信號發(fā)射中心的建立

1、道路信號發(fā)射裝置的數學模型摘要 及時了解道路交通信息對機動車來說事關安全和效益，本文就道路信息發(fā)射裝置的設置問題展開討論。 針對問題一，考慮到機動車道較直較長，故首先對坐標進行高斯變換，剔除長度小于300米的道路。繼而引進相關系數r，描述各觀測點橫縱坐標的相關性，規(guī)定r0.8時，道路較直。最后，本文以上述余下各道路端點的500米半徑畫圓，根據圓內是否有其他道路相接為連通性指標，最終得到了31條機動車道。將端點相近并能一定程度上形成較直長路的機動車道組合，用15個函數進行擬合，把道路分為主干道(34327588等)、次主干道(94802277 + 99529433 + 37966944等)和支路

2、(94807540 + 94807570等)三個大類。以34327588為例，擬合函數為y=-0.346x+9.048106，擬合優(yōu)度為0.923。 針對問題二，根據假設將問題轉化成求各條道路到發(fā)射點的距離，并找到使各條道路距離較為均等的發(fā)射點位置。利用問題一中的擬合函數進行積分，求得每米道路到發(fā)射點的平均距離。以方差和最小為目標函數，遍歷整個城市地表位置，得到發(fā)射點的位置為（9.711，56.794，200）。當問題需要考慮海拔時，本文仍采用上述思想，在對海拔函數積分后，經過公式推導和matlab三維圖形繪制，確定發(fā)射點位置可以不變，仍是（9.711，56.794，200）。 針對問題三，要

3、專門為錯綜復雜的非機動車道增加一個發(fā)射點，考慮到道路的復雜性，并且不能如問題二給出道路的函數。因此采用各道路采集點的坐標均值代替道路，用各道路到采集點的距離方差和描述穩(wěn)定性。在此基礎上，本文提出模型的簡化方案，利用極值描述離散性，將題目轉化為：在矩形區(qū)域內尋找使1067個非機動車道采集點到發(fā)射點距離的極值最小的位置。最終利用模擬仿真求得該點的坐標為（9.7136,56.80），并對此給出了合理解釋。 在文章的最后，總結了本文提出的幾個模型的優(yōu)缺點，并給出了改進意見和推廣方案。關鍵詞：相關系數 高斯坐標 遍歷 仿真 道路信號發(fā)射一、問題的重述為了方便城市交通管理，需要設置一些無線信號發(fā)射裝置及時

4、向行駛在道路上的機動車傳送交通信息。附件中的數據是某一個地區(qū)的道路數據信息。每一行數據對應于一個道路上的采樣點的位置信息。其中第一個指標是采樣點所在的道路索引編號，第二、三個指標是相應的經度（東經）和緯度（北緯），第四個指標是海拔高度（單位：米）。機動車道通常比較直，也比較長。而過于彎曲的通常只是人行道或自行車道（非機動車道）。原來的信號發(fā)射裝置位于這片區(qū)域的中心（9.75,56.75），海拔高度為200米。假定道路接收的信號強度只與采樣點與發(fā)射裝置的距離有關。試考慮以下問題：1. 首先對所有道路進行分類，除非機動車道外。對其它每類道路建立一個近似的描述模型，使得對每條道路在給定經度（緯度）坐

5、標下即可確定緯度（經度）坐標及相應的海拔高度。2. 不考慮海拔高度因素。如何調整發(fā)射裝置的位置，使得各條機動車道之間的信號接收比較接近？如果考慮海拔高度因素，需要調整發(fā)射裝置的位置和高度嗎？3. 專門為非機動車道增加一個信號發(fā)射裝置，使得在所有非機動車道上的信號接收比較穩(wěn)定。應該如何確定它的位置？二、模型的假設(1). 假設當采樣點少于三個時，可以刪除該道路；(2). 假設忽略道路的寬度；(3). 假設道路上所有采樣點的距離之和可以描述道路的長度；(4). 假設信號發(fā)射和接受過程順利、通暢，信號強度只受距離影響；(5). 假設信號呈球形由發(fā)射點向周邊擴散；(6). 假設沒有不可抗力因素阻止新信

