2021-2021版高中數(shù)學第二章函數(shù)4二次函數(shù)性質(zhì)的再研究學案北師大版必修11

1、4二次函數(shù)性質(zhì)的再研究【學習目標I 1.掌握配方法，理解 a, b, c(或a, h, k)對二次函數(shù)圖像的作用2 理解由y =x2到y(tǒng) = a( x+ h)2 + k的圖像變換方法 3能根據(jù)條件靈活選擇二次函數(shù)的三種形式求解析式4掌握二次函數(shù)的性質(zhì).II問題導學 知識點一二次函數(shù)的配方法思考 y = 4x2-4x 1如何配方？你能由此求出方程 4x2 4x 1 = 0的根嗎?梳理對于一般的二次函數(shù)b4ac by ax + bx + c( a* 0),可類似地配方為 y a(x+ ) +a4a由此可得二次函數(shù)的值域、頂點等性質(zhì)，y = x2與y= ax2+ bx+ c圖像間的關(guān)系以及二次方程求

2、根公式等所以配方法是非常重要的數(shù)學方法.知識點二 圖像變換思考 y = x2和y= 2( x+ 1)2 + 3的圖像之間有什么關(guān)系？b4ac b2梳理由y = x2的圖像各點縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍，左移亦個單位，上移 古個單位，可b 2 4ac b22得 y = a(x + 2) 2+-的圖像，即y =茨+ bx+ c的圖像.知識點三二次函數(shù)的三種形式2 2 2思考 我們知道 y= x 2x= (x 1) 1 = (x 2) x,那么點(1 , 1)，數(shù) 0,2 是 y = x 2x的什么？梳理 二次函數(shù)的一般式 y= ax2+ bx+ c(a0). 如果二次函數(shù)的頂點坐標為(一h, k)，那么

3、可將二次函數(shù)設(shè)為y = a(x + h)2+ k. 如果方程ax2 + bx+ c= 0的兩根X1, X2(即拋物線與x軸交點橫坐標)，可設(shè)為y = a(xX1)( x X2).知識點四二次函數(shù)的性質(zhì)題型探究類型一二次函數(shù)解析式的求解 2例1二次函數(shù) y = ax + bx+ c(a0)的圖像與x軸相交于點 A 3,0)，對稱軸為x =- 1，頂點M到x軸的距離為2,求此函數(shù)的解析式.反思與感悟求二次函數(shù)解析式的步驟帳堀也呂條件譙出佯理:的町式一4列羌于斫苦區(qū)蚊時關(guān)窯嬴4解關(guān)于眷戟的等坨JX0-一點明査盂齡煒杲跟蹤訓練1(1) y =ax2 + 6x 8與直線y=-3x交于點A(1,m)，求a

4、. f(x) = x2+ bx+ c,假設(shè) f( 4) = f(0) , f( 2) = 2，求 f(x).類型二 二次函數(shù)的圖像及變換例2由函數(shù)y= x2的圖像如何得到f(x) = x2+ 2x + 3的圖像.引申探究利用f(x) = x2 + 2x+ 3的圖像比擬f ( 1), f(2)的大小.反思與感悟處理二次函數(shù) y = ax2 + bx+ c(a0)的圖像問題，主要是考慮其圖像特征如開口、頂點、與x軸、y軸交點、對稱軸等與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系.在圖像變換中，記住“ h正左移，h負右移，k正上移，k負下移.跟蹤訓練2 二次函數(shù)f(x) = x2+ bx+ c的圖像向左平移 2個單位

5、長度，再向上平移3個單位長度，得到二次函數(shù) f(x) = x22x+ 1的圖像，貝U b=, c=.類型三二次函數(shù)的性質(zhì)1 23例3 函數(shù)f (x)=尹一3x4:(1) 求函數(shù)圖像的頂點坐標、對稱軸方程和最值； 假設(shè)x 1,4,求函數(shù)值域.反思與感悟解析式、圖像、性質(zhì)三者各有特點又聯(lián)系緊密，應(yīng)用時在三者間靈活轉(zhuǎn)化可使問題更易解決.跟蹤訓練3函數(shù)f(x) = ax2+ 2ax+ 1在區(qū)間1,2上有最大值4,求實數(shù)a的值.研當堂訓練1.二次函數(shù)f(x)=ax2 +bx + c(a 0)與g(x)= bx2+ax+ c(b 0)的圖像可能是以下圖中的2 .設(shè)二次函數(shù))上是減函數(shù)，且f (a) f (

