邊消防軍考數(shù)學(xué)公式

1、軍考數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論 第一章集合1.2.集合的子集個數(shù)共有 個；真子集有個；非空子集有個；非空的真子集有個.3、充要條件記表示條件，表示結(jié)論(1)充分條件：若，則是充分條件.(2)必要條件：若，則是必要條件.(3)充要條件：若，且，則是充要條件.第二章函數(shù)1、 定義域（1） 分式中分母不等于0 （2） 根式中大于等于0 （g(x）0）（3） 對數(shù)的真數(shù)大于0 （g(x)0）2、 值域（1） 分離變量法先把分式函數(shù)化為的形式則值域為y（2） 換元法（3） 單調(diào)性3、 解析式（1） 待定系數(shù)法（2） 換元法（3） 構(gòu)造法（4） 賦值法4、 函數(shù)性質(zhì)（1） 單調(diào)性增函數(shù)：設(shè)f（x）在xd上有定義，

2、若對任意的，都有成立，則就叫f（x）在xd上是增函數(shù)。d則就是f（x）的遞增區(qū)間。減函數(shù)：設(shè)f（x）在xd上有定義，若對任意的，都有成立，則就叫f（x）在xd上是減函數(shù)。d則就是f（x）的遞減區(qū)間。單調(diào)性性質(zhì)：(1)、增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)； （2）、減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)； (3)、增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)； (4)、減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；注：上述結(jié)果中的函數(shù)的定義域一般情況下是要變的，是等號左邊兩個函數(shù)定義域的交集。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性： 函數(shù) 單調(diào)單調(diào)性內(nèi)層函數(shù)外層函數(shù)復(fù)合函數(shù)（2） 奇偶性 函數(shù)的奇偶性：（注：是奇偶函數(shù)的前提條件是：定義域必須關(guān)于原點對稱）奇函數(shù)：若有，則f（x）是奇函數(shù)

3、。且f(0)=0偶函數(shù)：若有，則f（x）是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)（3） 周期性f(x)=f(x+t)則f（x)的周期為t（4） 對稱性兩個函數(shù)圖象的對稱性函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對稱.函數(shù)與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于直線y=0(即x軸)對稱.函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱; （5） 函數(shù)圖像1、一次函數(shù) 2、二次函數(shù) 3、對勾函數(shù) 4、指數(shù)函數(shù) 5、對數(shù)函數(shù)5、 反函數(shù)（1）反函數(shù)存在的條件：從定義域到值域上的

4、一一映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)； （2）原函數(shù)的定義域、值域分別是反函數(shù)的值域、定義域，（3）與的圖象關(guān)于對稱 (4)求反函數(shù)的一般步驟 （1） 確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域（2） 由的解析式求出（3） 將對換，得反函數(shù)的一般表達(dá)式，標(biāo)上反函數(shù)的定義域（反函數(shù)的定義域不能由反函數(shù)的解析式求得）分段函數(shù)的反函數(shù)可以分別求出各段函數(shù)的反函數(shù)后再合成。(5)掌握下列一些結(jié)論（1） 單調(diào)函數(shù)一一對應(yīng)有反函數(shù)（2） 周期函數(shù)不存在反函數(shù)（3） 若一個奇函數(shù)有反函數(shù)，則反函數(shù)也必為奇函數(shù)（4） 證明的圖象關(guān)于直線對稱，只需證的反函數(shù)和相同。6、 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義域利用兩括號的取值范圍相同求出

5、x的取值范圍復(fù)合函數(shù)的解析式換元法尋求中間變量f(t)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性增 減 增 減 增 減 增 減 減 增 7、 二次函數(shù)(1) 二次函數(shù)的解析式的3種形式：(1) 一般式；(2) 頂點式；（當(dāng)已知拋物線的頂點坐標(biāo)時，設(shè)為此式）(3)兩點式；8、指數(shù)函數(shù)指數(shù)性質(zhì)： (1)1、 ； （2）、（） ； (3)、(4)、 ； (5)、 ； 指數(shù)函數(shù)：(1)、 在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；（2）、 在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。注： 指數(shù)函數(shù)圖象都恒過點（0，1）9、對數(shù)函數(shù)(1)指數(shù)式與對數(shù)式的互化式: .(2)對數(shù)性質(zhì)： (1)、 ；（2）、 ； (3)、 ；(4)、 ； (5)、 ；(6)、 ； (

