交通堵塞解決方案的數(shù)學建模

1、數(shù)學建模摘要本文用層次分析法，得出了解決交通堵塞應采用建立人行天橋的方案。先建立層次結(jié)構(gòu)模型，分三層，第一層為目標層( O) ,第二層為準則層( C) ,第三層為方案層( P)，根據(jù)層次結(jié)構(gòu)模型構(gòu)造判斷矩陣。用MATLAB求出第2層對第一層的權(quán)向量W1，第三層對第二層的組合權(quán)向量W2，組合權(quán)項量 W=W1*W2，最后得出W= 0.4587 0.2984 0.2429可知第一方案為最優(yōu)方案。一、問題的重述某市中心有一商場，由于附近的行人和車輛流量過大，經(jīng)常造成交通堵塞，政府組織了專家會商研究擬定了五個評價標準和三個方案，評價標準為：B1：通車能力；B2：方便群眾；B3：費用不宜過高B4：交通安全

2、；B5：市容美觀；方案為：C1:在商場附近建一人行天橋；C2：在商場附近建一地下人行通道；C3：搬遷商場；我們需根據(jù)這五個評價標準和三個方案，用層次分析法以改善市中心的交通環(huán)境為目標，進行模型的建立與分析，選出最優(yōu)的解決方案。二、模型假設1. 假設只根據(jù)所提的五個評價準則，不考慮其他條件。2. 假設題中的三個方案是合理的，不考慮其他方案。3. 假設評價準則的重要性判斷是合理的。符號的定義：1. B1：通車能力成對比較矩陣2. B2：方便群眾成對比較矩陣3. B3：費用不宜過高成對比較矩陣4. B4：交通安全成對比較矩陣5. B5：市容美觀對比較矩陣6. P：總體比較矩陣7. CIx：一致性指標

3、 (x=15)8. RIx: 隨機一致性指標 (x=15)9. CRx:總體一致性比率 (x=15)10. ZB:總體一致性比率矩陣11. W1：權(quán)向量（特征向量）12. W2：第2層對第一層的權(quán)向量13. ZC: 一致性指標矩陣14. ZR：隨機一致性指標矩陣三、模型的建立與求解(一)建立層次結(jié)構(gòu)模型問題的層次結(jié)構(gòu)共分三層:第一層為目標層( O) ,第二層為準則層( C) ,第三層為方案層( P) 。方案層準則層目標層DQWOOOOOOOC2C1C3方便群眾通車能力交通安全費用不宜過高市容美觀改善市中心的交通環(huán)境（二）構(gòu)造成對比較矩陣按照層次結(jié)構(gòu)，將每一層元素以相鄰上一層元素為準則，進行成對

4、比較并按1-9的標度方法構(gòu)造判斷矩陣。準則層對目標層的成對比較矩陣 P=通車能力B1=115446521方便群眾B2=1251/2121/51/21費用不宜過高B3=1581/5131/83/81交通安全B4=11/21211111市容美觀B5=11/31/5311/2521（三）求組合權(quán)向量W1、先求出第2層對第一層的權(quán)向量W1因為一致性指標公式為CI =max n/n - 1 其中n和分別為矩陣的階數(shù)和最大特征值N=5 用MATLAB求P的最大特征值max S,T=eig(p),pmax=T(1,1)得出max= 5.2538用MATLAB求,CI=(pmax-5)/(5-1) 得CI =

5、 0.0634隨機一致性指標RI查表得RI=1.12用MATLAB求CR=CI/RI CR = 0.0566用MATLAB求W1 W1=S(:,1)/sum(S(:,1)得W1 = 0.2353 0.2353 0.0590 0.3294 0.14122、求第三層對第二層的組合權(quán)向量W2第三層對第二層計算結(jié)果K1 2 3 4 5 WK0.7393 0.5954 0.7393 0.2599 0.10950.1831 0.2764 0.1831 0.4126 0.3090 0.0775 0.1283 0.0775 0.3275 0.5816K3.0037 3.0055 3.0776 3.0536 3

6、.0037 CIK0.0018 0.0028 0.0388 0.0268 0.0018用MATLAB求W2 W2=S1(:,1)/sum(S1(:,1),S2(:,1)/sum(S2(:,1),S3(:,1)/sum(S3(:,1),S4(:,1)/sum(S4(:,1),S5(:,1)/sum(S5(:,1)W2 =0.7393 0.5954 0.7393 0.2599 0.1095 0.1831 0.2764 0.1831 0.4126 0.3090 0.0775 0.1283 0.0775 0.3275 0.58163、組合權(quán)項量 W=W1*W2用MATLAB求的W= 0.4587 0.

