例談立體幾何中距離與角的向量求法

1、 快樂學習，盡在中小學教育網例談立體幾何中距離與角的向量求法張黎慶用向量方法探求立體幾何問題，是高中數(shù)學新教材的一大改革，高中數(shù)學課程標準指出：立體幾何教學采用傳統(tǒng)的綜合法與向量法相結合，以向量法為主，這充分體現(xiàn)向量的工具作用。本文就立體幾何中距離與角的向量求法舉例說明，供參考。一、求距離例1 （2003年聯(lián)賽山東預賽，19）如圖1，已知正方體的棱長為2，點e是棱cd的中點，求異面直線的距離。圖1解：以da、dc、分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則a1（2，0，2）、c1（0，2，2）、b1（2，2，2）、e（0，1，0），=（2，2，0），=（2，1，2），=（0，2，0），設=（x

2、，y，z）是異面直線和的公垂線的一個方向向量，則=0，=0令x=1，得=（1，1，），異面直線的距離注：利用向量求異面直線的距離，可避免作輔助線等復雜的推理，且過程簡捷，其理論依據(jù)是：如圖2，設ac是異面直線ab與cd的公垂線，則ab與cd間的距離，就是向量在公垂線方向向量上的射影長度，即圖2例2 長方體中，ab=2，ad=1，e、f分別是棱、dc的中點，求點e到平面的距離。解：如圖3，以d點為坐標原點，da、dc、dd1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則a1（1，0，3）、d1（0，0，3）、f（0，1，0）、e（1，2，）。圖3=（1，0，0），=（0，1，3），設平面的法向量為=

3、（x，y，z）。由=0，得令z=1，得=（0，3，1）又=（0，2，），點e到平面的距離為。注：傳統(tǒng)方法求點到平面的距離主要是求作點到平面的垂線段，再計算垂線段的長度，或利用等體積的方法。利用向量方法的理論依據(jù)：設平面的一個法向量為，點p是平面外一點，且。則點p到平面的距離為。二、求解例3 如圖4，直棱柱中，已知abc=90，ab=a，bc=b，bb1=c，m、n分別為b1c1和ac的中點。（1）求異面直線ab1與bc1所成的角；（2）求mn的長；（3）求mn與底面abc所成的角。圖4解：（1）以b為原點，ba、bc、bb1所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，則a（a，0，0）、b1

4、（0，0，c）、c1（0，b，c）、=（a，0，c），=（0，b，c）所以，異面直線ab1與bc1所成的角為（2）由m、n分別為b1c1和ac的中點，得m（0，c）、n（，0）（3）過m作mpbc于點p，則p為bc的中點，連結pn，則mnp為mn與底面abc所成的角。=（，0，c），p（0，0），=（，0，0）故mn與底面abc所成的角為例4 如圖5，直四棱柱中，底面abcd是直角梯形bad=abc=90，bc=2，ad=8，ab=4，異面直線ac1與a1d互相垂直，求：a1d與面adc1b1所成的角。圖5解：以a為原點，ab、ad、aa1所在的直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，設aa1

5、=a，則a（0，0，0）、b（0，0，a）、d（0，8，0）、c1（4，2，a）、=（4，2，a）、=（0，8，a），由得，即a=4。設平面abc1b1的法向量=（x,y,z），則=0，又=（0，8，0），=（4，0，4）因此 取x=1，得=（1，0，1），又=（0，8，4），設與面所成的角為，則=，。即a1d與面adc1b1所成的角為例5 （2003年全國高考理科18題）如圖6，在直棱柱中，底面是等腰直角三角形，abc=90，側棱aa1=2，d、e分別是cc1與a1b的中點，點e在平面abd上的射影是abd的重心g。（1）求a1b與平面abd所成角的大小（結果用圖反三角函數(shù)值表示）；（2）求

6、點a1到平面aed的距離。圖6解：以c為原點，ca、cb、cc1為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，如圖，設ca=2a，則a（2a，0，0）、b（0，2a，0）、d（0，0，1）、a1（2a，0，2）、e（a，a，1）、g（，）。所以=（，），=（0，2a，1），解得a=1，因此，平面abd的法向量為=（，），=（2，2，2）設a1b與平面abd所成角為，則所以，a1b與平面abd所成角為又設平面aed的法向量為=（x,y,z），=（2，0，1），=（1，1，0）由，得令x=1，得=（1，1，2），=（1，1，1）則點a1到平面aed的距離例6 （2001年高考題改編）如圖7，四棱錐sabcd

7、的底面abcd是直角梯形，bad=abc=90，sa=bc=ab=1，ad=2，sa底面abcd，求面scd與面sab所成二面角余弦值的大小。圖7解：以a為原點，ab、ad、as所在的直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則a（0，0，0）、b（1，0，0）、c（1，1，0）、d（0，2，0）、s（0，0，1），因saad，adab，故ad面sab，設=（0，2，0）為面sab的法向量，設面scd的法向量為=（x,y,z），則，又=（1，1，0），=（1，1，1），所以 令x=1，則=（1，1，2），所求二面角的余弦值為。注：用向量法求解空間角的理論依據(jù)是：（1）設a、b是異面直線，分別是直

