中考數(shù)學壓軸題

1、-作者xxxx-日期xxxx中考數(shù)學壓軸題【精品文檔】中考數(shù)學壓軸題一.因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例1：（2012德陽）在平面直角坐標xOy中，（如圖）正方形OABC的邊長為4，邊OA在x軸的正半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，點D是OC的中點，BEDB交x軸于點E（1）求經(jīng)過點D、B、E的拋物線的解析式；（2）將DBE繞點B旋轉一定的角度后，邊BE交線段OA于點F，邊BD交y軸于點G，交（1）中的拋物線于M（不與點B重合），如果點M的橫坐標為，那么結論OF=DG能成立嗎？請說明理由；（3）過（2）中的點F的直線交射線CB于點P，交（1）中的拋物線在第一象限的部分于點Q，且使PFE為等腰三角形，

2、求Q點的坐標例2：2012年揚州市中考第27題如圖1，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由圖1 例3：2012年臨沂市中考第26題如圖1，點A在x軸上，OA4，將線段OA繞點O順時針旋轉120至OB的位置（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂

3、點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由圖1二.因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例1 ：(2011德陽)(本小題滿分14分)如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，與軸交于另一點A，它的對稱軸與軸交于點C，直線經(jīng)過拋物線上一點B()，且與軸、直線分別交于點D，E(1) 求拋物線對應的函數(shù)解析式并用配方法把這個解析式化成的形式；(2) 求證：CDBE；(3) 在對稱軸上是否存在點P，使PBE是直角三角形，如果存在，請求出點P的坐標，并求出PAB的面積；如果不存在，請說明理由。例2 ：2013年山西省中考第26題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，連結B

4、C，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為(m, 0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q（1）求點A、B、C的坐標；（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由圖1 例3：2012年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（1）求點A、B的坐標；（2）設D為已知拋物線的對稱軸

5、上的任意一點，當ACD的面積等于ACB的面積時，求點D的坐標；（3）若直線l過點E(4, 0)，M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式圖1 三因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例1：2013年上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1，已知拋物線yx2bxc經(jīng)過A(0, 1)、B(4, 3)兩點 （1）求拋物線的解析式；（2）求tanABO的值；（3）過點B作BCx軸，垂足為C，在對稱軸的左側且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標圖1 例2：2012年煙臺市中考第26題如圖1，在平面直角坐標系中，已知矩形

6、ABCD的三個頂點B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以A為頂點的拋物線yax2bxc過點C動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒過點P作PEAB交AC于點E（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；（2）過點E作EFAD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點P、Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點H，使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值圖1例3：2011年上海市中考第24題已知平面直角坐標系xO

7、y（如圖1），一次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數(shù)的圖象上，且MOMA二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過點A、M（1）求線段AM的長；（2）求這個二次函數(shù)的解析式；（3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數(shù)的圖象上，點D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標圖1例4： 2009年江西省中考第24題如圖1，拋物線與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D（1）直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸；（2）連結BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF/DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m用含

8、m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？設BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關系圖1中考數(shù)學壓軸題（解析）一 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例1：（2012德陽）在平面直角坐標xOy中，（如圖）正方形OABC的邊長為4，邊OA在x軸的正半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，點D是OC的中點，BEDB交x軸于點E（1）求經(jīng)過點D、B、E的拋物線的解析式；（2）將DBE繞點B旋轉一定的角度后，邊BE交線段OA于點F，邊BD交y軸于點G，交（1）中的拋物線于M（不與點B重合），如果點M的橫坐標為，那么結論OF=DG能成立嗎？請說明理由；（3）過（2）中的點F的直線交射線CB于

