初二代數(shù)方程拓展(難)

1、-作者xxxx-日期xxxx初二代數(shù)方程拓展(難)【精品文檔】1、消元：將多元化成一元代數(shù)方程拓展題型代數(shù)方程的解法基本思想2、降次：將高次降成低次特殊方法換元法、因式分解法、公式法、配方法、配項(xiàng)法、有理化法、變更主元法等題型一、二次三項(xiàng)式的因式分解(1) 若方程的兩根為，則二次三項(xiàng)式可分解為：=(2) 推導(dǎo)出公式=a（x-x1）（x-x2）步驟：1. 形如 ， 可令 若，則方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解和，則 若，則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無法再分解因式。2. 形如，可令（此處將看成未知數(shù)，而作為一個(gè)參數(shù)）注意：1、分解因式時(shí)a不能去掉，這和解方程不是一回事； 2、是x與兩根之差的積，不是和。例1 把分解因式。解：

2、方程的根是(PS:寫成如上形式即可)例2 把 分解因式。分析：將 y看作常數(shù)，將原式看成是關(guān)于的二次三項(xiàng)式。鞏固練習(xí)1、把在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，正確的是( )(A) (B)(C ) (D)2、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：_。3、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：。題型二：高次方程（一）一元高次方程的特點(diǎn)：（1）整式方程；（2）只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）含未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)大于2。一般的，如果=0，則：或或；=則是方程=0的n個(gè)根。解高次方程的基本思想：化高次為低次 （二）常用方法：（1）因式分解法；把高次方程化成A=0的形式，再把A分解因式，即=0，所以：或或例1 解方程解：原方程可變形為， 所以說明 ：當(dāng) ad

3、=bc0時(shí)，形如的方程可這樣解決： 令，則于是方程可化為：即 方程也可以用類似方法處理針對(duì)練習(xí)：1、 的解是_。2、方程的解是_。3、的解是_。方法思路：按照從高到低降次排列，提公因式或者分組分解。（系數(shù)成一定的比例更方便提取公因數(shù)）（2）換元法；通過換元把高次方程化為次數(shù)較低的方程，這種方法在高次方程、分式方程、無理方程、方程組中都很有用處，這種方法應(yīng)該掌握，根據(jù)題目的特點(diǎn)合理加以利用。例2 解方程分析：如果將式子展開再用因式分解法，顯然計(jì)算量過大，不顯示，故而要尋求別的方法。觀察左邊4個(gè)因式，看如何兩兩組合相乘，能產(chǎn)生相同的項(xiàng)？解：把方程左邊第一個(gè)因式與第四個(gè)因式相乘，第二個(gè)因式與第三個(gè)因

4、式相乘，得：設(shè)，則即解得 將分別代入中得，所以思考：對(duì)于這種形式的方程，你找到規(guī)律了嗎？針對(duì)練習(xí)：1、解方程。2、方程的解是_。3、方程的解是_。題型三、分式方程拓展（一）分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。 注意：分式的分母不能為0。解分式方程的基本思想：化分式方程為整式方程（二） 常用方法：（1）直接去分母法；步驟： 1、分子分母能因式分解的先因式分解；2、找所有分式的最簡(jiǎn)公分母； 3、方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，將分式方程化為整式方程； 4、解整式方程； 5、驗(yàn)根（將根代入到最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0）； 6、下結(jié)論。例1 解方程分析：去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程解：原方程

5、可化為：方程兩邊各項(xiàng)都乘以：即，整理得：解得：或檢驗(yàn)：把代入，不等于0，所以是原方程的解； 把代入，等于0，所以是增根所以，原方程的解是（2）換元法；解題思路：用換元法將原方程變形，然后去分母，化為整式方程，求出新方程的解，最后代入換元的式子，再求根驗(yàn)根。一般應(yīng)用于較為復(fù)雜，直接去分母會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過大的方程，以下舉例均為常見的題型。例2 解方程分析：注意觀察方程特點(diǎn)，可以看到分式與互為倒數(shù)因此，可以設(shè)，即可將原方程化為一個(gè)較為簡(jiǎn)單的分式方程解：設(shè)，則原方程可化為：(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)：把把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0所以，原方程的解是，說明：解決分式方程的方法就是采取去分

6、母、換元等法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，體現(xiàn)了化歸思想例3 分析：觀察三個(gè)分式分母，有2個(gè)不能分解因式，如果直接去分母，顯然不現(xiàn)實(shí)；觀察三個(gè)分母的特點(diǎn)，都含有，故而可以考慮換元。注意體會(huì)本題中的解題思想。解：設(shè)方程轉(zhuǎn)化為 解得y = （注意，既然換元了，就暫且將y理解成未知數(shù)，為參數(shù)） = -7x 解得經(jīng)檢驗(yàn)，均為元方程的根例4 解方程時(shí)，設(shè) 分析：如果直接去分母，將變成高次方程。觀察題目特點(diǎn)，有，可考慮配方，換元。解：原方程化為 令，則原方程化為 解得： 將代入解得，； 將代入解得， 經(jīng)檢驗(yàn)，均為原方程的根鞏固練習(xí):解下列方程（1） （答案：）（2）（答案：）（3）（答案：）（3）倒數(shù)法解題

