6-4 相對論理論的四維形式

1、16.4 相對論理論的四維形式相對論理論的四維形式 2在相對論中時間和空間不可分割，在相對論中時間和空間不可分割，當參考系改變時，時空坐標互相當參考系改變時，時空坐標互相變換，三維空間和一維時間構(gòu)成變換，三維空間和一維時間構(gòu)成一個統(tǒng)一體一個統(tǒng)一體四維時空四維時空。3四維時空理論四維時空理論可用簡潔的四可用簡潔的四維形式表述出來。利用這種形式可以很維形式表述出來。利用這種形式可以很清楚地顯示出一些物理量之間的內(nèi)在聯(lián)清楚地顯示出一些物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系，并且可以把相對性原理用非常明顯系，并且可以把相對性原理用非常明顯的形式表達出來。的形式表達出來。4先回顧一下三維空間的轉(zhuǎn)動性質(zhì)。先回顧一下三維空間

2、的轉(zhuǎn)動性質(zhì)。先看二維平面上的坐標系先看二維平面上的坐標系轉(zhuǎn)動。設(shè)坐標系轉(zhuǎn)動。設(shè)坐標系 相對于相對于坐標系坐標系 轉(zhuǎn)了一個角轉(zhuǎn)了一個角 。設(shè)平面上一點的坐標在設(shè)平面上一點的坐標在 系為系為x,y; 在在 系系x ,y 為。為。新舊坐標之間有變換關(guān)系新舊坐標之間有變換關(guān)系x=xcos+ysin ,y=-xsin+ycos.OP2=x2+y2= x2+ y2=不變量1. 1. 三維空間的正交變換三維空間的正交變換5滿足此式的二維平面上的線性變換稱為滿足此式的二維平面上的線性變換稱為正交變換。坐標系轉(zhuǎn)動屬于正交變換。正交變換。坐標系轉(zhuǎn)動屬于正交變換。OP2=x2+y2= x 2+ y 2=不變量不變量

3、正交變換正交變換6設(shè)設(shè) 為平面上任意矢量。在為平面上任意矢量。在 系中的分量為系中的分量為 x , y;起彼伏起彼伏在在 系中的分量為系中的分量為 x , y 。這些分量有變換關(guān)系。這些分量有變換關(guān)系,矢量長度平方為矢量長度平方為 x = xcos + ysin , y= - xsin + ycos .| |2= 2x + 2y= 2x + 2y =不變量不變量任意矢量的變換與坐標變換具有相同形式任意矢量的變換與坐標變換具有相同形式7現(xiàn)在討論三維坐標轉(zhuǎn)動。設(shè)現(xiàn)在討論三維坐標轉(zhuǎn)動。設(shè) 系的直角坐標為系的直角坐標為(x1,x2,x3), 系的直角坐標為系的直角坐標為(x 1,x 2,x 3) 。三

4、。三維坐標線性變換一般具有形式維坐標線性變換一般具有形式x 1=a11 x1+a12 x2 +a13 x3,x 2=a21 x1+a22 x2 +a23 x3,x 1=a31 x1+a32 x2 +a33 x3.8坐標系轉(zhuǎn)動時距離保持不變坐標系轉(zhuǎn)動時距離保持不變,應(yīng)有應(yīng)有x 12+ x 22+ x 32= x12 + x22 + x32滿足此式的線性變換稱為正交變換。滿足此式的線性變換稱為正交變換。空間轉(zhuǎn)動屬于正交變換空間轉(zhuǎn)動屬于正交變換, 式中的系數(shù)式中的系數(shù)aij依賴于轉(zhuǎn)動軸和轉(zhuǎn)動角。依賴于轉(zhuǎn)動軸和轉(zhuǎn)動角。9坐標變換式坐標變換式321 31, ixaxjjiji在一般情形中在一般情形中,

5、當公式中出現(xiàn)重復當公式中出現(xiàn)重復下標時下標時(如上式右邊的如上式右邊的j), 往往都要往往都要對該指標求和。這是現(xiàn)代物理中對該指標求和。這是現(xiàn)代物理中通用的約定。通用的約定。10愛因斯坦約定愛因斯坦約定: 除特別聲明外除特別聲明外, 凡有重凡有重復下標時都意味著要對它求和。以后為復下標時都意味著要對它求和。以后為了書寫方便了書寫方便, 省略求和符號。省略求和符號。 變換式可簡寫為變換式可簡寫為jijixax 正交條件是正交條件是不變量 iiiixxxx11正交變換條件正交變換條件iikikjijxxxaxa kjkjjk若若 0, 1jijixax 不變量 iiiixxxxijikijaa 1

