2020浙江省寧波市六校高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2019-2020學(xué)年浙江省寧波市六校高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1 .命題p： a= 2是命題q : 直線ax+3y - 1=0與直線6x+4y - 3=0垂直”成立的（）a .充要條件b .充分非必要條件c.必要非充分條件d.既不充分也不必要條件【答案】a【解析】試題分析：根據(jù)直線垂直的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判 斷即可.解：若 直線ax+3y 1=0與直線6x+4y 3=0垂直”，貝u 6a+3x4=0,解得a= - 2,故p是q成立的充要條件，故選a【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.22.已知雙曲線c : l1621,雙曲線c的離心率為（ 9d.b.4u

2、 3【答案】d【解析】 利用已知條件，求解 a、c,即可得出雙曲線的離心率 【詳解】22雙曲線c : y 1,可得a 4, c 班6 9 5 ,169 c 5所以雙曲線的離心率為：e -.a 4故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的離心率，一般計(jì)算出a、b、-的值或者通過(guò)三者之間的等量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3 .設(shè) 、 是三個(gè)不重合的平面，m、n是兩條不重合的直線，則下列說(shuō)法正確的是（）a.若b.若m ,則 m/第3頁(yè)共16頁(yè)c .若 m , m ，則 /d.若 m/ , n/,則 m/n【答案】c【解析】根據(jù)空間中線面平行或垂直的判定定理與性質(zhì)定理逐一判斷每

3、個(gè)選項(xiàng)即可對(duì)于a,若，則或與相交，即a錯(cuò)誤;對(duì)于b,若m/ ，則m或m 或m與相交，即b錯(cuò)誤;/ ，即c正確;對(duì)于c,若m, m ,由線面垂直的性質(zhì)定理可知,則m/n或m與n相交或異面，即 d錯(cuò)誤.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系和面面位置關(guān)系的判斷，一般結(jié)合空間中平行、垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，或者利用常見(jiàn)的幾何體模型進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4 .命題p: a 1”是命題q：函數(shù)f x ax cosx在r上是單調(diào)遞增”成立的( )a .充要條件b .充分不必要條件c .必要不充分條件d .既不充分也不必要條件【答案】b【解析】利用導(dǎo)數(shù)法求出f x ax cosx為r

4、上的增函數(shù)等價(jià)命題，進(jìn)而根據(jù)集合的包含關(guān)系即可判斷.【詳解】q f x ax cosx, f x a sinx,若函數(shù)y f x在r上單調(diào)遞增，則f x 0在r上恒成立，即a sin x max 1.由于 a a 1 a a 1 ,故命題p: a 1”是命題q:函數(shù)f x ax cosx在r上是單調(diào)遞增”成立的充分不必要條件，故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，同時(shí)也考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題5 .過(guò)點(diǎn)2,1且傾斜角比直線 y x 1的傾斜角小一的直線方程是（）4a. x 2b. y 1c. x 1d. y

5、2【答案】a【解析】 先由題意求出直線的傾斜角，再根據(jù)此直線過(guò)點(diǎn) 2,1 ,可得它的方程.【詳解】3直線y x 1的斜率為 1,傾斜角為 一，故比它的傾斜角小 一的直線的傾斜角為442再根據(jù)此直線過(guò)點(diǎn)2,1 ,故要求的直線的方程為 x 2.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求解，涉及直線的傾斜角的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題6.直線y kx 3與圓x 3y 2 2 4相交于m、n兩點(diǎn)，若mn 2j3,則k的取值范圍是（）b.4，0c.d.【解析】 根據(jù)mn 2由，由弦長(zhǎng)公式得，圓心到直線的距離小于或等于得關(guān)于k的不等式，即可求得結(jié)論q mn2框,設(shè)圓心到直線y kx3的距離為d,則d j4

6、1mn1,3 .一 3k -0,解得一k 0.44故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查利用弦長(zhǎng)求直線斜率的取值范圍,般轉(zhuǎn)化為弦心距進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題7,已知實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)zx 2y 3的最小值x 1x3ay4a.3 為3,則正實(shí)數(shù)a的值為(2a. 4b. 3c. 2d. 1【解析】作出不等式組所表示的可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用直線斜率的幾第5頁(yè)共i6頁(yè)何意義以及數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可目標(biāo)函數(shù)x 2y 3x 1則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)d( 1, 1)連線的斜率,若目標(biāo)函數(shù)zx 2y 3一，3的最小值為22k的最小值是3 ,21“即k的最小值是作出不等

