風花雪月數(shù)學之三十六計（一）

1、風花雪月數(shù)學之三十六計（一）數(shù)學是美麗的，學習數(shù)學的過程是一種智慧的享受，我們在提高學生的數(shù)學素質的過程中不能僅僅看重數(shù)學分數(shù)，也許今天我們的學生都可以考試得130，甚至140，150的高分，結果到了大學及更高層次學習空間時大都不選擇數(shù)學，更放棄了對數(shù)學的追求與探索，這也是我們這些數(shù)學老師不想看到的吧!下面還望我們老師們努力探索，積極引導，不僅提高學生的數(shù)學成績，更調(diào)動學生的數(shù)學興趣，培養(yǎng)更多的“數(shù)學”人才！楊振寧認為中國近代科技的落后主要原因是“數(shù)學”的落后！因此，從祖國發(fā)展的角度看，我們數(shù)學老師和學生身上有義不容辭的責任。盡管目前來看很多學生在社會，家長等因素的作用下都比較現(xiàn)實，很少有學生

2、愿意深入研究數(shù)學，但是我們不可否認，只要我們多灌輸，人才就會涌現(xiàn)！舉個簡單的例子：中國足球。我們承認中國足球水平不高，但我們更要承認我們足球土壤過于貧瘠，到底有多少人沒有真正踢過足球！也許我們可以有很多“馬拉多納”，可是這些“馬拉多納”可能一生都沒有踢過足球！而且我個人認為，盡管從某種角度看，數(shù)學是比較枯燥，嚴謹，辛苦的；但換個角度我們也能發(fā)現(xiàn)數(shù)學的很多美妙之處！就像1990年意大利世界杯足球賽場上，阿根廷隊的球員卡尼吉亞一頭長發(fā)，可能有人感覺大男人留長發(fā)不太合適；但換個角度欣賞“長發(fā)在風中飛舞，讓人感受到了風的速度！”因此卡尼吉亞得名“風之子”，從此很多中國球迷心中多了一種情結叫“風的情結”

3、！數(shù)學方法，思想處處體現(xiàn)著智慧，體現(xiàn)著美，在我看來數(shù)學就是一幅畫，一首詩，一支歌。將這首詩獻給美麗的數(shù)學。漂著綠葉小舟劃過河中暫緩停水清澈而見倒影映襯畫中央美景搭西湖高歌遍山林船夫蕩悠悠回音進谷底風起樹鳥聲悅耳月陶醉沙下魚餌當餌耳作詩對詞以休閑讓清晨有笛樂以傍晚作賞月獨享風景一， 混水摸魚-代入法品味1：若關于不等式的解集是，則實數(shù)的值是 解析：此題具體解比較麻煩!然則巧用“代入法”可以輕松“搞定”！將x=2代入迅速求得a=4.品味2：已知數(shù)列共有項，定義的所有項和為，第二項及以后所有項和為，第三項及以后所有項和為，第n項及以后所有項和為，若是首項為2，公比為的等比數(shù)列的前項和，則當時，等于a

4、 b c d 解析：有題知，從而輕易算出，并且答案四個均不同，必定迅速完成！品味3：在數(shù)列中， ，則 aa b c d解析：此題顯然就是考察“巧做”！直接做還是感覺比較復雜！然則，利用“代入法”可求出進而可以迅速確定答案！品味4：解析：此題若直接做會耗費諸多時間，而且不一定能做對，如果將答案找錯，不難發(fā)現(xiàn)c中左面大于0，右面小于零！將答案代入榨出錯誤！事半功倍，妙不可言！注意這是2007山東高考數(shù)學理科10題！品味5：已知函數(shù)，當時，恒有，則的取值范圍為（ ）a b c d且解析：此類求范圍的題目往往運用“代入法”可以將其變成純運算的題目！這一點相信很多同學會總結發(fā)現(xiàn)！如此題中，令a=2,可以

5、判斷是否成立，從而確定a是否正確！令a=0,可以判斷c是否正確！若還不能完全解出，可令a=1,必定可以選出答案！ 回味：應該說“代入”“特值”“排除”經(jīng)常聯(lián)手，充分利用選擇題的特點，充分利用選項作為條件，避實就虛，從側面解決問題，尤其是在一些正面處理較困難的時候，不僅事半功倍，而且大大提高正確率并節(jié)約寶貴時間！實現(xiàn)“混水摸魚”！二， 以逸待勞-特值法品味1：如圖已知a、d、b、c分別為過拋物線焦點f的直線與該拋物線和圓的交點，則_ 解析：此題考查圓的幾何性質（數(shù)形結合）及拋物線的定義！若直接求解，有一定運算量！但采用特值：令ad與x軸垂直，可以迅速解出結果！品味2：已知關于x的不等式有唯一的整