6、號發(fā)射裝置的建立；(7). 假設非機動車道的信號接受不受機動車道影響；(8). 假設現有數據真實可靠。三、符號約定道路上各觀測點的高斯橫坐標均值道路上各觀測點的高斯縱坐標均值Xij道路j上第i個觀測點的高斯橫坐標Yij道路j上第i個觀測點的高斯縱坐標lij第j條道路上觀測點(i-1)與i間的距離Lj第j條道路長度（單位：米）rj第j條道路觀測點的高斯橫縱坐標相關系數置信水平，本文取=0.2kij道路采集點高斯坐標下的斜率S2各條道路到發(fā)射中心距離的方差(x0,y0)發(fā)射裝置的位置四、問題一的解答（一）、問題一的分析本題要求對所有道路進行分類，所以首先定義指標描述道路的類型。根據題意，道路可以分

7、為機動車道（直、長）和非機動車道（彎、短）。道路“彎”有兩個方面的考慮：總體趨勢較直但途中多彎、以及局部教直但總體彎度大。因此可以引進線性相關系數r描述總體趨勢，和角度變化率描述局部趨勢。道路“長”是指適合車輛運行的較長道路，可以設定長度開關，認為300米以下的道路都是非機動車道。其次，對機動車道進行詳細分類，以便用函數對某一類進行描述。將大地坐標系轉換為高斯坐標系求得兩采樣點間距離，并根據假設(3)確定道路的長度。并利用道路長度以及第一個小問題中的道路彎曲指標，對道路進行聚類分析。其中又長又直的就是主干道，而較短較彎的道路則為支路。最后根據上述分析，用matlab分別擬合道路采集點的大地坐標

8、和高斯坐標，就可以給出經緯度以及經度和海拔之間的函數關系。（二）、模型一的準備對現有經緯度(B,L)以及海拔(H)進行數據處理，將橢球面上的大地坐標系轉換為高斯-克呂格爾投影下的平面坐標系2，以方便求得道路的長度。此處采用西安80坐標系，扁率為1：298.257，以6分帶得到高斯坐標見附錄1。圖1 大地坐標與高斯坐標的轉換其中x=F1(B,L)，y=F2(B,L)，F1、F2為投影函數。（三）、模型一的建立與求解1、機動車道與非機動車道根據題意，機動車道長而直，非機動車道短或彎，首先定義長度。在高斯坐標下，兩觀測點間直線距離即認為是該段道路的長度。定義兩點間距離為其中，lij為第j條道路上，觀

9、測點(i-1)與觀測點i間的距離；Xij、Yij分別為道路j上，第i個觀測點的高斯橫坐標和高斯縱坐標。由假設(3)可知，一條道路上所有觀測點間的距離之和即為該條道路的長度。則第j條道路的長度為其中，Lj為第j條道路長度；nj為樣本容量，即道路j上觀測點的個數。規(guī)定：當長度小于300米時，該道路為非機動車道。 其次，為了從較長的道路中剔除非機動車道，需要找出較彎的道路。引進現行相關系數r：其中，rj為第j條道路觀測點的高斯橫縱坐標相關系數； 、分別為道路j上各觀測點的高斯橫坐標和高斯縱坐標均值。通過查閱文獻1可知，當r0.8時，可認為X與Y顯著線性相關。故規(guī)定當r0.8時，該道路各觀測點的高斯坐

10、標線性相關，即道路較直，為機動車道。 根據上述兩個控制開關，計算各條道路的長度以及相關系數，使其滿足機動車道指標：從而得到了68條機動車道，具體數據記錄在附錄1中，根據高斯坐標表示出的道路分布圖如圖2。圖2 道路分布圖此外，在城市中，我們希望道路能夠與其他道路相連接，并且形成交通網絡，這樣才能給出行和運輸帶來方便。故而引進新的指標，描述道路兩端點周圍是否能與其他道路相連。對附錄1中的68條道路進行分析，以起始坐標為圓心畫半徑為500m的圓（見附錄2），若其圓內有道路相接，則認為是機動車道，否則為非機動車道。從而得到了包含31條道路的機動車道目錄：表1 機動車道目錄343275883996694

11、47402955976726823774619301270098281273470777840167594802277944141689478545994807570127009819126452734948022849441418094793571948075409440842512701072412734708494785479944084419440841794807560127009827127009829137449261947935699952943399529660對上述道路的線性相關性進行假設檢驗，采用線性假設的顯著性檢驗3。設各條機動車道的線性回歸模型為y=a+bx+，其中N