9、點P，交（1）中的拋物線在第一象限的部分于點Q，且使PFE為等腰三角形，求Q點的坐標思路點撥（1）本題關鍵是求得E點坐標，然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式如題圖，可以證明BCDBAE，則AE=CD，從而得到E點坐標；（2）首先求出M點坐標，然后利用待定系數(shù)法求直線MB的解析式，令x=0，求得G點坐標，進而得到線段CG、DG的長度；由BCGBAF，可得AF=CG，從而求得OF的長度比較OF與DG的長度，它們滿足OF=DG的關系，所以結論成立（3）本問關鍵在于分類討論PFE為等腰三角形，如解答圖所示，可能有三種情況，需逐一討論并求解滿分解答解：（1）BEDB交x軸于點E，OABC是正方形，DBC=

10、EBA在BCD與BAE中，BCDBAE，AE=CDOABC是正方形，OA=4，D是OC的中點，A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），E（6，0）設過點D（0，2），B（4，4），E（6，0）的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，則有：，解得，經(jīng)過點D、B、E的拋物線的解析式為：y=x2+x+2（2）結論OF=DG能成立理由如下：由題意，當DBE繞點B旋轉一定的角度后，同理可證得BCGBAF，AF=CGxM=，yM=xM2+xM+2=，M（，）設直線MB的解析式為yMB=kx+b，M（，），B（4，4），解得，yMB=x+6，G（0，6），CG=2，DG=4AF=CG=2，OF

11、=OAAF=2，F(xiàn)（2，0）OF=2，DG=4，結論OF=DG成立（3）如圖，PFE為等腰三角形，可能有三種情況，分類討論如下：若PF=FEFE=4，BC與OA平行線之間距離為4，此時P點位于射線CB上，F(xiàn)（2，0），xQ=2，yQ=xQ2+xQ+2=，Q1（2，）；若PF=PE如圖所示，AF=AE=2，BAFE，BEF為等腰三角形，此時點P、Q與點B重合，Q2（4，4）；若PE=EFFE=4，BC與OA平行線之間距離為4，此時P點位于射線CB上，E（6，0），P（6，4）設直線yPF的解析式為yPF=kx+b，F(xiàn)（2，0），P（6，4），解得，yPF=x2Q點既在直線PF上，也在拋物線上，x

12、2+x+2=x2，化簡得5x214x48=0，解得x1=，x2=2（不合題意，舍去）xQ=2，yQ=xQ2=2=Q3（，）綜上所述，Q點的坐標為Q1（2，）或Q2（4，4）或Q3（，）例2：2012年揚州市中考第27題如圖1，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由圖1 思路點撥1第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上

13、時PAC的周長最小2第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點，設ya(x1)(x3)，代入點C(0 ,3)，得3a3解得a1所以拋物線的函數(shù)關系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1當點P落在線段BC上時，PAPC最小，PAC的周長最小設拋物線的對稱軸與x軸的交點為H由，BOCO，得PHBH2所以點P的坐標為(1, 2)圖2（3）點M的坐標為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設點M的坐標為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，

14、MA24m2如圖3，當MAMC時，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此時點M的坐標為(1, 1)如圖4，當AMAC時，AM2AC2解方程4m210，得此時點M的坐標為(1,)或(1,)如圖5，當CMCA時，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6當M(1, 6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標為(1,0)圖3 圖4 圖5例3：2012年臨沂市中考第26題如圖1，點A在x軸上，OA4，將線段OA繞點O順時針旋轉120至OB的位置（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形

15、是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由圖1思路點撥1用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗2本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起滿分解答（1）如圖2，過點B作BCy軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，所以點B的坐標為（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4, 0)，設拋物線的解析式為yax(x4)，代入點B，解得所以拋物線的解析式為（3）拋物線的對稱軸是直線x2，設點P的坐標為(2, y)當OPOB4時，OP216所以4+y216解得當P在時，B、O、P三點共線（如圖2）當B