6、2ljljjijiliilxxxaaxa iillxax 反變換式反變換式j(luò)ijixax 13轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣jiijaa 正交條件式可用矩陣乘法寫為正交條件式可用矩陣乘法寫為Iaa 其中I為單位矩陣 333231232221131211 aaaaaaaaaaija變換系數(shù)矩陣形式變換系數(shù)矩陣形式14根據(jù)物理量在空間轉(zhuǎn)動下的變換性質(zhì)分類根據(jù)物理量在空間轉(zhuǎn)動下的變換性質(zhì)分類2. 2. 物理量按空間變換性質(zhì)的分類物理量按空間變換性質(zhì)的分類標量、矢量、張量等標量、矢量、張量等15在空間中沒有取向關(guān)系在空間中沒有取向關(guān)系,當坐標系轉(zhuǎn)動時保當坐標系轉(zhuǎn)動時保持不變的物理量。如質(zhì)量、電荷等。設(shè)在坐持不變的物

7、理量。如質(zhì)量、電荷等。設(shè)在坐標系標系 中某標量用中某標量用u表示表示,在轉(zhuǎn)動后的坐標系在轉(zhuǎn)動后的坐標系 中用中用u 表示。由標量不變性有表示。由標量不變性有u= u (1) 標量標量 16在空間中有一定的取向性，用三個分量表示的，在空間中有一定的取向性，用三個分量表示的，當空間坐標作轉(zhuǎn)動變換時，三個分量按同一方當空間坐標作轉(zhuǎn)動變換時，三個分量按同一方式變化的物理量。例如速度、力、電場強度和式變化的物理量。例如速度、力、電場強度和磁場強度等都是矢量。以磁場強度等都是矢量。以 代表矢量代表矢量,在坐標系在坐標系 中的分量為中的分量為 i, 在轉(zhuǎn)動后的在轉(zhuǎn)動后的 系中的分量為系中的分量為 i 。與坐

8、標變換式對應(yīng)與坐標變換式對應(yīng), 有矢量變換關(guān)系有矢量變換關(guān)系iijia (2) 矢量矢量 17有些微分算符也具有矢量性質(zhì)有些微分算符也具有矢量性質(zhì)ix /ix/ jijjijixaxxxx 18這類物理量要用兩個矢量指標表示這類物理量要用兩個矢量指標表示, 有有9個個分量分量, 顯示出更復雜的空間取向性質(zhì)。當顯示出更復雜的空間取向性質(zhì)。當空間轉(zhuǎn)動時空間轉(zhuǎn)動時, 其分量其分量Tij按以下方式變換按以下方式變換具有這種變換關(guān)系的物理量稱為二階張量。例具有這種變換關(guān)系的物理量稱為二階張量。例如應(yīng)力張量如應(yīng)力張量, 電四極矩等。電四極矩等。kljlikijTaaT (4.19)(3) 二階張量二階張量

9、19Tij= TjijikliljkkljkillkjlikkljlikijTTaaTaaTaaTaaT 二階張量還可以進一步分類二階張量還可以進一步分類對稱張量變換后仍為對稱張量20Tij= -Tji反對稱張量變換后仍為反對稱張量jikliljkkljkillkjlikkljlikijTTaaTaaTaaTaaT 21對稱張量的跡是一個標量對稱張量的跡是一個標量不變量kkklklklilikiiTTTaaT22二階張量可以分解為三個部分二階張量可以分解為三個部分跡跡 Tii無跡對稱張量無跡對稱張量 Tij= Tji , Tii=0,反對稱張量反對稱張量 Tij= -Tji .電四極矩就是一個

10、無跡對稱張量電四極矩就是一個無跡對稱張量, 它只有它只有5個個 獨立分量。獨立分量。23兩矢量兩矢量 和和w的標積的標積 iwi是一個標量。是一個標量。張量張量Tij可以和一個矢量可以和一個矢量 j作出乘積作出乘積Tij j iwi=aij j aikwk = ik jwk = jwj =不變量不變量此式具有矢量的變換關(guān)系，因此是一個矢量。此式具有矢量的變換關(guān)系，因此是一個矢量。T ij j= aik ajl Tkl ajn n = aik lnTkl n = aik Tij j24三維坐標轉(zhuǎn)動是滿足距離不變的線性變換三維坐標轉(zhuǎn)動是滿足距離不變的線性變換, 即即x12+ x22+ x32= x

