正交試驗(yàn)的方差分析

1、正交試驗(yàn)的方差分析 方志光 2009-4-26 第一節(jié)：正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟 第二節(jié)：3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 第三節(jié)：2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 第四節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析 第五節(jié)：擬水平法的方差分析 第六節(jié)：重復(fù)試驗(yàn)的方差分析 正交試驗(yàn)的方差分析 計(jì)算離差的平方和: 設(shè)用正交表安排m個(gè)因素的試驗(yàn)，試驗(yàn)總次數(shù)為n, 試驗(yàn)的結(jié)果分別 為x1, x2, , xn. 假定每個(gè)因素有na個(gè)水平，每個(gè)水平做a次試驗(yàn)， 則 n = ana. 第一節(jié)： 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟 1) 總離差的平方和ST 記 記為 其中 ST反映了試驗(yàn)結(jié)果的總差異，它越大，說明各次試驗(yàn)的結(jié)果之間的 差異越大。試驗(yàn)結(jié)果之

2、所以有差異，一是由因素水平的變化所引起 的，二是因?yàn)橛性囼?yàn)誤差。 第一節(jié)： 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟 n k k x n x 1 1 2 11 2 1 2 )( 1 )( n k k n k k n k kT x n xxxS PQS TT n k kT xQ 1 22 1 )( 1 n k k x n P 2) 各因素離差的平方和 以因素A的離差的平方和SA為例來說明。用xij表示因素A的第 i 個(gè)水平 的 第 j 個(gè) 試驗(yàn)的結(jié)果 (i = 1, 2, , na; j = 1, 2, , a)， 則有 由單因素的方差分析 記為 其中 Ki 表示因素的第i 個(gè)水平a次試驗(yàn)結(jié)果的和。 SA 反映了

3、因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。 用同樣的方法可以計(jì)算其它因素和交互作用的離差平方和。 如果交互作用占兩列， 則交互作用的離差的平方和等于這兩列的離差的平方和之和。 比如 SAxB = S(AxB)1 + S(AxB)2 第一節(jié)： 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟 a n i n k k a j ij xx 111 2 11 2 11 2 11 2 )( 11 )( 1 )( 1 n k k n i i n i n i a j ij a j ijA x n K a x n x a S aaa PQS AA a n i iA K a Q 1 2 1 a j iji xK 1 3) 試驗(yàn)誤差的離差的平方和SE 設(shè)S

4、因+交為所有因素以及要考慮的交互作用的離差的平方和， 因?yàn)?ST = S因+交 + SE, 所以 SE = ST - S因+交 計(jì)算自由度: 試驗(yàn)的總自由度 f總 = 試驗(yàn)總次數(shù) - 1 = n - 1 各因素的自由度 f因 = 因素的水平數(shù) - 1 = na - 1 兩因素交互作用的自由度等于兩因素的自由度之積fAxB = fA X fB 試驗(yàn)誤差的自由度fE = f總 - f因+交 第一節(jié)： 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟 計(jì)算平均離差平方和(均方): 在計(jì)算各因素離差平方和時(shí)，我們知道，它們都是若干項(xiàng)平方的和, 它們的大小與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此不能確切反映各因素的情況。為了消 除項(xiàng)數(shù)的影響，我們計(jì)算它

5、們的平均離差的平方和。 因素的平均離差平方和 = (因素離差的平方和)/因素的自由度 = S因/f因 試驗(yàn)誤差的平均離差平方和 = (試驗(yàn)誤差的離差的平方和)/試驗(yàn)誤差的自由度 = SE / fE 求F比: 將各因素的平均離差的平方和與誤差的平均離差平方和相比，得出F 值。這個(gè)比值的大小反映了各因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響程度的大小。 第一節(jié)： 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟 對(duì)因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn): 給出檢驗(yàn)水平，從F分布表中查出臨界值F(f因，fE)。將在“求 F 比”中算出的F值與該臨界值比較，若F F(f因，fE)，說明該因素對(duì) 試驗(yàn)結(jié)果的影響顯著，兩數(shù)差別越大，說明該因素的顯著性越大。 第一節(jié)： 正交設(shè)