6、7)、 (3)對數(shù)函數(shù)： (1)、 在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；（2）、在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；注： 對數(shù)函數(shù)圖象都恒過點（1，0）(4)對數(shù)的換底公式 : (,且,且, )； 對數(shù)恒等式：(,且, )；推論： (,且, ).第3章 、數(shù)列1、 等差數(shù)列通項公式：（1） ；（其中為首項，d為公差，n為項數(shù)，為末項）（2）推廣： ；（3） 。 （注：該公式對任意數(shù)列都適用）前n項和：（1） ；（其中為首項，n為項數(shù)，為末項）（2）；（3） ； （注：該公式對任意數(shù)列都適用）（4） 。 （注：該公式對任意數(shù)列都適用）常用性質(zhì)：（1）、若m+n=p+q ，則有 ；注：若的等差中項，則有2n、m、p成

7、等差；（2）、若、為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列；（3）、為等差數(shù)列，為其前n項和，則也成等差數(shù)列；（4）、 ； （5） 1+2+3+n=。 （5）前n項和中奇數(shù)項和偶數(shù)項的關(guān)系n為奇數(shù)時 n為偶數(shù)時2、 等比數(shù)列通項公式：（1） ；（其中為首項，n為項數(shù)，q為公比）（2）推廣：；（3）。 （注：該公式對任意數(shù)列都適用）前n項和：（1） ； （注：該公式對任意數(shù)列都適用）（2） ； （注：該公式對任意數(shù)列都適用） （3） 。常用性質(zhì)：（1）、若m+n=p+q ，則有 ；（注：若的等比中項，則有 n、m、p成等比）（2）、若、為等比數(shù)列，則為等比數(shù)列。（3）前n項和中奇數(shù)項和偶數(shù)項的關(guān)系n為偶數(shù)時s奇

8、=qs偶3、 數(shù)列的通項公式（1）遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：這種類型一般利用與消去 或與消去進(jìn)行求解。(2)累加法 題型 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。(3)累乘法 題型 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。(4)待定系數(shù)法 1、題型（其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。2、（其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。3、 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(

9、待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關(guān)于a、b的方程組）；當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關(guān)于a、b的方程組）。4、解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。5、 解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。6、 解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。4、 數(shù)列的前n項和公式(1)利用常用求和公式求和等差數(shù)列求和公

10、式： 等比數(shù)列求和公式：(2)錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(3)反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.(4)分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.5、 數(shù)列的證明(1)判定一個數(shù)列為等差數(shù)列的常用方法定義法：（常數(shù)）是等差數(shù)列；中項公式法：是等差數(shù)列；通項公式法：（p，q為常數(shù)）

11、是等差數(shù)列；前n項和公式法：（a，b為常數(shù)）是等差數(shù)列。(2)判定數(shù)比數(shù)列的常用方法（1）定義法：（q是不為0的常數(shù)，nn*）是等比數(shù)列；（2）通項公式法：（c、q均是不為0的常數(shù)nn*）是等比數(shù)列；（3）中項公式法：（，）是等比數(shù)列。第4章 、三角函數(shù)1、弧度制與角度制的換算公式：，2、圓弧的長和扇形的面積若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，pvx y a o m t 2、設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標(biāo)是，它與原點的距離是，則，2、 特殊角的三角函數(shù)030 37 45 53 60 90 sin01cos10tan01不存在3、象限正負(fù)關(guān)系sin+-cos+-+

12、tan+-+-cot+-+-4、角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；5、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：，sin45osin135 ocos45 ocos(-45 o)，弦、余弦的誘導(dǎo)公式：（奇變偶不變，符號看象限）(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù)) 6、和與差角公式 ;.=(輔助角所在象限由點的象限決定, ).7、倍角公式及降冪公式 ； .； 8、三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)1、函數(shù)的性質(zhì)：振幅：；周期：；頻率：；相位：；初相：2、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì) 圖象定義域值域最值當(dāng)時，；當(dāng) 時，當(dāng)時， ；當(dāng)時，既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在

