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文檔簡介
1、 灰色預(yù)測模型理論及其應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為對既含有已知信息又含有未知或非確定信息的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測,就是對在一定方位內(nèi)變化的、與時(shí)間有關(guān)的灰色過程的預(yù)測. 盡管過程中所顯示的現(xiàn)象是隨機(jī)的、雜亂無章的,但畢竟是有序的、有界的,因此這一數(shù)據(jù)集合具備潛在的規(guī)律,灰色預(yù)測就是利用這種規(guī)律建立灰色模型對灰色系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測. 灰色預(yù)測模型只需要較少的觀測數(shù)據(jù)即可,這和時(shí)間序列分析,多元回歸分析等需要較多數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)模型不一樣. 因此,對于只有少量觀測數(shù)據(jù)的項(xiàng)目來說,灰色預(yù)測是一種有用的工具.本文主要圍繞灰色預(yù)測GM(1,1)模型及其應(yīng)用進(jìn)行展開。一、灰色系統(tǒng)及灰色預(yù)測的概念1.1灰色系統(tǒng)灰色系統(tǒng)產(chǎn)生于控制理論的研
2、究中。若一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全已知的,即系統(tǒng)的信息是充足完全的,我們稱之為白色系統(tǒng)。若一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部信息是一無所知,一團(tuán)漆黑,只能從它同外部的聯(lián)系來觀測研究,這種系統(tǒng)便是黑色系統(tǒng)?;疑到y(tǒng)介于二者之間,灰色系統(tǒng)的一部分信息是已知的,一部分是未知的。區(qū)別白色和灰色系統(tǒng)的重要標(biāo)志是系統(tǒng)各因素間是否有確定的關(guān)系。特點(diǎn):灰色系統(tǒng)理論以“部分信息已知、部分信息未知”的 “小樣本”、“貧信息”不確定型系統(tǒng)的研究對象。1.2灰色預(yù)測灰色系統(tǒng)分析方法是通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相似或相異程度,即進(jìn)行關(guān)聯(lián)度分析,并通過對原始數(shù)據(jù)的生成處理來尋求系統(tǒng)變動的規(guī)律。生成數(shù)據(jù)序列有較強(qiáng)的規(guī)律性,可以用它來建立相應(yīng)
3、的微分方程模型,從而預(yù)測事物未來的發(fā)展趨勢和未來狀態(tài)?;疑A(yù)測是用灰色模型GM(1,1)來進(jìn)行定量分析的,通常分為以下幾類:(1) 灰色時(shí)間序列預(yù)測。用等時(shí)距觀測到的反映預(yù)測對象特征的一系列數(shù)量(如產(chǎn)量、銷量、人口數(shù)量、存款數(shù)量、利率等)構(gòu)造灰色預(yù)測模型,預(yù)測未來某一時(shí)刻的特征量,或者達(dá)到某特征量的時(shí)間。(2) 畸變預(yù)測(災(zāi)變預(yù)測)。通過模型預(yù)測異常值出現(xiàn)的時(shí)刻,預(yù)測異常值什么時(shí)候出現(xiàn)在特定時(shí)區(qū)內(nèi)。 (3) 波形預(yù)測,或稱為拓?fù)漕A(yù)測,它是通過灰色模型預(yù)測事物未來變動的軌跡。 (4) 系統(tǒng)預(yù)測,是對系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一族相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測理論模型,在預(yù)測系統(tǒng)整體變化的同時(shí),預(yù)測系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)的變
4、化。上述灰預(yù)測方法的共同特點(diǎn)是:(1)允許少數(shù)據(jù)預(yù)測;(2)允許對灰因果律事件進(jìn)行預(yù)測,比如灰因白果律事件:在糧食生產(chǎn)預(yù)測中,影響糧食生產(chǎn)的因子很多,多到無法枚舉,故為灰因,然而糧食產(chǎn)量卻是具體的,故為白果。糧食預(yù)測即為灰因白果律事件預(yù)測。白因灰果律事件 :在開發(fā)項(xiàng)目前景預(yù)測時(shí),開發(fā)項(xiàng)目的投入是具體的,為白因,而項(xiàng)目的效益暫時(shí)不很清楚,為灰果。項(xiàng)目前景預(yù)測即為灰因白果律事件預(yù)測。(3)具有可檢驗(yàn)性,包括:建??尚行缘募壉葯z驗(yàn)(事前檢驗(yàn)),建模精度檢驗(yàn)(模型檢驗(yàn)),預(yù)測的滾動檢驗(yàn)(預(yù)測檢驗(yàn))。二、GM(1,1)模型2.1GM(1,1)模型GM(1,1)模型是基于灰色系統(tǒng)的理論思想,將離散變量連續(xù)