7、式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:0 11由斜率的意義知過(guò) d的直線經(jīng)過(guò)b 3a,0時(shí)，直線的斜率k最小，此時(shí)k 一，3a 1 4故選：d.解題時(shí)要結(jié)合非線性目標(biāo)函數(shù)本題考查利用線性規(guī)劃中非線性目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù),的幾何意義尋找最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題 8 .直三棱柱abc arg中，若 bac 90 , ab ac aa ,則異面直線ba與aci所成的角等于a. 30b. 45c. 60d. 90【答案】c【解析】【詳解】本試題主要考查異面直線所成的角問(wèn)題，考查空間想象與計(jì)算能力.延長(zhǎng)biai到e,使aie=aibi,連結(jié)ae, eci,則ae/a1b, / eaci或其補(bǔ)角即為所

8、求，由已知條件可得 aeci為正三角形，ecib為60o ,故選c.i29 .曲線y e2x在點(diǎn)（4,e ）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為a. 9e2b. 4e2c. 2e2d. e22【答案】diix【解析】因?yàn)榍€v e2x,所以yle2切線過(guò)點(diǎn)（4, e2）y e2f （x） |x=4= e2,2，切線方程為：y-e2= e2 （x-4）, 2令y=0，得x=2 ,與x軸的交點(diǎn)為：（2, 0）,令x=0, y=-e2,與y軸的交點(diǎn)為：（0, -e2）,ii曲線q2x在點(diǎn)（4, e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積s=- x2m-e2|=e2y e2故選d.一 222-22210 .

9、兩圓x y 2ax a 4 0和x y 4by i 4b0恰有二條公切線，若i ia r, b r且ab 0 ,則一2 2的最小值為（）b. 3c.d.【答案】a【解析】試題分析：由題意得兩圓（xa）2y24與x2（y2b）2yi相外切，即ja2 4b22 i a2 4b29，所以221(11)(a 4b ) 12 (22)5b2a2 b2992 a b21-5 2 941b 1，當(dāng)且僅 a22. 2當(dāng)a2=q時(shí)取等號(hào)，所以選a.b a【考點(diǎn)】?jī)蓤A位置關(guān)系，基本不等式求最值【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中 芷”（即條件要求中字母為正數(shù)）、

10、定”（不等式的另一邊必須為定值）等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤二、填空題11 .若直線l1：x 2y 5 0和l2：mx y 5 0平行，則 m的值為;這兩條平行線i與12之間的距離為.1 -【答案】-52【解析】由題意利用兩條直線平行的等價(jià)條件求得m的值，再利用兩條平行直線間的距離公式，求出平行線11與12之間的距離.【詳解】一 一m 15.1q直線11 : x 2y 5 0和l2 : mx y 5 0平行， ,求得m 一 .1252故 l2：mx y 5 0,即 x 2y 10 0 ,10 5 廠故兩條平行線l1與12之間的距離為 i5 ,j 41 -故答案為：一；無(wú)

11、.2 5【點(diǎn)睛】本題考查利用兩直線平行求參數(shù)，同時(shí)也考查了平行線間距離的計(jì)算， 考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12 .過(guò)點(diǎn)p 1,石 作圓x2 y2 1的兩條切線，切點(diǎn)分別為 a、b,則直線ab的方工口 ,uuu uuu程為； pa pb 【答案】x 、.3y 1 032【解析】求出pa的長(zhǎng)，求出p為圓心，pa為半徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦 ab的方程；求出pa、pb的長(zhǎng)以及夾角即可求解數(shù)量積【詳解】22圓x y 1的圓心為o 0,0 ,半徑為1,pa jop12/點(diǎn) 2 1 展，以p1,j3為圓心，|pa為半徑的圓的方程為x 1 2 y j3 2 3,將兩圓的方程相減可得公共弦

12、ab的方程x j3y 1 0 ,q op 2, oa 1, ?oap 90， opa 30o,則 apb 600,uuu uuu uur uuu3pa pb pa pb cos600 -.3故答案為：x j3y 1 0;.2【點(diǎn)睛】本題考查切點(diǎn)弦方程的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用定義計(jì)算平面向量的數(shù)量積，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2x y 2 013 .已知實(shí)數(shù)x、y滿足x 2y 4 0,則j x 1 29的最大值是,3x y 3 0最小值是.【答案】3 2l55【解析】 設(shè)z j x 1 2 y2 ,則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)x,y到定點(diǎn) 1,0的距離，結(jié)合圖象即可求最大值和最小值.s【詳解】作出

13、不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖第7頁(yè)共16頁(yè)2x y 2 0,解得b 0,2 ,同理解得c 1,02y 4 0a 2,3 .22第9頁(yè)共16頁(yè)y2 ,則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)x, y到定點(diǎn)d 1,0的距離,由圖象知ad的距離最大，此時(shí)22z22 1329 18,所以 z 3y/2d到直線bc的距離最小，此時(shí)d到直線2x0的距離22 1故答案為：3后；迪5本題考查線性規(guī)劃中非線性目標(biāo)函數(shù)最值的求解,解題時(shí)要結(jié)合非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義尋找最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題,則該三棱錐14 . 一個(gè)三棱錐的正視圖和側(cè)視圖及其尺寸如圖所示（均為直角三角形）的表面積為正視圖，該三棱錐的體積為【解

