彈塑性力學考題史上最全總結(jié)_沒有之一

1、Mark12345679一很長的（沿z軸方向）直角六面體，上表面受均布壓q作用，放置在絕對剛性和光滑的基礎(chǔ)上，如圖所示。若選取ay2做應力函數(shù)。試求該物體的應力解、應變解和位移解。（提示：基礎(chǔ)絕對剛性，則在x0處，u0 ；由于受力和變形的對稱性，在y0處，v0 。）解： ，滿足 ，是應力函數(shù)。相應的應力分量為：， ， ； 應力邊界條件：在x = h處， 將式代入得： ，故知：， ， ； 由本構(gòu)方程和幾何方程得：積分得： 在x=0處u=0，則由式得，f1(y)= 0；在y=0處v=0，則由式得，f2(x)=0；因此，位移解為： 附，對比另一方法：例，方向（垂直于板面）很長的直角六面體，上邊界受均

2、勻壓力作用，底部放置在絕對剛性與光滑的基礎(chǔ)上，如圖所示。不計自重，且 。試選取適當?shù)膽瘮?shù)解此問題，求出相應的應力分量。解答：1、確定應力函數(shù)分析截面內(nèi)力：，故選取積分得：，代入相容方程，有：， 要使對任意的 x、y 成立，有，積分，得：，。 2、計算應力分量， 3、由邊界條件確定常數(shù)左右邊界（）：；上邊界（）：4、應力解答為： 10已知一半徑為R50mm，厚度為t3mm的薄壁圓管，承受軸向拉伸和扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用。設管內(nèi)各點處的應力狀態(tài)均相同，且設在加載過程中始終保持，（采用柱坐標系，r為徑向，為環(huán)向，z為圓管軸向。）材料的屈服極限為400MPa。試求此圓管材料屈服時（采用Mises屈服條件）

3、的軸向載荷P和軸矩Ms。 （提示：Mises屈服條件： ；）解：據(jù)題意知一點應力狀態(tài)為平面應力狀態(tài)，如圖示，且知 ，則 ，且 = 0。代入Mises屈服條件得： 即： 解得： 200 MPa；軸力：P= = 2501033103200106=188.495kN扭矩：M= = 25021063103200106=9.425 kN m11在平面應力問題中，若給出一組應力解為： ， ， ， 式中a、b、c、d、e和f均為待定常數(shù)。且已知該組應力解滿足相容條件。試問：這組應力解應再滿足什么條件就是某一彈性力學平面應力問題的應力解。（15分）解：應力解應再滿足平衡微分方程即為彈性力學平面應力問題可能的應

4、力解，代入平衡微分方程得： 則知，只要滿足條件af，ed，b和c可取任意常數(shù)。若給出一個具體的彈性力學平面應力問題，則再滿足該問題的應力邊界條件，該組應力分量函數(shù)即為一個具體的彈性力學平面應力問題的應力解。12在物體內(nèi)某點，確定其應力狀態(tài)的一組應力分量為：=0，=0，=0，=0，=3a，=4a，知。試求：（16分）該點應力狀態(tài)的主應力、和；主應力的主方向；主方向彼此正交；解：由式（219）知，各應力不變量為、， 代入式（218）得：也即 （1）因式分解得： （2）則求得三個主應力分別為。設主應力與xyz三坐標軸夾角的方向余弦為、 、 。將 及已知條件代入式（213）得：（3）由式（3）前兩式分

5、別得： （4）將式（4）代入式（3）最后一式，可得0=0的恒等式。再由式（215）得：則知； （5）同理可求得主應力的方向余弦、和主應力 的方向余弦、，并且考慮到同一個主應力方向可表示成兩種形式，則得： 主方向為： ；（6） 主方向為： ；（7） 主方向為： ； （8）若取主方向的一組方向余弦為 ，主方向的一組方向余弦為 ，則由空間兩直線垂直的條件知：（9）由此證得 主方向與主方向彼此正交。同理可證得任意兩主應力方向一定彼此正交。13如圖所示，楔形體OA、OB邊界不受力。楔形體夾角為2，集中力P與y軸夾角為。試列出楔形體的應力邊界條件。（14分）解：楔形體左右兩邊界的逐點應力邊界條件：當時，