16、PBO4時，BP216所以解得當PBPO時，PB2PO2所以解得綜合、，點P的坐標為，如圖2所示圖2 圖3二 因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例1 ：(2011德陽)(本小題滿分14分)如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，與軸交于另一點A，它的對稱軸與軸交于點C，直線經(jīng)過拋物線上一點B()，且與軸、直線分別交于點D，E(1) 求拋物線對應的函數(shù)解析式并用配方法把這個解析式化成的形式；(2) 求證：CDBE；(3) 在對稱軸上是否存在點P，使PBE是直角三角形，如果存在，請求出點P的坐標，并求出PAB的面積；如果不存在，請說明理由。解：(1)已知拋物線的對稱軸為， 設拋物線的解析式為， 又直線經(jīng)過點B()，

17、，解得， 點B()， 又二次函數(shù)的圖象經(jīng)過0(0，0) B()， 解得，拋物線的解析式為 (2)由題意解方程組， 得 點E的坐標為(2，5)，CE=5 過點B作BF垂直于軸于F， 作BH垂直于直線于H，交軸于點Q， 點B()，D(0，1)， BF=3，BH=4，CH=BF=3，OD=1，EH=8，DQ=4 在RtBHE，RtBQ0，RtBHC中有勾股定理得BE=,BD=,BC=BD=BE又EC=5，BC=CE，CDBE.(3)結論：存在點P，使PBE是直角三角形當BPE=90時，點P與(2)中的點H重合，此時點P的坐標為；延長BH與過點A(4，0)且與軸垂直的直線交于M，則當EBP=90時，設

18、點P(2，)，E(2，5)，H(2，)，B()，BH=4，EH=8，PH=在RtPBE中，BHPE，可證得BHPEHB，即，解得，此時點P的坐標為過點P與軸平行的直線與FB的延長線交于點N，則綜合，知點P的坐標為，PAB的面積為6；或點P的坐標為，PAB的面積為12.例2：2013年山西省中考第26題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，連結BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為(m, 0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q（1）求點A、B、C的坐標；（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點

19、M、N試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由圖1 思路點撥1第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據(jù)MQDC列方程2第（2）題要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據(jù)求得的m的值畫一個準確的示意圖，先得到結論3第（3）題BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過直角頂點作坐標軸的垂線可以構造相似三角形滿分解答（1）由，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直線DB的解析式為由點P的坐標為(m, 0)

20、，可得，所以MQ當MQDC8時，四邊形CQMD是平行四邊形解方程，得m4，或m0（舍去）此時點P是OB的中點，N是BC的中點，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC與MQ互相平分所以四邊形CQBM是平行四邊形圖2 圖3（3）存在兩個符合題意的點Q，分別是(2,0)，(6,4)考點伸展第（3）題可以這樣解：設點Q的坐標為如圖3，當DBQ90時， 所以解得x6此時Q(6,4)如圖4，當BDQ90時， 所以解得x2此時Q(2,0)圖3 圖4例3：2012年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（1）求點A、B的坐標；（2）設D為已知拋物線的

21、對稱軸上的任意一點，當ACD的面積等于ACB的面積時，求點D的坐標；（3）若直線l過點E(4, 0)，M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式圖1 思路點撥1根據(jù)同底等高的三角形面積相等，平行線間的距離處處相等，可以知道符合條件的點D有兩個2當直線l與以AB為直徑的圓相交時，符合AMB90的點M有2個；當直線l與圓相切時，符合AMB90的點M只有1個3靈活應用相似比解題比較簡便滿分解答（1）由，得拋物線與x軸的交點坐標為A(4, 0)、B(2, 0)對稱軸是直線x1（2）ACD與ACB有公共的底邊AC，當ACD的面積等于ACB的面積時，點B、D到

22、直線AC的距離相等過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D，在AC的另一側有對應的點D設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，與AC交于點H由BD/AC，得DBGCAO所以所以，點D的坐標為因為AC/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以D的坐標為圖2 圖3（3）過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點M以AB為直徑的G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就只有1個點M了聯(lián)結GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A6所以點M1的坐標為(4, 6)，過M1、E的直線l為根據(jù)對稱性