7、2984 0.2429第一項的組合權(quán)向量最大，故選擇第一方案。(四)單項一致性檢驗用MATLAB進行檢驗p=1 1 5 5/7 5/3;1 1 5 5/7 5/3;1/3 1/3 1 1/7 1/3;7/5 7/5 7 1 7/3;3/5 3/5 3 3/7 1 S,T=eig(p),pmax=T(1,1),CI=(pmax-5)/(5-1),RI=1.12,CR=CI/RICR =0.0566B1=1 1 5;1 1 6;1/5 1/6 1B2=1 2 5;1/2 1 2;1/5 1/2 1B3=1 5 8;1/5 1 3;1/8 3/8 1B4=1 1/2 1;2 1 1;1 1 1B5=

8、1 1/3 1/5;3 1 1/2;5 2 1S1,T1=eig(B1),B1max=T1(1,1),CI1=(B1max-3)/(3-1),RI1=0.58,CR1=CI1/RI1S2,T2=eig(B2),B2max=T2(1,1),CI2=(B2max-3)/(3-1),RI2=0.58,CR2=CI2/RI2S3,T3=eig(B3),B3max=T3(1,1),CI3=(B3max-3)/(3-1),RI3=0.58,CR3=CI3/RI3S4,T4=eig(B4),B4max=T4(1,1),CI4=(B4max-3)/(3-1),RI4=0.58,CR4=CI4/RI4S5,T5

9、=eig(B5),B5max=T5(1,1),CI5=(B5max-3)/(3-1),RI5=0.58,CR5=CI5/RI5ZB =0.0032 0.0048 0.0669 0.0462 0.0032得出所有的值小于0.1通過一致性檢驗（四）總體一致性檢驗 W1=S(:,1)/sum(S(:,1) ZC=CI1,CI2,CI3,CI4,CI5,ZR=RI1,RI2,RI3,RI4,RI5 a=ZC*W1,b=ZR*W1,CR=a/bCR =0.0219得出CR的值小于0.1，總體通過一致性檢驗 W1=S(:,1)/sum(S(:,1)W2=S1(:,1)/sum(S1(:,1),S2(:,1

10、)/sum(S2(:,1),S3(:,1)/sum(S3(:,1),S4(:,1)/sum(S4(:,1),S5(:,1)/sum(S5(:,1) W=W2*W1W = 0.4587 0.2984 0.2429得出第一方案的值最大，故選第一方案。四、模型的評價與推廣該模型利用層次分析法對三個方案進行評價，得出解決市中心交通堵塞的最佳方案應為建立人行天橋。從該模型中我們可以了解到層次分析法對于多目標問題的決策能提供比較有效的定量依據(jù)。模型的不足在于主觀因素太強，如果能對方案的準則進行一定的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，應該能得出更加準確的結(jié)果。五、參考文獻1. 韓中庚合理分配住房的方案及模型 1997 ,27 :

11、(2)2. 常志勇 層次分析模型 2011.4.19附錄：MATLAB 計算過程MATLAB計算單項一致性檢驗p=1 1 5 5/7 5/3;1 1 5 5/7 5/3;1/3 1/3 1 1/7 1/3;7/5 7/5 7 1 7/3;3/5 3/5 3 3/7 1p = 1.0000 1.0000 5.0000 0.7143 1.6667 1.0000 1.0000 5.0000 0.7143 1.6667 0.3333 0.3333 1.0000 0.1429 0.3333 1.4000 1.4000 7.0000 1.0000 2.3333 0.6000 0.6000 3.0000 0

12、.4286 1.0000 S,T=eig(p),pmax=T(1,1),CI=(pmax-5)/(5-1),RI=1.12,CR=CI/RIS = -0.4777 -0.4725 -0.4453 -0.0040 0.3838 -0.4777 0.4725 -0.4453 0.0040 -0.3838 -0.1198 -0.1890 0.3788 -0.1930 0.1928 -0.6687 0.6614 -0.6234 -0.5481 -0.7801 -0.2866 0.2835 -0.2672 0.8138 -0.2440T = 5.2538 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0