6、0，0；以半徑為r任意截取上半部研究知：、14一矩形橫截面柱體，如圖所示，在柱體右側(cè)面上作用著均布切向面力q，在柱體頂面作用均布壓力p。試選?。鹤鰬瘮?shù)。式中A、B、C、D、E為待定常數(shù)。試求： （16分）（1）上述式是否能做應力函數(shù)；（2）若可作為應力函數(shù)，確定出系數(shù)A、B、C、D、E。（3）寫出應力分量表達式。（不計柱體的體力）解：據(jù)結(jié)構(gòu)的特點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即：；由此可知應力函數(shù)可取為：（a）將式（a）代入 ，可得：(b)故有：； (c)則有：； (d)略去 中的一次項和常數(shù)項后得：(e)相應的應力分量為：(f)邊界條件： 處，則 ； (g) 處， 則 ； (h)

7、在y = 0處， ， ，即 由此得：，再代入式（h）得：；由此得：（i）由于在y=0處，積分得：（j），積分得：（k）由方程(j ) (k)可求得：，投知各應力分量為：(l)據(jù)圣文南原理，在距處稍遠處這一結(jié)果是適用的。窗體底端16已知一彈性力學問題的位移解為：（13分） ； ； ； 式中a為已知常數(shù)。試求應變分量，并指出它們能否滿足變形協(xié)調(diào)條件（即相容方程）。解：將位移分量代入幾何方程得： ； ； ； 由于應變分量是x的線性函數(shù)，固知它們必然滿足變形協(xié)調(diào)條件：17設如圖所示三角形懸臂梁，只受自重作用，梁材料的容重為。若采用純?nèi)味囗検剑鹤鲬瘮?shù)，式中A、B、C、D為待定常數(shù)。試求此懸臂梁的應

8、力解。（15分）解：將 式代入 知滿足，可做應力函數(shù)，相應的應力分量為：（已知Fx0，F(xiàn)y=）邊界條件： 上邊界： ， ， ，代入上式得：A B 0， 斜邊界： ， ， ， ，則：得：； 于是應力解為：題四、2圖18試列出下列各題所示問題的邊界條件。（每題10分，共20分。）（1）試列出圖示一變截面薄板梁左端面上的應力邊界條件，如圖所示。題四、3、（1）圖題四、3、（2）圖（2）試列出半空間體在邊界上受法向集中P作用Boussinesq問題的應力邊界條件，如圖所示。（1）左端面的應力邊界條件為：據(jù)圣文南原理題四、3、（1）圖（2）上邊界：當 時 ， ； 當 時 ， ； 當 時 ， ； 在此邊界

9、上已知：， ， ； 當設想 時，截取一平面，取上半部研究，則由平衡條件知： ，已知： ，對稱性19一薄壁圓筒，承受軸向拉力及扭矩的作用，筒壁上一點處的軸向拉應力為，環(huán)向剪應力為，其余應力分量為零。若使用Mises屈服條件，試求：（16分）1）材料屈服時的扭轉(zhuǎn)剪應力應為多大？2）材料屈服時塑性應變增量之比，即：。已知Mises屈服條件為：解：采用柱坐標，則圓筒內(nèi)一點的應力狀態(tài)為：則miss條件知：解得： ；此即為圓筒屈服時，一點橫截面上的剪應力。已知： 則：由增量理論知：則：即： 20如圖所示一半圓環(huán)，在外壁只受的法向面力作用，內(nèi)壁不受力作用。A端為固定端，B端自由。試寫出該問題的逐點應力邊界條

10、件和位移邊界條件。（15分） 、解：逐點應力邊界條件： 當ra時，0， 0；當rb時，qsi， 0； 當=時， 0， 0；A端位移邊界條件： 當0 ， 時，ur0 ，u0 ，且過A點處徑向微線素不轉(zhuǎn)動，即 0；或環(huán)向微線素不轉(zhuǎn)動，即 =0。21已知一點的應變狀態(tài)為：，。試將其分解為球應變狀態(tài)與偏斜應變狀態(tài)。（15分）解：； ； 22已知受力物體內(nèi)一點處應力狀態(tài)為：（Mpa）且已知該點的一個主應力的值為2MPa。試求：（18分）應力分量的大小 ； 主應力、和。解（1）：；即：， 將：代入上式解得：；故知：由： 又解（2）：代入教材、公式： 代入由： ，且由上式知：2式知 ，由3式 ，故 ，則知：