14、析】由三視圖還原幾何體，求出各棱長(zhǎng)，進(jìn)而求得表面積及體積由正視圖和側(cè)視圖可知，該三棱錐如圖所示,p且ab2, ac 1,abac,pa平面則 s abc1 -211s pac3 s八，s pab1- 2 3 3, 2pc 710,pb a, bc 卮第17頁(yè)共16頁(yè)由余弦定理得cos bcpbc2 pc2 pb22 52bc pc 10sin bcp .1 cos2 bcp7,210c1r 7s pbc bc pc sin bcp , 2237.，1所以，該三棱錐的表面積為s表1 3 9,體積為 v = 1 3 1.223故答案為：9; 1.本題考查利用三視圖求幾何體的體積,解答的關(guān)鍵在于結(jié)合

15、三視圖還原幾何體，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.lnx 15 .函數(shù)y 的單調(diào)增區(qū)間是 x【答案】(0 , e)【解析】函數(shù)的定義域?yàn)榍蠼獠坏仁統(tǒng) 0可得:e,則函數(shù)ylnx的單調(diào)增區(qū)間是x0, e .16.在直角坐標(biāo)系平面內(nèi)，動(dòng)直線l : ax0與動(dòng)直線m:x ay 30相交于點(diǎn)m ,則點(diǎn)m的軌跡方程是23【答案】x 3【解析】由動(dòng)直線l: ax2y 1 0過(guò)點(diǎn)a 0,1 ,動(dòng)直線m: x ay 3 0過(guò)點(diǎn)b 3,0 ,且兩直線垂直，故兩直線的交點(diǎn)m是在以ab為直徑的圓上，即可求得點(diǎn)m的軌跡方程【詳解】 動(dòng)直線l : ax y 1 0過(guò)定點(diǎn)a 0,1 ,動(dòng)直線m: x ay 3 0過(guò)定點(diǎn)b 3,

16、0 ,且兩直線垂直,故兩直線的交點(diǎn) m是在以ab為直徑的圓上,3 1,因?yàn)榫€段ab的中點(diǎn)為 -,-,ab 聞, 2 222故以ab為直徑的圓的方程為 x by -5222故答案為:本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解,求出兩直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo),以及根據(jù)兩直線垂直得出點(diǎn)m的位置是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題2217.設(shè)直線x 3y m 0 m 0與雙曲線與41 a o,b 0的兩條漸近線分 a2 b2別交于點(diǎn)a, b ,若點(diǎn)p m,0滿足papb ,則該雙曲線的離心率是【答案】【解析】x 3y或2試題分析：由雙曲線的方程可知，漸近線方程為 y bx,分別與aam bm 、 am bm

17、、m 0 m 0 聯(lián)立，解得 a( , ), b(,),所以a 3b a 3b a 3b a 3bab中點(diǎn)的坐標(biāo)為(ma 2, 3mb 2), 因?yàn)辄c(diǎn) p(m，0)滿足 pa9b a 9b apb ,所以3mb2.209b ama222 m9b a3,所以a 2b,所以c j5b ,所以e - a 2【考點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì).【方法點(diǎn)晴】 本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，其中解答中涉及到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，直線與雙曲線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力， 本題的解得中用雙曲線的漸近線與已知直線方程聯(lián)立，求解點(diǎn)a,b的坐

18、標(biāo)是解答的關(guān)鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題.三、解答題x2218.已知橢圓2 y 1 aa直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)p 0,g交橢圓于a、b兩點(diǎn)，當(dāng)l平行于x軸時(shí)，ab 2.(1)求橢圓方程;(2)當(dāng)直線l的傾斜角一時(shí)，求ab . 4程;(1)(1)根據(jù)題意,1 ; (2) ab2.103求得a和b的橫坐標(biāo)，由ab2得a的值，即可求得橢圓方(2)求得直線 ab的方程，代入橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求得(1)當(dāng)l平行于x軸時(shí)，|ab 2,所以y/時(shí),即xa.2a2xb匕，所以ab2j2a 2,所以2橢圓的方程：x2(2)因?yàn)橹本€l的斜率為所以直線 ab的方程為y_22，設(shè) a x1，b x2,