23、，直線l還可以是考點伸展第（3）題中的直線l恰好經(jīng)過點C，因此可以過點C、E求直線l的解析式在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtECO中，CO3，EO4，所以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直線CM過點C三因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例1：2013年上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1，已知拋物線yx2bxc經(jīng)過A(0, 1)、B(4, 3)兩點 （1）求拋物線的解析式；（2）求tanABO的值；（3）過點B作BCx軸，垂足為C，在對稱軸的左側且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標圖1 思路點撥1第（2）題求ABO的

24、正切值，要構造包含銳角ABO的角直角三角形2第（3）題解方程MNyMyNBC，并且檢驗x的值是否在對稱軸左側滿分解答（1）將A(0, 1)、B(4, 3)分別代入yx2bxc，得 解得，c1所以拋物線的解析式是（2）在RtBOC中，OC4，BC3，所以OB5如圖2，過點A作AHOB，垂足為H在RtAOH中，OA1，所以 圖2所以， 在RtABH中，（3）直線AB的解析式為設點M的坐標為，點N的坐標為，那么當四邊形MNCB是平行四邊形時，MNBC3解方程x24x3，得x1或x3因為x3在對稱軸的右側（如圖4），所以符合題意的點M的坐標為（如圖3）圖3 圖4考點伸展第（3）題如果改為：點M是拋物線

25、上的一個點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標那么求點M的坐標要考慮兩種情況：MNyMyN或MNyNyM由yNyM4xx2，解方程x24x3，得（如圖5）所以符合題意的點M有4個：，圖5例2：2012年煙臺市中考第26題如圖1，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以A為頂點的拋物線yax2bxc過點C動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒過點P作PEAB交AC于點E（1）直接寫出點A的坐標

26、，并求出拋物線的解析式；（2）過點E作EFAD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點P、Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點H，使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值圖1思路點撥1把ACG分割成以GE為公共底邊的兩個三角形，高的和等于AD2用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點的坐標都表示出來3構造以C、Q、E、H為頂點的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗證菱形是否存在滿分解答（1）A(1, 4)因為拋物線的頂點為A，設拋物線的解析式為ya(x1)24，代入點C(3, 0)，可得a1所以拋物線的解析式為y(

27、x1)24x22x3（2）因為PE/BC，所以因此所以點E的橫坐標為將代入拋物線的解析式，y(x1)24所以點G的縱坐標為于是得到因此所以當t1時，ACG面積的最大值為1（3）或考點伸展第（3）題的解題思路是這樣的：因為FE/QC，F(xiàn)EQC，所以四邊形FECQ是平行四邊形再構造點F關于PE軸對稱的點H，那么四邊形EHCQ也是平行四邊形再根據(jù)FQCQ列關于t的方程，檢驗四邊形FECQ是否為菱形，根據(jù)EQCQ列關于t的方程，檢驗四邊形EHCQ是否為菱形，如圖2，當FQCQ時，F(xiàn)Q2CQ2，因此整理，得解得，（舍去）如圖3，當EQCQ時，EQ2CQ2，因此整理，得所以，（舍去）圖2 圖3例3：201

28、1年上海市中考第24題已知平面直角坐標系xOy（如圖1），一次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數(shù)的圖象上，且MOMA二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過點A、M（1）求線段AM的長；（2）求這個二次函數(shù)的解析式；（3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數(shù)的圖象上，點D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標圖1思路點撥1本題最大的障礙是沒有圖形，準確畫出兩條直線是基本要求，拋物線可以不畫出來，但是對拋物線的位置要心中有數(shù)2根據(jù)MOMA確定點M在OA的垂直平分線上，并且求得點M的坐標，是整個題目成敗的一個決定性步驟3第（3）題求點C的坐標，先根據(jù)菱形的邊長、直線的斜率，用待定字母m表示點C的坐標，再代入拋物線的解析式求待定的字母m滿分解答（1）當x0時，所以點A的坐標為(0，3)，OA3如圖2，因為MOMA，所以點M在O