機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)試卷B

1、一、填空題1 .組成優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的三要素是設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件212.、. 一2 .函數(shù)fxe xi2 x22 4/2 5在x0點(diǎn)處的梯度為，海賽矩陣403 .目標(biāo)函數(shù)是一項(xiàng)設(shè)計(jì)所追求的指標(biāo)的數(shù)學(xué)反映，因此對它最基本的要求是能用 來評價(jià)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣,同時(shí)必須是設(shè)計(jì)變量的可計(jì)算函數(shù)。4 .建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的基本原則是確切反映工程實(shí)際問題,的某礎(chǔ)上力求簡潔。5 .約束條件的尺度變換常稱 規(guī)格化,這是為改善數(shù)學(xué)模型性態(tài)常用的一種方法。6 .隨機(jī)方向法所用的步長一般按加速步長 法來確定,此法是指依次迭代的步長按一定的比例 遞增的方法。7 .最速下降法以_負(fù)梯度方向作為搜索方向,因此最速下

2、降法又稱為梯度法,其收斂速度較 jg。8 .二元函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的充分條件是f x。 0必要條件是該點(diǎn)處的海賽矩陣正定9 .拉格朗日乘子法的基本思想是通過增加變量將等式約束優(yōu)化問題變成 無約束優(yōu)化問題,這種方法又被稱為 此線 法。10改變復(fù)合形形狀的搜索方法主要有反射，擴(kuò)張，收縮，壓縮11坐標(biāo)輪換法的某本思想是把多變量 的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為 單變量 的優(yōu)化問題12 .在選擇約束條件時(shí)應(yīng)特別注意避免出現(xiàn)相互矛盾的約束，另外應(yīng)當(dāng)盡量減少不必要的約束 。13 .目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在 n+1, 一空間中描述出來.為了在 n維空間 中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等數(shù)面的

3、方法。14 .數(shù)學(xué)規(guī)劃法的迭代公式是 xk1 xk kdk .其核心是 建立搜索方向. 和 計(jì)算最佳15協(xié)調(diào)曲線法是用來解決設(shè)計(jì)目標(biāo)互相矛盾的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的。16.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般過程中，建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型是首要和關(guān)鍵的一步，它是取得正確結(jié)果的前提。二、名詞解釋1 .凸規(guī)劃對于約束優(yōu)化問題若f x、gj x (j 1,2,3, ,m)都為凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。2 .可行搜索方向是指當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值下降，且不會(huì)越出可行域。3 .設(shè)計(jì)空間：n個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間，它是所有設(shè)計(jì)方案的組合4 .可靠度5 .收斂性是指某種迭代程序產(chǎn)生的序列 xk k 0

4、,1, 收斂于limxk1 x k6 .非劣解：是指若有m個(gè)目標(biāo)fi x i 1,2 ,m ,當(dāng)要求m-1個(gè)目標(biāo)函數(shù)值不變壞時(shí)，找不到一個(gè)x,使得另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值fi x比fi x ,則將此x為非劣解。7 .黃金分割法：是指將一線段分成兩段的方法，使整段長與較長段的長度比值等于較長段與較短段 長度的比值。8 .可行域：滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)空間中的活動(dòng)范圍稱作可行域。9 .維修度略三、簡答題1 .什么是內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法？什么是外點(diǎn)懲罰函數(shù)法？他們適用的優(yōu)化問題是什么？在構(gòu)造懲罰函 數(shù)時(shí)，內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法和外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的懲罰因子的選取有何不同？1)內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法是將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行

5、域內(nèi)，序列迭代點(diǎn)在可行域內(nèi)逐步逼近約束邊界上 的最優(yōu)點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)法只能用來求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的懲罰因子是由大到小，且趨近于0的數(shù)列。相鄰兩次迭代的懲在可行域之外，序列迭代點(diǎn)從可行域之外逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。外點(diǎn)法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的懲罰因子，它是由小到大，且趨近于的數(shù)列。懲罰因子按下式遞增rk crk1(k 1,2,)，式中c為懲罰因子的遞增系數(shù)，通常取 c 5102 .共腕梯度法中，共腕方向和梯度之間的關(guān)系是怎樣的？試畫圖說明。.對于二次函數(shù)，f x 1xtgx btx c,從xk點(diǎn)出發(fā)，沿g的某一共腕方向dk作一維搜索，到

