矩陣的特征值與特征向量

1、 說明說明1.0,. 特特征征向向量量特特征征值值問問題題是是對對方方陣陣而而言言的的 2., 0,| 0. nA IA xIA A 階階方方陣陣 的的特特征征值值 就就是是使使齊齊次次線線性性方方程程組組 有有非非零零解解的的值值 即即滿滿足足方方程程| | 的的 都都是是矩矩陣陣 的的特特征征值值 , , . 1Ann A A A 設(shè)設(shè) 是是 階階矩矩陣陣 如如果果數(shù)數(shù) 和和 維維非非零零列列向向量量 使使關(guān)關(guān)系系式式 成成立立 則則稱稱這這樣樣的的數(shù)數(shù) 稱稱為為非非零零向向 量量 稱稱 方方陣陣 的的特特征征值值 的的對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值 的的 定定 為為特特征征向向量量 義義 一、

2、矩陣的特征值一、矩陣的特征值 3.0IA 11121 21222 12 0 n n nnnn aaa aaa aaa 2 - - -0. AnIAA IAnA IAA 為為 階階矩矩陣陣，稱稱為為 的的, ,其其行行 列列式式|為為 的的 次次多多項(xiàng)項(xiàng) 特特征征矩矩陣陣 特特征征式式，稱稱為為 的的， |稱稱為為 多多項(xiàng)項(xiàng)式式 特特的的 定定 征征方方程程 義義 -0 -0 ii A I Inn AA AA 1. 1.由由定定義義得得， 是是 的的特特征征值值，等等價價于于 是是其其特特征征 方方程程|的的根根，因因此此又又特特稱稱 為為 的的. .若若 是是|的的 重重根根，則則稱稱 為為

3、征征根根 重重特特征征的的值值( (根根) ). . 說明說明 說明說明 2-)IA x . .方方程程( (0 0的的任任意意非非零零解解向向量量，都都是是 對對應(yīng)應(yīng)于于 的的特特征征向向量量. . 3. 0. AAI AI AI 的的也也可可以以表表示示為為； 也也可可以以表表示示為為| | |； 也也可可以以表表示示為為 特特征征矩矩陣陣 特特征征多多項(xiàng)項(xiàng) | |特特征征| | 式式 方方程程 4.0 0 . AAI AAI x 求求 的的特特征征值值 就就是是求求|=|= 的的根根 ， 求求 的的相相應(yīng)應(yīng)于于 的的特特征征向向量量就就是是求求| 的的非非零零解解向向量量 求求矩陣矩陣A

4、 A的特征值及特征向量的特征值及特征向量問題就轉(zhuǎn)化為求解問題就轉(zhuǎn)化為求解 多項(xiàng)式方程以及齊次線性方程組的通解多項(xiàng)式方程以及齊次線性方程組的通解問題問題. . 解解 例例 . 31 13 的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為A 31 13 1)3( 2 )2)(4(68 2 . 4, 2 21 的的特特征征值值為為所所以以A , 0 0 231 123 ,2 2 1 1 x x 對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量應(yīng)應(yīng)滿滿足足時時當(dāng)當(dāng) . 0 , 0 21 21 xx xx 即即 , 21xx 解解得得 . 1 1 1 p取取為為所所以以對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量

5、可可 , 0 0 11 11 , 0 0 431 143 ,4 2 1 2 1 2 x x x x 即即 由由時時當(dāng)當(dāng) 122 1 ,. 1 xxp 解解得得所所以以對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量可可取取為為 11 2(0)kp k 故故相相應(yīng)應(yīng)于于的的全全體體特特征征向向量量為為 12 4(0)kpk 故故相相應(yīng)應(yīng)于于的的全全體體特特征征向向量量為為 例例 設(shè)設(shè), 314 020 112 A求求A的特征值與特征向量的特征值與特征向量 解解 211 020 413 AI ,2)1( 2 02)1( 2 令令 . 2, 1 321 的特征值為的特征值為得得A 1 1,0.AI x 當(dāng)當(dāng)時時 解解方