13、 0 -0.2538 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 0 0.0000pmax = 5.2538CI = 0.0634RI = 1.1200CR =0.0566B1=1 1 5;1 1 6;1/5 1/6 1B1 = 1.0000 1.0000 5.0000 1.0000 1.0000 6.00000.2000 0.1667 1.0000S1,T1=eig(B1),B1max=T1(1,1),CI1=(B1max-3)/(3-1),RI1=0.58,CR1=CI1/RI1S1 = -0.6797 -0.3398 - 0.5886i -0.3398 + 0.5886i -0.

14、7223 0.7223 0.7223 -0.1279 -0.0640 + 0.1108i -0.0640 - 0.1108iT1 = 3.0037 0 0 0 -0.0018 + 0.1053i 0 0 0 -0.0018 - 0.1053iB1max = 3.0037CI1 = 0.0018RI1 = 0.5800CR1 =0.0032B2=1 2 5;1/2 1 2;1/5 1/2 1B2 = 1.0000 2.0000 5.0000 0.5000 1.0000 2.00000.2000 0.5000 1.0000S2,T2=eig(B2),B2max=T2(1,1),CI2=(B2max

15、-3)/(3-1),RI2=0.58,CR2=CI2/RI2S2 = -0.8902 -0.8902 -0.8902 -0.4132 0.2066 + 0.3578i 0.2066 - 0.3578i -0.1918 0.0959 - 0.1661i 0.0959 + 0.1661iT2 = 3.0055 0 0 0 -0.0028 + 0.1290i 0 0 0 -0.0028 - 0.1290iB2max = 3.0055CI2 = 0.0028RI2 = 0.5800CR2 =0.0048 B3=1 5 8;1/5 1 3;1/8 3/8 1B3 = 1.0000 5.0000 8.00

16、00 0.2000 1.0000 3.00000.1250 0.3750 1.0000 S3,T3=eig(B3),B3max=T3(1,1),CI3=(B3max-3)/(3-1),RI3=0.58,CR3=CI3/RI3S3 = 0.9657 0.9654 0.9654 0.2392 -0.1385 + 0.2005i -0.1385 - 0.2005i 0.1013 -0.0388 - 0.0849i -0.0388 + 0.0849iT3 = 3.0776 0 0 0 -0.0388 + 0.3350i 0 0 0 -0.0388 - 0.3350iB3max = 3.0776CI3

17、= 0.0388RI3 = 0.5800CR3 =0.0669 B4=1 1/2 1;2 1 1;1 1 1B4 = 1.0000 0.5000 1.0000 2.0000 1.0000 1.00001.0000 1.0000 1.0000 S4,T4=eig(B4),B4max=T4(1,1),CI4=(B4max-3)/(3-1),RI4=0.58,CR4=CI4/RI4S4 = 0.4425 -0.2212 + 0.3832i -0.2212 - 0.3832i 0.7024 0.7024 0.7024 0.5575 -0.2788 - 0.4828i -0.2788 + 0.4828i

18、T4 = 3.0536 0 0 0 -0.0268 + 0.4038i 0 0 0 -0.0268 - 0.4038iB4max = 3.0536CI4 = 0.0268RI4 = 0.5800CR4 =0.0462 B5=1 1/3 1/5;3 1 1/2;5 2 1B5 = 1.0000 0.3333 0.2000 3.0000 1.0000 0.5000 5.0000 2.0000 1.0000 S5,T5=eig(B5),B5max=T5(1,1),CI5=(B5max-3)/(3-1),RI5=0.58,CR5=CI5/RI5S5 = -0.1640 0.0820 + 0.1420i 0.0820 - 0.1420i -0.4629 0.2314 - 0.4008i 0.2314 + 0.4008i -0.8711 -0.8711 -0.8711 T5 = 3.0037 0 0 0 -0.0018 + 0.1053i 0 0 0 -0.0018 - 0.1053iB5max = 3.0037CI5 = 0.0018RI5 = 0.5800