基于內(nèi)積空間的張量積與隨機(jī)不動點的分析研究

1、內(nèi)積空間的張量積、投影與隨機(jī)不動點的分析與研究摘要：矩陣張量積的計算是矩陣計算中的一類重要問題，與乘法相比，張量積的計算量更為龐大。根據(jù)內(nèi)積空間相關(guān)定義，分析分塊矩陣張量積的相關(guān)數(shù)學(xué)特。利用矩陣張量積有關(guān)理論，討論矩陣張量積的計算問題，分析了算法的復(fù)雜性。研究并行算法及計算復(fù)雜性問題。利用概率內(nèi)積空間的正交性概念，研究內(nèi)積空間的正交性質(zhì)，得出相關(guān)定理。研究隨機(jī)內(nèi)積空間中不動點和變分不等式之間的關(guān)系，得出相關(guān)的結(jié)果。Abstract: the calculation of matrix tensor product is one of the most important problem in

2、matrix calculation, compared with the multiplication, the tensor product of more large amount of calculation and analysis of partitioned matrix tensor product of related to mathematics.Using matrix tensor product related theory, discussed the calculation problem of matrix tensor product, analysis of

3、 the complexity of the algorithm.The parallel algorithm and computational complexity problem.By using the orthogonality of the probabilistic inner product space concept, the orthogonal properties of the inner product space, related theorems are obtained.Study the fixed point in random inner product

4、Spaces and the variational inequality, the relationship between the relevant results are obtained.一、引言在工程設(shè)計、數(shù)值代數(shù)等領(lǐng)域中，許多的計算問題最終會歸結(jié)到矩陣的計算問題，需要利用并行計算機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行大規(guī)模并行計算。由于此類問題計算量大，因此有效地進(jìn)行這類矩陣計算在實際應(yīng)用中非常重要。本文在具有實際背景的內(nèi)積空間的概念下，給出了內(nèi)積空間相關(guān)的性質(zhì)，不動點理論和變分不等式是當(dāng)今非線性分析的重要組成部分，在力學(xué)、微分方程、控制論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)、優(yōu)化理論、非線性規(guī)劃等理論和應(yīng)用學(xué)科都有廣泛的應(yīng)用。二、背

5、景數(shù)學(xué)中，張量積(tensor product)，記為 ，可以應(yīng)用于不同的上下文中如向量、矩陣、張量、向量空間、代數(shù)、拓?fù)湎蛄靠臻g和模。在各種情況下這個符號的意義是同樣的: 最一般的雙線性運算。在某些上下文中也叫做外積。在向量空間范疇，對象之間的同態(tài)都是線性映射。但其實我們經(jīng)常會碰到 “雙線性映射” 這種概念，比如內(nèi)積就是一個雙線性映射 V x V - C. 我們希望把 “雙線性” 這種性質(zhì)歸于向量空間范疇。一個辦法就是，構(gòu)造一個跟 V, W 有關(guān)的向量空間 Z，使得所有定義在 V x W 上的 “雙線性映射” 都可以由 “唯一” 一個定義在 Z 上的 “線性映射” 來代替。這個 Z 就叫 V

6、 和 W 的張量積。后來的發(fā)展表明，“張量積” 可以擴(kuò)展到一般范疇。凡是在范疇中多個對象得到一個對象，并滿足一定結(jié)合規(guī)則和交換規(guī)則的操作都可以視為 “張量積”，比如集合的笛卡兒積，無交并，拓?fù)淇臻g的乘積，等等，都可以被稱為張量積。帶有張量積操作的范疇叫做 “張量范疇”。張量范疇現(xiàn)在被視為量子不變量理論的形式化，從而應(yīng)該同量子場論，弦論都有深刻的聯(lián)系。三、相關(guān)概念內(nèi)積空間的基本概念：設(shè)是域上的線性空間，對任意，有一個中數(shù)與之對應(yīng)，使得對任意；滿足；，當(dāng)且僅當(dāng)；稱是上的一個內(nèi)積，上定義了內(nèi)積稱為內(nèi)積空間。定理1.1 設(shè)是內(nèi)積空間，則對任意有：。設(shè)是內(nèi)積空間，對任意，命則是上的一個范數(shù)。定理1.2設(shè)