6、數(shù)解，則方程實數(shù)根的個數(shù)為( )a,0 b,1 c,2 d,3解析：此題正確率不到百分之十五，毫無疑問很難！但是巧用特值法可以節(jié)省時間并且提高正確率！大膽猜想a的值（找一個最好算的），不難想到2，3，10，e等！令a=2知滿足不等式，代入方程可輕松搞定！品味3：解析：此題直接處理設計較多運算，公式等，并且不易做對！但采用特值，將四個答案均很好判斷，這樣的題目學生一般想不到間接處理，而直接處理多數(shù)同學很困難，要麼做不出，要麼浪費大量時間！可見“特值法”不僅巧，而且必不可少！品味4：在實數(shù)集r中定義一種運算“*”，對于任意為唯一確定的實數(shù)，且對于任意具有以下性質：（1）；（2）；（3）。關于的性質

7、，有如下說法：1函數(shù)f(x)的最小值為3；2函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；3函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為。其中正確的個數(shù)為（ ）解析：此題很多學生難以入手，對于f(x)始終停留在抽象的程度上。其實，不難分析：f(x)必須求出，其中（1）（2）顯然不能完成。因此必須令（3）中c=0就可以輕松解決，得來全不費工夫！回味：由以上的題目可見“特值法”決不僅僅是節(jié)省時間，它是一種重要的做題方法！用的合理就可以做到“以逸待勞”！ 三，瞞天過海-數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法是一種體現(xiàn)“轉化化歸”思想的方法，常用于與n,n有關的題目，其本質是不從正面與要證明的結論交手，轉而利用一種遞推加一次驗證來側面解決戰(zhàn)斗！即先驗證第一個

8、值時命題成立，再假設實際上感覺是在用“假設”證明問題，然而有十分嚴密，有“避實就虛”之功效！例1：2009山東高考理科20題（2）問等比數(shù)列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當b=2時，記 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 證明：（2）當b=2時，, 則,所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 下面用數(shù)學歸納法證明不等式成立. 當時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立. 假設當時不等式成立,即成立.則當時,左邊=所以當時,不等式也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由、可得不等式恒成立.（也可以用比較法算出的大

9、小，只需平方一次就能算出?。┍绢}主要考查了運用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的命題,以及放縮法證明不等式.但是用歸納法的思維難度要遠遠低于放縮法，而且歸納法還可以固定的步驟分，在2005年21題（3）問共有4分若用歸納法最關鍵一步僅一分！即使考試說明也對這兩者平等對待，要求都是了解！下面我們看一下放縮法，以下略，故原式成立，步驟略！看似運算量小，但是思維量絕對不低！下面再舉一例（超級經(jīng)典）：已知函數(shù)求證：對于大于1的任意正整數(shù)解：（法一）首先：當a=1時，易證在上為增函數(shù)，當故此法需要較強的構造思想，并且涉及利用函數(shù)證明不等關系問題！但是構造的“思維”難度較大，并且很多學生會問：“為甚麼？怎麼能想

10、到？”往往老師很難回答?。ǚǘ┥衿娴臄?shù)學歸納法（1） n=2,易證，在此略?。?） n=k,假設則當n=k+1時，=，下面證明下面展開精彩換元（相比較法一，法二的換元是明確的，順理成章的！可見歸納法從側面化簡了問題?。┓绞揭唬海韵律婕皹O限問題！如何處理呢？巧用換元！方式二：故此題充分展示了“數(shù)學歸納法”的神奇魅力，如果不用歸納法而直接處理的思維難度極大，關鍵在于如何找到需要構造的函數(shù)！但歸納法卻“避實就虛”尋到了問題構造的關鍵-如何構造函數(shù)！當然，此題也涉及到如何“換元”！正是歸納法“瞞天過?！敝圃斐隽巳绾巍皳Q元“的條件，才是問題解決的前提！ 四， 無中生有-“歸納，猜想，證明”引入200

11、9山東高考數(shù)學理科卷（22）設橢圓e: （a,b0）過m（2，） ，n(,1)兩點，o為坐標原點，（i）求橢圓e的方程；（ii）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|ab |的取值范圍，若不存在說明理由。分析: 本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關系.應該說這道題是考前我認為的必考題！今年解析集合大題很可能形式上是“園與橢圓”理由：解析幾何只有“橢圓與拋物線”是要求掌握！而2008已經(jīng)

