正態(tài)分布隨機數(shù)生成算法

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程設計題目：正態(tài)分布隨機數(shù)生成算法要編程得到服從均勻分布的偽隨機數(shù)是容易的。c語言、java語言等都提供了相應的函數(shù)。但是要想生成服從正態(tài)分布的隨機數(shù)就沒那么容易了。得到服從正態(tài)分布的隨機數(shù)的基本思想是先得到服從均勻分布的隨機數(shù)，再將服從均勻分布的隨機數(shù)轉變?yōu)榉恼龖B(tài)分布。接下來就先分析三個從均勻分布到正態(tài)分布轉變的方 法。然后編程實現(xiàn)其中的兩個方法并對程序實現(xiàn)運作的效果進行統(tǒng)計分析。1、方法分析(1) 利用分布函數(shù)的反函數(shù)若要得到分布函數(shù)為 f(x)的隨機變量y?？闪顈 = f(u),其中u是服從均勻分布的隨機變量，有p(y 0(i =1,2|)，則對一切 xwr有21 1

2、 e)廣 1 二lim p l x xi -n x =1 -=e 2dtvvncr)2 -gcv21/.因此，對于服從均勻分布的隨機變量xi,只要n充分大，隨機變量xi-nn i、n 0.i m就服從n(0,1 )。我們將實現(xiàn)這一方法。(3) 使用box muller方法- -x2先證明廣ehdx=2n：2二令 i = j e 2 dx ,則i2200e 2 1.joo2:-=y-dx e 200dy =匚edxdy令 x = r cos9, y = r sin 8,則有r2i22二二干00e rdrdur2=2冗 krdr =2n。接下來再來得出 box muller方法:設(x,y )為一

3、對相互獨立的服從正態(tài)分布的隨機變量。則有概率密度函數(shù)1fxy x，y =ex2 y2,則r有分布函數(shù):r 10冗2 )令 x = rcos 工 y = rsin ，其中 i e 2 udud【-e 2 udu = 1 - e令 fr r =1 -e 2r = frz =2ln 1-z如果x服從均勻分布，則 r的分布函數(shù)即為 fr(r)。最后，可以ui用代替(1-z),令日為2叫2,其中uiu(0,1), u2(0,1),得:x =rcosu -、，-2ln u1 cos 2二u2 ,丫 =rsim -2-3 sin 2二u2從而，只需要有兩個服從均勻分布的隨機變量u1,u2,就能通過公式x =

4、rcos? -2lnu1 cos 2 ：u 2來得到一個服從正態(tài)分布的隨機變量x。用box muller方法來生成服從正態(tài)分布的隨機數(shù)是十分快捷方便的。我們也將實現(xiàn)這一方法。2、實現(xiàn)與分析(1)利用中心極限定理方法的實現(xiàn)與分析利用中心極限定理來生成隨機數(shù)的函數(shù)(c+語言)編寫如下:const int n = 200;double getrand() double s = 0;for ( int i = 0; i != n; +i) s += double (rand() % 1000) / 1000;return s; 函數(shù)生成的隨機數(shù)是n個0,1間服從均勻分布的隨機數(shù)的和。這里 n為200。

5、從而理論上產(chǎn)生的隨機數(shù)應近似服從n(nn,n2),其中n為n,即200, n為0.5,仃2為1/12。程序生成了 200個隨機數(shù)，并求出樣本均值與樣本方差，也即n與o 2的最大似然估計：/生成隨機數(shù)并存儲double sum, store200, xi, su = 0, sb = 0, ssb = 0;int cnt = 0;sum = 0;for ( int i = 0; i != 200; +i) xi = getrand();sum += xi; storei = xi; /得到樣本均勻與樣本方差su = sum / 200;for ( int i = 0; i != 200; +i)

6、sb += (storei - su) * (storei - su);sb /= 200;ssb = sqrt(sb);此次選取 y =90, y2 =92, =94, y4=96, y =98, y6 =100, y? =102, y8 =104,y9 =106,y10 =108,它們將實軸分成11個互不相交的區(qū)間，從而將樣本值分成11組。程序統(tǒng)計了每組中的樣本數(shù)量。為方便計算，程序還計算出了int segments12, m = 2;double x1 = 90, x10 = 108;memset(segments, 0, sizeof (segments);for ( int i =

7、0; i != 200; +i)if (storei x10)+segments10;else+segments int (storei - x1) / m + 1);cout i t ni endl;for ( int i = 0; i != 11; +i)cout i + 1 t segmentsi;if (i 10)cout t fixed setprecision(2) (90 + i * 2 - su) / ssb;cout endl;程序的最終運彳r輸出如圖2 1所示。樣本均值:993樣本方差二1678302kill1n i11-2.2625-1.7?315-1.29424-0.8

8、0529-0.316360.187378291.1591?1.641032.13114圖2 1最終輸出結果對結果的統(tǒng)計如表 2 1所示。由表21中可見 * =13.380 ,今k =11,m= 2,并令豆=0.05,則 %(k-m-1 尸405(8 )=15.507.由于 13.380 15.507,故可認為產(chǎn)生的 隨機數(shù)服從正態(tài)分布。表21 i(yi,yni?i2(n-200 ?)200 ?i1s9020.01190.0612(90,9220.02652.0553(92,94100.06010.0344(94,96120.11345.0295(96,98370.16640.4166(98,1

9、00460.20690.5167(100,102420.17401.4898(102,104230.12950.3259(104,106150.07460.00010(106,108100.03391.52911(108, f10.01661.62113.380利用中心極限定理的方法雖然可以得到服從正態(tài)分布的隨機數(shù)樣本，其思想也較為簡單，容易想到。但是這種方法每次都要先產(chǎn)生若干個服從均勻分布的隨機數(shù)樣本并求它們的 和，因而算法的時間復雜度高。(2)box muller方法的實現(xiàn)與分析使用box muller方法得到隨機數(shù)的函數(shù)如下：double getrand()double u1 = dou

10、ble (rand() % 10000) / 10000, u2 = double (rand() % 10000) / 10000, r;r = 20 + 5 * sqrt(-2.0 * (log(u1) / log(e) * cos(2 * pi * u2);return r;用此函數(shù)得到的隨機數(shù)樣本理論上服從n (20,25)。所實現(xiàn)的程序產(chǎn)生了500個隨機變量的樣本其他與利用中心極限定理的實現(xiàn)基本相同。程序得到的最終結果如圖2 2所示。樣本均值：200566 樣本方差：26.387milm 二 2i，1ni117-1.96211-1-57335-1,1944?-0.7?5580 .40

11、664-0.01?920.388610.7?9551.16103g1.551130圖2-2對結果的統(tǒng)計如表 2-2所示。表22 i(ynyjni?i- 2(n 500?)500?1s10170.02501.622(10,12110.03321.893(12,14350.06080.694(14,16470.09580.015(16,18580.12980.736(18,20640.15141.817(20, 22920.15203.368(22, 24610.13140.339(24, 26550.09860.6510(26, 28300.07241.0611(28,收300.06060.0012.19由表 2-2 可見 * =12.1 9 今 k=11,m = 2,并令 口=0.0,5 則 /(k-m-1 )=22.05 (8 ) =