6、方程程由由 111101 030010, 414000 AI , 1 0 1 1 p得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 的的全全體體特特征征向向量量為為故故對對應(yīng)應(yīng)于于1 1 ).0( 1 kpk 23 2,20.AI x當(dāng)當(dāng)時時 解解方方程程由由 411411 2000000 , 411000 AI 得基礎(chǔ)解系為得基礎(chǔ)解系為, 4 0 1 , 1 1 0 32 pp :2 32 的的全全部部特特征征向向量量為為所所以以對對應(yīng)應(yīng)于于 ).0,( 323322 不不同同時時為為 kk pkp k 0100 1000 3 001 0012 . AA y yA 設(shè)設(shè)，若若是是的的一一個個特特征征值值， 求求： 及

7、及的的其其他他特特征征值值 例例 100 100 | 001 0012 AE y 解解設(shè)設(shè) 2 (1)()(2) 1y 2 (1)(1)(2)21.yy 2 3 3 (2)210 A yy 因?yàn)槭堑囊粋€特征值，所以必為 的根， 2 y 由此求得 2 (2)210 1 1,1,1,3. yyA 及的另一根 ，故的 全部特征值為 例例 證明：若證明：若 是矩陣是矩陣A的特征值，的特征值， 是是A的屬于的屬于 的特征向量，則的特征向量，則 x (1). mm Am 是是的的特特征征值值是是任任意意正正整整數(shù)數(shù) .,)2( 11 的的特特征征值值是是可可逆逆時時當(dāng)當(dāng) AA 證明證明 xAx 1 xAx

8、xAAxA xxA 22 再繼續(xù)施行上述步驟再繼續(xù)施行上述步驟 次，就得次，就得2 mxxA mm . , 征征向向量量 的的特特對對應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 mmmm AxA 可得可得由由xAx xAxAAxA 111 xxA 11 , 0,2 可可逆逆時時當(dāng)當(dāng)A . , 1111 的的特特征征向向量量 對對應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 AxA 例例 證明：若證明：若 是矩陣是矩陣A的特征值，的特征值， 是是A的屬于的屬于 的特征向量，則的特征向量，則 x .,)2( 11 的的特特征征值值是是可可逆逆時時當(dāng)當(dāng) AA 證明證明 (1). mm Am

9、 是是的的特特征征值值是是任任意意正正整整數(shù)數(shù) 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 為為對合矩陣對合矩陣(即即 A2 = I), 且且 A 的特征值都是的特征值都是 1 , 證明證明 : A = I . 由于由于 A 的特征值都是的特征值都是 1 , 這說明這說明 -1 不是不是 A 的特征值的特征值, 即即 |A + I| 0. 因而因而 I + A 可逆可逆. (I + A) - 1 即可得即可得 A =I. 在在 (I + A)(I - A) = 0 兩端左乘兩端左乘 由由 A2 = I可得可得 (I + A)( I - A) = 0, 例例 試證試證的的充充分分必必要要不不可可逆逆階階矩矩陣陣是是奇奇異

10、異矩矩陣陣)(n 有一個特征值為零。有一個特征值為零。條件是條件是A 證：證：必要性必要性如果如果 A 是奇異矩陣，則是奇異矩陣，則 |A| 0。于是。于是 00 AIA 即即0是是 A 的一個特征值的一個特征值 充分性：充分性：設(shè) 設(shè) A 有一個特征值為有一個特征值為0，對應(yīng)的特征向量為，對應(yīng)的特征向量為 x. 由特征值的定義有：由特征值的定義有：) 0(00 xxAx 齊次線性方程組有非零解，由此可知齊次線性方程組有非零解，由此可知 |A| 0，即，即A為奇為奇 異矩陣異矩陣. 亦可敘述為亦可敘述為：的的充充分分必必要要條條件件可可逆逆階階矩矩陣陣是是非非奇奇異異矩矩陣陣)(n 。的任一個