13、上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸9、三角函數(shù)的平移1、的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象第5章 、向量1、實數(shù)與向量的積的運算律:設(shè)、

14、為實數(shù)，那么：(1) 結(jié)合律：()=() ； (2)第一分配律：(+) =+；(3)第二分配律：(+)=+.2、 與的數(shù)量積(或內(nèi)積)：=|。3、 平面向量的坐標(biāo)運算：(1)設(shè)=,=，則+=；(2)設(shè)=,=，則-=.； (3)設(shè)a，b,則；(4)設(shè)=，則=；(5)設(shè)=,=，則=.4、 兩向量的夾角公式： (=,=).5、 平面兩點間的距離公式： = (a，b).6、 向量的平行與垂直 ：設(shè)=,=，且，則：|= ；（交叉相乘差為零） () =0.（對應(yīng)相乘和為零）7、 線段的定比分公式 ：設(shè)，是線段的分點,是實數(shù)，且，則（）.8、三角形五“心”向量形式的充要條件：設(shè)為所在平面上一點，角所對邊長分

15、別為，則（1）為的外心；（2）為的重心；（3）為的垂心；（4）為的內(nèi)心； 9、向量解三角形（1） 正弦定理（r為外接圓的半徑）.（2） 余弦定理;.（3） 三角形面積公式.(4)三角形內(nèi)角和定理 ：在abc中，有：.第6章 、不等式1、 解不等式（1） 二次不等式（2） 分式不等式解題步驟：1、移項2、通分3、除變乘（注意分母不等于0）4、系數(shù)化為1（注意系數(shù)的正負(fù)）5、求出根利用穿根法（從右至左至上而下奇穿偶不穿）求出不等式的解（3） 絕對值不等式xa（a0）的解集為：xaxa；xa（a0）的解集為：xxa或xa。（4） 無理不等式（5） 指數(shù)不等式當(dāng)a1時，af(x)ag(x)與f(x)g

16、(x)同解，當(dāng)0a1時，af(x)ag(x)與f(x)g(x)同解（6） 對數(shù)不等式8、 均值不等式常用不等式：（1）(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=”號)；（2）(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=”號)；（3）(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=”號)。 極值定理:已知都是正數(shù)，則有（1）若積是定值，則當(dāng)時和有最小值；（2）若和是定值，則當(dāng)時積有最大值；（3）已知，若 ，則有：；（4）已知，若，則有：9、 不等式中恒成立問題1、解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式.2、定區(qū)間上含參數(shù)的不等式恒成立(或有解)的條件依據(jù)(1)在給定區(qū)間的子區(qū)間形如，不同上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是。(2)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(

17、為參數(shù))恒成立的充要條件是。(3) 在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))的有解充要條件是。(4) 在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))有解的充要條件是。對于參數(shù)及函數(shù).若恒成立，則；若恒成立，則；若有解，則；若有解，則；若有解，則.若函數(shù)無最大值或最小值的情況，可以仿此推出相應(yīng)結(jié)論第7章 、直線平面簡單幾何體1、 角的問題（1） 線線角1、異面直線所成角的求法：（1）范圍：；（2）求法：計算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移（中點平移，頂點平移以及補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系）轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角。 2、

18、=其中為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量（2） 線面角 1、定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個平面所成的角。（2）范圍：；（3）求法：作出直線在平面上的射影；（4）斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。 2、直線與平面所成角(為平面的法向量).（3） 面面角 1、三垂線定理及逆定理：（1）定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（2）逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。其作用是證兩直線異面垂直和作二面角的平面角。 2、二面

