幾何變換法在初中數(shù)學解題中的應用

1、 幾何變換法在初中數(shù)學解題中的應用 在數(shù)學問題的研究中,常常運用變換法,把復雜性問題轉(zhuǎn)化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數(shù)學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習題,可以借助幾何變換法,化繁為簡,化難為易。另一方面,也可將變換的觀點滲透到中學數(shù)學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結(jié)合起來,有利于對圖形本質(zhì)的認識。幾何變換包括:(1)平移;(2)旋轉(zhuǎn);(3)對稱。例1、在矩形ABCD中，AB=2，AD=（1）在邊CD上找一點E，使EB平分AEC，并加以說明；（2）若P為BC邊上一點，且BP=2CP，

2、連接EP并延長交AB的延長線于F求證：點B平分線段AF；PAE能否由PFB繞P點按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到，若能，加以證明，并求出旋轉(zhuǎn)度數(shù)；若不能，請說明理由 答案：（1）當E為CD中點時，EB平分AEC。由D=90，DE=1，AD=，推得DEA=60，同理，CEB=60，從而AEB=CEB=60，即EB平分AEC。（2）CEBF，= BF=2CE。AB=2CE，點B平分線段AF能。證明：CP=，CE=1，C=90，EP=。在RtADE中，AE= =2，AE=BF，又PB=，PB=PEAEP=BP=90，PASPFB。PAE可以PFB按照順時針方向繞P點旋轉(zhuǎn)而得到。旋轉(zhuǎn)度數(shù)為120?！窘馕觥勘绢}綜

3、合考查學生三角形相似及全等、矩形性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)等等幾何知識的應用。（1）發(fā)散思維的考查，讓學生自己找滿足條件的點，并說明理由。題目中給出AB=2，AD=，發(fā)現(xiàn)滿足條件的點為AB的中點；利用三角函數(shù)的知識，及平角為180度，很容易得到結(jié)論。（2）應用相似三角形的知識得BF=2CE，且AB=2CE，所以點B平分線段AF。（3）問：PAE能否由PFB繞P點按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到，即證明：PAE和PFB是否全等。 平移在幾何中的運用例2、如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形RtABC的頂點均在格點上，建立平面直角坐標系后，點A的坐標為（4，1），點B的坐標為（1，1）（1）先將R

4、tABC向右平移5個單位，再向下平移1個單位后得到RtA1B1C1試在圖中畫出圖形RtA1B1C1，并寫出A1的坐標；（2）將RtA1B1C1繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)90后得到RtA2B2C2，試在圖中畫出圖形RtA2B2C2并計算RtA1B1C1在上述旋轉(zhuǎn)過程中C1所經(jīng)過的路程考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；弧長的計算；作圖-平移變換。專題：作圖題。分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點ABC平移后的對應點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標系寫出點A1的坐標即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A1、B1、C1繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)90后的對應點A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)勾股定理

5、求出A1C1的長度，然后根據(jù)弧長公式列式計算即可得解解答：解：（1）如圖所示，A1B1C1即為所求作的三角形，點A1的坐標為（1，0）；（2）如圖所示，A2B2C2即為所求作的三角形，根據(jù)勾股定理，A1C1=，所以，旋轉(zhuǎn)過程中C1所經(jīng)過的路程為=點評：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，弧長的計算公式，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準確找出對應點的位置是解題的關鍵對稱在幾何中的運用例3.（2012德州）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH（1）求證

6、：APB=BPH；（2）當點P在邊AD上移動時，PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由考點：翻折變換（折疊問題）；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出PBC=BPH，進而利用平行線的性質(zhì)得出APB=PBC即可得出答案；（2）首先證明ABPQBP，進而得出BCHBQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）利用已知得出EFMBPA，進而利用在RtAPE中，（4BE）2+x2=

7、BE2，利用二次函數(shù)的最值求出即可解答：（1）解：如圖1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPHEPB=EBCEBP即PBC=BPH又ADBC，APB=PBCAPB=BPH（2）PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?證明：如圖2，過B作BQPH，垂足為Q由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=BP，ABPQBPAP=QP，AB=BQ又AB=BC，BC=BQ又C=BQH=90，BH=BH，BCHBQHCH=QHPHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8（3）如圖3，過F作FMAB，垂足為M，則FM=BC=AB又EF為折痕，EFBPEFM+MEF=ABP+BEF=90，EFM=ABP又A=EMF=90，EFMBPAEM=AP=x在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2解得， 又四邊形PEFG與四邊形BEFC全等， 即： 配方得， ，當x=2時，S有最小值6點評：此題