第一講：集合的概念及表示方法

1、第一講：集合的含義與表示教學(xué)目標(biāo)：理解集合的含義，知道常用數(shù)集及其記法；初步了解屬于關(guān)系和集合相等意義，初步了解集合的分類及性質(zhì)；初步掌握集合的表示方法，并能正確地表示一些簡單的集合教學(xué)重點：集合的含義及其表示方法教學(xué)過程：1、 問題情境藍(lán)藍(lán)的天空中，一群鳥在歡快的飛翔；茫茫的草原上，一群羊在悠閑地走動；清清的湖水里，一群魚在自由的游泳；鳥群，羊群，魚群都是“同一類對象匯集在一起”，這就是本章將要學(xué)習(xí)的集合在初中學(xué)習(xí)數(shù)的分類時，已接觸過“正數(shù)的集合”、“負(fù)數(shù)的集合”，集合這一概念在數(shù)學(xué)中被廣泛運用，集合語言是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，利用它可以簡潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對象那么，我們不禁要問：集合的含義

2、是什么？二、學(xué)生活動讓同學(xué)介紹自己的家庭、現(xiàn)在的班級等情況問題：像“家庭”、 “班級”、“男生”、“女生”等概念有什么共同的特征？三：知識要點（一）集合的有關(guān)概念1.集合理論創(chuàng)始人康托爾稱集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個總體。2.一般地，研究對象統(tǒng)稱為元素（element），一些元素組成的總體叫集合（set），也簡稱集。如“中國的直轄市”構(gòu)成一個集合，該集合的元素就是北京、上海、天津、重慶這四個城市“Young中的字母” 構(gòu)成一個集合，該集合的元素就是y,o,u,n,g這五個字母“book中的字母” 也構(gòu)成一個集合，該集合的元素就是

3、b,o,k這三個字母，所有大于2的實數(shù)組成的集合稱為這個不等式的解集方程或2，1與2組成的集合稱為方程的解集自然數(shù)的集合 0，1，2，3，故事：一位數(shù)學(xué)家的女兒從幼兒園放學(xué)回到家中，父親問她今于學(xué)到了什么？女兒高興地回答說：“我們今天學(xué)習(xí)了集合.”數(shù)學(xué)家想：對于一個高度抽象的概念來說，女兒的年齡實在太小了.因此他關(guān)切地問：“你懂嗎？”女兒肯定地回答：“懂!一點也不難.”父親還是放心不下：“你們老師是怎么教的？”女兒說：“老師先讓男孩子站起來，說：這是男孩組成的集合.然后又讓女孩子站起來，說：這是女孩組成的集合.最后老師問我們：都懂了嗎？大家回答說：都懂了!”聽玩女兒的陳述，父親決定用下面的問題

4、作最后的檢驗：“那么，世界上所有的土豆是否能組成一個集合呢？”遲疑了一會兒，女兒最終回答道：“不能!除非它們都能站起來.”大家認(rèn)為這位小孩回答的是否是正確的呢？3.思考1：判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：（1） 大于3小于11的偶數(shù)；（2） 我國的小河流；（3） 非負(fù)奇數(shù)；（4） 方程的解；（5） 某校2007級新生；（6） 血壓很高的人；（7） 著名的數(shù)學(xué)家；（8） 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第三象限的點 （9）全班成績好的學(xué)生。4.關(guān)于集合的元素的特征（1）確定性：設(shè)A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。（2）互異

5、性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素。（3）無序性：集合與其中元素的排列次序無關(guān)。5.兩個集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的。6.元素與集合的關(guān)系（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于（belong to）A，記作aA（2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于（not belong to）A，記作aA。7.常用數(shù)集及其記法非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N正整數(shù)集，記作N*或N+；整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q實數(shù)集，記作R（二）集合的表示方法我們可以用自然語言來描述一個集合，但這將給我們帶來很多不便，除此之外還常用列舉法和描述

6、法來表示集合。1.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；說明：集合中的元素具有無序性，所以用列舉法表示集合時不必考慮元素的順序。2.描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號 內(nèi)。具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。如：x|x-32，(x,y)|y=x2+1，直角三角形，。五：典型例題考點一：集合的有關(guān)概念例1：下列各組對象不能組成集合的是( )。A.大于6的所有整數(shù) B.高中數(shù)學(xué)的所有難題C.被3除余2的所有整