7、是內(nèi)積空間，則內(nèi)積是的連續(xù)函數(shù)，即時，。定理1.3設(shè)是內(nèi)積空間，對任意，有以下關(guān)系式成立，平行四邊形法則：2；極化恒等式：（定理1.4設(shè)是賦范空間，如果范數(shù)滿足平行四邊形法則，則可在中定義一個內(nèi)積，使得由它產(chǎn)生的范數(shù)正是中原來的范數(shù)。內(nèi)積空間的正交性和正交系正交性：設(shè)是內(nèi)積空間，如果，稱與正交，記為。設(shè)是的任意子集，如果與中每一元正交，稱與正交，記為；如果是中兩個子集，對于任意，稱與正交，記。設(shè)是的子集，所有中與正交的元的全體稱為的正交補，記為。定理2.1設(shè)是內(nèi)積空間如果，且，則；如果是的一個稠密子集，即，并且，則；是的任意子集，則是的閉子空間。定理2.2設(shè)是內(nèi)積空間中的完備凸集，則對任意，存

8、在，使得。定理2.3（正交分解）設(shè)是空間的閉子空間，則對任意，存在唯一的及，使得。正交系：設(shè)是內(nèi)積空間中的子集，如果，稱是中的一個正交系。設(shè),是一個正交系，如果對每一上,稱是一個標(biāo)準(zhǔn)正交系。定理2.4設(shè)是內(nèi)積空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，是個數(shù)，則當(dāng)且當(dāng)僅時，取最小值。定理2.5（不等式）設(shè)是內(nèi)積空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，則對任意，有。定理2.6設(shè)是內(nèi)積空間中的一個標(biāo)準(zhǔn)正交系，則是完備的，當(dāng)且僅當(dāng)張成的子空間在中稠密。定理2.7設(shè)是空間，是中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，則是完備的，當(dāng)且僅當(dāng)是完全的。定理2.8設(shè)是空間，是中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，則存在，使得并且定理2.9（正交化定理）設(shè)是內(nèi)積空間中的可數(shù)子集，則在中存在標(biāo)準(zhǔn)正交系，

9、使得與張成的子空間相同。定理2.10設(shè)是任一可分的無窮維的空間，則存在上到同構(gòu)映射，且保持內(nèi)積。內(nèi)積空間中的正交與投影5.2.1 正交和投影定義5.2.1 設(shè)是內(nèi)積空間，若，則稱與正交，記作。正交性質(zhì)：(1) 若，則；(2) 若，則 ；(3) 若，則；(4) 對，恒有；注 不意味著。(5) 勾股弦定理：當(dāng)時，。引理5.2.1 設(shè)是內(nèi)積空間，則是的閉線性子空間。推論 設(shè)，若是張成的閉線性子空間，則。定義5.2.2 設(shè)是內(nèi)積空間，是的兩個線性子空間，若，則稱。為與的正交和，記作。命題5.2.1 設(shè)內(nèi)積空間能分解為與的線性和則它為正交和 。定義5.2.3 設(shè)是內(nèi)積空間的線性子空間，. 若存在，使得。

10、則稱是在上的（正交）投影，或在上的投影分量。注1 是在上的（正交）投影，或在上的投影分量。注2 一般說來，對于內(nèi)積空間的任意向量以及任意子空間，在上的投影并不一定存在。注3 若在上有投影，則投影必定是唯一的。定理5.2.1 設(shè)是內(nèi)積空間的線性子空間，. 若是在上的投影，則,且是中使(5.2.2)成立的惟一向量。5.2.2 投影定理引理5.2.2（變分引理） 設(shè)是內(nèi)積空間中完備的凸集，. 記，則必有唯一的，使得。引理5.2.3 設(shè)是內(nèi)積空間中的線性子空間，. 若，則，即。定理5.2.2（投影定理） 設(shè)是內(nèi)積空間中的完備線性子空間，則對，在上的投影唯一地存在。即：存在，使得，且這種分解是唯一的。特