11、 ；（由1式）再由： 展開得：； 則知：；由：即： ； ； 再由：知：23一厚壁圓筒，內(nèi)半徑為a，外半徑為b ，僅承受均勻內(nèi)壓q作用（視為平面應變問題）。圓筒材料為理想彈塑性，屈服極限為。試用Tresca屈服條件，分析計算該圓筒開始進入塑性狀態(tài)時所能承受的內(nèi)壓力q的值。已知圓筒處于彈性狀態(tài)時的 應力解為： ； ； ； ； ； ； 上式中：arb。（16分）解：由題目所給條件知： 則由Tresca條件： 知：則知： 24梯形橫截面墻體完全置于水中，如圖所示。已知水的比重為g，試寫出墻體橫截面邊界AA，AB，BB 的面力邊界條件。 25作用均勻分布載荷q的矩形橫截面簡支梁，如圖所示。根據(jù)材料力學分

12、析結(jié)果，該梁橫截面的應力分量為 試檢驗上述分析結(jié)果是否滿足平衡微分方程和面力邊界條件。26單位厚度的楔形體，材料比重為g，楔形體左側(cè)作用比重為g1的液體，如圖所示。試寫出楔形體的邊界條件。 27已知球體的半徑為r，材料的密度為r1，球體在密度為r1（r1r1）的液體中漂浮，如圖所示。試寫出球體的面力邊界條件。 28矩形橫截面懸臂梁作用線性分布載荷，如圖所示。試根據(jù)材料力學應力解答 推導擠壓應力sy的表達式。29等厚度板沿周邊作用著均勻壓力q ，若O點不能移動和轉(zhuǎn)動，試求板內(nèi)任意點的位移分量。 30簡支梁僅承受自身重量，材料的比重為g，試檢驗函數(shù) j f =Ax2y3+By5+C y3+Dx 2

13、y 是否可以作為應力函數(shù)，并且求各個待定系數(shù)。31建筑在水下的墻體受水壓，軸向壓力F和側(cè)向力F作用，如圖所示。已知墻體的端部與水平面等高，水的比重為g，側(cè)向力與水平面距離為2h，設應力函數(shù)為 j f =Ay3+Bx2+Cxy+Dx3y+Ex3 試求y =3h墻體截面的應力分量。32已知如圖所示單位厚度的矩形薄板，周邊作用著均勻剪力 q。試求邊界上的 并求其應力分量（不計體力）。33矩形截面柱側(cè)面受均布載荷q的作用，如圖所示。試求應力函數(shù)及應力分量（不計體力）。 34如圖所示懸臂梁，承受均布載荷q的作用，試檢驗函數(shù) j f =Ay3+Bx2y3+Cy3+Dx2+Ex2y 能否做為應力函數(shù)。如果可

14、以，求各個待定系數(shù)及懸臂梁應力分量。35矩形截面柱體承受偏心載荷作用，如果不計柱體自身重量，則若應力函數(shù)為 j f =Ax3+Bx2 試求： a. 應力分量和應變分量； b. 假設O點不動，且該點截面內(nèi)的任意微分線段不能轉(zhuǎn)動，求其位移分量； c.軸線的位移撓曲線方程。 36已知懸臂梁如圖所示，如果懸臂梁的彎曲正應力sx 由材料力學公式給出，試由平衡方程式求出sy 及txy ，并檢驗計算所得的應力分量能否滿足應力表示的變形協(xié)調(diào)方程。37三角形懸臂梁，承受自重作用，如圖所示。已知材料的比重為g ，試確定應力函數(shù)及應力分量。3839根據(jù)各向同性體的廣義虎克定理，證明主應力方位與主應變方位相重合（15

15、分）。證明：已知廣義虎克定律 （1） （3分）而主應力狀態(tài)下有 （2） （2分）令主應力方向余弦為，則相應的特征方程為 （3） （4分）且： 上式中為對應的主應力方向。將式（1）、（2）代入式（3）整理得： （4） （4分）上式正好為主應變方程， 對應的主應變方向也為。可見：對于均勻各向同性體，主應力方向和主應變方向重合。（2分）40已知應力函數(shù)，試求出應力分量并畫出下圖中薄板斜邊界上對應的面力分布情況(包括正應力和剪應力)。（15分）解：由公式： （3分）在斜截面上的方向余弦為：， （2分）由坐標變化公式，斜截面上的正應力為 （4分）B點：，C點：，如圖所示。0xy0xy斜截面正應力分布斜截