12、考察了“拋物線”！至于為甚麼會將圓交匯，原因之一“考試說明”最后一句“通過解析幾何理解數(shù)形結合思想”而圓與向量是數(shù)形結合的絕好載體！原因之二青島一摸理科21題給我們一種強烈的預感！可以說今年的壓軸題是“意料之中”！而且相對于“向量的較深數(shù)形結合考察”來說繼續(xù)沿著“圓和橢圓”甚至“圓和圓錐曲線”的方向發(fā)展的概率也很大！解（2）（法一）由于題目中“使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且”，故可以先通過特殊情況（直線斜率不存在時候）將圓的方程先解出，利用此時直線與圓的交點分別為（r,r）,(r,-r)即為a,b兩點，由于，故由圓的數(shù)形結合知：，可迅速解出，之后在明確圓的情況下，再證明對

13、于一般情況下是否能滿足：1直線與橢圓有兩個交點，2是。這兩點在明確了圓的方程之后不難“驗證”！這種做法優(yōu)勢在于“早早明確了目標”，而且結合后面求的范圍，故此圓必須存在，因此即使“算”不出來也應該“編上”，繼續(xù)往下做！可以說利用“特殊情況”歸納，“猜出”所要探索的值（其實是算出來的），然后根據(jù)情況選擇合適的方法去證明這個值滿足一般情況。這種做法可以說是“無中生有”！如果這種“探究性問題”直接做的話并不知道“值”是多少，只能一步一步往下做；而“歸納，猜想，證明”卻早早確定了方向！這種思想絕不等價于“數(shù)學歸納法”因為它的“證明”時并非必須用“歸納法”來證，適應的范圍也要廣得多。很多“探究性”題目都可

14、以采用，在高考越來越重視“探究性問題”的現(xiàn)在，“歸納，猜想，證明”是值得重視的。baot下面再看法二，（2）（法一）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在

15、圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且.這種直接探究的方式往往運算量較大，而且不能預知“方向”，結果對不對都不知道！尤其是這種“方向模糊”情況下的前進往往需要大得多的思維量,經(jīng)常還需要“技巧”，而“歸納，猜想，證明”則是“方向明確”情況下的“運算”驗證！舉例1:分析：此題熟練的同學可以迅速反映出來c只能是9，因為只有這樣通項才可能是一次函數(shù)！可是如何描述步驟呢？在具體做的過程中大部分學生都表達不好或不充分！可是如果采用“歸納，猜想，證明”便輕松“搞定”！解：令可得c=6,然后在證明舉例2：，是否存在分析：若此題直接做倒難度不是很大，但運算化簡有一定技巧，需使的系數(shù)

16、為0！若換個題目可能比較難整理（如后面的超級經(jīng)典）。若采用“歸納，猜想，證明”則如下：由可求可求出下面只需證明，這不就是運算驗證嗎！舉例3：分析：當l與x軸重合時，構不成；當l與x軸垂直時，直線的方程為代入得，而所以，下面證明一般情況：設直線，運算驗證即可！下面輕松“搞定”！超級經(jīng)典：已知橢圓過點的動直線l交橢圓c于a、b兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點t，使得以ab為直徑的圓恒過點t？若存在，求出點t的坐標；若不存在，請說明理由解：當l與x軸平行時，以ab為直徑的圓的方程：當l與x軸平行時，以ab為直徑的圓的方程：由即兩圓相切于點（0，1），所求的點t如果存在，只能是（0，1）證明如

17、下當直線l垂直于x軸時，以ab為直徑的圓過點t（0，1）若直線l不垂直于x軸，可設直線l：由記點、 所以tatb，即以ab為直徑的圓恒過點t（0，1）所以在坐標平面上存在一個定點t（0，1）滿足條件分析：此題若直接做運算量很大容易算錯或算不出來，并且有化簡技巧容易找不出來！因為必須設點，結果變量較多，關系較復雜，可謂十之八九算不出來！但采用“歸納，猜想，證明”來處理，很早就可以知道,之后就成了驗證，其實就是沒有技巧的“純”運算。前者盡管運算時需要很大運算量以及化簡技巧，但是“小巧”，后者化繁為簡，把整個過程變成了“純運算”，是“大巧”！真是“無中生有”！讓人嘆服不已。數(shù)學真的是“美不勝收”，“