7、思路：觀察方程，形如：的形式，可直接得出。例5 已知：_。分析：已知條件中，x，互為倒數(shù)，其中互為倒數(shù)關(guān)系，利用此關(guān)系，可有下面解法。解：，例6 解方程：分析：方程的左邊兩項(xiàng)為倒數(shù)之和，因此可用倒數(shù)法簡(jiǎn)化求解，設(shè)解：原方程變形為當(dāng)時(shí)，則，解之得當(dāng)解之得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根。拓展公式：的解是（即）的解是的解是的解是思考（）請(qǐng)觀察上述方程的特征，比較關(guān)于x的方程與他們的關(guān)系，猜想它的解是什么，（）請(qǐng)利用這個(gè)結(jié)論解關(guān)于x的方程。（4）分組通分法；解題思路：當(dāng)分母相鄰兩個(gè)的差相等，且分子可化為相同時(shí)，先分組通分，會(huì)使計(jì)算更簡(jiǎn)便。例7 解方程解： （檢驗(yàn)）例8 解方程 解： （分離常數(shù)） （思考為何要移項(xiàng)

8、相減？）步驟同上題（檢驗(yàn)）鞏固練習(xí)：解方程（1） （2）（三）分式方程與增根相關(guān)的問題1、分式方程的增根同時(shí)滿足兩個(gè)條件：（1）是由分式方程化為整式方程的根。 （2）使最簡(jiǎn)公分母為0。2、增根與無解的區(qū)別聯(lián)系：分式方程有增根，指的是解分式方程時(shí)，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過程中，方程的兩邊都乘了一個(gè)可能使分母為零的整式，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值；而分式方程無解則是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等它包含兩種情形：（一）原方程化去分母后的整式方程無解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解。例1 若

9、方程-=1有增根，則它的增根是（ ） A、0 B、1 C、-1 D、1或-1分析：使方程的最簡(jiǎn)公分母 ,但不能忽略增根除滿足最簡(jiǎn)公分母為零,還必須是所化整式方程的根。解：原方程易化成整式方程：整理得：當(dāng)時(shí),此時(shí)m 無解； 當(dāng)時(shí),解得m=3。由此可得答案為B。注意：-1雖然能使分母為零，但是它不是原方程的根。例2 已知關(guān)于x的方程無解，求m的值。解：先把原方程化為（1）若方程（1）無解，則原方程也無解，方程（1）化為，當(dāng)，而時(shí)，方程（1）無解，此時(shí)。若方程（1）有解，而這個(gè)解又恰好是原方程的增根，這時(shí)原方程也無解，所以，當(dāng)方程（1）的解為時(shí)原方程無解，代入方程（1），得，故。綜合以上，當(dāng)或時(shí)，原

10、方程無解。m=1原方程無解，m=3原方程產(chǎn)生增根。注意：原方程無解包括兩種情況：原方程本身就無意義，原方程的解全部是增根。（1）由增根求參數(shù)的值這類題的解題思路為：1、將分式方程去化成整式方程（方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母）2、確定增根（題目已知或使分母為零的未知數(shù)的值）3、將可能的增根分別代入整式方程，求出參數(shù)的值（增根是由分式方程化成的整式方程的根）例3 已知關(guān)于x的方程有增根，求k的值。解：把原方程去分母，化為。（1）因?yàn)樵匠痰淖詈?jiǎn)公分母是，所以方程的增根可能是或若增根為，代入方程（1），得，；若增根為，代入方程（1），得，。故當(dāng)或時(shí)，原方程會(huì)有增根。（2）由分式方程根的情況，求參數(shù)的取

11、值范圍這類題的解題思路為：1、 將原方程化為整式方程。2、把參數(shù)看成常數(shù)求解。3、根據(jù)根的情況，確定參數(shù)的取值范圍。（注意要排除增根時(shí)參數(shù)的值）例4 關(guān)于x的方程-2=有一個(gè)正數(shù)解，求m的取值范圍。分析：把m看成常數(shù)求解，由方程的解是正數(shù)，確定m的取值范圍，但不能忽略產(chǎn)生增根時(shí)m的值。原方程易化為整式方程：，整理得：，原方程有解，故不是增根。 由此可得答案為m的取值范圍是綜上所述關(guān)于增根的問題，一定要弄清楚增根的定義，及增根必須滿足的條件，和解這類題的思路。鞏固練習(xí)1、 當(dāng)m=_時(shí)，分式方程會(huì)產(chǎn)生增根。2、方程（）當(dāng)k為何值，解這個(gè)方程時(shí)會(huì)產(chǎn)生增根；（）k為何值時(shí)，這個(gè)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解。題型

