2016年中考?jí)狠S題專(zhuān)題：與圓有關(guān)的最值問(wèn)題(很好)

1、 與圓有關(guān)的最值（取值范圍）問(wèn)題一、題目分析： 此題是一個(gè)圓中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，也是圓中的最值問(wèn)題，主要考察了圓內(nèi)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思維方法，注重了初、高中知識(shí)的銜接1引例1：通過(guò)隱藏圓（高中軌跡的定義），尋找動(dòng)點(diǎn)C與兩個(gè)定點(diǎn)O、A構(gòu)成夾角的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為特殊位置（相切）進(jìn)行線段、角度有關(guān)計(jì)算，同時(shí)對(duì)三角函數(shù)值的變化（增減性）進(jìn)行了延伸考查，其實(shí)質(zhì)是高中“直線斜率”的直接運(yùn)用；2引例2：通過(guò)圓的基本性質(zhì)，尋找動(dòng)點(diǎn)C與兩個(gè)定點(diǎn)A、B構(gòu)成三角形的不變條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是高中“柯西不等式”的直接運(yùn)用；3引例3：本例動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)由引例1、引例2中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，增加為三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從性質(zhì)

2、運(yùn)用、構(gòu)圖形式、動(dòng)點(diǎn)關(guān)聯(lián)上增加了題目的難度，解答中還是注意動(dòng)點(diǎn)D、E與一個(gè)定點(diǎn)A構(gòu)成三角形的不變條件（DAE=60），構(gòu)造弦DE、直徑所在的直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為弦DE與半徑AP之間的數(shù)量關(guān)系，其實(shí)質(zhì)是高中“正弦定理”的直接運(yùn)用；綜合比較、回顧這三個(gè)問(wèn)題，知識(shí)本身的難度并不大，但其難點(diǎn)在于學(xué)生不知道轉(zhuǎn)化的套路，只能憑直觀感覺(jué)去尋找、猜想關(guān)鍵位置來(lái)求解，但對(duì)其真正的幾何原理卻無(wú)法通透.二、解題策略1直觀感覺(jué)，畫(huà)出圖形；2特殊位置，比較結(jié)果； 3理性分析動(dòng)點(diǎn)過(guò)程中所維系的不變條件，通過(guò)幾何構(gòu)建，尋找動(dòng)量與定量（常量）之間的關(guān)系，建立等式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化.引例1：在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)B為

3、y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AC=2設(shè)tanBOC=m，則m的取值范圍是_引例2：如圖，在邊長(zhǎng)為1的等邊OAB中，以邊AB為直徑作D，以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑作O，C為半圓弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），射線AC交O于點(diǎn)E，BC=，AC=，求的最大值.引例3：如圖，BAC=60，半徑長(zhǎng)為1的圓O與BAC的兩邊相切，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的圓P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的最大值為( ). A3 B6 C D三、中考展望與題型訓(xùn)練例一、斜率運(yùn)用1.如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），以A為圓心的A切x軸于點(diǎn)B，P（m，n）為A上的一個(gè)動(dòng)

4、點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿鱪+m的最大值例二、圓外一點(diǎn)與圓的最近點(diǎn)、最遠(yuǎn)點(diǎn)1如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=2，M為BD的中點(diǎn)，在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CM長(zhǎng)度的取值范圍是 .2如圖，O的直徑為4，C為O上一個(gè)定點(diǎn)，ABC=30，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿半圓弧向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)C在直徑AB的異側(cè))，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)（1）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CD長(zhǎng)度的取值范圍為 ；（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段AD長(zhǎng)度的最大值為 .例三、正弦定理1如圖，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=，D是線段B

5、C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作O分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，則線段EF長(zhǎng)度的最小值為 2. 如圖，定長(zhǎng)弦CD在以AB為直徑的O上滑動(dòng)（點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合），M是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CPAB于點(diǎn)P，若CD=3，AB=8，則PM長(zhǎng)度的最大值是 例四、柯西不等式、配方法1如圖，已知半徑為2的O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長(zhǎng)為x（2x4），則當(dāng)x= 時(shí)，PDCD的值最大，且最大值是為 .2如圖，線段AB=4，C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AC、BC為邊作等邊ACD和等邊BCE，O外接于CD