12、(0,2)。假設H0：b=0，H1：b0設立統(tǒng)計量經過SAS分析，均有|T|t0.1(n-2)，即顯著性水平=0.2，置信水平為80%。故拒絕原假設，認為上述道路較直、分類較合理。2、機動車道分類根據上述第三個指標“道路端點的連接性（附錄2）”可得，城市中有些道路首尾相接，在保證它們較直的基礎上，連成了更長更有運行價值的長路1，故而我們將這部分道路分為一類。經過matlab分布擬合，得到各類道路的函數形式（詳見附錄3），機動車道分類情況如表2所示。表2 機動車道分類結果分類道路編號r主干道34327588-0.97874029559 + 94802284 + 94414180 + 947935

13、71-0.987127347077 + 127347084 + 127009819 + 944141680.967副主干道94802277 + 99529433 + 399669440.67999529660 + 94785459 + 774619300.72294793569 + 94408425 + 94807560-0.849支路94807540 + 94807570-0.977126452734 + 94785479-0.812127009827 + 78401675-0.668127009829 + 137449261-0.97476726823-0.967944084410.954

14、127010724-0.969944084170.9851270098280.975 下面對組合道路進行檢驗，確定它們可以組成一條較直、較長的道路。對于長度，可以確定組合道路比原道路更長，因此不做檢驗；對于彎曲度，仍采用相關系數r描述道路的線性情況。其中，rj為組合后的第j組道路的高斯橫縱坐標相關系數。經過matlab計算得：對上述15組分類中的9條組合道路重新計算可得，其相關系數均達到0.7以上（詳見表2），可以認為該組合較為合理。（四）、模型的結論1、34327588等為主干路，它們較其他線路更長、更直、貫穿城市始終。它們是連接城市的主要工業(yè)區(qū)、住宅區(qū)、客貨運中心等各主要分區(qū)的干路，以交通

15、功能為主，是城市內部的交通大動脈。2、94802277 + 99529433 + 37966944等道路組合構成次干道，它們比較長而直，是城市中輔助型的干道。次干道與主干道結合組成道路網，起集散交通的作用。3、76726823、94408441為支路，它們數量較多，分散在城市各個片區(qū)，次干路與街坊路的連接線，解決局部地區(qū)交通。（五）、模型的改進本文在模型一中提出了“長度不小于300米、線性相關系數大于0.8”的機動車道指標，考慮了機動車道長度長、彎度小的性質。然而，在分類過程中，我們在機動車道中看到了幾條不良道路，例如127347077、127347084等（見圖2）雖然整體趨勢呈線性，但道路

16、中拐彎較多。這一類道路在現實生活中，往往依地勢起伏而建，或者為了穿過更多的居民區(qū)而設立，并不適合大型機動車運輸，因此可以考慮將此類道路剔除，視為非機動車道。圖3 利用k值描述道路曲折性如圖3所示，以道路127347077為例，在相鄰像個觀測點間計算高斯坐標的差值，則兩點間的道路斜率為從而規(guī)定道路斜率變化率量為通過kj，反映道路的曲折程度，kj越小則道路越直。還可以規(guī)定kj的取值范圍，超過此范圍則該道路過于彎曲，結合模型一中的線性相關系數和長度指標，劃分機動車道。 五、問題二的解答（一）、問題二的分析問題二要求設計發(fā)射裝置的位置使各機動車道的信號接受比較接近，具體分為兩個問題?；诩僭O(4)，信

17、號強度只受距離的影響，因此問題轉化為求發(fā)射裝置到各條道路的距離。要想求得點到線的距離，可以根據目前已知觀測點到發(fā)射點的距離平均值計算。然而，在問題一中已經得到了函數表達的基礎上，本文采用更加精確的積分法，求得擬合出來的道路上，每一點到發(fā)射點的距離，從而得到道路上每公里到發(fā)射點的距離均值。針對不考慮海拔的情形，求解可以只考慮高斯橫縱坐標(X,Y)，利用問題一中的函數求解道路到發(fā)射點的距離，以此確定使得各條道路距離較為接近的發(fā)射點位置。針對考慮海拔的情形，仍可以采用上述思想，對海拔函數積分，得到三維道路距離高200m的發(fā)射點間的距離。（二）、模型二的建立基于上述分析，下面將各條道路（以下道路均指表