16、面剪應力分布 A B B A(+)斜截面上的剪應力為 （4分）（4分） （3分）B點：，C點：，如圖所示。41對于圖示的偏心壓縮桿件，已知壓力P和偏心矩e。試求應力分布。（20分）。解：1、由材料力學可知：即沿x方向線性分布。可設： （3分）又由： 推得應力函數(shù)為： （3分）2、應力分量為 （2分）3、由邊界條件定常數(shù) 上端面：靜力等效、 （4）、（4分）則應力分量為， （2分）421. 試列出圖5-1的全部邊界條件，在其端部邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件。（板厚） 圖5-1解：在主要邊界上，應精確滿足下列邊界條件：，； ，在次要邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條

17、件，當板厚時，在次要邊界上，有位移邊界條件：，。這兩個位移邊界條件可以改用三個積分的應力邊界條件代替：，432. 試考察應力函數(shù)，能滿足相容方程，并求出應力分量（不計體力），畫出圖5-2所示矩形體邊界上的面力分布，并在次要邊界上表示出面力的主矢和主矩。圖5-2解：（1）相容條件：將代入相容方程，顯然滿足。（2）應力分量表達式：，（3）邊界條件：在主要邊界上，即上下邊，面力為，在次要邊界上，面力的主失和主矩為 彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主失量和主矩如解圖所示。443. 設有矩形截面的長豎柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力q, 如圖5-3所示，試求應力分量。（提示：采用半逆解法，因

18、為在材料力學彎曲的基本公式中，假設材料符合簡單的胡克定律，故可認為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設應力分量 ）圖 5-3解：采用半逆解法，因為在材料力學彎曲的基本公式中，假設材料符合簡單的胡克定律，故可認為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設應力分量，(1) 假設應力分量的函數(shù)形式。(2) 推求應力函數(shù)的形式。此時，體力分量為。將代入應力公式有對積分，得， （a） 。 （b）其中，都是的待定函數(shù)。(3)由相容方程求解應力函數(shù)。將式（b）代入相容方程，得這是y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多的根（全部豎柱內(nèi)的y值都應該滿足），可見它的系數(shù)和自由項都必須等于零。，兩個方程要求， (c)中

19、的常數(shù)項，中的一次和常數(shù)項已被略去，因為這三項在的表達式中成為y的一次和常數(shù)項，不影響應力分量。得應力函數(shù) (d)（4）由應力函數(shù)求應力分量。， (e)， (f). (g)(5) 考察邊界條件。利用邊界條件確定待定系數(shù)先來考慮左右兩邊的主要邊界條件：，。將應力分量式(e)和(g)代入，這些邊界條件要求：，自然滿足； (h) (i)由（h）（i） 得 （j） 考察次要邊界的邊界條件，應用圣維南原理，三個積分的應力邊界條件為； 得 ， 得 （k）由（h）（j）（k）得 , 將所得A、B、C、D、E代入式（e）（f）（g）得應力分量為：， 45圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力

20、作用，單位寬度上集中力的值為P，設間距d很小。試求其應力分量，并討論所求解的適用范圍。（提示：取應力函數(shù)為 ） （13分）題三（1）圖解：很小，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶M的情形。將應力函數(shù)代入，可求得應力分量： ； ； 邊界條件：（1）； 代入應力分量式，有 或 （1）（2）取一半徑為r 的半圓為脫離體，邊界上受有：，和M = Pd由該脫離體的平衡，得將代入并積分，有 得 （2）聯(lián)立式（1）、（2）求得：，代入應力分量式，得； ； 。結(jié)果的適用性：由于在原點附近應用了圣維南原理，故此結(jié)果在原點附近誤差46圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的正應力由材料力學公式給出，試由平衡微分方