6、E，則O半徑的最小值為( ).A.4 B. C. D. 23在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫(huà)O，P是O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作O的切線與軸相交于點(diǎn)A，與軸相交于點(diǎn)B，線段AB長(zhǎng)度的最小值是 .例四、相切的應(yīng)用（有公共點(diǎn)、最大或最小夾角）1如圖，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作CD的垂線交直線BC于點(diǎn)E，則線段CE長(zhǎng)度的最小值是 .2如圖，RtABC中，C=90，A=30，AB=4，以AC上的一點(diǎn)O為圓心OA為半徑作O，若O與邊BC始終有交點(diǎn)（包括B、C兩點(diǎn)），則線段AO的取值范圍是 . 3如圖，O的半徑為2，點(diǎn)O到直線l的距

7、離為3，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ切O于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為（）ABC3D2例五、其他知識(shí)的綜合運(yùn)用1.（2015濟(jì)南）拋物線y=ax2+bx+4（a0）過(guò)點(diǎn)A（1，1），B（5，1），與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，連接CB，以CB為邊作CBPQ，若點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上，Q為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且CBPQ的面積為30，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，O1過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，AE為直徑，點(diǎn)M為 上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），MBN為直角，邊BN與ME的延長(zhǎng)線交于N，求線段BN長(zhǎng)度的最大值2.（2013秋相城區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知A、B是O與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，O的

8、半徑為1，P是該圓上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PA、PB分別交直線x=2于C、D兩點(diǎn)，E為線段CD的中點(diǎn)（1）判斷直線PE與O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）求線段CD長(zhǎng)的最小值；（3）若E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，則m的范圍為 【題型訓(xùn)練】1如圖，已知直線l與O相離，OAl于點(diǎn)A，OA=5，OA與O相交于點(diǎn)P，AB與O相切于點(diǎn)B，BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C，若在O上存在點(diǎn)Q，使QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則O的半徑r的取值范圍為 . 2已知：如圖，RtABC中，B=90，A=30，BC=6cm，點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒cm的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了t秒(t0)時(shí)，以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓與邊AC

9、相切于點(diǎn)D，與邊AB相交于E、F兩點(diǎn)，過(guò)E作EGDE交射線BC于G.（1）若點(diǎn)G在線段BC上，則t的取值范圍是 ；（2）若點(diǎn)G在線段BC的延長(zhǎng)線上，則t的取值范圍是 .3如圖，M，N的半徑分別為2cm，4cm，圓心距MN=10cmP為M上的任意一點(diǎn)，Q為N上的任意一點(diǎn)，直線PQ與連心線所夾的銳角度數(shù)為，當(dāng)P、Q在兩圓上任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最大值為( ).(A)； (B)； (C)； (D)4如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 為矩形ABCD的中心，以D為圓心1為半徑作D，P為D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、OP，則AOP面積的最大值為( ). (A)4 (B) (C) (D)5如圖，在RtAB

10、C中，C=90，AC=8，BC=6，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA、CB分別相交于點(diǎn)P、Q，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是( ).A B C5 D6如圖，在等腰RtABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合），過(guò)A、D、E三點(diǎn)作O，O交AC于另一點(diǎn)F，在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，線段EF長(zhǎng)度的最小值為 7如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，0)、(0，2)，C的圓心的坐標(biāo)為(-1，0)，半徑為1，若D是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則ABE面積的最小值是( ). A2 B1 C. D.8如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2，0)、(0，1)，C的

11、圓心坐標(biāo)為(0，-1)，半徑為1，D是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AD與y軸交于點(diǎn)E，則ABE面積的最大值是( ). A3 B C D49如圖，等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC=4，C的半徑為1，點(diǎn)P在斜邊AB上，PQ切O于點(diǎn)Q，則切線長(zhǎng)PQ長(zhǎng)度的最小值為( ). A. B. C. 3 D.410如圖BAC60，半徑長(zhǎng)1的O與BAC的兩邊相切，P為O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的范圍為 .11在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P（）是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AB=2，則的范圍為 .12在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是