19、y2 .聯(lián)立方程組j2，消去y,整理得3x2 2v2x10，則x1x2x1x2所以ab1 12 .1 x1x2 2 4x1x2、 2所以ab2.103本題考查橢圓方程的求解,同時(shí)也考查了直線截橢圓所得弦長(zhǎng)的計(jì)算,涉及韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題19.如圖所示，四棱錐p-abcd的底面為正方形，側(cè)棱pal底面abcd,且pa=ad=2,e,f,h 分別是線段 pa,pd,ab的中點(diǎn).求證：pb/平面 efh;(2)求證:pdl平面 ahf.【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)見(jiàn)解析【解析】 證明：(1).e、h分別是pa、ab的中點(diǎn)，eh / pb.又eh?平面efh,pb?平面e

20、fh,pb/ 平面 efh.(2) .pa，平面 abcd, paxab.又ab ad,p/ah ad=a, . ab,底面 pad.又pd?平面 pad,ab pd.rta pad 中,pa=ad=2,f 為 pd 的中點(diǎn)， afxpd.又 afn ab=a,af ?平面 ahf,ab ?平面 ahf,pd,平面 ahf.20.已知函數(shù)f x2x323 m 1 x 6mx 10m m r(1)若m 0,求曲線yf x在x 1處的切線方程;(2)若m 0 ,且當(dāng)x1,3時(shí)，f x 0恒成立，求m的取值范圍【答案】(1)12x y 7 0；0,2【解析】(1)先對(duì)函數(shù)yf x求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的

21、幾何意義可求切線斜率，進(jìn)而可求切線方程;(2)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)y f x在區(qū)間 1,3上的最小值f x min ,求導(dǎo)后對(duì)實(shí)數(shù)m分m 3和0 m 3兩種情況討論，求出min ,然后解不等式即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.(1)當(dāng) m0 時(shí)，f x 2x3 3x26x26x,由題意可得,f 15,切線斜率k12,故曲線yx在x 1處的切線方程12 x7 0；(2) f x26x 6 m 1 x 6m若m 3,則對(duì)任意的x 1,3 ,1,3上單調(diào)遞減，則只要f 335m 81 0,解可得，m81一 3,不合題意，舍去;35若03,當(dāng) 1 x m時(shí)，f0,當(dāng) m x 3時(shí)，f x 0,故函數(shù)x在 1,

22、m上單調(diào)遞減,m,3上單調(diào)遞增,故只要3-2m 3m 10m 0,m 0 ,解得 0 m 2.綜上可得,的范圍為0,2 .本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為與函數(shù)最值相關(guān)的不等式求解，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用， 屬于中等題.21.如圖，在等腰梯形 pdcb 中，pb 3, dc 1, pd bc j2，ad pb ,將 pad沿ad折起，使平面 pad 平面abcd.(1)若m是側(cè)棱pb中點(diǎn)，求證：cm 平面pad;(2)求直線pb與平面pcd所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）典10【解析】（1）取pa的中點(diǎn)n ,連接mn、d

23、n ,證明四邊形 mndc為平行四邊形,可得出cm /dn ,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明cm 平面pad；（2）先利用面面垂直的性質(zhì)定理得出pa 平面abcd ,建立空間坐標(biāo)系，求出平面pcd的法向量，利用向量法即可求直線pb與平面pcd所成角的正弦值.(1)在梯形 pdcb 中，pb 3, dc1，pd bc 夜，ad pb ,ab 2, pa 1 , ad 1 ,取pa的中點(diǎn)n ,連接mn、dn ,則mn /ab/cd，且 mn cd 1 ,cm / 平面 pad ;則四邊形mndc為平行四邊形，cm /dn ,q cm 平面 pad , dn 平面 pad ,(2) pa ad ，

24、平面 pad 平面 abcd,面 pad i 面abcd ad , pa 面pad， pa 面 abcd,以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 ad、ab、ap分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖:,p則 a 0,0,0d 1,0,0b 0,2,00,0,1 , c1,1,0 ,uuu則 pb 0,2,luit1 , dc0,1,0 ，unndp1,0,1 ,r設(shè)平面pcd的法向量為nx, y,zv uuu/ v dc 則由 v uuvv dp1,0,1 ,設(shè)直線pb與平面pcd所成的角為則sinuuu r cos pb, n本題考查線面平行的證明,r uuu n pb r. uuu n pbv2 v5tie、1010同時(shí)也考查了利用空間向量法計(jì)算線面角的正弦值,考查推m,n ,過(guò)p作斜率為理能力與計(jì)算能力，屬于中等題22.已知拋物線c: y2 2 px焦點(diǎn)為f 2,0，且p m,0 , qk k 0的直線l交拋物線c于a、b兩點(diǎn).uuu uuur(1)若 m k 2 , qa qb 0,求 n ;uuu uur(2)若o為坐標(biāo)原點(diǎn)，m為定值，當(dāng)k變化時(shí)，始終有 0aob 0 ,求定值m的大小；(3)若k 1