18、2中的組合道路）以米為單位分為小段，計算各段（米）道路到發(fā)射點的平均距離。設第i條(i=1,2,15)機動車道的函數表達式為fi(x)，發(fā)射裝置的位置為(x0,y0)，則機動車道長為：其中，li為第i類機動車道的長度；ai、bi分別為起點和終點的高斯橫坐標。則發(fā)射裝置到第i類機動車道上各點的總距離為第i條道路平均每段(米)到發(fā)射中心的距離mi為15條道路上每段(米)到發(fā)射中心的平均距離為故以各段(米)路到發(fā)射點的距離方差和最小為目標函數： 以上建立了模型計算平均距離，以及具體目標函數的計算公式，包括附錄3中的道路函數以及整片區(qū)域的坐標范圍，如果再輸入起始點和終點，就構成了最佳位置遍歷模型4的全

19、部步驟。 為了直觀，借用流程圖說明模型建立的過程（圖4），其中，使用表2中的組合道路i=1,2,15，高斯橫縱坐標x、y單位為千米。開始計算每條機動車道li賦初值x0=1875，y0=8380，S02=1000計算每條機動車道到觀測點的總距離di和平均每段(米)的距離mi計算15條道路平均每段(米)到觀測點的距離均值m和和方差S2S21895，y8397輸出x0、y0、S02是是否否結束圖4 遍歷模型程序框圖（三）、模型二的求解與結論 經過遍歷計算后，求得發(fā)射點位置在點（9.711,56.794），通過觀察圖2可以發(fā)現，該點設置比較偏西北方向。然而圖2也較明顯的顯示出城市交通網絡在中心偏北地區(qū)

20、比較繁華，較多的機動車道路將該點的位置向北拉了很多。這也使得該發(fā)射點的位置在現實中變得更加合理。（四）、考慮海拔的情況 由于海拔關于高斯坐標的函數比較復雜，故而首先畫出示意圖表示該地區(qū)的地形。針對題目附件中的沒一點，按照高斯坐標下的(X,Y,Z)畫出海拔示意圖如圖5所示。然而在橫縱坐標為106米數量級的情況下，海拔變量只有60米，故而畫出比例相同的實際城市地形圖如圖6。圖5 該地區(qū)海拔示意圖圖6 該地區(qū)海拔實際情況 從圖中很容易看出，該地區(qū)的局部海拔波動不超過50米，這其實對動輒數千米的機動車道影響并不大，下面取附件第一行的數據進行驗證。 ID為34327588的道路第一個觀測點的大地坐標為（

21、9.7786808，56.7744343，38.16440395），轉化為高斯坐標為（1892910.79，8392688.03，38.16440395）；發(fā)射點的大地坐標為（9.711，56.794，200），其高斯坐標為（1881029.24，8398990.90，200）。 三維空間中點到點的距離公式為在忽略海拔時，上述兩點的距離為13449.810m；計算海拔時，兩點距離為13450.784m，相差0.97m，即0.0072%。這個誤差恐怕是我們難以控制的，因此，海拔對信息發(fā)射中心的位置影響可以忽略。最終信息發(fā)射中心的地址是（9.711，56.794，200）。六、問題三的解答（一）、

22、問題三的分析問題三要求增加一個發(fā)射點，專門給錯綜復雜、數量眾多的非機動車道發(fā)射信號，并滿足各條道路信號穩(wěn)定的條件。分析問題三可知，“穩(wěn)定”是指信號的變化較小，它包括兩個方面：每條道路上信號波動不大、以及各條道路的信號總波動不大。針對描述穩(wěn)定性的指標，首先可以聯(lián)系到方差，然而鑒于非機動車道的排列和樣式相當復雜，因此也可以利用極差來粗略描述其穩(wěn)定性。當然，回答第三問時，需要增加假設(7)，即非機動車道的信號接收不受機動車道的影響。（二）、模型三的建立 設非機動車道信號發(fā)射裝置的位置為(x0,y0)，則索引編號為i的道路上的采樣點與發(fā)射點間的距離為：其中(xij,yij)為道路i上第j個采樣點的高斯