12、y軸右側(cè)一點(diǎn)，且AP=2，點(diǎn)B上直線y=x+1上一動(dòng)點(diǎn)，且PBAP于點(diǎn)P，則，則的取值范圍是 .13在平面直角坐標(biāo)系中，M（3，4），P是以M為圓心，2為半徑的M上一動(dòng)點(diǎn)，A（-1，0）、B（1，0），連接PA、PB，則PA2+PB2最大值是 .老師點(diǎn)評(píng)：與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，看著無(wú)從下手，但只要仔細(xì)觀察，分析圖形，尋找動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間不變的維系條件，構(gòu)建關(guān)系，將研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變量與常量之間的關(guān)系，就能找到解決問(wèn)題的突破口！幾何中的定值問(wèn)題，是指變動(dòng)的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變的一類(lèi)問(wèn)題，解幾何定值問(wèn)題的基本方法是：分清問(wèn)題的定量及變量，運(yùn)用特殊

13、位置、極端位置，直接計(jì)算等方法，先探求出定值，再給出證明幾何中的最值問(wèn)題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個(gè)確定的量(如線段長(zhǎng)度、角度大小、圖形面積)等的最大值或最小值，求幾何最值問(wèn)題的基本方法有：1特殊位置與極端位置法；2幾何定理(公理)法；3數(shù)形結(jié)合法等注：幾何中的定值與最值近年廣泛出現(xiàn)于中考試題中，由冷點(diǎn)變?yōu)闊狳c(diǎn)這是由于這類(lèi)問(wèn)題具有很強(qiáng)的探索性(目標(biāo)不明確)，解題時(shí)需要運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法參考答案：引例1. 解：C在以A為圓心，以2為半徑作圓周上，只有當(dāng)OC與圓A相切（即到C點(diǎn)）時(shí)，BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：

14、OC=，BOA=ACO=90，BOC+AOC=90，CAO+AOC=90，BOC=OAC，tanBOC=tanOAC=，隨著C的移動(dòng)，BOC越來(lái)越大，C在第一象限，C不到x軸點(diǎn)，即BOC90，tanBOC，故答案為：m引例1圖引例2圖引例2.；原題：（2013武漢模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為1的等邊OAB中，以邊AB為直徑作D，以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑作圓O，C為半圓AB上不與A、B重合的一動(dòng)點(diǎn)，射線AC交O于點(diǎn)E，BC=a，AC=b（1）求證：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是關(guān)于x的方程：x2+ax=b2+ab的一個(gè)根，求m的取值范圍【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）首先連接BE，由O

15、AB為等邊三角形，可得AOB=60，又由圓周角定理，可求得E的度數(shù)，又由AB為D的直徑，可求得CE的長(zhǎng)，繼而求得AE=b+a；（2）首先過(guò)點(diǎn)C作CHAB于H，在RtABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b） 2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CHAB=1+2CH1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x2+ax=b2+ab，可得（xb）（x+b+a）=0，則可求得x的值，繼而可求得m的取值范圍【解答】解：（1）連接BE，OAB為等邊三角形，AOB=60，AEB=30，AB為直徑，ACB=BCE=90，BC=a，BE=2a，CE=a，AC=b，AE=b+a；（2）過(guò)點(diǎn)

16、C作CHAB于H，在RtABC中，BC=a，AC=b，AB=1，a2+b2=1，SABC=ACBC=ABCH，ACBC=ABCH，（a+b） 2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CHAB=1+2CH1+2AD=1+AB=2，a+b，故a+b的最大值為，（3）x2+ax=b2+ab，x2b2+axab=0，（x+b）（xb）+a（xb）=0，（xb）（x+b+a）=0，x=b或x=（b+a），當(dāng)m=b時(shí)，m=b=ACAB=1，0m1，當(dāng)m=（b+a）時(shí)，由（1）知AE=m，又ABAE2AO=2，1m2，2m1，m的取值范圍為0m1或2m1【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)、完全

17、平方公式的應(yīng)用以及一元二次方程的解法此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想的應(yīng)用引例3. 解：連接EP，DP，過(guò)P點(diǎn)作PM垂直DE于點(diǎn)M，過(guò)O做OFAC與F，連接AO，如圖，BAC=60，DPE=120PE=PD，PMDE，EPM=60，ED=2EM=2EPsin60=EP=PA當(dāng)P與A、O共線時(shí)，且在O點(diǎn)右側(cè)時(shí)，P直徑最大O與BAC兩邊均相切，且BAC=60，OAF=30，OF=1，AO=2，AP=2+1=3，DE=PA=3故答案為：D。【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)中的解決極值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找出DE與AP之間的關(guān)系，再解決切線的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題本題屬于中等難度題，難點(diǎn)在于找到DE

