浙江專版高中數(shù)學(xué)課時(shí)跟蹤檢測十一數(shù)學(xué)歸納法新人教A版選修2_2

1、7課時(shí)跟蹤檢測（十一）數(shù)學(xué)歸納法層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)111 11 設(shè) $ = + + + 則 Sk+1 為（）設(shè)k+ 1 + k + 2十k+ 3十十2k，則為（丿1 1 1A Sk+ 2k+2B- $+ 2k+1+ 2k+2c11廠11s=人+入+ 2k，k+ 1 k+ 22kC Sk+ 2k+ 1 2k + 2D - S+ 2k + 2 2k + 11k+1解析：選C因式子右邊各分?jǐn)?shù)的分母是連續(xù)正整數(shù)，則由 11 1 1得 Sk+1 =后+ 后 + 2k+ 2k+l+ 2由一，得+1 - $ =丄 +1丄+2k + 12 k + 1 k + 111% cC112k + 1 2_k+1.故 S

2、k+1 = S + 2k + 1 2 k+ 11 1 1 *2利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1 + 了+? +刁v n(n2, n N)的過程中，由 n2 32 1=k變到n= k+ 1時(shí)，左邊增加了()A. 1項(xiàng)B . k項(xiàng)C. 2kT 項(xiàng)D . 2k 項(xiàng)左1解析：選D當(dāng)n= k時(shí)，不等式左邊的最后一項(xiàng)為 ?k_ 1，而當(dāng)n= k +1時(shí)，最后一項(xiàng)當(dāng)n= 1時(shí)，訂2+ 1v 1+ 1,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng) n= k( k N)時(shí)，不等式成立，即；k2 + kv k + 1，則當(dāng) n = k + 1時(shí)，:k + 1 2+ k + 1 = :k2 + 3k + 2v / k2 + 3k+ 2 +

3、k + 2= ： k+ 2 2= (k + 1) + 1, n= k+ 1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A. 過程全部正確B. n= 1驗(yàn)得不正確C. 歸納假設(shè)不正確D. 從n= k到n= k + 1的推理不正確解析：選D在n= k + 1時(shí)，沒有應(yīng)用n= k時(shí)的歸納假設(shè)，故選 D.5. 設(shè) f(n) = 5n + 2X3n1+ 1(n N*)，若 f(n)能被 m(N)整除，則 m 的最大值為()A. 2B . 4C.8D . 16解析：選 C f (1) = 8, f(2) = 32, f (3) = 144= 8X 18,猜想 m的最大值為 8.6. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于足夠大的自然數(shù)

4、n,總有2nn3”時(shí)，驗(yàn)證第一步不等式成立所取的第一個(gè)值 no最小應(yīng)當(dāng)是.10393解析： 2 = 1 024 10 2 = 512v 9 , no最小應(yīng)為 10.答案：101 1 1 1 17. 用數(shù)學(xué)歸納法證明+ 32+ n+2一n+2，假設(shè)n= k時(shí)，不等式成立,則當(dāng)n= k+ 1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是 .解析：觀察不等式中分母的變化便知.1 1 1 1k+ 1 2+ k+ 2 2 2 k + 3&對(duì)任意n N3+2+ a2n+1都能被14整除，則最小的自然數(shù) a=.解析：當(dāng)n= 1時(shí)，36 + a3能被14整除的數(shù)為a= 3或5;當(dāng)a= 3且n= 2時(shí)，310+ 35不能被14整除，

5、故a= 5.答案：59. 已知數(shù)列an滿足 a1= 1, an+1= 2&+ 1( n N).(1) 求 a2, a3, a4, a5 ；(2) 歸納猜想出通項(xiàng)公式 an,并且用數(shù)學(xué)歸納法證明.解：(1) a2= 3, a3= 7, a4= 15, a5= 31.(2)歸納猜想出通項(xiàng)公式 an= 2n 1, 當(dāng)n= 1時(shí)，a1 = 1 = 21 1,成立 假設(shè)n= k時(shí)成立，即ak = 2 1,則當(dāng) n= k+ 1 時(shí)，由 an+1= 2an + i(n N),得：ak+i = 2ak+1 = 2(2 k 1) + 1 = 2k+1-2+1= 2k+1 - 1, 所以n= k+ 1時(shí)也成立；綜

6、合，對(duì)n N*等式都成立，從而得證.n1 11 1*10. 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 + 2 W 1 + 2+ 3 + yW 2 + n(n N).3 13證明：(1)當(dāng)n= 1時(shí)，硏1+ 2三2，命題成立. 假設(shè)當(dāng)n= k(k N)時(shí)命題成立，即k 11111 + 2 W 1+ 2+ 3 + + 尹 2+ k，則當(dāng)n= k+ 1時(shí)，1 11111k k 1k +12 322 + 12 + 22 + 222 +121 12 = 2+ (k + 1)，1111111k又 1 + 2+ 3 + 2 + 2k+ 1 + 2k+ 2 + 2k + 2kV 2 + k + 2即n = k+ 1時(shí)，命題成立.