23、坐標。利用一條路上各采樣點到發(fā)射點的平均距離作為該道路到發(fā)射點的距離，則其中，mi表示道路i上的采樣點。那么所有非機動車道到道路發(fā)射點的平均距離為式中n為非機動車道的總數。 根據對問題三的分析可知，信號的穩(wěn)定包括兩方面的內容。 1、道路i上信號穩(wěn)定，即 2、各條非機動車道間的信號比較接近，即 因此提出了使得上述兩個指標滿足方差和最小的目標函數：（三）、模型三的優(yōu)化 模型三采用了方差來衡量數據的穩(wěn)定性，雖然優(yōu)度較高但計算困難。然而在統(tǒng)計學5中，極差也能較好的描述數據的離散程度。如果數據的極差較小，即波動范圍較小，則方差也會??；同樣當數據極差較大，則必然存在波動大的極值，也會一定程度上拉高方差。因

24、此下面采用極差描述數據的穩(wěn)定性，簡化模型三。 設非機動車道上的第i個采樣點(x1,y1)到信號發(fā)射裝置(x0,y0)的距離為 目標函數：， 至此，優(yōu)化模型將錯綜復雜的道路求解問題成功轉化成了區(qū)域內求滿意解的問題。采用仿真算法求解，其程序框圖如7所示，其中x、y單位為千米。結束賦初值x0=1875，y0=8400，q0=106，j=1計算li，i=1,2,1076找出最大的li和最小的li得到極差q=max li-min liq1000000輸出x0，y0是否是否開始圖7 區(qū)域滿意解仿真程序框圖（三）、模型三的求解與結論 經過matlab仿真模擬，得到了專供非機動車使用的信號發(fā)射裝置應設置在點（

25、9.7136,56.80），相比區(qū)域中心（9.75,56.75）更偏向左上方。圖8 信息發(fā)射裝置建設位置通過觀察圖8中的散點排布，可以發(fā)現區(qū)域西側有密集的觀測點，而東部又較為稀疏。因此，可以認為該城市西部比較發(fā)達，非機動車道路、房屋等較多，人流量密集。故而，本著為全城居民提供更好、更穩(wěn)定的服務的理念，信息發(fā)射中心會建在比中心更加偏向人多的地點，這也較合理的解釋了這一結果。七、模型的評價與改進 模型一采用了三個指標剔除非機動車道，最終將31條機動車道分為15類，分別用15個高斯函數和線性函數的組合來描述道路的高斯橫縱坐標和海拔。這些函數較為復雜，雖然擬合度很高，但應用于實際生活中的可行性較小。雖

26、然改進模型中提出了剔除更多非機動車道的方法，但沒有找到可以切實利用的指標范圍，也有待改進。如果時間允許，可以提出更好的分類方法，使得函數表示更為簡單方便。例如以海拔起伏對道路分類，以便對道路進行函數描述時忽略海拔等復雜因素。 模型二對道路函數積分，從而求出了每條道路上平均每段（米）到發(fā)射點間的平均距離，比一般采用采集點數據的均值要優(yōu)化很多。然而，在解決海拔高度的影響時，基于理論分析和圖形解釋，認為海拔對發(fā)射點的建立位置沒有影響，這也許是值得考究的。在時間允許的情況下，可以利用仿真算法對第一小問求得的結果周圍的1km3的地表點進行仿真，以求得在微小影響下的位置變化。 模型三首先提出了利用方差衡量

27、穩(wěn)定性的指標，然而實現過于復雜。故而改進模型，使用極差描述個觀測點坐標的離散性，從而得到據各點距離和的最小值點。該模型是在數據不足，處理困難的情況下建立的簡化模型，雖然實現簡便，但推廣時還應考慮更多的現實問題。參考文獻：1.侯勝利.實用經貿知識M.北京:中國物價出版社,1995:105-108.2.熊介.橢球大地測量學M.北京:解放軍出版社, 1988: 245-253.3.黃清龍，阮宏順.概率論與數理統(tǒng)計M.北京:北京大學出版社, 2011: 188-190.4.陳發(fā)堂，李小文，王丹等.移動通信接收機設計理論與實現M.北京:科學出版社, 2011: 42-51.5.S.伯恩斯坦，R.伯恩斯坦