19、角：（1）平面角的三要素：頂點在棱上；角的兩邊分別在兩個半平面內(nèi)；角的兩邊與棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認(rèn)真觀察圖形的特性；三垂線法：過其中一個面內(nèi)一點作另一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：過一點作棱的垂面，則垂面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角；（3）二面角的范圍：；（4）二面角的求法：轉(zhuǎn)化為求平面角；面積射影法：利用面積射影公式，其中為平面角的大小。二面角的平面角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角 3、或，為平面，的法向量.2、距離問題（1） 點線距離點到

20、直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線再求解。（2） 點面距離 1、點到平面的距離：垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來作垂線，其中過已知點確定已知面的垂面是關(guān)鍵；體積法：轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高；等價轉(zhuǎn)移法。 2、利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，ab是平面的一條射線，其中，則點b到平面的距離為.（3） 面面距離兩平行平面之間的距離：轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離。(4) 球面距離球面距離（球面上經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度）：求球面上兩點a、b間的距離的步驟：計算線段ab的長；計算球心角aob的弧度數(shù)；用弧長公式計算劣弧ab的長。3、體積問題（1）棱柱：體積底面積高，或體積直截

21、面面積側(cè)棱長，特別地，直棱柱的體積底面積側(cè)棱長；三棱柱的體積（其中為三棱柱一個側(cè)面的面積，為與此側(cè)面平行的側(cè)棱到此側(cè)面的距離）。（2）棱錐：體積底面積高。(3)球的體積和表面積公式：v。4、 證明問題證明直線與直線的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；2轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；3轉(zhuǎn)化為線面平行；4轉(zhuǎn)化為線面垂直；5、 轉(zhuǎn)化為向量解證明直線與平面的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；2轉(zhuǎn)化為線線平行；3轉(zhuǎn)化為面面平行.4轉(zhuǎn)化為證明直線與平面的法向量垂直即可要證直線ab平行于平面第一步建立空間直角坐標(biāo)系寫出向量第二步求出平面的法向量第三步計算第四步得出結(jié)論ab/證明平面與平面

22、平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；2轉(zhuǎn)化為線面平行；3轉(zhuǎn)化為線面垂直.4轉(zhuǎn)化為向量證明兩平面的法向量平行即可要證直線ab平行于平面第一步建立空間直角坐標(biāo)系第二步求出平面的法向量求出平面的法向量第三步計算第四步得出結(jié)論/證明直線與直線的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為相交垂直；2轉(zhuǎn)化為線面垂直；3轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；4轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.5轉(zhuǎn)化為向量解證明直線與平面垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；2轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；3轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；4轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面。5轉(zhuǎn)化為直線與平面法向量平行即可證明平面與平面的垂直的思考

23、途徑1轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；2轉(zhuǎn)化為線面垂直；3 轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量平行。第8章 、直線和圓1、斜率公式 ：（、）.2、 直線的五種方程：（1）點斜式： ； (直線過點，且斜率為)（2）斜截式： ； (b為直線在y軸上的截距)（3）兩點式： ； ()(、 () 兩點式的推廣：（無任何限制條件！）(4) 截距式： ； (分別為直線的橫、縱截距，)（5）一般式： 。 (其中a、b不同時為0)3、 夾角公式：(1)； (，,)(2)； (,)直線時，直線l1與l2的夾角是。4、點到直線的距離 ： (點,直線：). 5、圓的四種方程：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ；（2）圓的一般方程 ； (0).（3）

24、圓的參數(shù)方程 ；（4）圓的直徑式方程 。 (圓的直徑的端點是、).6、點與圓的位置關(guān)系：點與圓的位置關(guān)系有三種：若，則點在圓外； 點在圓上； 點在圓內(nèi).7、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有三種():；。8、 兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為o1，o2，半徑分別為r1，r2，則：； 9、 兩圓公共弦長直線方程兩圓方程相減求出第9章 、圓錐曲線1、 橢圓中心在原點，焦點在軸上中心在原點，焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程參數(shù)方程為參數(shù))為參數(shù))圖 形xof1f2pya2a1b1b2a1xof1f2pya2b2b1頂 點對稱軸軸，軸；短軸為，長軸為焦 點焦 距 離心率（離心率越大，橢圓越扁）準(zhǔn) 線通