21、程求出，并檢驗該應力分量能否滿足應力表示的相容方程。（12分） 題三（2）圖解：（1）求橫截面上正應力任意截面的彎矩為，截面慣性矩為，由材料力學計算公式有 （1）（2）由平衡微分方程求、平衡微分方程： 其中，。將式（1）代入式（2），有積分上式，得利用邊界條件：，有 即 （4）將式（4）代入式（3），有 或 積分得利用邊界條件：，得：由第二式，得將其代入第一式，得 自然成立。將代入的表達式，有 （5）所求應力分量的結(jié)果： （6）校核梁端部的邊界條件：（1）梁左端的邊界（x = 0）：， 代入后可見：自然滿足。（2）梁右端的邊界（x = l）：可見，所有邊界條件均滿足。檢驗應力分量是否滿足應力相

22、容方程：常體力下的應力相容方程為將應力分量式（6）代入應力相容方程，有，顯然，應力分量不滿足應力相容方程，因而式（6）并不是該該問題的正確解。47一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為l，抗彎剛度EI為常數(shù)，梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為k。梁受有均勻分布載荷q作用，如圖所示。試：（1）構(gòu)造兩種形式（多項式、三角函數(shù)）的梁撓度試函數(shù)；（2）用最小勢能原理或Ritz法求其多項式形式的撓度近似解（取1項待定系數(shù)）。 （13分）題二（3）圖解：兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為 多項式函數(shù)形式 三角函數(shù)形式此時有：即滿足梁的端部邊界條件。 梁的總勢能為?。海?，代入總勢能計算式，有由，有代入梁的撓度試函數(shù)表達式

23、，得一次近似解為48已知受力物體內(nèi)某一點的應力分量為：，試求經(jīng)過該點的平面上的正應力。 （12分）解：由平面方程，得其法線方向單位矢量的方向余弦為， 49常體力情況下，用應力函數(shù)表示的相容方程形式為，請問：相容方程的作用是什么？兩種解法中，哪一種解法不需要將相容方程作為基本方程？為什么？（13分）答：（1）連續(xù)體的形變分量（和應力分量）不是相互獨立的，它們之間必須滿足相容方程，才能保證對應的位移分量存在，相容方程也因此成為判斷彈性力學問題解答正確與否的依據(jù)之一。（2）對于按位移求解（位移法）和按應力求解（應力法）兩種方法，對彈性力學問題進行求解時位移法求解不需要將相容方程作為基本方程。（3）（

24、定義）按位移求解（位移法）是以位移分量為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去應力分量和形變分量，導出只含位移分量的方程和相應的邊界條件，并由此解出應變分量，進而再求出形變分量和應力分量。50考慮上端固定，下端自由的一維桿件，見題七圖，只受重力作用，（為桿件密度，g為重力加速度），并設=0。試用位移法求解桿件豎向位移及應力。（14分）（平面問題的平衡微分方程：，；用位移分量表示的應力分量表達式：，）解：據(jù)題意，設位移u=0，v=v(y)，按位移進行求解。根據(jù)將用位移分量表示的應力分量代入平面問題的平衡微分方程，得到按位移求解平面應力問題的基本微分方程如下：(a)(b) 將相關(guān)量代入式(a)、(b

25、)，可見(a) 式（第一式）自然滿足，而(b) 式第二式成為可由此解出 (c)本題中，上下邊的邊界條件分別為位移邊界條件和應力邊界條件，且 將(c)代入，可得反代回(c)，可求得位移：51設有函數(shù)，（1）判斷該函數(shù)可否作為應力函數(shù)？（3分）（2）選擇該函數(shù)為應力函數(shù)時，考察其在圖中所示的矩形板和坐標系（見題九圖）中能解決什么問題（l h）。（15分）題九圖解： （1）將代入相容方程，顯然滿足。因此，該函數(shù)可以作為應力函數(shù)。（2）應力分量的表達式：考察邊界條件：在主要邊界yh/2上，應精確滿足應力邊界條件在次要邊界x0上，應用圣維南原理，可列出三個積分的應力邊界條件：在次要邊界xl上，應用圣維南