6、計(jì)方差分析的步驟 第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 例1 (無交互作用): 磁鼓電機(jī)是彩色錄像機(jī)磁鼓組件的關(guān)鍵部件之一，按質(zhì)量要求其輸 出力矩應(yīng)大于210g.cm。某生產(chǎn)廠過去這項(xiàng)指標(biāo)的合格率較低，從 而希望通過試驗(yàn)找出好的條件，以提高磁鼓電機(jī)的輸出力矩。根據(jù) 工程技術(shù)人員的經(jīng)驗(yàn)，取試驗(yàn)因素和相應(yīng)水平如下表： 第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 解：(選用正交表L9(34) 表頭設(shè)計(jì)： 試驗(yàn)計(jì)劃與試驗(yàn)結(jié)果： 第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 詳細(xì)計(jì)算如下： 2 .116 2 .765278.302866310519 6 .427 9 .5686 6 .1421 3 .303294)3283

7、29273529308025( 3 1 7 .308553)260100430336235225( 3 1 3 .304288)252004352836308025( 3 1 78.302866)1651( 9 1 9 1 2 2 CBATE k kTT CC BB AA C B A SSSSS PyPQS PQS PQS PQS Q Q Q P 列方差分析表如下： 最佳條件的選擇： 對(duì)顯著因子應(yīng)取最好的水平 對(duì)不顯著因子的水平可以任意選取，在實(shí)際中通常從降低成本操作方 便等角度加以選擇 上面的例子中對(duì)因子A與B應(yīng)選擇A2B2，因子C可以任選，譬如為節(jié)約 材料可選擇C1 第二節(jié)： 3水平正交設(shè)

8、計(jì)的方差分析 第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 驗(yàn)證試驗(yàn)： 對(duì)A2B2C1進(jìn)行三次試驗(yàn)，結(jié)果為：234，240，220，平均值 為231.3. 此結(jié)果是滿意的 例2(有交互作用): 為提高某產(chǎn)品的產(chǎn)量，需要考慮3個(gè)因素：反應(yīng)溫度、反應(yīng)壓力和溶 液濃度。每個(gè)因素都取3個(gè)水平，具體數(shù)值見表。考慮因素之間的所 有一級(jí)交互作用，試進(jìn)行方差分析，找出最好的工藝條件。 第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 解：(選用正交表L27(313) 根據(jù)前面的公式作如下計(jì)算： 第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 22.375)23.3443.3398.32( 9 1 ,22.375)27.3404.3333.33(

9、 9 1 ,20.375)30.3313.3321.34( 9 1 ,33.375)04.3366.3494.32( 9 1 ,68.375)61.3473.3130.34( 9 1 ,89.375)93.3208.3263.35( 9 1 ,00.531)16.5921.3527.6( 9 1 ,29.376)88.3530.3146.33( 9 1 ,17.377)21.3370.3073.36( 9 1 ,13.375)64.100( 27 1 222 )( 222 )( 222 )( 222 )( 222 )( 222 )( 222 222 222 2 2 1 2 1 2 1 BXC

10、BXC AXC AXC AXB AXB C B A Q Q Q Q Q Q Q Q Q P 由此得出 類似地 最后計(jì)算總平方和，得出 第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 32. 12 ,87.155 ,17. 1 ,04. 2 2121 )()()()( PQQSSS PQS PQS PQS AXBAXBAXBAXBAXB CC BB AA 18. 02 28. 02 21 21 )()( )()( PQQS PQQS BXCBXCBXC AXCAXCAXC 34. 0( 20.16113.37533.536 33.536 ) 27 1 2 BXCAXCAXBCBAT TE TT k kT S

11、SSSSSS SSS PQS SxQ 交因 用公式計(jì)算自由度： 再用公式計(jì)算平均離差的平方和，然后計(jì)算F值，再與F分布表中查 出的相應(yīng)的臨界值F(f因，fE)比較，判斷各因素顯著性的大小。 通常，若F F0.01(f因，fE)，就稱該因素是高度顯著的，用兩個(gè)星號(hào)表 示；若F F0.05(f因，fE)，則稱該因素的影響是顯 著的，用一個(gè)星號(hào)表示；若FF0.05(f因，fE)，就稱該因素的影響是不 顯著的，不用星號(hào)表示。 第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 81826 ,261271 , 422 , 213 交因總 總 fff nf xfff fff E BXCAXCAXB CBA 第二節(jié)： 3水

