吉林省長(zhǎng)市普通高中高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（四）文科數(shù)學(xué)試題及答案

1、長(zhǎng)春市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（四）數(shù)學(xué)(文科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘，其中第卷22題24題為選考題，其它題為必考題.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1 答題前，考生必須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2 選擇題必須用2b鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚.3 請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.4 保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.第卷一、選擇題（本大題包

2、括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上）.1. 設(shè)全集，函數(shù)的定義域?yàn)?，則為a. b. c. d. 2. 復(fù)數(shù)滿足，則 a. 1b. c. 2d. 3. 設(shè)、是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，以下命題：若，則；若，則；若，則；若，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是a. 1 b. 2c. 3d. 44. 如圖是秦九韶算法的一個(gè)程序框圖，則輸出的為a. 的值b. 的值c. 的值d. 的值5. 已知、取值如下表：014568135678從所得的散點(diǎn)圖分析可知：與線性相關(guān)，且，則a. 0.95b. 1.00c. 1.10d. 1.156. 已知

3、：“函數(shù)為偶函數(shù)”是：“函數(shù)為偶函數(shù)”的a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件7. 如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為a. b. c. d. 8. 在中，角的對(duì)邊分別是，若，則a. b. c. d. 9. 函數(shù)的大致圖象為a. b. c. d.10. 若等差數(shù)列前項(xiàng)和有最大值，且，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為a. 10b. 11c. 12d. 1311. 已知滿足，且的最大值是，最小值是，若 (均為正實(shí)數(shù))，則的最小值為a. 4b. c. 8d. 912. 已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，若，且的最小內(nèi)角為，則雙曲線的離心率是a. b. c.

4、d. 第卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22題24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上).13. 已知向量，且，則的最小值為_(kāi).14. 已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，將的圖象向左平移個(gè)單位后與的圖象重合，則的最小值為_(kāi). 15. 給出下列5種說(shuō)法：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等；標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)也越小；回歸分析研究的是兩個(gè)相關(guān)事件的獨(dú)立性；在回歸分析中，預(yù)報(bào)變量是由解釋變量和隨機(jī)誤差共同確定的；相關(guān)指數(shù)是用來(lái)刻畫(huà)回歸效果的，的值越大，說(shuō)明

5、殘差平方和越小，回歸模型的擬合效果越好. 其中說(shuō)法正確的是_（請(qǐng)將正確說(shuō)法的序號(hào)寫(xiě)在橫線上）.16. 如圖，在三棱錐中，與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且平面平面，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi).三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）.17. （本小題滿分12分）如圖，一山頂有一信號(hào)塔(所在的直線與地平面垂直)，在山腳處測(cè)得塔尖的仰角為沿傾斜角為的山坡向上前進(jìn)米后到達(dá)處，測(cè)得的仰角為.(1) 求的長(zhǎng)；(2) 若求信號(hào)塔的高度. 18. （本小題滿分12分）某城市隨機(jī)監(jiān)測(cè)一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量pm2.5的數(shù)據(jù)api，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：api天數(shù)6122230141

6、6(1) 若將api值低于150的天氣視為“好天”，并將頻率視為概率，根據(jù)上述表格，預(yù)測(cè)今年高考6月7日、8日兩天連續(xù)出現(xiàn)“好天”的概率；(2) api值對(duì)部分生產(chǎn)企業(yè)有著重大的影響，假設(shè)某企業(yè)的日利潤(rùn)與api值的函數(shù)關(guān)系為：（單位；萬(wàn)元），利用分層抽樣的方式從監(jiān)測(cè)的100天中選出5天，再?gòu)倪@5天中任取3天計(jì)算企業(yè)利潤(rùn)之和，求利潤(rùn)之和小于80萬(wàn)元的概率. 19. （本小題滿分12分）在三棱柱中，側(cè)棱平面，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.(1) 求證：平面；(2) 求點(diǎn)到平面的距離. 20. （本小題滿分12分）已知點(diǎn)，點(diǎn)為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且.(1) 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方