12、四：無理方程拓展（一）無理方程的概念：根號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫做無理方程。注意：被開方數(shù)要為非負(fù)數(shù)。無理方程的解法思想：化無理方程為整式方程（二）理方程的常用方法：（1）直接平方法；步驟：1、將無理方程整理成同號(hào)）；由此，可判斷方程是否有根。當(dāng)，方程有實(shí)根；當(dāng)方程無實(shí)根。 2、將等式兩邊平方，將無理方程變?yōu)檎椒匠蹋?、解整式方程； 4、驗(yàn)根（和分式方程一樣，無理方程必須要驗(yàn)根）。驗(yàn)根是將根代入原方程，看方程兩邊是否相等； 5、下結(jié)論。例1 解方程分析：直接平方將很困難可以把一個(gè)根式移右邊再平方，這樣左右兩邊平方，整理后就可以轉(zhuǎn)化的模式，再將等式兩邊平方，將無理方程變?yōu)檎椒匠探夥匠探猓涸匠?/p>

13、可化為：兩邊平方得：整理得：兩邊平方得：整理得：，解得：或檢驗(yàn)：把代入原方程，左邊=右邊，所以是原方程的根 把代入原方程，左邊右邊，所以是增根，舍去。 所以原方程的解是例2 解方程 解移項(xiàng)得兩邊平方后整理得 再兩邊平方后整理得x23x-280，所以 x1=4，x2=-7經(jīng)檢驗(yàn)知，x2=-7為增根，所以原方程的根為x=4說明：含未知數(shù)的二次根式恰有兩個(gè)或三個(gè)的無理方程的一般步驟：移項(xiàng)，使方程的一邊只保留一個(gè)含未知數(shù)的二次根式；兩邊平方，得到含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無理方程；兩邊同時(shí)平方，得到一個(gè)整式方程；解整式方程并驗(yàn)根練習(xí)題1、解方程2、解方程（2）換元法；解題思路：用換元法將原方程變形，

14、然后去根號(hào)，化為整式方程，求出新方程的解，最后代入換元的式子，再求根驗(yàn)根。例3 解方程分析：本題若直接平方，會(huì)得到一個(gè)一元四次方程，難度較大注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余有理式的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：因此，可以設(shè)，這樣就可將原方程先轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程處理解：設(shè)，則原方程可化為：，即，解得：或(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程無解檢驗(yàn)：把分別代入原方程，都適合所以，原方程的解是說明：解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法，將根式方程轉(zhuǎn)化為有理方程，體現(xiàn)了化歸思想練習(xí)題：解方程（1） ； （2）（3）有理化因式法；解題思路：原方程兩個(gè)根式的平方差是一個(gè)實(shí)數(shù)，用平方差方程除以原方程，

15、得到原方程的有理化方程，再把原方程與有理化方程結(jié)合，加減消元法，求出式子的值，再求根驗(yàn)根。例4 解方程解 觀察到題中兩個(gè)根號(hào)的平方差是13，即便得由+得： 鞏固練習(xí)1、解方程，因?yàn)?，則，所以，由此解得。2、若方程，那么，方程的解是_。（4）配項(xiàng)法解法思路：觀察原方程中有可以配成兩項(xiàng)和的一半的項(xiàng)，即用完全平方將方程配方。從而將原方程轉(zhuǎn)化為完全平方的形式。例5 解方程解析：需要注意的是： 可看成是 2 x ，且,巧好等于原方程中的二次項(xiàng)一次項(xiàng)，這就啟發(fā)我們是否可用“兩項(xiàng)和的平方”，即完全平方公式將方程的左端配方將原方程變形為 即，所以或 由解得： 由解得： 經(jīng)檢驗(yàn)，為原方程的根； 當(dāng)時(shí)，所以為增根

16、 所以原方程的根為例6 解方程解：考慮到 ,且= 2x+2 ,于是將方程化為：即所以移項(xiàng)得題型五：二元二次方程組拓展1、概念：二元二次方程：方程中含有2個(gè)未知數(shù)，方程的最高次數(shù)為2。二元二次方程組：含有2個(gè)未知數(shù)，各方程都是整式方程，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2次的方程組。方程組的解：同時(shí)滿足方程組中兩個(gè)二元方程的的解。2、二元一次 + 二元二次；解題思路：當(dāng)方程組是一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成時(shí)，將二元一次方程變形后代入二元二次方程，使二元二次方程變?yōu)橐辉畏匠?，求其解，代入原方程組，求出原方程組的解；練習(xí)題1、已知，那么；2、已知，則_。3、二元一次 + 二元一次解題思路：當(dāng)方程是由兩個(gè)二元二次方程（其中一個(gè)可以分解為兩個(gè)二元一次方程）組成時(shí)，先將可以分解為兩個(gè)二元一次方程的二元二次方程組組成兩個(gè)新方程組，求其解并合在一起，既為原方程組的解。小秘書：如果方程組中含有分式方程或無理方程，則要對(duì)方程組進(jìn)行驗(yàn)根。練習(xí)題1、解方程組4、形如解題思路：把x,y看作是一元二次方程的兩根，化二元二次方程組為一元二次方程。練習(xí)題：方程組（1） （2）5、形如 解題思路：換元法，化分式方程組為整式方程組。做一做1方程組，的解是_。6、由方程組解的情況求方程中參數(shù) 解題思路：此類題中的方程組一般由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成，將二元一次方程變形后代入二元二次