高二數學排列組合問題的解題策略：總結 計劃 匯報 設計 純word可編輯

1、解決排列組合問題的常用技巧與策略解決排列組合問題要講究策略，首先要認真審題，弄清楚是排列(有序)還是組合(無序)，還是排列與組合混合問題。其次，要抓住問題的本質特征，準確合理地利用兩個基本原則進行“分類與分步”。加法原理的特征是分類解決問題，分類必須滿足兩個條件：類與類必須互斥(不相容)，總類必須完備(不遺漏)；乘法原理的特征是分步解決問題，分步必須做到步與步互相獨立，互不干擾并確保連續(xù)性。分類與分步是解決排列組合問題的最基本的思想策略，在實際操作中往往是“步”與“類”交叉，有機結合，可以是類中有步，也可以是步中有類。 以上解題思路分析，可以用順口溜概括為：審明題意，排（組）分清；合理分類，用

2、準加乘；周密思考，防漏防重；直接間接，思路可循；元素位置，特殊先行；一題多解，檢驗真?zhèn)巍?（一）特殊元素的“優(yōu)先安排法”對于特殊元素的排列組合問題，一般先考慮特殊元素，再考慮其他元素的安排。在操作時，針對實際問題，有時“元素優(yōu)先”，有時“位置優(yōu)先”。 例1：這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有幾個？ 解法一：(元素優(yōu)先)分兩類：第一類，含，在個位有種，在十位有種；第二類，不含，有種。 故共有種。 注：在考慮每一類時，又要優(yōu)先考慮個位。 解法二：(位置優(yōu)先)分兩類：第一類，在個位有種；第二類，不在個位，先從兩個偶數中選一個放個位，再選一個放百位，最后考慮十位，有種。 故共有 （二）

3、總體淘汰法對于含有否定詞語的問題，還可以從總體中把不符合要求的除去，此時應注意既不能多減也不能少減，例如在例中也可以用此法解答：個數字組成三位數的全排列為，排好后發(fā)現不能在首位，而且和不能排在末尾，這兩種不合題意的排法要除去，故有個偶數（三）合理分類與準確分步解含有約束條件的排列組合問題，應按元素的性質進行分類，事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標準明確，分布層次清楚，不重不漏例2：個人從左到右站成一排，甲不站排頭，乙不站第二個位置，不同的站法有解：由題意，可先安排甲，并按其進行分類討論：（1）若甲在第二個位置上，則剩下的四人可自由安排，有種方法；（2）若甲在第三個或第四個位置上，則根據分布計

4、數原理不同的站法有種站法；再根據分類計數原理，不同的站法共有：種（四）相鄰問題：捆綁法對于某些元素要求相鄰排列的問題，可先將相鄰元素捆綁成整體并看作一個元素再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。例3：個男生個女生排成一列，要求女生排一起，共有幾種排法？ 解：先把個女生捆綁為一個整體再與其他個男生全排列。同時，個女生自身也應 全排列。由乘法原理共有種。 （五）不相鄰問題用“插空法”對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可（注意有時候兩端的空隙的插法是不符合題意的）.例4：個男生個女生排成一列，要求女生不相鄰且不可排

5、兩頭，共有幾種排法？ 解：先排無限制條件的男生，女生插在個男生間的個空隙，由乘法原理共有種。 注意：分清“誰插入誰”的問題。要先排無限制條件的元素，再插入必須間隔的元素；數清可插的位置數；插入時是以組合形式插入還是以排列形式插入要把握準。 例5： 馬路上有編號為的盞路燈，現要關掉其中的三盞，但不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關兩端的路燈，則滿足要求的關燈方法有幾種？ 解：由于問題中有盞亮盞暗，又兩端不可暗，故可在盞亮的個間隙中插入個暗的即可，有種。 （六）順序固定問題用“除法”或選位不排或先定后插對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列，然后用總排列數除以這

6、幾個元素之間的全排列數?；蛳仍诳偽恢弥羞x出順序一定元素的位置而不參加排列，然后對其它元素進行排列。也可先放好順序一定元素，再一一插入其它元素。 例6： 人參加百米跑，若無同時到達終點的情況，則甲比乙先到有幾種情況？ 解法一：先人全排有種，由于全排中有甲、乙的全排種數，而這里只有種是符合要求的，故要除以定序元素的全排列種，所以有種。 解法二：先在個位置中選個位置放定序元素(甲、乙)有種，再排列其它人有，由乘法原理得共有種。 解法三：先固定甲、乙，再插入另三個中的第一人有種方法，接著插入第二人有種方法，最后插入第三人有種方法。由乘法原理得共有種。 （七）“小團體”排列，先“團體”后整體對于某些排列

