第2章數(shù)學(xué)及其思想的應(yīng)用價(jià)值

1、第第2 2章章 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)及其思想的應(yīng)用及其思想的應(yīng)用價(jià)值價(jià)值韓龍淑制作韓龍淑制學(xué)及其思想的應(yīng)用價(jià)值數(shù)學(xué)及其思想的應(yīng)用價(jià)值 教學(xué)目的：教學(xué)目的：體味數(shù)學(xué)及其思想方法的應(yīng)用價(jià)值；體味數(shù)學(xué)及其思想方法的應(yīng)用價(jià)值；理解數(shù)學(xué)思想的六次重大突破，從認(rèn)識(shí)論和思想理解數(shù)學(xué)思想的六次重大突破，從認(rèn)識(shí)論和思想方法的角度體味數(shù)學(xué)新學(xué)科和新思想產(chǎn)生的必要方法的角度體味數(shù)學(xué)新學(xué)科和新思想產(chǎn)生的必要性。性。 內(nèi)容要點(diǎn)：內(nèi)容要點(diǎn)：數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；從算術(shù)到代數(shù)，從數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；從算術(shù)到代數(shù)，從綜合幾何到幾何代數(shù)化，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，綜合幾何到幾何代數(shù)化，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)

2、學(xué)，從明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué)，從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué)，從明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué)，從手工證明到機(jī)器證明。從手工證明到機(jī)器證明。 教學(xué)方法：教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式講授、討論等相結(jié)合啟發(fā)式講授、討論等相結(jié)合 教學(xué)手段：教學(xué)手段：多媒體教學(xué)多媒體教學(xué) 授課時(shí)數(shù)：授課時(shí)數(shù)：6課時(shí)課時(shí) 數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值：數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值：數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值 數(shù)學(xué)的思維熏陶價(jià)值數(shù)學(xué)的思維熏陶價(jià)值 數(shù)學(xué)對(duì)人類的數(shù)學(xué)對(duì)人類的思維訓(xùn)練所思維訓(xùn)練所具有的價(jià)值是具有的價(jià)值是數(shù)數(shù)學(xué)應(yīng)用性學(xué)應(yīng)用性的最大體現(xiàn)的最大體現(xiàn) 思維的結(jié)果思維的結(jié)果形成形成思想思想 2.12.1 數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用價(jià)值價(jià)值 數(shù)學(xué)的發(fā)展除了知識(shí)等數(shù)學(xué)的發(fā)展除

3、了知識(shí)等量量的積累外，更主的積累外，更主要的是要的是數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想的重大的重大突破突破新學(xué)科新學(xué)科 2.2 2.2 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想的重大突破思想的重大突破2.12.1數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值 數(shù)學(xué)發(fā)展的抽象程度越來越高，是否和社數(shù)學(xué)發(fā)展的抽象程度越來越高，是否和社會(huì)實(shí)踐相脫離呢？恰恰相反，數(shù)學(xué)在歷史會(huì)實(shí)踐相脫離呢？恰恰相反，數(shù)學(xué)在歷史上經(jīng)久不衰地發(fā)展下去，其上經(jīng)久不衰地發(fā)展下去，其生命力恰恰在生命力恰恰在于實(shí)際的應(yīng)用。于實(shí)際的應(yīng)用。2x+3y=10 目前數(shù)學(xué)已滲透到自然、社會(huì)、人文等許目前數(shù)學(xué)已滲透到自然、社會(huì)、人文等許多領(lǐng)域。正如馬克思所說：多領(lǐng)域。正如馬克思所說：一門科學(xué)，只一