11、特征值不為零的任一個特征值不為零是是A T 1 .AA矩矩陣陣 與與其其轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置矩矩陣陣具具有有相相同同定定的的特特征征值值理理 證明證明 即即A與其轉(zhuǎn)置矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式，因與其轉(zhuǎn)置矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式，因 此必有相同的特征值此必有相同的特征值. 二、特征值與特征向量的性質(zhì)二、特征值與特征向量的性質(zhì) TT ()AIAI= = TT | |()|AIAIAI | |= =| | 1 i 1 |1(1,2,., ) |1(j1,2,., )| 1(A). n ij j n ij Anain an 為為 階階矩矩陣陣，若若或或者者 ，則則為為 2 2 的的特特征征值值 定定理理 。線線性

12、性無無關(guān)關(guān)則則各各不不相相等等 向向量量。如如果果依依次次是是與與之之對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征 個個特特征征值值的的是是方方陣陣設(shè)設(shè) m mm m xxx x xxmA , , , 21 21 2121 證明證明:使使設(shè)設(shè)有有常常數(shù)數(shù) m kkk, 21 . 0 2211 mm xkxkxk 則則 , 0 2211 mm xkxkxkA , 0 222111 mmm xkxkxk 類推之，有類推之，有. 0 222111 mm k m kk kxkxkx 1, 2 , 1 mk 定理定理3： 可可得得由由 ii xAx 把上列各式合寫成矩陣形式，得把上列各式合寫成矩陣形式，得 1 1 22 1 1

13、1 2211 1 1 1 , m mm m m mm xkxkxk 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆 從從而而該該矩矩陣陣該該行行列列式式不不等等于于不不相相等等時時當(dāng)當(dāng)各各式式 列列陣陣的的行行列列式式為為范范德德蒙蒙行行上上式式等等號號左左端端第第二二個個矩矩 . , 0, i ,0 ,0 ,0, 2211 mm xkxkxk ., 2 , 10mjxk jj 即即, 0 j x但但 ., 2 , 10mjkj 故故 ., 21 線線性性無無關(guān)關(guān)所所以以向向量量組組 m xxx 注意注意 . 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的 .屬于同一特征值

14、的特征向量的非零線性屬于同一特征值的特征向量的非零線性 組合仍是屬于這個特征值的特征向量組合仍是屬于這個特征值的特征向量 .矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征 值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一； 一個特征向量不能屬于不同的特征值一個特征向量不能屬于不同的特征值 即即有有的的特特征征向向量量 的的的的屬屬于于特特征征值值同同時時是是如如果果設(shè)設(shè)因因?yàn)闉?, , 21 21 Ax xAxxAx 21 , xx 21 , 0 21 x , 0 21 由由于于 , 0 x則則.與定義矛盾與定義矛盾 1 111 2 ,

15、, | | nnn ii ii n ii i nAn aA 設(shè)設(shè)是是 階階方方陣陣 的的 個個特特征征值值 則則定定理理4 4 說明說明 .在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，n階方陣階方陣A一定有一定有n個特征根，個特征根， 其中可能有重根和復(fù)根其中可能有重根和復(fù)根. .定理定理4表明，全部特征根的和與表明，全部特征根的和與A的主對角的主對角 線元素的和相等；全部特征根的乘積等于線元素的和相等；全部特征根的乘積等于|A|. 當(dāng)當(dāng)det A=0時時, A至少有一個零特征值至少有一個零特征值. 3. 當(dāng)當(dāng)det A 0時時, A的特征值全為非零數(shù)的特征值全為非零數(shù) 4: det 3IA0, 2I,det0,. T A AAAA 例例設(shè)設(shè) 階階方方陣陣 滿滿足足