導(dǎo)數(shù)中求全參數(shù)地取值范圍

1、導(dǎo)數(shù)中求參數(shù)的取值范圍求參數(shù)取值范圍的方法1. 分離參數(shù)，恒成立轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題2. 分離參數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)和單調(diào)性解不等式3. 將參數(shù)分成若干個(gè)區(qū)間討論是否滿足題意fx1已知函數(shù)f X e -ax（ a R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（I）討論函數(shù)x的單調(diào)性;(U)若 a 1，函數(shù) g x x m f Xx在2,上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)镽,0時(shí),x在R上為增函數(shù);In a0時(shí)，由當(dāng)x ，lna時(shí),0，二函數(shù),ln a上為減函數(shù),當(dāng) x Ina,時(shí),0，二函數(shù)x 在 lna,上為增函數(shù)4分(U)當(dāng)a 1時(shí),.g x 在 2,xx 2e x e x xXX上為增函數(shù)；Ag X

2、 xe me m 10在2, 上恒成立,在2,上恒成立,X xe 1 m x 即 eX /xe 1Xx 2,，則x 2x o xe xe 2ee 1x xe e x 221ex 1 0 在 2,上恒成立,2,上為增函數(shù)，即xxe1x ”2e 1 在 2,h上為增函數(shù)，2e21e2 12e2 1e2 112分1則 g (x)二一一x2ax + 1x2 + 2，g(1)二 0.2e2 1m e 1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是2 . (2016 全國(guó)甲卷)已知函數(shù) f(x) = (x + 1)ln x a(x 1).(1)當(dāng)a= 4時(shí)，求曲線y = f(x)在(1 , f(1)處的切線方程； 若當(dāng)x (

3、1 ,+x)時(shí)，f(x) 0，求a的取值范圍.解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，+).當(dāng) a = 4 時(shí)，f(x) = (x + 1)ln x 4(x 1)，1f(1) = 0，f (x) = In x + - 3，f(1) = 2.x故曲線y = f(x)在(1，f(1)處的切線方程為2x + y 2 = 0.a x 1當(dāng) x (1，+x)時(shí)，f(x) 0 等價(jià)于 In x 0.x + 1a x 1 設(shè) g (x) = In x x + 1 當(dāng) a x2 2x + 1 0，故 g (x) 0， g(x)在(1，+)上單調(diào)遞增，因此g(x) 0 ; 當(dāng) a 2 時(shí)，令 g (x) = 0 得

4、X1 = a 1 a 12 1，X2 = a 1 + 、a 12 1.由 X2 1 和 X1X2 = 1 得 X1 V 1，故當(dāng) x (1，X2)時(shí)，g (x) V 0，g (x)在(1，X2) 上單調(diào)遞減，因此g(x) V 0.綜上，a的取值范圍是( , 2. . (2016 全國(guó)乙卷)已知函數(shù)f(x) = (x 2)ex + a(x 1)2有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a的取值范圍;設(shè)X1 , X2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：X1 + X20，則當(dāng) x ( %, 1)時(shí)，f (x)0 ,所以f(x)在(一x，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，+)內(nèi)單調(diào)遞增.a又 f(1) = e，f(2) = a，取 b 滿

5、足 b(b 2) + a(b 1)2 = a b2 0，故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn). 設(shè) a0，因此f(x)在(1，+)內(nèi)單調(diào)遞增.又當(dāng)x 1時(shí)，f(x)vo，所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).e若 a1，故當(dāng) x (1 , ln( 2a)時(shí)，f (x)0.因此f(x)在(1 , ln( 2a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ln( 2a) ,+引內(nèi)單調(diào)遞增.又當(dāng)x 1時(shí)，f(x)0，所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上，a的取值范圍為(0，+x).證明：不妨設(shè) X1VX2，由知，xi ( S, 1) , X2 (1 ,+x), 2 X2 (g, 1)，又f (x)在(g, 1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以 X1 + X2f(2 X2