7、程；(2) 過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于點(diǎn)兩點(diǎn)，在處分別作軌跡的切線交于點(diǎn)，求證：為定值. 21. （本小題滿分12分） 已知函數(shù). (1) 若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；(2) 如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. （本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講. 如圖是圓的一條弦，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，作，與該圓交于點(diǎn)，若，. (1) 求圓的半徑；(2) 若點(diǎn)為中點(diǎn)，求證三點(diǎn)共線. 23. （本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建

8、立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1) 求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2) 求曲線上的任意一點(diǎn)到曲線的最小距離，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo). 24. （本小題滿分10分）選修45：不等式選講.設(shè)函數(shù). (1) 若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；(2) 在(1)條件下，若存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 長(zhǎng)春市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（四）數(shù)學(xué)(文科)參考答案及評(píng)分參考說(shuō)明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則. 二、對(duì)解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，

9、可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分. 三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù). 四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分. 一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1. a2. b3. a4. c5. c6. a7. c8. a9. a10. b11. b12. c 簡(jiǎn)答與提示：1. 【命題意圖】本小題主要考查集合的計(jì)算，是一道常規(guī)問(wèn)題.【試題解析】a，則故選a. 2. 【命題意圖】本小題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義.【試題解析】b根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由題意，可將看作夾角為的單位向

10、量，從而，故選b. 3. 【命題意圖】本小題主要考查空間線和面的位置關(guān)系，對(duì)于特殊位置要提示考生多加論證，多舉反例.【試題解析】a易知正確，故選a. 4. 【命題意圖】本小題主要通過(guò)程序框圖的理解考查學(xué)生的邏輯推理能力，同時(shí)考查學(xué)生對(duì)算法思想的理解與剖析，本題特殊利用秦九韶算法，使學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)中國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化.【試題解析】c由秦九韶算法，故選c. 5. 【命題意圖】本小題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)和應(yīng)用，對(duì)學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力提出一定要求.【試題解析】c由題意知，從而代入回歸方程有，故選c . 6. 【命題意圖】本小題主要借助條件邏輯的判定，考查函數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)復(fù)合函數(shù)奇偶性的判定等問(wèn)題

11、.【試題解析】a當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，可得，故是的充分條件；而當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，不能推出“為偶函數(shù)”成立，如，是偶函數(shù)，而不是偶函數(shù)，故選a. 7. 【命題意圖】本小題主要考查立體幾何中的三視圖問(wèn)題，并且對(duì)考生的空間想象能力及利用三視圖還原幾何體的能力進(jìn)行考查，同時(shí)考查簡(jiǎn)單幾何體的體積公式.【試題解析】c該幾何體可看成以正視圖為底面，4為高的棱柱與半圓柱的組合體，從而其體積為，故選c. 8. 【命題意圖】本小題主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，對(duì)學(xué)生的推理論證能力和數(shù)形結(jié)合思想提出一定要求.【試題解析】a由正弦定理得，再由余弦定理可得，故選a. 9. 【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)對(duì)函數(shù)

12、圖像的影響，并通過(guò)對(duì)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷函數(shù)的圖像等問(wèn)題.【試題解析】a判斷函數(shù)為奇函數(shù)，排除；又由于當(dāng)時(shí)，的增加速度快，故選a. 10. 【命題意圖】b本小題主要考查對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)以及變化規(guī)律的理解，還包括前項(xiàng)和的理解，理解等差數(shù)列性質(zhì)以及特點(diǎn)的學(xué)生解決此類問(wèn)題會(huì)比較容易.【試題解析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，可知，再由，知，從而使取最大值的，故選b. 11. 【命題意圖】本小題是線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，對(duì)可行域的求取、對(duì)目標(biāo)函數(shù)的理解都是考生必須掌握的基本技能，而且本題另外的一個(gè)重要考點(diǎn)是基本不等式的應(yīng)用，此類問(wèn)題也是非常典型的常規(guī)問(wèn)題. 【試題解析】b由題可求得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故選