11、12 + x22 + x32=不變量jijixax 3. 3. 洛倫茲變換的四維形式洛倫茲變換的四維形式25洛倫茲變換是滿足間隔不變的四維時空線性變換洛倫茲變換是滿足間隔不變的四維時空線性變換x 12+ x 22+ x 32 c2 t 2 = x12 + x22 + x32 c2 t2 形式上引入第四維虛數(shù)坐標形式上引入第四維虛數(shù)坐標x4=ict26則間隔不變式可寫為則間隔不變式可寫為x 12+ x 22+ x 32 + x 42 = x12 + x22 + x32 + x42=不變量不變量以后在下角指標中用拉丁字母代表以后在下角指標中用拉丁字母代表1-3, 希臘字希臘字母代表母代表1-4,

12、間隔不變式可寫為間隔不變式可寫為x 2 x 2= x 2 x 2 =不變量不變量27洛倫茲變換是滿足間隔不變性式的四維線性變換洛倫茲變換是滿足間隔不變性式的四維線性變換x = a x 28洛倫茲變換形式上可以看作四維空間的洛倫茲變換形式上可以看作四維空間的“轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動”, 因而三維正交變換的關(guān)系可以形式上推廣因而三維正交變換的關(guān)系可以形式上推廣到洛倫茲變換中去。須注意的是到洛倫茲變換中去。須注意的是, 這四維空間的這四維空間的第四個坐標是虛數(shù)第四個坐標是虛數(shù), 因此它是復四維空間因此它是復四維空間, 不同不同于實數(shù)的四維歐幾里德于實數(shù)的四維歐幾里德(Euclid)空間?？臻g。29沿沿x軸方向的特

13、殊洛倫茲變換式的變換矩陣為軸方向的特殊洛倫茲變換式的變換矩陣為 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 iia2211cc ,30逆變換矩陣逆變換矩陣 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1iiaa變換式滿足正交條件變換式滿足正交條件Iaa 31在四維形式中，時間與空間統(tǒng)一在一個四維空在四維形式中，時間與空間統(tǒng)一在一個四維空間內(nèi)，慣性參考系的變換相當于四維空間的間內(nèi)，慣性參考系的變換相當于四維空間的“轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動”。由于物質(zhì)在時空中運動，描述物質(zhì)。由于物質(zhì)在時空中運動，描述物質(zhì)運動和屬性的物理量必然會反映出時空變換的運動和屬性的物理量必然會反映出時空變換的特點。把三維情形推廣，

14、我們也可以按照物理特點。把三維情形推廣，我們也可以按照物理量在四維空間轉(zhuǎn)動（洛倫茲變換）下的變換性量在四維空間轉(zhuǎn)動（洛倫茲變換）下的變換性質(zhì)來把物理量分類。質(zhì)來把物理量分類。4. 4. 四維協(xié)變量四維協(xié)變量32VaV TaaT 四維矢量四維矢量四維張量四維張量u= u洛倫茲標量洛倫茲標量在慣性系變換下與坐標有相同變換關(guān)系在慣性系變換下與坐標有相同變換關(guān)系33這些物理量這些物理量(標量、矢量和各階張量標量、矢量和各階張量)在洛倫在洛倫茲變換下有確定的變換性質(zhì)茲變換下有確定的變換性質(zhì)間隔間隔dxdxds 2為洛倫茲標量為洛倫茲標量協(xié)變量協(xié)變量固有時固有時dscd1 洛倫茲標量洛倫茲標量34四維速度

15、矢量四維速度矢量U ddxU 通常意義下的速度通常意義下的速度ui不是四維矢量的分量不是四維矢量的分量通常意義下的速度通常意義下的速度ui是用參考系是用參考系 的時間量度的位移變的時間量度的位移變換率換率, ui的變換式不同于洛倫茲變換。因為當坐標系變的變換式不同于洛倫茲變換。因為當坐標系變換時換時,dxi按四維矢量的分量變換按四維矢量的分量變換,但但dt也發(fā)生改變也發(fā)生改變,因此因此ui就不按矢量方式變換。就不按矢量方式變換。dtdxuii 2211cuddt35U是用固有時量度的位移變換率),(icuuuU321 U的前三個分量和普通速度聯(lián)系著，當c時即為u,因此稱為四維速度。參考系變換時

16、,四維速度有變換關(guān)系UaU 36設(shè)有一角頻率為設(shè)有一角頻率為 ,波矢量波矢量k為的平面電磁波在真空中傳為的平面電磁波在真空中傳播。在另一參考系播。在另一參考系 上觀察上觀察,該電磁波的頻率和傳播方該電磁波的頻率和傳播方向都會發(fā)生改變向都會發(fā)生改變(多普勒效應(yīng)和光行差效應(yīng)多普勒效應(yīng)和光行差效應(yīng)) 。以。以 和和k 表示表示 上觀察到的角頻率和波矢量。上觀察到的角頻率和波矢量。 電磁波的相位因子電磁波的相位因子txkei ,在另一參考系觀察的相位因子在另一參考系觀察的相位因子,txkei 四維波矢量四維波矢量37第一事件第一事件：設(shè)參考系：設(shè)參考系 和和 的原點在時刻的原點在時刻t=t =0重合。