18、風情萬種”！五， 偷梁換柱-換元法品味一：(2009山東卷理21)兩縣城a和b相距20km，現(xiàn)計劃在兩縣城外以ab為直徑的半圓弧上選擇一點c建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城a和城b的總影響度為城a與城b的影響度之和，記c點到城a的距離為x km，建在c處的垃圾處理廠對城a和城b的總影響度為y,統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城a的影響度與所選地點到城a的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城b的影響度與所選地點到城b的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當垃圾處理廠建在的中點時，對城a和城b的總影響度為0.065.（1）將y表示成x的函數(shù)；（11）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)

19、性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城a和城b的總影響度最??？若存在，求出該點到城a的距離;若不存在，說明理由。分析:此題的分析建模難度不大，當學生進行求導分析單調(diào)性等時，據(jù)我的了解最主要問題是絕大部分同學未算出或算對，暴漏了運算能力的不足，“運算能力”是考試說明要求的第一能力，甚至于常見的運算技巧如“換元”“分式最值”等必須不斷強化，我個人感覺“運算”的強化必須滲透于平時不間斷！如2008年山東文22題，今年反復讓學生做了三遍！結果今年理科22題有在第2問考察了幾乎一樣的運算問題！除了純運算，很多學生想不到另通過換元簡化運算，也是運算技巧不足的表現(xiàn)！當然對分式問題的運算其實平

20、時學生應該早就暴露出來了，因為往往學生只會求導直接算，很少考慮化簡，換元等!估計在這點高考是會繼續(xù)的！a b c x 解法一:（1）如圖,由題意知acbc,其中當時，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函數(shù)為（2）,令得,所以,即,當時, ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當時, ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當時, 即當c點到城a的距離為時, 函數(shù)有最小值.解法二：（2）中,令則=，之后便是一馬平川！解法三: （1）同上.（2）設,則,所以當且僅當即時取”=”.下面證明函數(shù)在(0,160)為減函數(shù), 在(160,400)為增函數(shù).利用定義，略！所以當m=160即時取”=”,函數(shù)y有最小值,可見

21、，巧用“換元法”解決大問題，尤其是在山東考試說明要求的第一能力就是“運算能力”！可以對換元法說：“冰雪不語寒夜的你難隱藏的光彩！”品味二（2009山東理科22）設橢圓e: （a,b0）過m（2，） ，n(,1)兩點，o為坐標原點，（i）求橢圓e的方程；（ii）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|ab |的取值范圍，若不存在說明理由。分析:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關系.應該說

22、這道題是考前我認為的必考題！我在考前多次與同學們分析：今年解析集合大題很可能形式上是“園與橢圓”理由：解析幾何只有“橢圓與拋物線”是要求掌握！而2008已經(jīng)考察了“拋物線”！至于為甚麼會將圓交匯，原因之一“考試說明”最后一句“通過解析幾何理解數(shù)形結合思想”而圓與向量是數(shù)形結合的絕好載體！原因之二青島一摸理科21題給我們一種強烈的預感！由于考前多次強調(diào)圓的處理方式與橢圓不同，相信學生會在此題受益，只是可惜這是22題，很多學生時間不多了！盡管答案未給出，實際上最后一問在求是充分利用圓及等條件結合“射影定理”很簡單就能算出！說明了圓的問題盡量用“數(shù)形結合”！可以說今年的壓軸題是“意料之中”！可以說圓

23、就是“運算”之王，如果運用圓的“數(shù)形結合”運算較靈活；若將圓當成橢圓則成為代數(shù)運算量較大！解: （2）中求（法一）, 當時因為所以,所以,所以當且僅當時取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當時,. 當ab的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,綜上, |ab |的取值范圍為即: （2）（法二）由于題目中“使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且”，故可以先通過特殊情況（直線斜率不存在時候）將圓的方程先解出，利用此時直線與圓的交點分別為（r,r）,(r,-r)即為a,b兩點，由于，故由圓的數(shù)形結合知：，可迅速解出，之后在明確圓的情況下，再證明對于一般情況下是否能滿足