13、b. 12. 【命題意圖】本小題主要考查雙曲線的定義，雙曲線離心率的運(yùn)算，對(duì)考生的運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合能力提出較高要求.【試題解析】c不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支，分別為左，右焦點(diǎn)，有，由，可得，由知，的最小內(nèi)角為，從而為直角三角形，此時(shí)雙曲線離心率，故選c. 二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分)13. 314. 15. 16. 簡(jiǎn)答與提示：13. 【命題意圖】本小題是向量的簡(jiǎn)單應(yīng)用，對(duì)向量計(jì)算的掌握是考生必須掌握的基本技能.【試題解析】由得，故的最小值為3. 14. 【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱，圖像的平移以及三角函數(shù)最值的求取，屬于基本試題.【試題解析】函數(shù)的解析式為

14、，其圖象向左平移個(gè)單位后對(duì)應(yīng)解析式為，從而，即，所以. 15. 【命題意圖】本小題通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)基本定義問(wèn)題考查學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想，是一道中檔難度的綜合試題. 【試題解析】由統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)定義可知，的說(shuō)法正確. 16. 【命題意圖】本小題主要考查球的內(nèi)接幾何體的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題，對(duì)考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題，屬于較難題. 【試題解析】取中點(diǎn)分別為，連接，由題意知，易知三棱錐的外接球球心在線段上，連接，有，求得，所以其表面積為. 三、解答題17. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查利用解三角形的思想解決實(shí)際問(wèn)題，對(duì)考生的抽象概括能力和運(yùn)算求

15、解能力，化歸與轉(zhuǎn)化能力提出一定要求.【試題解析】解：(1) 在中，由正弦定理，. (6分)(2) 由(1)及條件知，由正弦定理得，. (12分)18. 【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)，其中包括概率的求法、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望以及方差. 本題主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力.【試題解析】解：(1) 根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)出現(xiàn)好天的概率為0.4，則連續(xù)兩天出現(xiàn)“好天”的概率為.(6分)(2) 利用分層抽樣后利潤(rùn)等于40萬(wàn)元的天數(shù)為2，并設(shè)為，利潤(rùn)等于15萬(wàn)元的天數(shù)為3，并設(shè)為，從中取出3天的結(jié)果可能有以下10種：、. 其中、共7種利潤(rùn)之和不足80萬(wàn)元. 因此利潤(rùn)值和小于80萬(wàn)元的

16、概率為. (12分)19. 【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到線面的平行關(guān)系、空間點(diǎn)面距離的求法. 本小題對(duì)考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力有較高要求.【試題解析】解：(1) 證明：由，可知，.(6分)(2) 由題可知.則中，則，則. (12分)20. 【命題意圖】本小題主要考查拋物線的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求取，直線與圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)以及圓錐曲線中定值的求取. 本小題對(duì)考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解能力都有很高要求.【試題解析】解(1) 設(shè)，則，有，從而由題意得.(4分)(2) 證明：設(shè)點(diǎn)為軌跡上一點(diǎn)，直線為軌跡的切線，有，消去

17、得，其判別式，解得，有 *設(shè)，聯(lián)立有消去得，有，根據(jù)*式有，解得，從而，為定值. (12分)21. 【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來(lái)描述函數(shù)的極值等情況. 本小題主要考查考生分類討論思想的應(yīng)用，對(duì)考生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解有較高要求.【試題解析】解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，得；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減. 所以，為極大值點(diǎn)，所以，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.(6分)(2)當(dāng)時(shí)，令，則.再令，則，所以，所以，所以為單調(diào)增函數(shù)，所以，故.(12分)22. 【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到圓的切線的性質(zhì)，切割線定理等內(nèi)容. 本小題重點(diǎn)考查考生對(duì)平面幾何推理能力. 【試題解析】解： (1) 取中點(diǎn)為，連結(jié)，由題意知，為圓的切線，為割線，由，在中，由勾股定理得，. (5分)(2) 由(1)知，所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以與交于點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線. (10分)23. 【命題意圖】本小題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、平面內(nèi)直線與曲線的位置關(guān)系、利用三角