6、)，即 f(2 X2)0，得 x 一, a，而 f(X2)= (X2 2)e X2+ a(X2 1)2= 0，所以 f (2 X2)= X2e2 X2 (X2 2)e X2.設(shè) g (x) = xe2-X (x 2)eX，則 g (x) = (x 1)(e 2 x ex).所以當(dāng) x1 時(shí)，g(x)1 時(shí)，g(x)0.從而 g(X2)= f(2 X2)0，故 X1 + X2bx 2恒成立, 求實(shí)數(shù)b的取值范圍.1 ax 1 解：(1)由已知得 f (x) = a (X 0).XX當(dāng)aO 時(shí)，f (x) 0 時(shí)，由 f (X)v0，得 0 vx_,a11f(x)在0，-上單調(diào)遞減，在，+x上單調(diào)

7、遞增,aa1即f(x)在x =處有極小值.a當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，+)上有一個(gè)極值點(diǎn).(2) v函數(shù)f(x)在x = 1處取得極值,1 In xf (1) = 0，解得 a = 1，Af(x) bx 2? 1 + b，x x1 In x令 g(x)二 1 +-x x則 g (x) =In x 2x2令 g (x) = 0，得 x = e2.則g(x)在(0，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，+x)上單調(diào)遞增,1即 b 0，所以f(x)在(0，+x)上單調(diào)遞增.1若 a0，則當(dāng) x 0, 一 時(shí)，f (x)0 ;a1當(dāng) x ,+x 時(shí)，f，(x)vO.a11所以f(x)在0 ,上單調(diào)遞增，在-，+

8、上單調(diào)遞減.aa 由 知，當(dāng)a 0時(shí)，f(x)在x = -處取得最大值，最大值為a111f = In 一 + a 1 一 = In a +a 1. aaa1因此 f 一 2 a 2 等價(jià)于 In a + a 10. a令 g (a) = In a + a 1，則g(a)在(0,+x)上單調(diào)遞增，g(1) = 0.于是，當(dāng) 0a1 時(shí)，g(a)1 時(shí)，g(a)0.因此，a的取值范圍是(0,1).6 . (2016 全國(guó)甲卷)已知函數(shù) f(x) = (x + 1)ln x a(x 1).(1)當(dāng)a= 4時(shí)，求曲線y = f(x)在(1，f(1)處的切線方程； 若當(dāng)x (1，+)時(shí)，f(x) 0，求

9、a的取值范圍. 解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，+).當(dāng) a = 4 時(shí)，f(x) = (x + 1)ln x 4(x 1)，1f(1) = 0，f (x) = In x + 一一 3，f(1) = 2.x故曲線y = f(x)在(1，f(1)處的切線方程為2x + y 2 = 0.a x 1當(dāng) x (1，+x)時(shí)，f(x) 0 等價(jià)于 In x 0.x + 1a x 1 設(shè) g (x) = In x x + 11 2a則gg=；一Rx1 2 + 2,g(1) 當(dāng) a 0時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為0，丁，單調(diào)減區(qū)間為 丁，+* . 2a2a由(1)知，f (1) = 0 .當(dāng)ax2 2x +

10、 1 0，故 g (x) 0 , g(x)在(1 ,+x)上單調(diào)遞增，因此g(x)0 ; 當(dāng) a 2 時(shí)，令 g (X)= 0 得 X1 = a 1 a 12 1 , X2 = a 1 +a 1 _.由 X2 1 和 X1X2 = 1 得 X1V1，故當(dāng) x (1，X2)時(shí)，g (X)v0，g(x)在(1，X2) 上單調(diào)遞減，因此g(x) v 0.綜上，a的取值范圍是( , 2.7.(2016 山東高考)設(shè) f(x) = xln x ax2 + (2 a 1)x，a R.(1) 令g(x) = f(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 已知f(x)在x = 1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

11、：(1)由 f (x) = In x 2ax + 2a，可得 g (x) = In x 2ax + 2a，x (0，+).11 2 ax所以 g (x)= 2a =.xx當(dāng)a O，x (0，+x)時(shí)，g (x) 0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；1當(dāng)a0，x 0，丁時(shí)，g (x) 0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，2a當(dāng) x (1 ,+x)時(shí)，f f(x) 0 , f(x)單調(diào)遞增.所以f (x)在x = 1處取得極小值，不合題意.11當(dāng) 0 v a v 一時(shí)， 1 ,22a1由知f (X)在o, 2a內(nèi)單調(diào)遞增,1可得當(dāng) x (0,1)時(shí)，f(x) V 0，當(dāng) x 1 , 時(shí)，f(x) 0 . 2a1所以f