5、化,用微分方程代替差分方程,按時(shí)間累加后所形成的新的時(shí)間序列呈現(xiàn)的規(guī)律可用一階線性微分方程的解來逼近,用生成數(shù)序列代替原始時(shí)間序列,弱化原始時(shí)間序列的隨機(jī)性,這樣可以對變化過程作較長時(shí)間的描述,進(jìn)而建立微分方程形式的模型. 其建模的實(shí)質(zhì)是建立微分方程的系數(shù),將時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為微分方程,通過灰色微分方程可以建立抽象系統(tǒng)的發(fā)展模型. 經(jīng)證明,經(jīng)一階線性微分方程的解逼近所揭示的原始時(shí)間數(shù)列呈指數(shù)變化規(guī)律時(shí),灰色預(yù)測GM(1,1)模型的預(yù)測將是非常成功的. 2.2GM(1,1)模型的建立GM(1,1)模型是指一階,一個(gè)變量的微分方案預(yù)測模型,是一階單序列的線性動態(tài)模型,用于時(shí)間序列預(yù)測的離散形式的微分方
6、程模型.模型符號含義為 G M (1, 1) Grey Model 1階方程 1個(gè)變量設(shè)時(shí)間序列有個(gè)觀察值,為了使其成為有規(guī)律的時(shí)間序列數(shù)據(jù),對其作一次累加生成運(yùn)算,即令從而得到新的生成數(shù)列,,稱為GM(1,1)模型的原始形式。新的生成數(shù)列一般近似地服從指數(shù)規(guī)律. 則生成的離散形式的微分方程具體的形式為即表示變量對于時(shí)間的一階微分方程是連續(xù)的. 求解上述微分方程,解為當(dāng)=1時(shí),即,則可根據(jù)上述公式得到離散形式微分方程的具體形式為其中,項(xiàng)中的為的背景值,也稱初始值;,是待識別的灰色參數(shù),為發(fā)展系數(shù),反映的發(fā)展趨勢;為灰色作用量,反映數(shù)據(jù)間的變化關(guān)系. 按白化導(dǎo)數(shù)定義有顯然,當(dāng)時(shí)間密化值定義為1時(shí)
7、,當(dāng)時(shí),則上式可記為這表明是一次累減生成的,因此該式可以改寫為當(dāng)足夠小時(shí),變量從到是不會出現(xiàn)突變的,所以取與的平均值作為當(dāng)足夠小時(shí)的背景值,即(緊鄰均值(MEAN)生成序列)將其值帶入式子,整理得(GM(1,1)模型的均值形式)由其離散形式可得到如下矩陣:令 稱為數(shù)據(jù)向量,為數(shù)據(jù)矩陣,為參數(shù)向量. 則上式可簡化為線性模型:由最小二乘估計(jì)方法得上式即為GM(1,1)參數(shù)的矩陣辨識算式,式中事實(shí)上是數(shù)據(jù)矩陣的廣義逆矩陣. 將求得的,值代入微分方程的解式,則其中,上式是GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)形式,將它離散化得對序列再作累減生成可進(jìn)行預(yù)測. 即上式便是GM(1,1)模型的預(yù)測的具體計(jì)算式.
8、2.3 GM(1,1)模型的檢驗(yàn)GM(1,1)模型的檢驗(yàn)包括殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)、后驗(yàn)差檢驗(yàn)三種形式. 每種檢驗(yàn)對應(yīng)不同功能:殘差檢驗(yàn)屬于算術(shù)檢驗(yàn),對模型值和實(shí)際值的誤差進(jìn)行逐點(diǎn)檢驗(yàn);關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)屬于幾何檢驗(yàn)范圍,通過考察模型曲線與建模序列曲線的幾何相似程度進(jìn)行檢驗(yàn),關(guān)聯(lián)度越大模型越好;后驗(yàn)差檢驗(yàn)屬于統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),對殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行檢驗(yàn),衡量灰色模型的精度. 殘差檢驗(yàn)殘差大小檢驗(yàn),即對模型值和實(shí)際值的殘差進(jìn)行逐點(diǎn)檢驗(yàn). 設(shè)模擬值的殘差序列為,則令為殘差相對值,即殘差百分比為令為平均殘差,. 一般要求,最好是,符合要求. 關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)關(guān)聯(lián)度是用來定量描述各變化過程之間的差別. 關(guān)聯(lián)系數(shù)越大,說明預(yù)
9、測值和實(shí)際值越接近. 設(shè) 序列關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為式中,為第個(gè)點(diǎn)和的絕對誤差,為第個(gè)數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)系數(shù),稱為分辨率,即取定的最大差百分比,,一般取. 和的關(guān)聯(lián)度為關(guān)聯(lián)度大于60%便滿意了,原始數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)度越大,模型越好. 后驗(yàn)差檢驗(yàn)后驗(yàn)差檢驗(yàn),即對殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行檢驗(yàn). 檢驗(yàn)步驟如下:1、計(jì)算原始時(shí)間數(shù)列的均值和方差2、計(jì)算殘差數(shù)列的均值和方差其中為殘差數(shù)列. 3、計(jì)算后驗(yàn)差比值4、計(jì)算小誤差頻率 令=0.6745,即. 若對給定的,當(dāng)時(shí),稱模型為方差比合格模型;若對給定的,當(dāng)時(shí),稱模型為小殘差概率合格模型. 模型精度0.950.800.700.65勉強(qiáng)合格0.65不合格表 3 后驗(yàn)差檢驗(yàn)