4、門科學(xué)，只有當(dāng)其成功地用到數(shù)學(xué)時(shí)才算達(dá)到完美的有當(dāng)其成功地用到數(shù)學(xué)時(shí)才算達(dá)到完美的地步。地步。 （一）數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用（一）數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用 例例1 1：著名的：著名的“哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡七橋問題” 哥尼斯堡是哥尼斯堡是18世紀(jì)東普魯士的一個(gè)城市，世紀(jì)東普魯士的一個(gè)城市，流經(jīng)市區(qū)的普列格爾的河灣處，有兩個(gè)小島和流經(jīng)市區(qū)的普列格爾的河灣處，有兩個(gè)小島和七座橋，如圖所示。人們提出了一個(gè)有趣的問七座橋，如圖所示。人們提出了一個(gè)有趣的問題：能否在題：能否在一次一次連續(xù)的散步中連續(xù)的散步中不重復(fù)不重復(fù)的走過這的走過這七座橋？七座橋？ 例例2：繩子繩子自然打結(jié)問題自然打結(jié)問題（手不離開繩

5、子的兩端）（手不離開繩子的兩端） ：數(shù)學(xué)中的扭結(jié)理論數(shù)學(xué)中的扭結(jié)理論 例例3 3：斐波那契數(shù)列：斐波那契數(shù)列 澳洲、新西蘭動(dòng)物園火災(zāi)，野兔繁殖速度驚人澳洲、新西蘭動(dòng)物園火災(zāi)，野兔繁殖速度驚人 一個(gè)人到集市上買了一對(duì)小兔子，一個(gè)人到集市上買了一對(duì)小兔子，一個(gè)月后，這一個(gè)月后，這對(duì)小兔子長(zhǎng)成大兔子，對(duì)小兔子長(zhǎng)成大兔子，然后這對(duì)大兔子然后這對(duì)大兔子每過一個(gè)每過一個(gè)月就可生月就可生1 1對(duì)小兔子對(duì)小兔子。而每對(duì)小兔子也是一個(gè)月。而每對(duì)小兔子也是一個(gè)月后長(zhǎng)成大兔子，長(zhǎng)成大兔子后每過一個(gè)月就可生后長(zhǎng)成大兔子，長(zhǎng)成大兔子后每過一個(gè)月就可生1 1對(duì)小兔子，那么此人從市場(chǎng)上買回那對(duì)小兔子對(duì)小兔子，那么此人從市場(chǎng)

6、上買回那對(duì)小兔子算起，第算起，第1212個(gè)月時(shí)個(gè)月時(shí)擁有多少對(duì)兔子擁有多少對(duì)兔子( (大兔子、小大兔子、小兔子兔子) )。 分析：對(duì)前幾個(gè)月進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，觀察規(guī)律，開始第分析：對(duì)前幾個(gè)月進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，觀察規(guī)律，開始第1個(gè)月時(shí)個(gè)月時(shí)1對(duì)，第對(duì)，第2個(gè)月個(gè)月 1+1=2對(duì)，對(duì)，3月月 3對(duì)，對(duì)， 4月月 5對(duì)，對(duì)，5月月 8對(duì)，對(duì)，6月月 13對(duì)，因此對(duì)，因此 月份月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 小兔子小兔子 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 大兔子大兔子 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144觀察可知，每月小兔子對(duì)數(shù)等于上月大兔子

7、對(duì)觀察可知，每月小兔子對(duì)數(shù)等于上月大兔子對(duì)數(shù)，每月大兔子對(duì)數(shù)為上月大兔子對(duì)數(shù)與數(shù)，每月大兔子對(duì)數(shù)為上月大兔子對(duì)數(shù)與 小兔子對(duì)數(shù)之和。小兔子對(duì)數(shù)之和。 為了紀(jì)念兔子繁殖的創(chuàng)始人，人們把數(shù)列為了紀(jì)念兔子繁殖的創(chuàng)始人，人們把數(shù)列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377稱為稱為斐波那契數(shù)列。斐波那契數(shù)列。 有趣的是：有趣的是： 自然界中竟有一些現(xiàn)象與斐波那契數(shù)列有自然界中竟有一些現(xiàn)象與斐波那契數(shù)列有關(guān)。向日葵的種子盤。雛菊花，它的花心關(guān)。向日葵的種子盤。雛菊花，它的花心的蝸形小花，有的蝸形小花，有2121條向右轉(zhuǎn)、條向右轉(zhuǎn)、3434條條向左轉(zhuǎn)。向左轉(zhuǎn)。據(jù)說松果球、