11、別地，當(dāng)時，。推論1 設(shè)是內(nèi)積空間中的完備線性子空間，且，則在中必有非零元素。推論2 設(shè)是Hilbert空間中的線性子空間，則。特別地，若，則在中稠密。四、張量積、投影與隨機(jī)不動點在數(shù)學(xué)中，張量積，記為，可以應(yīng)用于不同的上下文中如向量、矩陣、張量、向量空間、代數(shù)、拓?fù)湎蛄靠臻g和模。在各種情況下這個符號的意義是同樣的: 最一般的雙線性運算。在某些上下文中也叫做外積。例子: 結(jié)果的秩為1, 結(jié)果的維數(shù)為 43 = 12。這里的秩指示張量秩（所需指標(biāo)數(shù)），而維數(shù)計算在結(jié)果數(shù)組(陣列)中自由度的數(shù)目；矩陣的秩是1。代表情況是任何兩個被當(dāng)作矩陣的矩形數(shù)組的克羅內(nèi)克積。在同維數(shù)的兩個向量之間的張量積的特殊

12、情況是并矢積。兩個張量的張量積：有兩個(或更多)張量積的分量的一般公式。例如，如果U和V是秩分別為n和m的兩個協(xié)變張量，則它們的張量積的分量給出為 所以兩個張量的張量積的分量是每個張量的分量的普通積。注意在張量積中，因子U消耗第一個 rank(U) 指標(biāo)，而因子V消耗下一個 rank(V) 指標(biāo)，所以例子：設(shè)U是類型 (1,1) 的張量，帶有分量U；并設(shè)V是類型 (1,0) 的張量，帶有分量V。則張量積繼承它的因子的所有指標(biāo)。對于矩陣這個運算通常叫做克羅內(nèi)克積，用來明確結(jié)果有特定塊結(jié)構(gòu)在其上，其中第一個矩陣的每個元素被替代為這個元素與第二個矩陣的積。對于矩陣和：多重線性映射的張量積：給定多重線

13、性映射和它們的張量積是多重線性函數(shù)在域上的兩個向量空間和的張量積有,通過“生成元和關(guān)系”的方法的形式定義。在這些的關(guān)系下的等價類被叫做“張量”,并指示為。通過構(gòu)造，可以證明在張量之間的多個恒等式并形成張量的代數(shù)。要構(gòu)造，采用在之上帶有基的向量空間，并應(yīng)用(因子化所生成的子空間)下列多線性關(guān)系：在解決正交投影這類問題，如果要用定理證明的方法求出線性空間的一個規(guī)范正交基。那么首先要對定理進(jìn)行證明，在理論上作必要的準(zhǔn)備！例 在標(biāo)準(zhǔn)歐幾里得空間V=R中有向量=（1，-1， -1，1）=（1，-1，0，1）=(1,-1,0,1)線性空間W=L(,)求向量=（2，4，1，2）在W上的正交投影。解這道題有很

14、多方法，第一種方法就是按定理證明的方法。該方法涉及到格拉姆施密特正交化。因而首先對格拉姆施密特正交化在理論上給予證明。先考慮在三維空間V中一組線性無關(guān)的向量，則令再將在上的投影向量記為R?。簁則（如下圖所示）有內(nèi)積得相關(guān)知識可得k=由于與共面，因此與也共面。因而在平面的投影向量維R,則：R=R+其中取則再將分別單位化為即得到一組正交單位向量,它與向量組是等價的。即在三維空間中存在一組單位正交基與等價，那么對于.，這組線性無關(guān)的向量組是否存在正交向量組與它是否等價呢？令顯然與等價，再令為保證正交即（）=0則可得到：也就是說取時。顯然有與等價。再令由可得故并且與也等價。繼續(xù)上述步驟，假定已找到兩兩