17、在該時刻重合。在該時刻,兩參考系的原點上兩參考系的原點上都觀察到電磁波處于波峰都觀察到電磁波處于波峰,相位相位 = =0。第二事件第二事件：在：在 系系n個周期個周期(t=2 n/ )后后,第第n個波峰通過個波峰通過 系原點系原點,相位相位 =-2 n 。它在。它在 上的時空坐標為上的時空坐標為(x=0,t= 2 n/ ),在在 上的上的時空坐標時空坐標(x ,t )可用洛倫茲變換求得可用洛倫茲變換求得,而相而相位同樣是位同樣是 = -2 n 。相位和的關(guān)系38這是因為某個波峰通過某一時空點是一個物這是因為某個波峰通過某一時空點是一個物理事件理事件,而相位只是計數(shù)問題而相位只是計數(shù)問題,不應(yīng)隨

18、參考不應(yīng)隨參考系而變。因此系而變。因此,相位是一個不變量相位是一個不變量不變量 相位和的關(guān)系39不變量 txktxk類似類似x與與ict合為四維矢量合為四維矢量x ,k與與i /c合為另一合為另一個四維矢量個四維矢量k ,它們按四維矢量方式變換它們按四維矢量方式變換,有有不變量 xkxk四維波矢量四維波矢量),(cikk40在洛倫茲變換下在洛倫茲變換下, k 的變換式為的變換式為kak 洛倫茲變換洛倫茲變換)(,),(13322211kkkkkckk 41設(shè)波矢量k與x軸方向的夾角為,k 與x軸的夾角為,有cos,cosckck 11 )(cossin,cos(ctgc 1相對論的多普勒效應(yīng)和

19、光行差公式相對論的多普勒效應(yīng)和光行差公式42若為光源的靜止參考系若為光源的靜止參考系,則則 = 0, 0為靜止光為靜止光源的輻射角頻率。運動光源輻射的角頻率源的輻射角頻率。運動光源輻射的角頻率)cos(c 10其中其中 為光源的運動速度為光源的運動速度, 為為 上觀察者看到輻射方向上觀察者看到輻射方向與光源運動方向的夾角。當與光源運動方向的夾角。當 c時時, 1,得經(jīng)典多普得經(jīng)典多普勒效應(yīng)公式勒效應(yīng)公式)(,coscc 1043 在垂直于光源運動方向觀察輻射時在垂直于光源運動方向觀察輻射時,經(jīng)典公式經(jīng)典公式給出給出 = 0,而相對論公式給出而相對論公式給出)(,90 1220 c即在垂直于光源

20、運動方向上即在垂直于光源運動方向上,觀察到的角頻率小于靜止觀察到的角頻率小于靜止光源的輻射頻率。這現(xiàn)象稱為橫向多普勒效應(yīng)。橫向多光源的輻射頻率。這現(xiàn)象稱為橫向多普勒效應(yīng)。橫向多普勒效應(yīng)為普勒效應(yīng)為LvesStilwell實驗所證實實驗所證實,它是相對論時間延它是相對論時間延緩效應(yīng)的證據(jù)之一。緩效應(yīng)的證據(jù)之一。44設(shè)在參考系設(shè)在參考系 上觀察上觀察,由光源輻射出的光線在由光源輻射出的光線在xy面上面上,與與x軸有夾角軸有夾角 ,則則sin,coscucuyx 設(shè)設(shè) 系相對于系相對于 以速度以速度 沿沿x軸方向運動軸方向運動,在在 系上觀察系上觀察到光線與到光線與x軸有夾角軸有夾角 ,)(cossin)(cxyxyuuuutg 光行差公式也可以由速度變換公式導出光行差公式也可以由速度變換公式導出45光行差較早為天文觀測所發(fā)現(xiàn)(Bradley于1728年) 。如設(shè)地球相對于太陽參考系的運動速度為,在上看到某恒星發(fā)出的光線的傾角為=-,在地球上用望遠鏡觀察該恒星時,傾角變?yōu)?- 。由于c,得ctg cossin46 由于地球繞太陽公轉(zhuǎn)由于地球繞太陽公轉(zhuǎn),一年之內(nèi)地球運動速度的一年之內(nèi)地球運動速度的方向變化一個周期方向變化一個周期,因此因此,同一顆恒星發(fā)出的光線的表同一顆恒星發(fā)出的光線的表觀方向也變