7、問題中的某些元素要求組成“小團體”時，可先按制約條件“組團”并視為一個元素再與其它元素排列。 例7:四名男歌手與兩名女歌手聯合舉行一場演唱會，演出的出場順序要求兩名女歌手之間有兩名男歌手，則出場方案有幾種？ 解：先從四名男歌手中選人排入兩女歌手之間進行“組團”有種，把這個“女男男女”小團體視為人再與其余男進行排列有種，由乘法原理，共有種 （八）分排問題用“直排法”把個元素排成若干排的問題，若沒其他的特殊要求，可用統(tǒng)一排成一排的方法來處理例8：個人坐兩排座位，第一排坐人，第二排坐人，則有種排法解：個人，可以在前后兩排隨意就座，沒有其他的限制條件，故兩排可以看成一排來處理，所以不同的坐法有(九)逐

8、步試驗法 如果題中附加條件增多,直接解決困難,用試驗法尋找規(guī)律有時也是行之有效的方法例9：將數字填入標號為的四個方格內，每個方格填一個，則每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法種數有種。解：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為復雜，可用試驗法逐步解決第一方格內可填或或如填，則第二方格內可填或或若第二方格內填,則第三方格內只能填，第四方格內填若第二方格填，則第三方格應填，第四方格應填同理，若第二方格填，則第三、四方格應分別填，。因而第一方格填共有種方法。同理，第一格填或也各有種，所以一共有種方法。（十）探索規(guī)律法對于情況復雜，不易發(fā)現其規(guī)律的問題需要仔細分析，探索出其中規(guī)律，再予以解

9、決。例10：從到的自然數中，每次取出不同的兩個數，使他們的和大于，則不同的取法種數有種。解：此題的數字較多，情況也不一樣，需要分析摸索其規(guī)律。為方便，兩個加數中較小的為被加數，為被加數的有種；同理，為被加數的有種；為被加數的有種；為被加數的有種；為被加數的有種；但為被加數的只有種；為被加數的只有種；為被加數的只有種，故不同的區(qū)法有：種。（十一）“住店”問題解決“允許重復排列”的問題要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可重復，另一類元素不能重復。把不能重復的元素看著“客”，能重復的元素看著“店”，再利用分步計數原理直接求解的方法稱為“住店法”。例11：名學生爭奪五項冠軍，獲得冠軍的可能種數是種。解：應同

10、一學生可同時奪得項冠軍，故學生可重復排列，將名學生看著家“店”，五項冠軍看著名“客”，每個客有種住宿方法，由分步計數原理得種。（十二）特征分析法有約束條件的排數問題，必須緊扣題中所提供的數字和結構特征，進行推理，分析求解。例12：由六個數可組成多少個無重復且是的倍數的五位數？解：分析數字的特征：的倍數的數既是的倍數，又是的倍數。其中的倍數又滿足“各個數位上的數字之和是的倍數”的特征。而且是的倍數，從個數字中取個，使之和還是的倍數，則所去掉的數字只能是或。因而可以分兩類討論：第一類，所排的五位數不含，即由作數碼；首先從三個中任選一個作個位數字有種，然后其余個數字在其他數位上的全排列有，所以；第二

11、類，所排的五位數不含，即由作數碼，依上法有，故種。（十三）相同元素進盒，用檔板分隔 例13：張參觀公園的門票分給個班，每班至少張，有幾種選法？ 解：這里只是票數而已，與順序無關，故可把張票看成個相同的小球放入個不同的盒內，每盒至少球，可先把球排成一列，再在其中個間隔中選個位置插入塊“檔板”分成格(構成個盒子)有種方法。 注：檔板分隔模型專門用來解答同種元素的分配問題。（十四）個數不少于盒子編號數，先填滿再分隔例14：個相同的球放入編號為的盒子內，盒內球數不少于編號數，有幾種不同的放法？ 解：先用個球按編號數“填滿”各盒(符合起碼要求),再把個球放入個盒內即可,可用塊檔板與個球一起排列(即為兩類

12、元素的排列問題),有種。 （十五）不同元素進盒，先分堆再排列對于不同的元素放入幾個不同的盒內，當有的盒內有不小于個元素時，不可分批進入，必須先分堆再排入。 例15：個老師分配到個班搞活動，每班至少一個，有幾種不同的分法？ 解：先把位老師分堆，有兩類：分布有種和分布有種，再排列到個班里有種，故共有種。 注意：不同的老師不可分批進入同一個班，須一次到位(否則有重復計數)。即“同一盒內的元素必須一次進入”。 （十六）兩類元素的排列，用組合選位法例16：級樓梯，要求步走完，每步可跨一級，也可跨兩級，問有幾種不同的跨法？ 解：由題意知，有步跨單級，步跨兩級，所以只要在步中任意選步跨兩級即可。故有種跨法。 注意：兩類元素的排列問題涉及面很廣，應予重視。 例17： 沿圖中的網格線從頂點到頂點，最短的路線有幾條？ 解：每一種最短走法，都要走三段“|”線和四段“”線，這是兩類元素不分順序的排列問題。故有或種走法。 例18： 從個班中選人組成校籃球隊(無任何要求)，有幾種選法？ 解：這個問