12、(x)在(叩)內(nèi)單調(diào)遞減，在1，初內(nèi)單調(diào)遞增,所以f (x)在x = 1處取得極小值，不合題意.1當(dāng)a=2時(shí),1=1 2af (X)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1 , +)內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x (0,+x)時(shí)，f(x) 2時(shí),10 v v 12a1當(dāng)x 二,1時(shí)，f (x) 0，f(x)單調(diào)遞增,當(dāng) x (1 , +)時(shí)，f (x) V0 , f(x)單調(diào)遞減.所以f (x)在x = 1處取極大值，符合題意.1綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為 2，+mm8. (2016 海口調(diào)研)已知函數(shù) f(x) = mx , g (x) = 3ln x . x(1)當(dāng)m = 4時(shí)，求曲線y = f(x)在點(diǎn)(

13、2 , f(2)處的切線方程;若x (1 ,e(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，不等式f(x) g(x) v 3恒成立, 求實(shí)數(shù)m的取值范圍.44解： 當(dāng) m = 4 時(shí)，f(x) = 4x 一，f(x) = 4 + ,xx2f 二 5 ,又 f(2)二 6 ,所求切線方程為y 6 = 5( x 2),即 y = 5x 4.(2)由題意知，x (1 , - ；e時(shí)，mmx 3ln x v 3 恒成立，x即 m (x2 1) v 3x + 3xln x 恒成立，x (1，;e ,.x2 1 0 ,3x + 3xl n x則m v 2 恒成立.x2 1e,3x + 3xln x令 h(x)二二，x (1，

14、則 m v h(x)min .3 h (x)二x2 + 1 S x 63x2 12x2 12x (1，:e, (x) v 0 ,即 h(x)在(1 ,-e上是減函數(shù).當(dāng) x (1 , -廠9 ee時(shí)，h(x)min = h(.：e) = 212 e im的取值范圍是一X,2e 29. (2017 福建省質(zhì)檢已知函數(shù) f(x) = ax ln( x + 1) , g(x) = ex x 1.曲 線y = f(x)與y = g(x)在原點(diǎn)處的切線相同.(1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若x0時(shí)，g(x) kf (x)，求k的取值范圍.1解：因?yàn)?f(x) = a(x 1) , g (x) =

15、ex 1 ,x + 1依題意，f (0) = g (0)，即 a 1 = 0，解得 a = 1 ,1 x所以 f (x) = 1 =,x + 1 x + 1當(dāng)一1 v x v 0 時(shí)，f (x) v 0 ；當(dāng) x 0 時(shí)，f(x) 0 .故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+X).(2)由(1)知，當(dāng)x = 0時(shí)，f(x)取得最小值0 ,所以 f (x) 0，即 x n(x + 1)，從而 ex x + 1 .設(shè) F(x) = g(x) kf (x) = ex + kin( x + 1) (k + 1)x 1 ,kk則 F(x) = ex + (k + 1) x + 1

16、 + (k + 1),x + 1x + 11(i )當(dāng)k = 1時(shí)，因?yàn)閤 ，所以F(x) x + 1 + 2 0(當(dāng)且僅當(dāng)x = 0x + 1時(shí)等號(hào)成立)，此時(shí)F(x)在0，+x)上單調(diào)遞增，從而 F(x) F(0) = 0，即 g(x) kf (x).(ii)當(dāng) k v 1 時(shí)，因?yàn)?f(x) 0，所以 f(x) kf (x).由(i )知 g(x) f(x) ，所以 g(x) (x) kf (x),故 g(x) kf (x).k(iii)當(dāng) k 1 時(shí)，令 h(x) = ex + (k + 1),x + 1k貝U h (x) = ex 2,顯然h (X)在0 ,+)上單調(diào)遞增，又 h 0) = 1