25、 徑（為焦準(zhǔn)距）焦半徑焦點弦僅與它的中點的橫坐標(biāo)有關(guān)僅與它的中點的縱坐標(biāo)有關(guān)焦準(zhǔn)距焦面積 橢圓的的內(nèi)外部:（1）點在橢圓的內(nèi)部；（2）點在橢圓的外部。 橢圓的切線方程:(1) 橢圓上一點處的切線方程是； （2）過橢圓外一點所引兩條切線的切點弦方程是； （3）橢圓與直線相切的條件是。2、 雙曲線中心在原點，焦點在軸上中心在原點，焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程圖 形xof1f2pya2a1yxof1pb2b1f2頂 點對稱軸軸，軸；虛軸為，實軸為焦 點焦 距 離心率（離心率越大，開口越大）準(zhǔn) 線漸近線通 徑（為焦準(zhǔn)距）焦半徑在左支在右支在下支在上支焦準(zhǔn)距焦面積雙曲線的切線方程: (1)雙曲線上一點處的切線方程

26、是； (2)過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是； （3）雙曲線與直線相切的條件是。3、 拋物線焦點在軸上，開口向右焦點在軸上，開口向左焦點在軸上，開口向上焦點在軸上，開口向下標(biāo)準(zhǔn)方程圖 形xofpyofpyxofpyxofpyx頂 點對稱軸軸軸焦 點離心率準(zhǔn) 線通 徑焦半徑焦點弦（當(dāng)時，為通徑）焦準(zhǔn)距圓錐曲線的統(tǒng)一定義：若平面內(nèi)一個動點到一個定點和一條定直線的距離之比等于一個常數(shù)，則動點的軌跡為圓錐曲線。其中定點為焦點，定直線為準(zhǔn)線，為離心率。當(dāng)時，軌跡為橢圓；當(dāng)時，軌跡為拋物線；當(dāng)時，軌跡為雙曲線。軌跡方程的求法：（1）直接法：如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，或這些

27、幾何條件簡單明了且易于表達(dá)，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成含的等式就得到曲線的軌跡方程。 如：已知底邊的長為8，兩底角之和為，求頂點且的軌跡方程。（2）定義法：其動點的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則根據(jù)定義直接求出動點的軌跡方程。如：已知圓，定點，若是圓上的動點，的垂直平分線交 于，求的軌跡方程。（3）幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)（如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)等），可以用幾何法，列出幾何式，再代人點的坐標(biāo)較簡單。如：是的直徑，且，為圓上一動點，作，垂足為，在上取點，使，求點的軌跡。（4）相關(guān)點法（代人法）：有些問題中，其動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點（稱之為相關(guān)

28、點）而運動的；如果相關(guān)點所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時可以用動點坐標(biāo)表示相關(guān)點坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程。 如：在雙曲線的兩條漸近線上分別取點和，使（其中為坐標(biāo)原點，為雙曲線的半焦距），求中點的軌跡。（5）交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常常通過解方程組得出交點(含參數(shù))的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程。常與參數(shù)法并用。如：己知兩點，以及一直線，設(shè)長為的線段在直線上運動，求直線和的交點的軌跡方程。（6）整體法（設(shè)而不求法）：當(dāng)探求的軌跡較復(fù)雜時，可擴(kuò)大考察視角，將問題中的條件、結(jié)論的各種關(guān)系看成一個整體，從整體出發(fā)運用整體思想，注重整體結(jié)構(gòu)的挖掘和分析。如：以為圓心的圓與橢圓交于兩點，求中點的軌跡方程。（7）參數(shù)法：有時求動點應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關(guān)點，但卻較易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個動點的運動常常受到另一個變量（角度、斜率、比值、截距或時間等）的制約，即動點坐標(biāo)中的分別隨另一變量的變化而變化，稱這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法，如果需要得到軌跡的普通方程，只要消去參數(shù)即可；在選擇參數(shù)時，選用的參變量要以具有某種物理或幾何的性質(zhì)，如時間、速度、距離、角度，有向線段的數(shù)量、直線的斜率，點