24、：1直線與橢圓有兩個交點，2是。這兩點在明確了圓的方程之后不難“驗證”！這種做法優(yōu)勢在于“早早明確了目標”，而且結合后面求的范圍，故此圓必須存在，因此即使“算”不出來也應該“編上”，繼續(xù)往下做！再求是如果巧用“圓”的“數(shù)形結合”特性，也會是問題得到大大化簡！通過題目不難發(fā)現(xiàn)，設直線與圓相切于t點，在直角三角形oab中，,設，由射影定理知，又?？梢越獾孟旅媲蠓秶鷳撦^法一簡單不少！此題充分體現(xiàn)出“巧妙換元”的巨大美麗！說明“圓”與“橢圓”處理方式的區(qū)別，圓是“數(shù)形結合的精靈”，橢圓是體現(xiàn)“代數(shù)方法（坐標）研究幾何問題的載體！”兩者在高考考察是有明確體現(xiàn)的！因為從平時來看，多數(shù)學生對于“圓的數(shù)形結

25、合”認識不夠，更對“考試說明”沒有分析，應該說在考前重點強調(diào)了“圓與橢圓”的問題，如果此題不是最后一題，相信學生會有“更好”表現(xiàn)！應該說，對于圓的“數(shù)形結合”的特點，沒有老師的引領和適當?shù)闹匾暸c訓練是很難掌握的，因為“數(shù)形結合”較橢圓中的方程處理更靈活，若處理不當又很容易運算復雜！品味三;（2008山東文22）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為記為以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓（）求橢圓的標準方程；（）設是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線是上異于橢圓中心的點（1）若（為坐標原點），當點在橢圓上運動時，求點的軌跡方程；（2）若是與橢圓的交點，求的面積的最小值解：（）（2

26、）當存在且時，由（1）得，由解得，所以，解法一：由于，當且僅當時等號成立，即時等號成立，此時面積的最小值是當，當不存在時，綜上所述，的面積的最小值為解法二：由于 ，令則，此題轉化至二次函數(shù)最值問題。此時面積的最小值是當，當不存在時，綜上述，的面積的最小值為分析：此題中的第二問中涉及的分式最值運算，甚至于在2009山東理科21題出現(xiàn)的類型，這樣的題目，考察方式非常常見！可以說是極好的考察運算的載體！其中涉及“換元”，“化簡”等技巧，以及“轉化化歸”等思想！可以說運算能力包含了數(shù)學的多種思想方法技巧，絕非一日之功，必須不斷強化訓練！更深刻的美味（2007山東高考理科22）設函數(shù)，其中（）當時，判斷

27、函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（）求函數(shù)的極值點；（）證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立解：（iii） 當時，令則在上恒正，在上單調(diào)遞增，當時，恒有.即當時，有，對任意正整數(shù)，取得最深刻的美味已知函數(shù)求證：對于大于1的任意正整數(shù)解：（法一）首先：當a=1時，易證在上為增函數(shù)，當故此法需要較強的構造思想，并且涉及利用函數(shù)證明不等關系問題！但是構造的“思維”難度較大，并且很多學生會問：“為甚麼？怎麼能想到？”往往老師很難回答！（法二）神奇“換元”，下面通過“數(shù)學歸納法”來體現(xiàn)“換元”的迷人芬芳！（3） n=2,易證，在此略?。?） n=k,假設則當n=k+1時，=，下面證明下面展開精彩換元（相比較法一，法

28、二的換元是明確的，順理成章的！可見歸納法從側面化簡了問題?。┓绞揭唬?，以下涉及極限問題！如何處理呢？巧用換元！方式二：故此題充分展示了“換元”的神奇魅力，通過如何“換元”順利解決！六， 苦肉計-易錯集錦這是一摸考試前的易錯集錦1（知識點）復數(shù)中0在虛軸上！正態(tài)分布中的大小與圖象的矮胖，瘦高的關系？命題否定與否命題！向量夾角范圍及夾角問題，零向量問題，優(yōu)化方案112頁例2及示例連接！線面角的向量求法！等比數(shù)列討論，數(shù)列討論！及迭加，迭乘公式！拋物線（非標準）的方程如：！圓錐曲線中k是否存在，判別式大于零，聯(lián)立后二次方程系數(shù)是否可能為零！函數(shù)定義域遺漏（尤其是真數(shù)大于0）！導數(shù)等于0與極值點問題！零點存在定理0只能判斷存在零點不能確定零點個數(shù)！誘導公式！二項式定理小心通項中r對應是第r+1項！直方圖的中縱坐標是頻率/組距！了解排列組合：重視分類討論思想，不要遺漏！分布列概率和為1，其中最后一個概率易錯！數(shù)列最值如求：的最大值！統(tǒng)計的諸多概念如數(shù)據(jù)的方差