18、與半徑AP之間的關(guān)系，只有找到DE與AP之間的關(guān)系，才能說(shuō)明當(dāng)A、O、P三點(diǎn)共線時(shí)DE最大引例3圖例一、斜率運(yùn)用【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)【專(zhuān)題】探究型【分析】設(shè)m+n=k，則點(diǎn)P（m，n）在直線x+y=k上，易得直線y=x+k與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，k），于是可判斷當(dāng)直線y=x+k與A在上方相切時(shí)，k的值最大；直線y=x+k與x軸交于點(diǎn)C，切A于P，作PDx軸于D，AEPD于E，連接AB，如圖，則C（k，0），利用直線y=x+k的性質(zhì)易得PCD=45，則PCD為等腰直角三角形，接著根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)得ABOB，APPC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，所以四邊形ABDE為

19、矩形，APE=45，則DE=AB=1，PE=AP=，所以PD=PE+DE=+1，然后在RtPCD中，利用PC=PD得到2+k=（+1），解得k=1，從而得到n+m的最大值為1【解答】解：設(shè)m+n=k，則點(diǎn)P（m，n）在直線x+y=k上，當(dāng)x=0時(shí)，y=k，即直線y=x+k與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，k），所以當(dāng)直線y=x+k與A在上方相切時(shí)，k的值最大，直線y=x+k與x軸交于點(diǎn)C，切A于P，作PDx軸于D，AEPD于E，連接AB，如圖，當(dāng)y=0時(shí)，x+k=0，解得x=k，則C（k，0），直線y=x+k為直線y=x向上平移k個(gè)單位得到，PCD=45，PCD為等腰直角三角形，CP和OB為A的切線，A

20、BOB，APPC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，四邊形ABDE為矩形，APE=45，DE=AB=1，APE為等腰直角三角形，PE=AP=，PD=PE+DE=+1，在RtPCD中，PC=PD，2+k=（+1），解得k=1，n+m的最大值為1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題解決本題的關(guān)鍵是確定直線y=x+k與A相切時(shí)n+m的最大值例二、圓外一點(diǎn)與圓的最近點(diǎn)、最遠(yuǎn)點(diǎn)1. 解：作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE在直角ABC中，AB=5，E是直角ABC斜邊AB上的中點(diǎn)，CE=AB=

21、M是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，ME=AD=1在CEM中，1CM+1，即CM故答案是：CM2.（1）；（2）；變式題：（2011邯鄲一模）如圖是某種圓形裝置的示意圖，圓形裝置中，O的直徑AB=5，AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，tanCAB=其運(yùn)動(dòng)過(guò)程是：點(diǎn)P在弧AB上滑動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q（1）當(dāng)PC= 時(shí)，CQ與O相切；此時(shí)CQ= （2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求CQ的長(zhǎng)【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形【專(zhuān)題】計(jì)算題【分析】（1）當(dāng)CQ為圓O的切線時(shí)，CQ為圓O的切線，此時(shí)CP為圓的直徑，由CQ垂直

22、于直徑CP，得到CQ為切線，即可得到CP的長(zhǎng)；由同弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出CQ的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)時(shí)，如圖1所示，此時(shí)CPAB于D，由AB為圓O的直徑，得到ACB為直角，在直角三角形ACB中，由tanCAB與AB的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC與BC的長(zhǎng)，再由三角形ABC的面積由兩直角邊乘積的一半來(lái)求，也利用由斜邊乘以斜邊上的高CD的一半來(lái)求，求出CD的長(zhǎng)，得到CP的長(zhǎng)，同弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，由已知角的正切值，得到tanCPB的值，由CP的長(zhǎng)即可求出CQ；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB

23、的中點(diǎn)時(shí)，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)B作BEPC于點(diǎn)E，由P是弧AB的中點(diǎn)，得到PCB=45，得到三角形EBC為等腰直角三角形，由CB的長(zhǎng)，求出CE與BE的長(zhǎng)，在直角三角形EBP中，由CPB=CAB，得到tanCPB=tanCAB，利用三角函數(shù)定義求出PE的長(zhǎng)，由CP+PE求出CP的長(zhǎng)，即可求出CQ的長(zhǎng)【解答】解：（1）當(dāng)CP過(guò)圓心O，即CP為圓O的直徑時(shí)，CQ與O相切，理由為：PCCQ，PC為圓O的直徑，CQ為圓O的切線，此時(shí)PC=5；CAB=CPQ，tanCAB=tanCPQ=，tanCPQ=，則CQ=；故答案為：5；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)時(shí)，如圖1所示，此時(shí)CPAB于D，圖1圖2又A

24、B為O的直徑，ACB=90，AB=5，tanCAB=，BC=4，AC=3，又SABC=ACBC=ABCD，ACBC=ABCD，即34=5CD，CD=，PC=2CD=，在RtPCQ中，PCQ=90，CPQ=CAB，CQ=PCtanCPQ=PC，CQ=；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)B作BEPC于點(diǎn)E，P是弧AB的中點(diǎn)，PCB=45，CE=BE=2，又CPB=CAB，tanCPB=tanCAB=，PE=BE=，PC=CE+PE=2+=，由（2）得，CQ=PC=【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)

25、是解本題的關(guān)鍵再變式：如圖3時(shí)，CQ最長(zhǎng)。圖3例三、正弦定理1. 解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，如圖，連接OE，OF，過(guò)O點(diǎn)作OHEF，垂足為H，在RtADB中，ABC=45，AB=2AD=BD=2，即此時(shí)圓的半徑為1，由圓周角定理可知EOH=EOF=BAC=60，在RtEOH中，EH=OEsinEOH=1=，由垂徑定理可知EF=2EH=，故答案為：例三1答圖例三2答圖2. 【考點(diǎn)】垂徑定理；三角形中位線定理【分析】當(dāng)CDAB時(shí)，PM長(zhǎng)最大，連接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC長(zhǎng)即可【解答】解：法：如圖：當(dāng)CDAB時(shí)，PM長(zhǎng)最大，連

26、接OM，OC，CDAB，CPCD，CPAB，M為CD中點(diǎn)，OM過(guò)O，OMCD，OMC=PCD=CPO=90，四邊形CPOM是矩形，PM=OC，O直徑AB=8，半徑OC=4，即PM=4，故答案為：4法：連接CO，MO，根據(jù)CPO=CM0=90，所以C，M，O，P，四點(diǎn)共圓，且CO為直徑連接PM，則PM為E的一條弦，當(dāng)PM為直徑時(shí)PM最大，所以PM=CO=4時(shí)PM最大即PMmax=4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出符合條件的CD的位置，題目比較好，但是有一定的難度例四、柯西不等式、配方法1. 過(guò)O作OEPD，垂足為E，PD是O的弦，OEPD，PE=ED，

27、又CEO=ECA=OAC=90，四邊形OACE為矩形，CE=OA=2，又PC=x，PE=ED=PCCE=x2，PD=2（x2），CD=PCPD=x2（x2）=x2x+4=4x，PDCD=2（x2）（4x）=2x2+12x16=2（x3）2+2，2x4，當(dāng)x=3時(shí)，PDCD的值最大，最大值是2第1題答圖第2題答圖2. 解：如圖，分別作A與B角平分線，交點(diǎn)為PACD和BCE都是等邊三角形，AP與BP為CD、CE垂直平分線又圓心O在CD、CE垂直平分線上，則交點(diǎn)P與圓心O重合，即圓心O是一個(gè)定點(diǎn)連接OC若半徑OC最短，則OCAB又OAC=OBC=30，AB=4，OA=OB，AC=BC=2，在直角AO