12、平正交設(shè)計(jì)的方差分析 方差分析表： 通過F值與臨界值比較看出，因素A,B,C和交互作用AXB對(duì)試驗(yàn)的影響 都 是顯著的，從F值的大小看，因素C最顯著，以下依次為A，B，AXB 方差分析(2)： 由于這里的試驗(yàn)指標(biāo)是產(chǎn)品的產(chǎn)量，越大越好，所以最優(yōu)方案應(yīng)取 各因素中K的最大值所對(duì)應(yīng)的水平。因素A應(yīng)取第1水平，因素B應(yīng)取 第3水平，因素C應(yīng)取第3水平。交互作用AXB也是顯著的，但由 于AXB占兩列，直觀分析法有些困難，因此把A和B的各種組合的試 驗(yàn)結(jié)果對(duì)照起來分析。 從表中看出，當(dāng)A取第1水平、B取第3水平時(shí)，試驗(yàn)結(jié)果為13.17， 是所有結(jié)果中的最大值，因此可取A1B3，這與前面單獨(dú)考慮因素 A，

13、B時(shí)所得出的結(jié)果是一致的。于是，最優(yōu)方案就取A1B3C3. 第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 2水平正交設(shè)計(jì)，各因素離差平方和為： 因?yàn)?又 所以上式可簡(jiǎn)化為 這里2水平設(shè)計(jì)計(jì)算離差平方和的一般公式，同樣適用于交互作用。 第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 ,)( 11 2 1 2 1 2 n k k i i x n K a S因 na an 21 ,2 21 1 KKx n k k 2 21 )( 1 KK n S 因 例3: 某農(nóng)藥廠生產(chǎn)某種農(nóng)藥，指標(biāo)是農(nóng)藥的收率，顯然是越大越好。據(jù) 經(jīng)驗(yàn)知道，影響農(nóng)藥收率的因素有4個(gè)：反應(yīng)溫度A，反應(yīng)時(shí)間B， 原料配比C，真空度D。每個(gè)因素都是兩水平，

14、具體情況見表。要考 慮A，B的交互作用。試進(jìn)行方差分析。 第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 解：(選用正交表L8(27) 第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 這里 類似地 計(jì)算誤差平方和：SE=ST-(S因+S交) =146-(8+18+60.5+4.5+18)=5 第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 8)358366( 8 1 )( 8 1 146)724( 8 1 65668 8 22 21 2 2 8 1 2 KKS T xPQS A k kTT 50)372352( 8 1 ,5.4)365359( 8 1 ,5.60)373351( 8 1 ,18)356368( 8 1 2 2

15、2 2 AXB D C B S S S S 計(jì)算自由度: 計(jì)算均方值：由于各因素和交互作用AXB的自由度都是1，因此它們 的均方值與它們各自的平方和相等。只有誤差的均方為 計(jì)算F比： 第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 257)( , 1 , 112 718 交因 ffff fff ffff f TE BAAXB DCBA T 5 . 2 2 5 2 E E S MS 8 . 1 5 . 2 5 . 4 , 2 .24 5 . 2 5 .60 ,20 5 . 2 50 , 2 . 7 5 . 2 18 , 2 . 3 5 . 2 8 DC AXBB E A A FF FF MS MS F 方差

16、分析表： 第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 方差分析: 從方差分析表中F值的大小看出，各因素對(duì)試驗(yàn)影響大小的順序?yàn)?C，AXB，B，A，D。C影響最大，其次是交互作用AXB，D的 影響最小. 若各因素分別選取最優(yōu)條件應(yīng)當(dāng)是C2，B1，A1，D2. 但 考慮到交互作用AXB的影響較大，且它的第2水平為好，在C2， (AXB)2的情況下，有B1A2和B2A1，考慮到B的影響比A大，而B選 B1為好，當(dāng)然A只能選第2水平了。這樣最后確定下來的最優(yōu)方案 應(yīng)當(dāng)是A2B1C2D2。 這個(gè)方案不在正交表的9個(gè)試驗(yàn)中，可以按此 進(jìn)行試驗(yàn)，比較一下結(jié)果。 第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 在SAE的應(yīng)用實(shí)例

17、-1 混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析，本質(zhì)上與一般水平數(shù)相等正交設(shè)計(jì)的 方差分析相同，只要在計(jì)算時(shí)注意到各水平數(shù)的差別就行了。 現(xiàn)以L8(4X24)混合型正交表為例： 總離差平方和為 因素偏差平方和有兩種情況： 2水平因素： 4水平因素： 第四節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析 2 8 1 8 1 2 )( 8 1 k k k kTT xxPQS 2 21 )( 8 1 KKS 2 8 1 2 4 2 3 2 2 2 1 )( 8 1 )( 2 1 k k xKKKKS 例4: 某鋼廠生產(chǎn)一種合金，為便于校直冷拉，需要進(jìn)行一次退火熱處理, 以降低合金的硬度。根據(jù)冷加工變形量，在該合金技術(shù)要求范圍內(nèi), 硬度