6、0)，那么實數(shù)a的取值范圍是()A.a4B.ow a8C.a0D.a83. f (x) = x + bx+ c,且 f ( 1) = f(3)，那么()A.f(1)cf(1)B.f (1) cf( 1)f(1)D.cf( 1)0)；y= f(x)關(guān)于軸對稱y =_ f(x);y= f(x)關(guān)于軸對稱y = f( x) 合案精析問題導學知識點一2 2 111 2思考 y = 4(x x) 1 = 4(x x+；) 1 = 4(x -) 2.4 42令 y = 0，即 4x1 222方法二因為二次函數(shù)圖像的對稱軸是x= 1,又頂點M到x軸的距離為2,所以頂點的坐標為(1,2)或(一1, 2),故可

7、得二次函數(shù)的解析式為y = a(x+ 1)2+ 2或y= a(x+ 1)2 2.因為圖像過點A 3,0), 4x 1= 0,1 24( x 2) 2 = 0, (x -)2 =-, 2 2知識點二思考 y = x2的圖像各點縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得y = 2x2的圖像；再把y = 2x2的圖像向左平移1個單位，再上移 3個單位，得y= 2(x+ 1)2+ 3的圖像.知識點三思考 點(1 , 1)是y=x2 2x的頂點，數(shù)0,2是方程x2 2x = 0的兩根.題型探究例1解方法一代入A 3,0),有 9a 3b+ c = 0,b由對稱軸為x = 1，得一丁= 1,頂點M到x軸的距離為|a b+

8、 c 0| = 2,1聯(lián)立解得或 b= 1,2 2 11所以 0= a( 3+ 1) + 2 或 0 = a( 3 + 1) 2,解得 a=-空或 a=121 23121 23故所求二次函數(shù)的解析式為y = (x + 1) + 2 = qx -x+或y= (x + 1) 2 = -x + x-.方法三因為二次函數(shù)圖像的對稱軸為x= 1,又圖像過點A( 3,0)，所以點A關(guān)于對稱軸的對稱點A (1,0)也在圖像上，所以可得二次函數(shù)的解析式為y = a(x + 3)( x 1).由題意得頂點坐標為(一1,2)或(一1 , 2),1 、 1分別代入上式，解得a= 2或a= 2,11 2311 2故所

9、求二次函數(shù)的解析式為y = 2(x + 3)( x 1) = x x +或y = 2(x+ 3)( x 1) = x +x 2.跟蹤訓練1解(1)把A(1 , m)代入y= 3x，得m= 3,把(1 , 3)代入 y = ax + 6x 8，得a + 6 8 = 3，即卩 a= 1.(2) 方法一 由 f( 4) = f (0),4+ 0知f (x)的對稱軸為x= 2,又 f( 2) = 2,頂點坐標為(2, 2),2 2 f (x) = (x + 2) 2= x + 4x+ 2. 方法二 由 f ( 4) = f(0), 可設(shè) f(x) = x(x+ 4) + c.代入x= 2，得2X (

10、2+ 4) + c= 2,. c = 2.2 f(x) = x2例 2 解 f (x) = x + 2x+ 32=(x 2x) + 3可得 y= (x1)+ 4,即y = x2+ 2x + 3的圖像.引申探究解f(x)圖像如圖.由圖知越接近對稱軸，函數(shù)值越大.由 | 1 1|=2|2 1| = 1,即f (2)比f ( 1)更接近對稱軸，-f(2) f( 1).跟蹤訓練2 662 2解析 f(x) = x 2x+ 1 = (x 1),其圖像頂點為(1,0).將二次函數(shù)f(x) = x2 2x + 1的圖像向下平移 3個單位長度，再向右平移2個單位長度后的圖像的頂點為(3 , 3)，得到的拋物線

11、為y = (x 3)2 3,2即 f (x) = x + bx+ c,2 2 (x 3) 3 = x + bx + c,即 x2 6x + 6= x2 + bx+ c, b= 6, c= 6.1 21例3解(1)對函數(shù)右端的表達式配方，得f (x) = yx 3)2-,21所以函數(shù)圖像的頂點坐標為(3 ,-),對稱軸方程為x= 3，最小值為一214(2)由于 3 1,4，所以函數(shù)在區(qū)間1,3上是減函數(shù)，在3,4上是增函數(shù),所以當x= 3時，ymin =214，t丄12113當 x = 1 時，ymax=4=,2113所以函數(shù)的值域為,.44跟蹤訓練 3 解 f(x) = a(x+ 1)2 +1 a.當a= 0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上的值不變，恒為常數(shù)1,不符合題意，舍去；當a0時，函數(shù)f (x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，最大值為f(2) = 8a+ 1 = 4,3解得a= ;8當a0時，函數(shù)f (x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，最大值為f( 1) = 1 a= 4,解得a=