28、.統(tǒng)計學原理(上) 描述性統(tǒng)計學與概率M.北京:科學出版社, 2002: 125-129.6.鄧集賢，楊維權. 概率論與數理統(tǒng)計（第四版）M.北京:高等教育出版社, 2009.7.姜啟源，謝金星.數學模型（第四版）M.北京:高等教育出版社, 2011.附錄：附錄1 各初篩機動車道指標ID距離(m)相關系數起點（X,Y）終點(X,Y)3432758813807.5-0.9781892910.798392688.031879960.198397039.0839966944747.7419-11876180.018385551.071876740.458385056.07399669471223.5

29、960.9661877873.428383117.951877040.148382289.1399669481302718384263.121877872.658383138.84453686933847.328-0.9811892910.798392688.031896659.598391905.99740295596087.054-0.9331877617.188392209.131883573.718391269.69740333063429.178-0.9461884444.058391081.11887675.848390115.2376726823694

30、6.356-0.9671887898.78384054.581894464.818382097.35774619302248.532-0.9991875548.038383927.461877681.078383224.48784016756025.6410.8941894478.98381694.141890655.028379307.77875745121912.9650.9871879088.488399352.351880972.368399667.2493140099912.72370.8561891677.658396563.841890835.238396343.74931401

31、041325.662-0.9931890811.868395637.141891997.138395135.9493140107650.6864-0.8621891481.428397416.731891541.578396779.15944084174359.0460.9851896460.038390731.271892451.338389250.63944084254107.741-0.9081891528.318389404.651888796.268391133.9994408432526.05370.9921889796.758390805.791890210.538391106.

32、16944084416267.3420.9541887626.78390135.021881585.18389102.49944141663301.829-0.8071889397.498383186.231890060.218380328.22944141682593.0480.9541883657.048381105.281885432.848382710.7494414180510.0256-0.9991888077.3683903281888077.36839032894785452304.6656-0.9991878275.978383145.921878019.868383309.

33、42947854593510.843-0.9671884287.498383418.541884287.498383418.54947854796456.817-0.8831888500.538384490.621888500.538384490.62947872851280.073-0.9991895754.898387017.921894994.128388043.48947935697485.806-0.9751887206.998390439.681882833.528396039.71947935701299.5450.9721888763.428389823.131889587.5

34、38390764.75947935718328.963-0.9791887984.668390037.921896039.148388118.6294802272556.1785-0.8321886812.348390181.991887185.778390426.6894802276722.75480.9911877617.188392209.131877279.498391589.89948022774512.25-0.9861880119.628386437.011884483.998385406.9894802284714.79240.9871883063.278391385.0918

35、82754.728390807.2594807540526.917-0.9991884118.428393434.71884630.418393310.8894807541532.4999-0.9121886785.928391374.481887285.868391340.7194807544391.8760.9861883280.188391336.061883425.558391696.4594807546674.4790.8611887251.828391868.21886996.188391358.72948075521011.987-11889729.328391811.52188

36、8751.828392072.7494807560799.1941-0.9981887107.238388976.641887837.498388680.27948075704975.183-0.991888725.328392293.031884043.888393599.45995294332432.1030.9191879166.728386065.111876984.518385218.33995296084113.377-11881139.638388276.521877167.988389344.69995296602826.5660.9251880618.088383796.54

37、1877914.418383137.7299539344604.6711-0.9451877839.698387832.961877662.668388381.9499539351549.2519-0.9411877167.988389344.691877380.568388901.6399539364469.2597-0.9641876881.298389297.851877026.05838887899539365536.3994-0.9931876996.318389257.931877165.88388756.97995393731085.885-0.9971877369.678388

38、721.341876868.858389681.811233189281332.132-0.9791877642.558387228.341876312.838387288.14125110415590.32880.8891878197.578382982.381877635.418382879.44125110417532.1238-0.9991878669.818382738.21878197.578382982.381264527211525.6390.9521891453.318385142.291890814.278384095.44126452734556.30690.9991891384.698383419.981891774.338383814.81126452750321.69520.9551890898.428383708.831891055.838383924.831264529181326.8630.941894784.098388314.671895615.728389146.68127008674370.8765-0.9681894791.088382789.721894565.328382953.18127008678567.8158-0.8411893293.598382661.391893487.728382406.61127009807781