26、原理，可列出三個積分的應力邊界條件：對于如圖所示的矩形板和坐標系，結(jié)合邊界上面力與應力的關(guān)系，當板內(nèi)發(fā)生上述應力時，由主邊界和次邊界上的應力邊界條件可知，左邊、下邊無面力；而上邊界上受有向下的均布壓力；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為一力偶和鉛直面力。所以能夠解決右端為固定端約束的懸臂梁在上邊界受均布荷載q的問題。52535455565758如圖所示，懸臂梁上部受線性分布荷載，梁的厚度為1，不計體力。試利用材料力學知識寫出，表達式；并利用平面問題的平衡微分方程導出，表達式。分析：該問題屬于平面應力問題；在材料力學中用到了縱向纖維互不擠壓假定，即無存在，可以看出上邊界存在直接荷載作用，則會有

27、應力存在，所以材料所得結(jié)果是不精確的；在平衡微分方程二式中都含有，聯(lián)系著第一、二式；材料力學和彈性力學中均認為正應力主要由彎矩引起。解：橫截面彎矩：，橫截面正應力代入平衡微分方程的第一式得：（注意未知量是的函數(shù)），由得出，可見 將代入平衡微分方程的第二式得：，59某一平面問題的應力分量表達式：，體力不計，試求，的值。解答：兩類平面問題的平衡微分方程是一樣的，且所給應力分量是實體的應力，它對實體內(nèi)任意一點均是成立的。將所給應力分量代入平衡微分方程中：代入第一式：，即：，代入第二式：，即：，60設物體內(nèi)的應力場為，試求系數(shù)。解：由應力平衡方程的： 即： （1） （2）有（1）可知：因為與為任意實數(shù)

28、且為平方，要使（1）為零，必須使其系數(shù)項為零，因此， （3） （4）聯(lián)立（2）、（3）和（4）式得：即：61已知圖示平板中的應力分量為：，。試確定OA邊界上的方向面力和AC邊界上的方向面力，并在圖上畫出，要求標注方向。解：1、OA邊界上的方向面力：，在處，=，正值表示方向和坐標軸正向一致，且成三次拋物線分布，最大值為。2、AC邊界上的方向面力：，在處，=，負值表示方向和坐標軸正向相反，成直線分布，最小值為0，最大值為。62已知下列應變狀態(tài)是物體變形時產(chǎn)生的，試求各系數(shù)之間應滿足的關(guān)系。解：為了變形連續(xù)，所給應變分量必須滿足相容方程，將其代入到式相容方程中得出，上式應對任意的均成立，所以有：，由

29、此可得到各系數(shù)之間應滿足的關(guān)系是。系數(shù)可取任意值，同時也說明了常應變不論取何值，實體變形后都是連續(xù)的。63已知平面應變狀態(tài)下，變形體某點的位移函數(shù)為：，試求該點的應變分量。解：，64設，其中為常數(shù)，試問該應變場在什么情況下成立？解：對求的2次偏導，即： ，即：時上述應變場成立。65試由下述應變狀態(tài)確定各系數(shù)與物體體力之間的關(guān)系。，分析：該問題為平面應變問題，因為平面應變問題總有；所給應變存在的可能性，即應變分量必須滿足相容方程，才是物體可能存在的；因為要求求出體力，體力只是和平衡微分方程有關(guān)，需要先求出應力分量，而應力分量可通過應力與應變關(guān)系即物理方程求出，由應變求出應力，注意兩類問題的物理方

30、程不一樣，需要應用平面應變問題的物理方程。解：（1）檢驗該應變狀態(tài)是否滿足相容方程，因為：，即，滿足。（2）將應變分量代入到平面應變問題的物理方程式（2-23）中求出應力分量：（3）將上述應力分量代入到平衡微分方程式（2-2）中，可得到各系數(shù)與物體體力之間的關(guān)系：（4）討論：若無體力（），則由上式可得，根據(jù)它對物體內(nèi)的任意一點均成立，又可得結(jié)論：若體力不為零，各系數(shù)與物體體力之間的關(guān)系即是（3）的結(jié)果；若體力為零，則是（4）的結(jié)果；是任意值。66如圖所示為矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應力邊界條件（下邊界不寫）。解：應力邊界條件公式為：；。1）左右邊界為主要邊界