7、數(shù) D.函數(shù)y=圖象上所有的點變式訓(xùn)練1.下列條件能形成集合的是( )A.充分小的負(fù)數(shù)全體 B.愛好足球的人C.中國的富翁 D.某公司的全體員工考點二：元素與集合的關(guān)系例2：(1)A=1,3,判斷元素3,5和集合A的關(guān)系,并用符號表示.(2)所有素質(zhì)好的人能否表示為集合?(3)A=2,2,4表示是否準(zhǔn)確?(4)A=太平洋,大西洋,B=大西洋,太平洋是否表示同一集合?解：(1)根據(jù)元素與集合的關(guān)系有兩種:屬于()和不屬于(),知3屬于集合A,即3A,5不屬于集合A,即5A.(2)由于素質(zhì)好的人標(biāo)準(zhǔn)不可量化,不符合集合元素的確定性,故A不能表示為集合.(3)表示不準(zhǔn)確,不符合集合元素的互異性,應(yīng)表

8、示為A=2,4.(4)因其元素相同,A與B表示同一集合.例3：在數(shù)集2x,x2-x中,實數(shù)x的取值范圍是。分析:實數(shù)x的取值滿足集合元素的互異性,則2xx2-x,解得x0且x3,實數(shù)x的取值范圍是x|x0或0x3.答案：x|x0或0x3例4：已知數(shù)集A=，求實數(shù)的值。分析：16=；同時考慮到集合元素的互異性。例5：集合A中的元素由關(guān)于x的方程kx2-3x+2=0的解構(gòu)成,其中kR,若A中僅有一個元素,求k的值.解：由于A中元素是關(guān)于x的方程kx2-3x+2=0(kR)的解,若k=0,則x=,知A中有一個元素,符合題設(shè);若k0,則方程為一元二次方程,當(dāng)=9-8k=0即k=時,kx2-3x+2=0

9、有兩相等的實數(shù)根,此時A中有一個元素.綜上所述k=0或k=.變式訓(xùn)練1.用符號或填空:(1)1_N,0_N,-3_N,0.5_N,_N;(2)1_Z,0_Z,-3_Z,0.5_Z,_Z;(3)1_Q,0_Q,-3_Q,0.5_Q,_Q;(4)1_R,0_R,-3_R,0.5_R,_R.2.數(shù)集3,x,x2-2x中,實數(shù)x滿足什么條件?3.方程ax2+5x+c=0的解集是,則a=_,c=_.考點三：集合的表示方法例6：用列舉法表示下列集合:(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合;(2)方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合;(3)由120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合.(4)(5)(6)(7)(8)解：(1

10、)設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A,那么A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.(2)設(shè)方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合為B,那么B=0,1.(3)設(shè)由120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合為C,那么C=2,3,5,7,11,13,17,19.變式訓(xùn)練1.用列舉法表示下列集合:(1)小于5的正奇數(shù)組成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合;(3)方程x2-9=0的解組成的集合;(4)15以內(nèi)的質(zhì)數(shù);(5)x|Z,xZ.列舉法表示集合的步驟:(1)用字母表示集合;(2)明確集合中的元素;(3)把集合中所有元素寫在大括號“”內(nèi),并寫成A=的形式.說明：書寫時，元素與元素之間用

11、逗號分開；一般不必考慮元素之間的順序；集合中的元素可以為數(shù)，點，代數(shù)式等列舉法可表示有限集，也可以表示無限集。當(dāng)元素個數(shù)比較少時用列舉法比較簡單；若集合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況下，也可以用列舉法表示。對于含有較多元素的集合，用列舉法表示時，必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能用省略號，象自然數(shù)集用列舉法表示為例7：用描述法表示下列集合(1)二次函數(shù)y=x2圖象上的點組成的集合;(2)坐標(biāo)平面內(nèi)數(shù)軸上的點集合;(3)不等式x-73的解集.解：(1)二次函數(shù)y=x2上的點(x,y)的坐標(biāo)滿足y=x2,則二次函數(shù)y=x2圖象上的點組成的集合表示為(x,y)|y=x2;(

12、2)(3)不等式x-73的解是x10,則不等式x-73的解集表示為x|x2，(x,y)|y=x2+1，x|直角三角形，；學(xué)習(xí)集合表示方法時應(yīng)注意的問題（1）注意與的區(qū)別是集合的一個元素，而是含有一個元素的集合，二者的關(guān)系是（2）注意與的區(qū)別是不含任何元素的集合，而是含有元素的集合（3）在用列舉法表示集合時，一定不能犯用實數(shù)集或來表示實數(shù)集這一類錯誤，因為這里“大括號”已包含了“所有”的意思（4）用特征性質(zhì)描述法表示集合時，要特別注意這個集合中的元素是什么，它應(yīng)具備哪些特征性質(zhì)，從而準(zhǔn)確地理解集合的意義例如：集合中的元素是，這個集合表示二元方程的解集，或者理解為曲線上的點組成的點集；集合中的元素