10、判別參照表2.3 GM(1,1)模型修正(殘差GM(1,1)模型) 當(dāng)原始數(shù)據(jù)序列建立的GM(1,1)模型檢驗(yàn)不合格時(shí),可以用GM(1,1)殘差模型來修正. 如果原始序列建立的GM(1,1)模型不夠精確,也可以用GM(1,1)殘差模型來提高精度. 若用原始序列建立的GM(1,1)模型可獲得生成序列的預(yù)測值,定義殘差序列. 若取k=t, t+1, , n,則對應(yīng)的殘差序列為計(jì)算其生成序列,并據(jù)此建立相應(yīng)的GM(1,1)模型得修正模型其中為修正參數(shù). 三、GM(1,1)模型的應(yīng)用表1 南昌市民用汽車保有量年份2004200520062007200820092010201120122013南昌市民用
11、汽車保有量(萬輛)24.410926.730730.387836.380741.016143.7348.41615763.1第一步:構(gòu)造累加生成序列X(1);第二步:計(jì)算系數(shù)值;對做緊鄰均值生成. 令,得則數(shù)據(jù)矩陣及數(shù)據(jù)向量為, 對參數(shù)列進(jìn)行最小二乘估計(jì),得即 ,= -0.101624 , =25.290111 , 平均相對誤差為4.685749%第三步:得出時(shí)間響應(yīng)預(yù)測函數(shù)模型為:第四步:進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)。真實(shí)值:24.4109,26.7307,30.3878,36.3807,41.0161,43.7300,48.4100,61.0000,57.0000,63.1000預(yù)測值:24.410
12、9,29.2310,32.3578,35.8190,39.6504,43.8917,48.5867,53.7839,59.5371,65.9056計(jì)算得到關(guān)聯(lián)系數(shù)為:1,0.906683,0.444273,0.416579,0.82377,0.357133,0.715694,0.843178,0.333333,0.770986 于是灰色關(guān)聯(lián)度:r=0.661163 關(guān)聯(lián)度r=0.661163滿足分辨率r=0.5時(shí)的檢驗(yàn)準(zhǔn)則r0.60,關(guān)聯(lián)性檢驗(yàn)通過。第五步:后驗(yàn)差檢驗(yàn)。計(jì)算真實(shí)值的均值與標(biāo)準(zhǔn)差:計(jì)算殘差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差:于是方差比 C=S2/S1=0.32890.35 S0=0.6745*S1=
13、9.4601所有都小于S0,故小誤差概率,又C0.35所以后驗(yàn)差檢驗(yàn)通過。第六步:殘差檢驗(yàn)。(1)得到模擬值、殘差和相對誤差如下:序號 模擬值 殘差 相對誤差(%) 1 24.4109 0 02 29.230986 2.500286 9.3536123 32.357751 1.969951 6.4827044 35.818976 -.561724 -1.5440165 39.650442 -1.365658 -3.3295666 43.891749 .161749 .3698817 48.586737 .176737 .3650848 53.783938 -7.216062 -11.82961
14、9 59.537068 2.537068 4.45099610 65.905597 2.805597 4.446271 相對誤差序列中有的相對誤差很大,所以要對原模型進(jìn)行殘差修正,以提高精度。(2) 利用殘差對原模型進(jìn)行修正:我們?nèi)?2.500286,1.969951,0.561724,1.365658,0.161749 ,0.176737,7.216062,2.537068,2.805597同樣的可求得 = -0.183488 , =0.481549 則有對上述求導(dǎo),得:這樣就得到經(jīng)過殘差修正后的灰色預(yù)測GM(1,1)模型:其中: 為修正系數(shù)(k=0,1,2,)。修正后,精度有所提高。修正后的殘差計(jì)算見下表:序號k修正灰色預(yù)測年份相對誤差024.4109200424.41090153.64180846200551.14160.048887959287.35665908200681.52940.0714743283123.4488622007117.91011380.0469743264163.42755822008158.92620740.0283235275207.71367352009202.65620740.0249558916256.77420612010251.06620740.022
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