28、C中，OC=ACtanOAC=2tan30=故選：B3. 解：（1）線段AB長(zhǎng)度的最小值為4，理由如下：連接OP，AB切O于P，OPAB，取AB的中點(diǎn)C，AB=2OC；當(dāng)OC=OP時(shí)，OC最短，即AB最短，此時(shí)AB=4故答案為：4（3題答圖）例四、相切的應(yīng)用（有公共點(diǎn)、最大或最小夾角）1. 求CE最小值，就是求半徑OD的最小值。2.；3. 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)【專(zhuān)題】壓軸題【分析】因?yàn)镻Q為切線，所以O(shè)PQ是Rt又OQ為定值，所以當(dāng)OP最小時(shí)，PQ最小根據(jù)垂線段最短，知OP=3時(shí)PQ最小根據(jù)勾股定理得出結(jié)論即可【解答】解：PQ切O于點(diǎn)Q，OQP=90，PQ2=OP2OQ2，而OQ=2，PQ2=O

29、P24，即PQ=，當(dāng)OP最小時(shí)，PQ最小，點(diǎn)O到直線l的距離為3，OP的最小值為3，PQ的最小值為=故選B【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了切線的性質(zhì)及垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，如何確定PQ最小時(shí)點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵，難度中等偏上例五、其他幾何知識(shí)的運(yùn)用1. 解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，解得：拋物線得解析式為y=x26x+4（2）如圖所示： 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（m，m26m+4），平行四邊形的面積為30，SCBP=15，即：SCBP=S梯形CEDPSCEBSPBDm（5+m26m+4+1）55（m5）（m26m+5）=15化簡(jiǎn)得：m25m6=0，解得：m=6，或m=1m0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6

30、，4）（3）連接AB、EBAE是圓的直徑，ABE=90ABE=MBN又EAB=EMB，EABNMBA（1，1），B（5，1），點(diǎn)O1的橫坐標(biāo)為3，將x=0代入拋物線的解析式得：y=4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）設(shè)點(diǎn)O1的坐標(biāo)為（3，m），O1C=O1A，解得：m=2，點(diǎn)O1的坐標(biāo)為（3，2），O1A=，在RtABE中，由勾股定理得：BE=6，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，5）AB=4，BE=6EABNMB，NB=當(dāng)MB為直徑時(shí)，MB最大，此時(shí)NB最大MB=AE=2，NB=32. 【考點(diǎn)】圓的綜合題【專(zhuān)題】綜合題【分析】（1）連接OP，設(shè)CD與x軸交于點(diǎn)F要證PE與O相切，只需證OPE=90，只需證OPB+EP

31、D=90，由OP=OB可得OPB=OBP=FBD，只需證EPD=EDP，只需證EP=ED，只需利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可解決問(wèn)題（2）連接OE，由于PE=CD，要求線段CD長(zhǎng)的最小值，只需求PE長(zhǎng)的最小值，在RtOPE中，OP已知，只需求出OE的最小值就可（3）設(shè)O與y軸的正半軸的交點(diǎn)為Q，由圖可知：點(diǎn)P從點(diǎn)Q向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)越來(lái)越小，而點(diǎn)P在點(diǎn)Q時(shí)，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1，由此就可得到m的范圍【解答】解：（1）直線PE與O相切證明：連接OP，設(shè)CD與x軸交于點(diǎn)FAB是O的直徑，APB=CPD=90E為CD的中點(diǎn)，PE=CE=DE=CD，EPD=EDPOP=OB，O

32、PB=OBP=DBFDBF+EDB=90，OPB+EPD=OPE=90，EPOPOP為O的半徑，PE是O的切線（2）連接OE，OPE=90，OP=1，PE2=OE2OP2=OE21當(dāng)OECD時(shí)，OE=OF=2，此時(shí)OE最短，PE2最小值為3，即PE最小值為，PE=CD，線段CD長(zhǎng)的最小值為2（3）設(shè)O與y軸的正半軸的交點(diǎn)為Q，由圖可知：點(diǎn)P從點(diǎn)Q向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)越來(lái)越小，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q時(shí)，由PEOP可得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1點(diǎn)P是圓上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，m的范圍為m1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定、圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)，利用勾股定理將求PE的

33、最小值轉(zhuǎn)化為求OE的最小值是解決第（2）小題的關(guān)鍵【題型訓(xùn)練】1. 解：連接OB如圖1，AB切O于B，OAAC，OBA=OAC=90，OBP+ABP=90，ACP+APC=90，OP=OB，OBP=OPB，OPB=APC，ACP=ABC，AB=AC，作出線段AC的垂直平分線MN，作OEMN，如圖2，OE=AC=AB=，又圓O與直線MN有交點(diǎn)，OE=r，2r，即：100r24r2，r220，r2OA=10，直線l與O相離，r10，2r10故答案為：2r10 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用性