31、，利用面力邊值條件：左面（）：，則：右面（）：，則：2）上端面（）為小邊界應用靜力等效：，67平面問題如圖所示，已知位移分量為：，。若已知變形前點坐標為（1.5，1.0），變形后移至（1.503，1.001），試確定點的應變分量。答：；點的應變分量：。（3分）68試寫出如圖所示的位移邊界條件。（1）圖（）為梁的固定端處截面變形前后情況，豎向線不轉(zhuǎn)動；（2）圖（）為梁的固定端處截面變形前后情況，水平線不轉(zhuǎn)動；（3）圖（）為薄板放在絕對光滑的剛性基礎(chǔ)上。答：（1）圖（），；（2）圖（），；（3）圖（）邊界位移邊界條件為：，69試驗證應力分量， ，是否為圖示平面問題的解答（假定不考慮體力）。解答：1

32、）將應力分量代入平衡微分方程，得0+0=0， ，得，故不滿足平衡微分方程2）將應力分量代入相容方程：，或?qū)懗?，故：滿足相容方程3）將應力分量代入邊界條件：主要邊界如下：在邊界上：，即0=0，滿足；在邊界上：，即0=0，滿足；在邊界上：，將題所給表達式代入滿足；在邊界上：，將題所給表達式代入滿足；（在及次要邊界上，采用圣維南原理等效，不要求學生寫出）4）結(jié)論：所給應力分量不是圖所示平面問題的解答。70圖所示楔形體，處形拋物線，下端無限伸長，厚度為1，材料的密度為。試證明：， ，為其自重應力的正確解答。證明：該問題為平面應力問題，體力為常量，正確的應力解答要同時滿足相容方程、平衡微分方程和應力邊界

33、條件。1）考察是否滿足相容方程：將應力分量代入到相容方程中，代入滿足；2）考察是否滿足平衡微分方程：代入第一式：，即0+0+0=0，滿足；代入第二式：，即，滿足；3）考察邊界條件：,，代入第一式：，即 （）；代入第二式：，即 （）；曲線的斜率為，而，則，將其連同應力分量代入到（）中，滿足；同理代入到（）中，也滿足，因此滿足邊界條件。故是正確解答。71已知如圖所示懸掛板，在O點固定，若板的厚度為1，材料的相對密度為，試求該板在重力作用下的應力分量。解答：1、確定應力函數(shù)分析截面內(nèi)力：，故選取積分得：，代入相容方程，有：， 要使對任意的 x、y 成立，有，積分，得：，。2、計算應力分量（含待定常數(shù)

34、，體力不為0）， ，3、由邊界條件確定常數(shù)左右邊界（）：，自然滿足；，下邊界（）：4、應力解答為：， 72試檢驗函數(shù)是否可作為應力函數(shù)。若能，試求應力分量（不計體力），并在圖所示薄板上畫出面力分布。解答：檢驗函數(shù)：因為代入相容方程，滿足相容方程，因此該函數(shù)可作為應力函數(shù)。應力分量：由應力函數(shù)所表示的應力分量表達式求得應力分量為：板邊面力：根據(jù)應力邊界條件公式，求出對應的邊界面力。上邊界：得出下邊界：得出左邊界：得出右邊界：得出面力分布如圖所示：7374756.3 在拉伸試驗中，伸長率為，截面收縮率為，其中和為試件的初始橫截面面積和初始長度，試證當材料體積不變時有如下關(guān)系：證明：將和的表達式代入

35、上式，則有6.4 為了使冪強化應力-應變曲線在時能滿足虎克定律，建議采用以下應力-應變關(guān)系： (1)為保證及在處連續(xù)，試確定、值。 (2)如將該曲線表示成形式，試給出的表達式。 解：（1）由在處連續(xù)，有 （a） 由在處連續(xù)，有 （b） （a）、（b）兩式相除，有 （c） 由（a）式，有 （d）（2）取形式時， 當：即 當：應力相等，有 解出得， （代入值） （代入值） 6.5已知簡單拉伸時的應力-應變曲線如圖6-1所示，并表示如下： 問當采用剛塑性模型是，應力-應變曲線應如何表 示？ 圖6-1解：剛塑性模型不考慮彈性階段應變，因此剛塑性應力應變曲線即為曲線，這不難由原式推得而在強化階段，因為這

