線性代數(shù)與解析幾何特征值與特征向量PPT學習教案

1、會計學1 線性代數(shù)與解析幾何特征值與特征向量線性代數(shù)與解析幾何特征值與特征向量 2 第1頁/共50頁 3 3A XAXX XX AX=X 第2頁/共50頁 4 , 0 2 2 0 A 0 21 2 01 AX 21 22 21 X , 1 2 X 0 21 2 02 AX , 1 1 X 4 2 1 2 kk X XAXX 第3頁/共50頁 5 第4頁/共50頁 6 An 向量X, 使得 AXA X 0,則A0=0,() AX X AXX 方方向向：與與 平平行行 大大小小： AX= X, 第5頁/共50頁 7 A EA 0 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa aa

2、a ( )f EA 0 EA A, AX= X(X 0) ()0 E AX 0 EA A, 第6頁/共50頁 8 A 0 0 AX= X X（） 0 ()0 E A X 0 0,k 0 ()()kk A XX 0 X的特征向量,則 12 ()A XX 12 ,XX 的特征向量,則 0 12 AXAX() 0102012 XXXX 第7頁/共50頁 9 A稱方程組 A . 0 () 0 0 EA X () 0 NEA 0 A A A A i () i EA X0 0 EA,. n 12 i 第8頁/共50頁 10 A 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ,求A特征值和特征向量 及特征子空間. A

3、 EA , 123 15 A , 12 1()EA X 3 10 (2)求特征向量 ()()0 2 51 122 212 221 第9頁/共50頁 11 1EA 由 xxx 123 得基礎(chǔ)解系為 , 12 11 10 01 A-1 112212 11 10 01 kkkk X 0 ,k k 12 222 222 222 1 1 1 0 0 0 0 0 0 第10頁/共50頁 12 , 3 5()E A X50 5EA x x xx 13 23 3 1 1 1 得基礎(chǔ)解系為 k X 3 1 1 1 A 3 k 422 242 224 1 01 0 11 0 00 0 第11頁/共50頁 13 A

4、值-1子空間 1 V,; 112212 kkk kX X 2 V,. 3 kkX X 第12頁/共50頁 14 1.特征值的性質(zhì) , n 12 nA tr( ), 11 nn iii ii a A 1 n i i A ()()() 12n ( )f EA 12 121 nnn nn cccc ()()( ) 1 11 11 nn nnn ii ii 第13頁/共50頁 15 , nn 1 ()()() nn aaa 1122 () 11122nn caaa ( )()() |( ) 1 1 12 n nnn ii i fa A ( )f EA 11121 21222 12 n n nnnn a

5、aa aaa aaa 0( ) n cf() |1 n AA (1),(2)中 的系數(shù)及常數(shù)項,得結(jié)論. 1n tr( ), 11 nn iii ii a A 1 n i i A 第14頁/共50頁 16 則 nA 且 1. 0AA 0 AA的0. ( ) 1 110 mm mm f xa xaxax a 則 ,AXX (X0) () 2 A XA AX() 2 AXAXX kk A XX ( )fA X() 1 110 mm mm aaaa AAAE X () 1 110 mm mm aaaa X ( ),0fX X ( )( ).ffA XX 第15頁/共50頁 17 ()0AXX X 若

6、 , 1 1 A XX A A XX 且A可逆,則 ,AXX (X0)，且 A可逆, 0A0 , 1 AXX 1 1 A XX 則 而 1 A XA A X A X X也是 的屬于特征值 1 A 1 第16頁/共50頁 18 1, 2,mn階A X1,X2, Xm , , iii imAXX1 2 m m=1X10 第17頁/共50頁 19 m-1m ( )kkkXXX 1122mm 01 A kkkAXAXAX 1122mm 0 m mm ( )kkkXXX 1 112 22 02 m ( )kkkXXX 1 m12 m2m mm 03 第18頁/共50頁 20 k1(1m)X1+km 1(

7、m 1m)Xm 1= 0 X1,X2,Xm 1 ki (i m)=0， i=1,2,m 1 i m, i=1,2,m 1, ki =0i=1,2,m 1, kmXm= 0,又Xm0, km= 0 X1, X2,Xm 第19頁/共50頁 21 1,2, , sAs , s ss XXXXXX 12 111m212m1m 若A有n個特征值,則A必有n個 線性無關(guān)的特征向量 , i iii XXX 12m i mii=1,s, 第20頁/共50頁 22 : 對應于不同特征值的 特征向量必正交 AnA A= , A2= 2 2 1T2= 0 第21頁/共50頁 23 11T2 = (11 ) T 2=