34、質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度2.原題：（2004無(wú)錫）已知：如圖，RtABC中，B=90，A=30，BC=6cm點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒cm的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了t秒（t0）時(shí)，以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓與邊AC相切于點(diǎn)D，與邊AB相交于E、F兩點(diǎn)過(guò)E作EGDE交射線BC于G（1）若E與B不重合，問(wèn)t為何值時(shí)，BEG與DEG相似？（2）問(wèn)：當(dāng)t在什么范圍內(nèi)時(shí)，點(diǎn)G在線段BC上？當(dāng)t在什么范圍內(nèi)時(shí)，點(diǎn)G在線段BC的延長(zhǎng)線上？（3）當(dāng)點(diǎn)G在線段BC上（不包括端點(diǎn)B、C）時(shí)，求四邊形CDEG的面積S（cm2）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并問(wèn)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了幾秒鐘時(shí)，S取得最

35、大值最大值為多少？【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；二次函數(shù)綜合題；相似三角形的判定【專(zhuān)題】綜合題；壓軸題；分類(lèi)討論【分析】（1）連接OD，DF那么ODAC，則AOD=60，AED=30由于DEG=90，因此BEG=60，因此本題可分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)EDG=60，DGE=30時(shí)，BGD=BGE+EGD=60這樣BGD和ACB相等，那么G和C重合當(dāng)DGE=60時(shí)，可在直角AOD中，根據(jù)A的度數(shù)和AO的長(zhǎng)表示出AD的長(zhǎng)，也就能表示出CD的長(zhǎng)，由于A=AED=30，那么AD=DE，可在直角DEG中，用AD的長(zhǎng)表示出DG，進(jìn)而根據(jù)DGAB得出的關(guān)于CD，AD，DG，AB的比例關(guān)系式即可求出此時(shí)t的值（2）本題可

36、先求出BG的表達(dá)式，然后令BGBC，即可得出G在BC延長(zhǎng)線上時(shí)t的取值范圍（3）由于四邊形CGED不是規(guī)則的四邊形，因此其面積可用ABC的面積ADE的面積BEG的面積來(lái)求得在前兩問(wèn)中已經(jīng)求得AD，AE，BE，BG的表達(dá)式，那么就不難得出這三個(gè)三角形的面積據(jù)此可求出S，t的函數(shù)關(guān)系式根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍即可求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值【解答】解：（1）連接OD，DFAC切O于點(diǎn)D，ODAC在RtOAD中，A=30，OA=t，OD=OF=t，AD=OAcosA=又FOD=9030=60，AED=30，AD=ED=DEEG，BEG=60，BEG與DEG相似B=GED=90，當(dāng)EGD=30

37、，CE=2BE=2（6t）則BGD=60=ACB，此時(shí)G與C重合，DE=AD，CD=12，BE=6t，BEGDEC，=，=，t=；當(dāng)EGD=60DGBC，DGAB在RtDEG中，DEG=90，DE=，DG=t在RtABC中，A=30，BC=6，AC=12，AB=6，CD=12DGAB，解得t=答：當(dāng)t為或時(shí)，BEG與EGD相似；（2）AC切O于點(diǎn)D，ODAC在RtOAD中，A=30，OA=t，AED=30，DEEG，BEG=60在RtABC中，B=90，A=30，BC=6，AB=6，BE=6tRtBEG中，BEG=60，BG=BEtan60=18t當(dāng)018t6，即t4時(shí)，點(diǎn)G在線段BC上；當(dāng)1

38、8t6，即0t時(shí)，點(diǎn)G在線段BC的延長(zhǎng)線上；（3）過(guò)點(diǎn)D作DMAB于M在RtADM中，A=30，DM=AD=tS=SABCSAEDSBEG=36t227t=（t）2+（t4）所以當(dāng)t=時(shí)，s取得最大值，最大值為 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)3.D；4. 解：當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到平行于OA且與D相切時(shí)，AOP面積的最大，如圖，P是D的切線，DP垂直與切線，延長(zhǎng)PD交AC于M，則DMAC，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，AC=5，OA=，AMD=ADC=90，DAM=CAD，ADMACD，=，AD=4，CD=3，A