36、時將都移到等式左邊，整理之即得答案。其中6.6 已知簡單拉伸時的曲線由（6.1）式給出，考慮橫向應變與軸向應 變的比值在彈性階段，為材料彈性時的泊松比，但進入塑性階段后值開始增大最后趨向于。試給出的變化規(guī)律。 解：按題設在簡單拉伸時總有 （a） 左邊為體積變形，不論材料屈服與否，它要按彈性規(guī)律變化，即有 （b） 比較（a），（b）兩式，得 將表達式代入，即可得。6.7如圖所示等截面直桿，截面積為，且。在處作用一個逐漸增加的力。該桿材料為線性強化彈塑性，拉伸和壓縮時性能相同。求左端反力和力的關(guān)系。 解：（1）彈性階段基本方程：平衡方程 （a） 幾何方程 （b） 本構(gòu)方程 （c）聯(lián)立求出 顯然，段

37、先屈服，取，得 ，當時，值如上述表達式。 （2）彈塑性階段（a段塑性，b段彈性）平衡方程和幾何方程仍為（a）、 （b）式。本構(gòu)方程： 且設將本構(gòu)方程代入幾何方程： 即 兩側(cè)同乘面積，并利用平衡方程（a），得解出 令，則得 （e）本階段結(jié)束時，由幾何方程 且 利用平衡方程 （f） 當時，為（e）式。 （3）塑性階段 平衡方程和幾何方程同上。本構(gòu)方程 （g）與（2）彈塑性階段同樣步驟：可得6.8 如圖所示等截面直桿，截面積為，且。在處作用一個逐漸增加的力。該桿材料為理想彈塑性，拉伸和壓縮時性能相同。按加載過程分析結(jié)構(gòu)所處不同狀態(tài)，并求力作用截面的位移與的關(guān)系。 解：基本方程為平衡方程 （a） 幾何

38、方程 （b） 本構(gòu)方程 （1）彈性階段 由前題知， 因，故。截面位移 本階段終止時， （2） 彈塑性階段（） 此時， 截面位移由段變形控制： 且本階段終止時， （3）塑性階段（） 無限位移（為不定值）。 （4）圖線斜率比較： 段： 段： 6.9 如圖所示三桿桁架，若，桿件截面積均為，理想彈塑性材料。加載時保持并從零開始增加，求三桿內(nèi)力隨的變化規(guī)律 解：基本方程為 （a) 幾何方程： （b） 協(xié)調(diào)關(guān)系： 本構(gòu)方程： （c） （1）彈性階段（） 利用（a）、（b）及（c）第一式，聯(lián)立求解得 即 可看出結(jié)構(gòu)彈性極限：令 有 （2）彈塑性階段（）取，結(jié)構(gòu)成為靜定，由平衡方程解得 若取，即此時即當時，內(nèi)

39、力為上列值，當時，桿1和桿2 已 進入塑性階段，當時，兩桿為無線變形，結(jié)構(gòu)已成為機構(gòu)。 故，此結(jié)構(gòu)。6.11 如圖所示三桿桁架，理想彈塑性材料，桿件截面面積均為，求下述兩種加載路徑的節(jié)點位移和桿件應變： (1)先加豎向力，使結(jié)構(gòu)剛到達塑性極限狀態(tài)，保持不變，開始 加力，使桁架再次達到塑性極限狀態(tài)。 (2)先加水平力，使結(jié)構(gòu)剛到達塑性極限狀態(tài)，保持久不變，開始加力，使桁架再次達到塑性極限狀態(tài)。 解：此結(jié)構(gòu)的基本方程為 （a） 幾何方程： （b） 且有： 本構(gòu)方程： （c） 將基本方程用其相應的增量表示為 幾何方程： 且有： 本構(gòu)方程： （1）加載路徑見（1）教材 （2）加載路徑見（2） 第一階段：先加，由基本方程可得 顯然，1桿、3桿同時屈服，此時 （d） 第二階段：在保持不變的情況下施加力，這是由相應改變，此時， 節(jié)點位移增量為 由增量形式幾何方程 這說明桿1、2、3均伸長，即桿3卸載。 由增量形式平衡方程 說明保持不變，增加時，必須減小，當取，即桿2進入拉伸屈服，此時，將各項增量與（d）式相應初始值疊加， 有： （e） 第三階段：保持不變，繼續(xù)增加力，此時，即 與第二階段相似，必須減少。 當，即時，結(jié)構(gòu)達到極限狀態(tài)。這