8、 (A1 )T2 =1TAT2 =1T(A2) = T(2 2)= 21T 2 (1 -2)1T2 = 0 1T 2 = 0 riiri個 實特征向量 ()0 i E A X )( i n i rEAr 即方程組 ri個向量. 第22頁/共50頁 24 設(shè)三階實對稱陣A 的特征值為 1,1,1, 1對應的特征向量為(0,1,1)T . 求1對應的特征向量. 設(shè) X =(x1,x2,x3 )T, ( , , )T 1 0 1 1X (,)0,0 123 xxXX 112212 10 01 01 kkkk X 0 ,k k 12 第23頁/共50頁 25 第24頁/共50頁 26 A,Bn T T

9、-1AT =B ABABAB 的這種變換為相似變換, T為相似變換 T-1ET =E, 11 1 22 nn EE 第25頁/共50頁 27 AA ABBA AB,BCAC n M 第26頁/共50頁 28 AB .EAEB ABT T-1AT =B EB 1 ETAT() 1 TEA T 1 TEA T .EA 第27頁/共50頁 29 1 2 n 則 A 的n. , n 12 nA EAE 1 2 n 12n 第28頁/共50頁 30 tr( )tr( ).AB .EAEB . AB .AB ( )( ).RRAB A, BnAB. , 1 01 1 0 10 1 AEB E AE B 1

10、 TETE. B 2 1 ,T可可逆逆矩矩 第29頁/共50頁 31 A可逆時, ABA-1B-1B*A*B*=T1A*T . ABAm Bm ABf(x) f (A)f (B) ( )( ) .ff BTA T 1 .ttEAEB AB,t有 AB,則AT BT 第30頁/共50頁 32 與相似, |5E A|=5-5x=0 x = 1 tr(A) =x2= tr() =y y = -1. 求 x , y 兩矩陣相似等價 5 5 y 1 2 4 22 4 21 x A A有特征值 5,-5. 第31頁/共50頁 33 AA nA與對角陣相似 A有n A的n對角線上元素是與其對應的 T-1AT

11、=為對角陣 Tn 第32頁/共50頁 34 設(shè)A與對角陣相似, 則可逆陣T, 使 1 1 2 n TAT 所以有 AT = T T1, T2, TnT n T=(T1, T2, Tn) (注意:證明過程給出相似對角化的方法) 第33頁/共50頁 35 A(T1, Tn)=(AT1, ATn)= (,) 1 2 12n n T TT (,) nn TTT 1 122 (, , ) iii inATT1 2 由T可逆知, T1, TnA n 第34頁/共50頁 36 T1,T2,Tnn ATi =iTi, i=1,2,n T=(T1,T2,Tn) AT =A(T1,T2,Tn) =(AT1,AT2

12、,ATn) =(1T1, 2T2, nTn) =(T1,T2,Tn) diag(1,2, , n) =Tdiag(1, 2, , n) 1 2 n T-1AT 第35頁/共50頁 37 A.An nE 1n A的 ：AA有n 第36頁/共50頁 38 :Ai Vii 即 (iE-A)X=0 : i A 復矩陣A = 復矩陣A可相似對角化 n,所以有 第37頁/共50頁 39 x = y. r(E A)=1, ,x , y . 2 0 1 1 1 0 2 xy A EA 1 01 0 1 01 xy r(3E A)=2 EA 2 (1) (3)0 1，1，3. 2 01 1 102 xy 第38

13、頁/共50頁 40 A 1,-1,-1, A 設(shè) A. (,), TT T T 123 1 031 0 121 0111 1 1 1 1 TT 166 012 0 01 91 9 () AT T 91 TT 1 T TA ,T T TT T T 123123 , TTT 123 103 012 011 9. A 1 AT T 第39頁/共50頁 41 第40頁/共50頁 42 1 1T 2 n P APP AP A的特征值. , n 12 An, AnP 第41頁/共50頁 43 1 2 s r1 r2 rs r1 r2 rs X11 X1r1 X21X2r2 Xs1Xs rs 1 2 n A

14、PP 1 2 T n P AP 1 111 , r PP 2 212 , r PP 1, , s ssr PP 12 1112112 (,) s rssrr PPPPPPP 第42頁/共50頁 12 2 22 4 242 A . ,PP AP T 122 224 242 EA 1 , 23 27 () ()0 2 27 第43頁/共50頁 12 2 (2E-A)X = 0 , 12 22 10 01 , 11 2 1 0 (,) (,) 21 221 11 2 1 4 5 5 , 1 1 1 2 1 1 5 0 2 2 2 2 1 4 45 5 第44頁/共50頁 46 3 7 (-7E-A)X = 0 , 3 1 2 2 ( ,) 123 P 3 1 3 2 3 2 3 T P AP 221 3545 142 3545 52 0 345 diag(2, 2, -7) 第45頁/共50頁 47 A 1, 1, 22 ( 1, 0, 1, )TA=? A diag(1, 1, 2),1 2( 1, 0, 1, )T 1(0,1,0)T, (1,0,-1)T