15、正交的非零向量滿足條件。使得與等價。（其中S=1,2,3t),為使與均正交。即得：由此可以得到一個正交向量組使與等價因而格拉姆施密特正交化為：若存在W中的一個基可以得到與該向量等價的單位向量正交基，滿足條件：對格拉姆施密特正交化從理論上證明后，用理論進(jìn)行求解就不難了！有觀察可知是線形無關(guān)的故將其正交化可得：向量在W上的正交投影是：第二種方法：我們要利用正交投影的定義將進(jìn)行分解，其中，令則）=（2-，4+，1+，2）由于故（由此可得方程組：解之可得：代入式可得：該方法的主要特點是間接的求，因為的向量坐標(biāo)已知故利用的坐標(biāo)可將的坐標(biāo)表示出來。再利用進(jìn)行求解，這種設(shè)而不求得方法在初等數(shù)學(xué)中是非常常見的

16、。可以利用矩陣的知識進(jìn)行求解，設(shè)其中因此令，以作為列向量得到矩陣以中線性表示的系數(shù)作為列矩陣X這樣有：則有：由于內(nèi)積（表示的矩陣形式就是：.故表示的矩陣形式就是：則有即解之得：于是事實上用矩陣求解只是單純的引入了矩陣這個運算工具而已，其最根本的原理與方法二類似，只是使計算更具可能性，目的性，比方法二的計算更加簡明，在具體的計算操作性上較方法二要強(qiáng)。對于正交投影這類問題計算一般都較復(fù)雜，因此在計算時，要根據(jù)基向量的個數(shù)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，一般情況下選擇定義法為宜。五、隨即不動點 5.1不動點相關(guān)定義 設(shè)X為非空集合，T：XX是一個映射，如果x 使得Tx=x成 立，則稱x為映射T的一個不動點。特別地，

17、函數(shù)f(x)是定義在DIR上的函數(shù)，如果$x 使得f(x)=x成立，則稱x為函數(shù)f(x)的一個不動點。如圖4.1-1圖4.1-1定義2 設(shè)(X,r)是距離空間，T是X到其自身的映射，且對于任意的 x,Y,X不等式r(Tx,Ty)qr(x,r)都成立，其中q是滿足0?q 1的常數(shù),則稱T是X上的壓縮映射。 5.2不動點思想 首先，對于函數(shù)y=f(x)的不動點，有兩個方面的理解： 1）y=f(x)的不動點，是方程f(x)-x=0的根。 2）y=f(x)的不動點，是函數(shù)y=f(x)與y=x的交點。 有了這兩個方面的理解，很顯然，可以用不動點思想來求方程的根和函數(shù)的交點。 5.3不動點相關(guān)定理 設(shè)(X

18、,r)為完備的距離空間，T是X上的壓縮映射，則T在X中存在唯一的不動點，即存在唯一的x X,使得Tx=x。并且該不動點可以用迭代法求得。 有時候映射T不能滿足定理1的條件，故不能應(yīng)用它，因此有必要將定理加以拓廣，由此得到定理2。 定理2 設(shè)(X,r)為完備的距離空間，T是X到其自身的映射，如果存在常數(shù)q:0?q 1以及自然是n使得對于任意的關(guān)于x,X,TX，y成立，那么T在X中存在唯一的不動點。 六、結(jié)束語通過對分塊矩陣張量積有關(guān)性質(zhì)的研究，以上討論了張量積的計算問題，并對投影和隨機(jī)不動點進(jìn)行了一定的討論，因張量積、投影和隨機(jī)不動點還處于蓬勃發(fā)展階段。特別是不動點理論，它的影響遍及整個數(shù)學(xué)界。運用不動點定理，可以使許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化。參考文獻(xiàn)1 譚國律.關(guān)于矩陣張量積計算的研究. 2004. 1002-8331. 利用矩陣張量積有關(guān)理論,討論了矩陣張量積的計算問題,分析了算法的復(fù)雜性,并研究了并行算法及計算復(fù)雜性問題。2 譚國律 and 黃時祥.分塊矩陣的張量積及其并行計算. 2007. 1000-7024. 矩陣張量積的計算是矩陣計算中的一類重要問題,與乘法相比,張量積的計算量更為龐大。分析了分塊矩陣張量積的相關(guān)數(shù)學(xué)特性,證明了在置換相抵意義下兩個矩