39、C=5，DM=，PM=PD+DM=1+=，AOP的最大面積=OAPM=，故選D（4題答圖）（5題答圖）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及三角形相似的判定和性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是判斷出P處于什么位置時(shí)面積最大；5. 解：如圖，設(shè)QP的中點(diǎn)為F，圓F與AB的切點(diǎn)為D，連接FD、CF、CD，則FDABACB=90，AC=8，BC=6，AB=10，F(xiàn)C+FD=PQ，F(xiàn)C+FDCD，當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABC的斜邊AB的高CD上時(shí)，PQ=CD有最小值，CD=BCACAB=4.8故選：B6.；7. 解：若ABE的面積最小，則AD與C相切，連接CD，則CDAD；RtAC

40、D中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2；SACD=ADCD=；易證得AOEADC，=（）2=（）2=，即SAOE=SADC=；SABE=SAOBSAOE=22=2；另解：利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等更簡(jiǎn)單！故選：C（7題答圖）（8題答圖）8. 解：當(dāng)射線AD與C相切時(shí)，ABE面積的最大連接AC，AOC=ADC=90，AC=AC，OC=CD，RtAOCRtADC，AD=AO=2，連接CD，設(shè)EF=x，DE2=EFOE，CF=1，DE=，CDEAOE，=，即=，解得x=，SABE=故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考查了切線的性質(zhì)和三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)射

41、線AD與C相切時(shí)，ABE面積的最大9. 解：當(dāng)PCAB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最短在直角ABC中，AB=4，PC=AB=2PQ是C的切線，CQPQ，即CQP=90，PQ=故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用；注意掌握輔助線的作法，注意當(dāng)PCAB時(shí)，線段PQ最短是關(guān)鍵（9題答圖）（10題答圖）10. 解：連接AO并延長(zhǎng)，與ED交于F點(diǎn)，與圓O交于P點(diǎn)，此時(shí)線段ED最大，連接OM，PD，可得F為ED的中點(diǎn)，BAC=60，AE=AD，AED為等邊三角形，AF為角平分線，即FAD=30，在RtAOM中，OM=1，OAM=30，OA=2，PD=PA=AO+OP=3，在RtPDF中，F(xiàn)DP=30，PD

42、=3，PF=，根據(jù)勾股定理得：FD=，則DE=2FD=3同理可得：DE的最小值為，。11.；12.；13. 解：設(shè)P（x，y），PA2=（x+1）2+y2，PB2=（x1）2+y2，PA2+PB2=2x2+2y2+2=2（x2+y2）+2，OP2=x2+y2，PA2+PB2=2OP2+2，當(dāng)點(diǎn)P處于OM與圓的交點(diǎn)上時(shí)，OP取得最值，OP的最大值為OM+PM=5+2=7，PA2+PB2最大值為100【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，將所求代數(shù)式的值轉(zhuǎn)化為求解OP的最大值，難度較大附：1.如圖，直線分別與x、y軸交于點(diǎn) A、B，以O(shè)B為直徑作M，M與直線AB的另一個(gè)交點(diǎn)為D

43、（1）求BAO的大小；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）過(guò)O、D、A三點(diǎn)作拋物線，點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l上的動(dòng)點(diǎn)，探求：|QOQD|的最大值【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題【專(zhuān)題】壓軸題【分析】（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長(zhǎng)度，再求出BAO的正切值，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可；（2）連接OD，過(guò)D作DEOA于點(diǎn)E，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得BDO=90，再根據(jù)直角三角形30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出OD，直角三角形兩銳角互余求出DOE=60，然后解直角三角形求出OE、DE，再寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為OA的垂直平分線，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出點(diǎn)Q為OD與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)時(shí)|QOQD|=OD的值最大，然后求解即可【解答】解：（1）直線y=x+4分別與x、y軸交于點(diǎn)A、B，當(dāng)y=0時(shí)，x+4=0，解得x=4；當(dāng)x=0時(shí)，y=4，A（4，0），B（0，4）OA=4，OB=4，在RtAOB中，tanBAO=，BAO=30；（2）