18、越低越好。試驗(yàn)的目的是尋求降低硬度的退火工藝參數(shù)?？疾?的指標(biāo)是洛氏硬度(HR)，經(jīng)分析研究，要考慮的因素有3個(gè)： 退火 溫度A，保溫時(shí)間B，冷卻介質(zhì)C。 第四節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析 解： 第四節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析 625.1 ,500.0)10.12410.126( 8 1 ,125.1)60.12660.123( 8 1 ,18.0)70.12550.124( 8 1 ,645.2)80.12240.127( 8 1 )( 8 1 ,445.0005.7825)89.400684.386841.385676.3918( 2 1 )( 2 1 ,895.4 ,005.7825)

19、04.62600( 8 1 8 ,20.250,90.7829 54 2 5 2 4 2 22 21 2 4 2 3 2 2 2 1 2 8 1 8 1 2 SSS S S S KKS PKKKKS PQS T P xTxQ E C B A TT k k k kT 方差分析表： 從F值和臨界值的比較看出，各因素均無顯著影響，相對(duì)來說，B的 影響大些。為提高分析精度，我們只考慮因素B，把因素A，C都并 入誤差。這樣一來，SE就變成 SA + SC + S4 + S5 = 0.445 + 0.18 + 1.125 + 0.500 = 2.250， 再列方差分析表。 第四節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析

20、 方差分析表(2)： 臨界值 F0.05(1，6) = 5.99, F0.01(1, 6) = 13.75 從F值和臨界值的比較來看，因素B就是顯著性因素了。 因素影響從大到小的順序?yàn)锽CA，選定的最優(yōu)方案應(yīng)為A2B2C1 第四節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析 例5: 鋼片在鍍鋅前要用酸洗的方法除銹。為了提高除銹效率，縮短酸洗 時(shí)間，先安排酸洗試驗(yàn)。考察指標(biāo)是酸洗時(shí)間。在除銹效果達(dá)到要 求的情況下，酸洗時(shí)間越短越好。要考慮的因素及其水平如表： 選取正交表L9(34)，將因素C虛擬1個(gè)水平。據(jù)經(jīng)驗(yàn)知，海鷗牌比 OP牌的效果好，故虛擬第2水平并安排在第1列。 第五節(jié)：擬水平法的方差分析 解： 虛擬水平

21、的因素C的第1水平重復(fù)3次，第二水平重復(fù)6次。因此，離 差平方和為： 其余因素的離差平方和為 誤差的離差平方和為： 第五節(jié)：擬水平法的方差分析 54662416787 6241)56169( 9 1 9 237,6787 2 9 1 9 1 2 PQS T P xTxQ TT k k k kT 5 .406241)22201( 6 1 )7744( 3 1 963 22 2 2 1 TKK SC 67.4026241)3721476111449( 3 1 786241)490082815776( 3 1 67.206241)608472255476( 3 1 9 )( 3 1 2 2 3 2

22、2 2 1 D A B S S T KKKS 16. 4)( DABCTE SSSSSS 方差分析表： 從F值和臨界值比較看出，各因素均無顯著影響，相對(duì)來說，因素D 的影響大些。我們把影響最小的因素B并入誤差，使得新的誤差平方 和為SE= SE + SB，再列方差分析表 第五節(jié)：擬水平法的方差分析 方差分析表(2)： 由此看出，因素D有顯著影響，因素A，B均無顯著影響。因素重要 性的順序?yàn)镈CAB，最優(yōu)方案為A3B1C2D3. 第五節(jié)：擬水平法的方差分析 重復(fù)試驗(yàn)就是對(duì)每個(gè)試驗(yàn)號(hào)重復(fù)多次，這樣能很好地估計(jì)試驗(yàn)誤差， 它的方差分析與無重復(fù)試驗(yàn)基本相同。但要注意幾點(diǎn)： (1) 計(jì)算K1，K2， 時(shí)，要用各號(hào)試驗(yàn)重復(fù)n次的數(shù)據(jù)之和； (2) 計(jì)算離差平方和時(shí)，公式中的“水平重復(fù)數(shù)”要改為“水平重復(fù)數(shù) 與 重復(fù)試驗(yàn)數(shù)之積”； (3) 總體誤差的離差平方和SE由兩部分