13、是，這個集合表示函數(shù)中自變量的取值范圍；集合中的元素是，這個集合表示函數(shù)中函數(shù)值的取值范圍；集合中的元素只有一個（方程），它是用列舉法表示的單元素集合變式訓(xùn)練1.用描述法表示下列集合:(1)方程2x+y=5的解集;(2)小于10的所有非負(fù)整數(shù)的集合;(3)方程ax+by=0(ab0)的解;(4)數(shù)軸上離開原點的距離大于3的點的集合;(5)平面直角坐標(biāo)系中第、象限點的集合;(6)方程組的解的集合;(7)1,3,5,7,;(8)x軸上所有點的集合;(9)非負(fù)偶數(shù);(10)能被3整除的整數(shù).六：課堂練習(xí)1.下列對象能否組成集合:(1)數(shù)組1、3、5、7;(2)到兩定點距離的和等于兩定點間距離的點;(

14、3)滿足3x-2x+3的全體實數(shù);(4)所有直角三角形;(5)美國NBA的著名籃球明星;(6)所有絕對值等于6的數(shù);(7)所有絕對值小于3的整數(shù);(8)中國男子足球隊中技術(shù)很差的隊員;(9)參加2008年奧運會的中國代表團(tuán)成員.2.說出下面集合中的元素:(1)大于3小于11的偶數(shù);(2)平方等于1的數(shù);(3)15的正約數(shù).3.判斷正誤:(1)所有屬于N的元素都屬于N*. ( )(2)所有屬于N的元素都屬于Z. ( )(3)所有不屬于N*的數(shù)都不屬于Z. ( )(4)所有不屬于Q的實數(shù)都屬于R. ( )(5)不屬于N的數(shù)不能使方程4x=8成立. ( )4.分別用列舉法、描述法表示方程組的解集.5

15、已知集合中的三個元素是的三邊長，那么一定不是 （ ）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形6. 已知，求，的值.7.已知集合A=，試用列舉法表示集合A.1.1.2 集合間的基本關(guān)系教學(xué)目標(biāo)：1.理解子集、真子集概念；2.會判斷和證明兩個集合包含關(guān)系；3.理解“ ”、“”的含義；4.會判斷簡單集合的相等關(guān)系；5.滲透問題相對的觀點。教學(xué)重點：子集的概念、真子集的概念教學(xué)難點：元素與子集、屬于與包含間區(qū)別教學(xué)過程：（I）情景引入：戰(zhàn)國時期有個公孫龍?zhí)岢觥鞍遵R非馬”的言論，請問白馬真的不是馬嗎？ （）講授新課觀察下面幾組集合，集合A與集合B具有什么關(guān)系？ (1) A=1，2，

16、3，B=1，2，3，4，5.(2) A=x|x3,B=x|3x-60. (3) A=正方形，B=四邊形.(4) A=，B=0.（5）A=銀川九中高一（11）班的女生，B=銀川九中高一（11）班的學(xué)生。通過觀察就會發(fā)現(xiàn)，這五組集合中，集合A都是集合B的一部分，從而有：1.子集定義：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，記作AB（或BA）,即若任意xA,有xB，則AB(或AB)。 這時我們也說集合A是集合B的子集（subset）。 如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,就記作AB（或BA），即:若存在xA,

17、有xB，則AB(或BA)說明：AB與BA是同義的，而AB與BA是互逆的。規(guī)定:空集是任何集合的子集，即對于任意一個集合A都有A。例1判斷下列集合的關(guān)系. (1) N_Z; (2) N_Q; (3) R_Z; (4) R_Q; (5) A=x| (x-1)2=0， B=y|y2-3y+2=0; (6) A=1,3， B=x|x2-3x+2=0; (7) A=-1,1， B=x|x2-1=0;（8）A=x|x是兩條邊相等的三角形 B=x|x是等腰三角形。 問題3：觀察（7）和（8），集合A與集合B的元素，有何關(guān)系？集合A與集合B的元素完全相同，從而有：2.集合相等 定義：對于兩個集合A與B，如果集

