注意后半圓錐面 的V面投影不可見(jiàn);右半圓錐面的

19、 W面投影不可見(jiàn)。 b b b a a B 2021/3/1448 緯圓法 a a 2021/3/1449 圓錐被平行于底面的平面所截,截面與底面之間的這 段立體稱(chēng)為圓臺(tái),截出的斷面稱(chēng)為圓臺(tái)的頂面，圓臺(tái)的頂 面也是一個(gè)圓。 最前素線 最左素線 最右素線 最后素線 2021/3/1450 （3）球 2021/3/1451 圓球的三個(gè)投影均為等徑圓,并且是圓球上平行于相 應(yīng)投影面的最大輪廓圓。 2021/3/1452 V面投影輪廓圓 H面投影輪廓圓 W面投影輪廓圓 H面投影的輪廓圓是上、下兩半球的可見(jiàn)性分界線; V面投影的輪廓圓是前、后兩半球的可見(jiàn)性分界線; W面投影的輪廓圓是左、右兩半球的可見(jiàn)性

20、分界線。 2021/3/1453 c a c c 已知球的水平投影和正面投影,以及球面上的點(diǎn)A的正 面投影,需求作球的側(cè)面投影，以及點(diǎn)A的水平投影a和側(cè) 面投影a。 作水平圓 a a a 2021/3/1454 已知球的水平投影和正面投影,以及球面上的點(diǎn)A的正 面投影,需求作球的側(cè)面投影，以及點(diǎn)A的水平投影a和側(cè) 面投影a。 作正平圓 a c a c c1 1 a a 2021/3/1455 已知球的水平投影和正面投影,以及球面上的點(diǎn)A的正 面投影,需求作球的側(cè)面投影，以及點(diǎn)A的水平投影a和側(cè) 面投影a。 作側(cè)平圓 a c a c c a a 2021/3/1456 圓球面上的曲線 2021/

21、3/1457 （4）環(huán) 當(dāng)母線圓繞圓平面上不通過(guò)圓心的直線旋轉(zhuǎn)一周,所 形成的回轉(zhuǎn)面是環(huán)面,環(huán)面所圍成的立體就是環(huán)體，簡(jiǎn)稱(chēng) 環(huán)。 2021/3/1458 軸線為鉛垂線的 環(huán)的兩面投影 2021/3/1459 如圖所示,已知環(huán)面上順次向后的四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D 的互相重合的正面投影a(b)(c)(d),作出這四個(gè)點(diǎn)的水平投 影，并表明可見(jiàn)性。 b a d c 1 2 12 2021/3/1460 （5）一般回轉(zhuǎn)面和組合回轉(zhuǎn)面 有一條平行于正面V 的一般的曲線ABCD繞這 條曲線所在的正平面內(nèi)與 ABCD不相交的鉛垂線旋 轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱(chēng)為 一般回轉(zhuǎn)面。 2021/3/1461 （5）一般回轉(zhuǎn)

22、面和組合回轉(zhuǎn)面 一般回轉(zhuǎn)面上定點(diǎn): 這個(gè)回轉(zhuǎn)面的投影沒(méi)有 積聚性,在這個(gè)回轉(zhuǎn)面 上不存在直線,所以用 緯圓法作圖。 若加設(shè)頂圓平面和 底圓平面,則圍成一般 回轉(zhuǎn)體。 2021/3/1462 （6）單葉雙曲回轉(zhuǎn)面 有兩條交叉直線:一般位置直線CD和鉛垂線AB,以AB為 軸線,CD繞AB旋轉(zhuǎn)一周，則形成單葉雙曲回轉(zhuǎn)面。 2021/3/1463 因這個(gè)曲面的投影無(wú)積聚性,通常也用緯圓法作點(diǎn)的 投影。 2021/3/1464 復(fù)線織面:有兩組直素線形成的曲面,也稱(chēng)為復(fù)線織面 2021/3/1465 （7）切割或疊加的回轉(zhuǎn)體 四分之一圓管四分之一環(huán) 半圓柱切割 掉半個(gè)圓臺(tái) 2021/3/1466 （7）切割或疊加的回轉(zhuǎn)體 注意:在兩個(gè)回轉(zhuǎn)體相切處,切線不是回轉(zhuǎn)面上的輪廓 線,所以在投影圖中不畫(huà)相切處的切線。 在兩個(gè)回轉(zhuǎn)體相交處,交線是組合回轉(zhuǎn)體