7、由(1)和(2)可知，命題對(duì)所有 n N都成立.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.凸n邊形有f( n)條對(duì)角線，則凸n+ 1邊形對(duì)角線的條數(shù)f (n+ 1)為()A. f (n) + n+ 1B. f ( n) + nC. f (n) + n- 1D . f(n) + n-2解析：選C增加一個(gè)頂點(diǎn)，就增加n+ 1-3條對(duì)角線，另外原來的一邊也變成了對(duì)角線，故 f( n+ 1) = f(n) + 1 + n+ 1 - 3= f (n) + n-1.故應(yīng)選 C.1 1 1 ”2設(shè) f( n) = 1 1解析：選 d f(n+1)-f(n) = 3n+冇+耐.3. 設(shè)平面內(nèi)有k條直線，其中任何兩條不平行，任何三

8、條不共點(diǎn)，設(shè)個(gè)數(shù)為f (k)，則f (k+ 1)與f ( k)的關(guān)系是()A. f(k+ 1) = f(k) + k + 1B. f(k+ 1) = f(k) + k- 1C. f(k+ 1) = f(k) + kD. f(k+ 1) = f(k) + k + 2 + 2+ 3+ 3n- 1( n N)，那么 f (n+ 1) - f(n)等于()1 1 1 A.B. +3n + 23n 3n +11 1 1 1 1C. +D. +k條直線的交點(diǎn)3n+ 1 3n+ 23n 3n+1 3n+ 2解析：選C當(dāng)n= k + 1時(shí)，任取其中1條直線記為I，則除I外的其他k條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為f(k)，

9、因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線不平行，所以直線 I必與平面內(nèi)其他 k條直線都 相交(有k個(gè)交點(diǎn))；又因?yàn)槿魏稳龡l直線不過同一點(diǎn)， 所以上面的k個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同， 且 與平面內(nèi)其他的f (k)個(gè)交點(diǎn)也兩兩不相同，從而 n = k+ 1時(shí)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是f (k) + k = f( k +1) 4. 若命題 A(n)( n N*) n= k( k N)時(shí)命題成立，則有 n= k + 1時(shí)命題成立.現(xiàn)知命題 對(duì)n= no( no N)時(shí)命題成立，則有 ()A. 命題對(duì)所有正整數(shù)都成立B. 命題對(duì)小于no的正整數(shù)不成立，對(duì)大于或等于no的正整數(shù)都成立C. 命題對(duì)小于no的正整數(shù)成立與否不能確定，對(duì)大于或等于no的正

10、整數(shù)都成立D. 以上說法都不正確解析：選C由題意知n= no時(shí)命題成立能推出 n= no + 1時(shí)命題成立，由n= no+1時(shí)命 題成立，又推出 n= no + 2時(shí)命題也成立，所以對(duì)大于或等于no的正整數(shù)命題都成立，而對(duì)小于no的正整數(shù)命題是否成立不確定.n + 221 I a*5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 + a+ a +-+ a =二 (n N , az 1)，在驗(yàn)證n= 1成立時(shí)，| a左邊所得的項(xiàng)為.解析：當(dāng)n= 1時(shí)，n+ 1 = 2,所以左邊=1 + a+ a2.答案：1 + a+ a6. 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 + 2 + 22+ 2n1= 2n 1(n N*)的過程如下： 當(dāng)n=

11、 1時(shí)，左邊=2 = 1，右邊=2 1 = 1，等式成立. 假設(shè)n= k(k 1,且k N)時(shí)，等式成立，即2k 1 k1 + 2 + 2 + 2 = 2 1.k+ 1則當(dāng) n= k+ 1 時(shí)，1+ 2 + 22+ 2k 1+ 2k= 2k+1 1,1 2所以當(dāng)n= k + 1時(shí)，等式也成立.由知，對(duì)任意 n N,等式成立.上述證明中的錯(cuò)誤是 .解析：由證明過程知，在證從n= k到n= k+ 1時(shí)，直接用的等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式，沒有用上歸納假設(shè)，因此證明是錯(cuò)誤的.答案：沒有用歸納假設(shè)7. 平面內(nèi)有n(n N*)個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一. 2點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把

12、平面分成 n n+ 2部分.證明：(1)當(dāng)n= 1時(shí)，n2 n+ 2= 2,即一個(gè)圓把平面分成兩部分，故結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)n= k(k 1, k N*)時(shí)命題成立，即k個(gè)圓把平面分成 k2 k + 2部分.則當(dāng)n= k +1時(shí)，這k + 1個(gè)圓中的k個(gè)圓把平面分成 k - k + 2個(gè)部分，第k+ 1個(gè)圓被前k個(gè)圓分成2k條弧，這2k條弧中的每一條把它所在的平面部分都分成兩部分，這樣共增加2k個(gè)部分，故k + 1個(gè)圓把平面分成k2- k + 2+ 2k = (k+1)2-(k +1) + 2部分， 即n = k+ 1時(shí)命題也成立.綜上所述，對(duì)一切 n N,命題都成立.&已知某數(shù)列的第一項(xiàng)為

13、1，并且對(duì)所有的自然數(shù) n2,數(shù)列的前n項(xiàng)之積為n2.(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前 5項(xiàng)； 寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明. 、 , 2 2解：(1)已知 a= 1,由題意，得 a1 a2= 2 ,. a2= 2 .2 a1 a2 a3 = 3 ,32 a3=十同理，可得4252a91625因此這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1,4, 9,詈,25(2)觀察這個(gè)數(shù)列的前 5項(xiàng)，猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)為:1 n= 1,an =2n2 n2n- 12F面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n2時(shí)，an=2.當(dāng)n= 2時(shí)，a2= 2-1 2= 22,結(jié)論成立.2.假設(shè)當(dāng)n= k(k2, k N*)時(shí)，結(jié)論成立, 即ak=卡a1 a2 ak-1= ( k 1)2,2a 32 ak-1 ak ak+1 = (k + 1),k+12a1 a2 ak-1 akak + 1k+12k-1 _2k- 12k+ 12k + 1- 12.這就是說當(dāng)n= k + 1時(shí)，結(jié)論也成立.根據(jù)可知，當(dāng)n2時(shí)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是2an =2.nn-11 n= 1這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an =n 1n21 1為異=亡 k,并且不等式左邊和式的分母的變化規(guī)律是每一項(xiàng)比前一項(xiàng)加1,故增2 1 2 1 + 2加了 2k項(xiàng).3. 個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n=2時(shí)命