6、2達(dá)xk1點(diǎn)，則xk1點(diǎn)處的搜索方向dj應(yīng)滿足dj t gk1 gk 0,即終點(diǎn)xk1與始點(diǎn)xk的梯度之差gk1 gk與dk的共腕方向dj正交。3 .為什么說共腕梯度法實(shí)質(zhì)上是對最速下降法進(jìn)行的一種改進(jìn)？ 答：共腕梯度法是共腕方向法中的一種，在該方法中每一個(gè)共 腕向量都依賴于迭代點(diǎn)處的負(fù)梯度構(gòu)造出來的。共腕梯度法的 第一個(gè)搜索方向取負(fù)梯度方向，這是最速下降法。其余各步的 搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度，也就是對負(fù)梯度進(jìn)行修 正。所以共腕梯度法的實(shí)質(zhì)是對最速下降法的一種改進(jìn)。5 .算法的收斂準(zhǔn)則由哪些？試簡單說明。 略6 .優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型一般有哪幾部分組成？簡單說明。 略7 .簡述隨機(jī)方向法

7、的基本思路答：隨機(jī)方向法的基本思路是在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)的概率特性，產(chǎn)生若干個(gè)隨機(jī)方向，并從中選擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機(jī)方向作為可行搜索方向。從初始點(diǎn)出發(fā)，沿搜索方向以一定的步長進(jìn)行搜索，得到新的 x值，新點(diǎn)應(yīng)該滿足一定的條件，至此完成第一次迭代。然后將起始點(diǎn)移至x,重復(fù)以上過程，經(jīng)過若干次迭代計(jì)算后，最終取得約束最優(yōu)解。三、計(jì)算題1 .試用牛頓法求f x8x12 5x22的最優(yōu)解，設(shè)x010 10to初始點(diǎn)為x 010 10 t,則初始點(diǎn)處的函數(shù)值和梯度分別為f x01700f x016x1 4x24xi 10x2200 ,沿梯度方向進(jìn)行一維搜索，有1400為一維搜

8、索最佳步長，應(yīng)滿足極值必要條件01060000 0 59600 0從而算出一維搜索最佳步長05960010600000.0562264則第一次迭代設(shè)計(jì)點(diǎn)位置和函數(shù)值110x102001401.24528302.1283019f x124.4528302,從而完成第一次迭代。按上面的過程依次進(jìn)行下去,便可求得最優(yōu)解。2、試用黃金分割法求函數(shù)f20 一20的極小點(diǎn)和極小值，設(shè)搜索區(qū)向a,b 0.2,1 (迭代一次即可)解：顯然此時(shí)，搜索區(qū)間 a,b 0.2,1 ,首先插入兩點(diǎn)1和2,由式計(jì)算相應(yīng)插入點(diǎn)的函數(shù)值f 140.0626, f 229.4962 0因?yàn)閒 1 f 2 o所以消去區(qū)間a, 1

9、 ,得到新的搜索區(qū)間1，b ,即 1,b a,b 0.5056,1。第一次迭代：插入點(diǎn) 1 0.6944,2 0.5056 0.618(1 0.5056) 0.8111相應(yīng)插入點(diǎn)的函數(shù)值f 129.4962, f 225.4690,由于f 1 f 2 ,故消去所以消去區(qū)間a, 1 ,得到新的搜索區(qū)間1,b ,則形成新的搜索區(qū)間1,b a,b0.6944,1 o至此完成第一次迭代，繼續(xù)重復(fù)迭代過程，最終可得到極小點(diǎn)。3.用牛頓法求目標(biāo)函數(shù)f x16x12 25x2+5的極小點(diǎn)，設(shè)x 02 2 t。解：由x 0_ t2 2 ，則 f x%32x164f50x2100x22f2f2fx02x1x1 x22f2f320050,其逆矩陣為2fx01322x215010,-_1-因此可得：x1 x02f x0 f x0232 06402八11000050迭代序號