18、合A的任何一個元素都是集合B的元素（即AB），同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素（即BA），則稱集合A等于集合B，記作A=B。如：A=x|x=2m+1，mZ，B=x|x=2n-1，nZ，此時有A=B。 問題4：（1）集合A是否是其本身的子集？（由定義可知，是） （2）除去與A本身外，集合A的其它子集與集合A的關(guān)系如何？（包含于A，但不等于A）3.真子集： 由“包含”與“相等”的關(guān)系，可有如下結(jié)論：(1)AA (任何集合都是其自身的子集)；(2)若AB，而且AB（即B中至少有一個元素不在A中），則稱集合A是集合B的真子集（proper subset），記作A B。（空集是任何非空集合的真子

19、集）(3)對于集合A，B，C，若AB，BC，即可得出AC；對A B，B C，同樣有A C, 即：包含關(guān)系具有“傳遞性”。4.證明集合相等的方法：（1） 證明集合A，B中的元素完全相同；（具體數(shù)據(jù)）（2） 分別證明AB和BA即可。（抽象情況）對于集合A，B，若AB而且BA，則A=B。（III） 例題分析： 例2判斷下列兩組集合是否相等？ （1）A=x|y=x+1與B=y|y=x+1; (2)A=自然數(shù)與B=正整數(shù)例3(教材P8例3)寫出a，b的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.例4解不等式x-32，并把結(jié)果用集合表示。結(jié)論：一般地，一個集合元素若為n個，則其子集數(shù)為2n個，其真子集數(shù)為2n-

20、1個，特別地，空集的子集個數(shù)為1，真子集個數(shù)為0。例5已知三個元素集合Ax,xy,x-y,B=0,x,y且A=B，求x與y的值。練習(xí)：1、判斷下列集合的關(guān)系. (1) N_Z; (2) N_Q; (3) R_Z; (4) R_Q; (5) A=x| (x-1)2=0，B=y|y2-3y+2=0; (6) A=1,3，B=x|x2-3x+2=0; (7) A=-1,1，B=x|x2-1=0; （8）A=x|x是兩條邊相等的三角形，B=x|x是等腰三角形。2、設(shè)A=0，1，B=x|xA，問A與B什么關(guān)系？3、判斷下列說法是否正確？（1）NZQR； （2）AA； （3）圓內(nèi)接梯形等腰梯形； （4）N

21、Z； （5）； （6）4.含有三個實數(shù)的集合可表示為，也可表示為，求的值。課后作業(yè)：1.1.1 集合的含義與表示 一、選擇題1下列各組對象接近于0的數(shù)的全體；比較小的正整數(shù)全體；平面上到點O的距離等于1的點的全體；正三角形的全體；的近似值的全體其中能構(gòu)成集合的組數(shù)有( )A2組B3組C4組D5組2設(shè)集合M大于0小于1的有理數(shù)，N小于1050的正整數(shù)， P定圓C的內(nèi)接三角形，Q所有能被7整除的數(shù)，其中無限集是( )AM、N、PBM、P、QCN、P、QDM、N、Q3下列命題中正確的是( )Axx220在實數(shù)范圍內(nèi)無意義B(1，2)與(2，1)表示同一個集合C4，5與5，4表示相同的集合D4，5與5

22、，4表示不同的集合4直角坐標(biāo)平面內(nèi)，集合M(x，y)xy0，xR，yR的元素所對應(yīng)的點是( )A第一象限內(nèi)的點B第三象限內(nèi)的點C第一或第三象限內(nèi)的點D非第二、第四象限內(nèi)的點5已知Mmm2k，kZ，Xxx2k1，kZ，Yyy4k1，kZ，則( )AxyMBxyXCxyYDxyM6下列各選項中的M與P表示同一個集合的是( )AMxRx20.010，Pxx20BM(x，y)yx21，xR，P(x，y)xy21，xRCMyyt21，tR，Ptt(y1)21，yRDMxx2k，kZ，Pxx4k2，kZ二、填空題7由實數(shù)x，x，x所組成的集合，其元素最多有_個8集合3，x，x22x中，x應(yīng)滿足的條件是_9對于集合A2，4，6，若aA，則6aA，那么a的值是_10用符號或填空：1_N，0_N3_Q，0.5_Z，_R_R，_Q，3|_N，_Z11若方程x2mxn0(m，nR)的解集為2，1，則m_，n_12若集合Axx2(a1)xb0中，僅有一個元素a，則a_，b_13方程組的解集為_14已知集