8、線a,b上的向量，則異面直線a,b所成的角（2）設平面的一個法向量為，與平面所成的角為，則（3）已知二面角l，分別是平面和平面的一個法向量，設二面角l的大小為，規(guī)定0，則（這里若平面的法向量是指向平面內的一點，則平面的法向量必須是由平面內的一點指向二面角的內部，如圖8，否則從二面角內部一點出發(fā)向兩個半平面作法向量時，二面角，如圖9）我的大學愛情觀1、什么是大學愛情：大學是一個相對寬松，時間自由，自己支配的環(huán)境，也正因為這樣，培植愛情之花最肥沃的土地。大學生戀愛一直是大學校園的熱門話題，戀愛和學業(yè)也就自然成為了大學生在校期間面對的兩個主要問題。戀愛關系處理得好、正確，健康，可以成為學習和事業(yè)的催

9、化劑，使人學習努力、成績上升；戀愛關系處理的不當，不健康，可能分散精力、浪費時間、情緒波動、成績下降。因此，大學生的戀愛觀必須樹立在健康之上，并且樹立正確的戀愛觀是十分有必要的。因此我從下面幾方面談談自己的對大學愛情觀。2、什么是健康的愛情：1) 尊重對方，不顯示對愛情的占有欲，不把愛情放第一位，不癡情過分；2) 理解對方，互相關心，互相支持，互相鼓勵，并以對方的幸福為自己的滿足; 3) 是彼此獨立的前提下結合；3、什么是不健康的愛情：1)盲目的約會，忽視了學業(yè);2)過于癡情，一味地要求對方表露愛的情懷，這種愛情常有病態(tài)的夸張;3)缺乏體貼憐愛之心，只表現(xiàn)自己強烈的占有欲;4)偏重于外表的追求

10、;4、大學生處理兩人的在愛情觀需要三思：1. 不影響學習：大學戀愛可以說是一種必要的經歷，學習是大學的基本和主要任務，這兩者之間有錯綜復雜的關系，有的學生因為愛情，過分的忽視了學習，把感情放在第一位；學習的時候就認真的去學，不要去想愛情中的事，談戀愛的時候用心去談，也可以交流下學習，互相鼓勵，共同進步。2. 有足夠的精力：大學生活，說忙也會很忙，但說輕松也是相對會輕松的！大學生戀愛必須合理安排自身的精力，忙于學習的同時不能因為感情的事情分心，不能在學習期間，放棄學習而去談感情，把握合理的精力，分配好學習和感情。3、 有合理的時間；大學時間可以分為學習和生活時間，合理把握好學習時間和生活時間的“

11、度”很重要；學習的時候，不能分配學習時間去安排兩人的在一起的事情，應該以學習為第一；生活時間，兩人可以相互談談戀愛，用心去談，也可以交流下學習，互相鼓勵，共同進步。5、大學生對愛情需要認識與理解，主要涉及到以下幾個方面：（1） 明確學生的主要任務“放棄時間的人，時間也會放棄他?！贝髮W時代是吸納知識、增長才干的時期。作為當代大學生，要認識到現(xiàn)在的任務是學習學習做人、學習知識、學習為人民服務的本領。在校大學生要集中精力，投入到學習和社會實踐中，而不是因把過多的精力、時間用于談情說愛浪費寶貴的青春年華。因此，明確自己的目標，規(guī)劃自己的學習道路，合理分配好學習和戀愛的地位。（2） 樹林正確的戀愛觀提倡

12、志同道合、有默契、相互喜歡的愛情：在戀人的選擇上最重要的條件應該是志同道合，思想品德、事業(yè)理想和生活情趣等大體一致。擺正愛情與學習、事業(yè)的關系：大學生應該把學習、事業(yè)放在首位，擺正愛情與學習、事業(yè)的關系，不能把寶貴的大學時間，鍛煉自身的時間都用于談情說有愛而放松了學習。 相互理解、相互信任，是一份責任和奉獻。愛情是奉獻而不時索取，是擁有而不是占有。身邊的人與事時刻為我們敲響警鐘，不再讓悲劇重演。生命只有一次，不會重來，大學生一定要樹立正確的愛情觀。（3） 發(fā)展健康的戀愛行為 在當今大學校園，情侶成雙入對已司空見慣。抑制大學生戀愛是不實際的，大學生一定要發(fā)展健康的戀愛行為。與戀人多談談學習與工作

13、，把戀愛行為限制在社會規(guī)范內，不致越軌，要使愛情沿著健康的道路發(fā)展。正如馬克思所說：“在我看來，真正的愛情是表現(xiàn)在戀人對他的偶像采取含蓄、謙恭甚至羞澀的態(tài)度，而絕不是表現(xiàn)在隨意流露熱情和過早的親昵。”（4） 愛情不是一件跟風的事兒。很多大學生的愛情實際上是跟風的結果，是看到別人有了愛情，看到別人幸福的樣子（注意，只是看上去很美），產生了羊群心理，也就花了大把的時間和精力去尋找愛情（5） 距離才是保持愛情之花常開不敗的法寶。愛情到底需要花多少時間，這是一個很大的問題。有的大學生愛情失敗，不是因為男女雙方在一起的時間太少，而是因為他們在一起的時間太多。相反，很多大學生戀愛成功，不是因為男女雙方在一起的時間太少，而是因為他們準確地把握了在一起的時間的多少程度。（6） 愛情不是自我封閉的二人世界。很多人過分的活在兩人世界，對身邊的同學，身邊好友漸漸的失去聯(lián)系，失去了對話，生活中只有彼此兩人；班級活動也不參加，社外活動也不參加，每天除了對方還是對方，這樣不利于大學生健康發(fā)展，不僅影響學習，影響了自身交際和合作能力?？偨Y：男女之間面對戀愛，首先要擺正好自己的心態(tài)，樹立自尊、自愛、自強、自重應有的品格，千萬不要盲目地