8、菠蘿凸起的排列也為據(jù)說松果球、菠蘿凸起的排列也為5858和和813813。 目前此數(shù)列在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和生物學(xué)目前此數(shù)列在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和生物學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)，它又具有很奇特的數(shù)學(xué)性質(zhì)，中經(jīng)常出現(xiàn)，它又具有很奇特的數(shù)學(xué)性質(zhì)，所以美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)每三個(gè)月出版一本專門討所以美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)每三個(gè)月出版一本專門討論此類問題的雜志，論此類問題的雜志，稱為斐波那契季刊。稱為斐波那契季刊。 花壇的種植問題花壇的種植問題 在一塊正方形空地上種植花草，使花草面在一塊正方形空地上種植花草，使花草面積為積為正方形面積的一半正方形面積的一半，如何種使花壇近，如何種使花壇近盡盡可能美觀可能美觀？數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用：密鋪（二）數(shù)學(xué)

9、在生產(chǎn)技術(shù)中的應(yīng)用（二）數(shù)學(xué)在生產(chǎn)技術(shù)中的應(yīng)用 例：莫比烏斯帶的運(yùn)用例：莫比烏斯帶的運(yùn)用（演示直觀圖和模（演示直觀圖和模型）型） 是一種是一種拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)鋵W(xué)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)，它只有一個(gè)面（表，它只有一個(gè)面（表面），和一個(gè)邊界。面），和一個(gè)邊界。（二）數(shù)學(xué)在生產(chǎn)技術(shù)中的應(yīng)用（二）數(shù)學(xué)在生產(chǎn)技術(shù)中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)在醫(yī)療中的應(yīng)用數(shù)學(xué)在醫(yī)療中的應(yīng)用 例：例：ct技術(shù)的應(yīng)用技術(shù)的應(yīng)用 ct是一種醫(yī)學(xué)影像診斷技術(shù)，其原理是用是一種醫(yī)學(xué)影像診斷技術(shù)，其原理是用射線透射人體，然后用檢測(cè)器測(cè)定透射后射線透射人體，然后用檢測(cè)器測(cè)定透射后的放射量。通過計(jì)算機(jī)處理，重建出人體的放射量。通過計(jì)算機(jī)處理，重建出人體斷層圖像并作出診斷，

10、這是斷層圖像并作出診斷，這是數(shù)學(xué)的圖像重?cái)?shù)學(xué)的圖像重建原理建原理在醫(yī)學(xué)上的成功運(yùn)用。在醫(yī)學(xué)上的成功運(yùn)用。（三）數(shù)學(xué)在語(yǔ)言中的應(yīng)用（三）數(shù)學(xué)在語(yǔ)言中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)在語(yǔ)言學(xué)中的運(yùn)用數(shù)學(xué)在語(yǔ)言學(xué)中的運(yùn)用 例：紅學(xué)界的爭(zhēng)論例：紅學(xué)界的爭(zhēng)論 文學(xué)中紅樓夢(mèng)共文學(xué)中紅樓夢(mèng)共120回，后回，后40回出自誰(shuí)手？回出自誰(shuí)手？對(duì)名詞、動(dòng)詞、形容詞、副詞、介詞等對(duì)名詞、動(dòng)詞、形容詞、副詞、介詞等統(tǒng)統(tǒng)計(jì)用詞的相關(guān)量計(jì)用詞的相關(guān)量，認(rèn)為出自曹雪芹之手。，認(rèn)為出自曹雪芹之手。例：作者是誰(shuí)？讓數(shù)學(xué)來說話例：作者是誰(shuí)？讓數(shù)學(xué)來說話！ 1964年，美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家摩斯泰勒和瑕萊斯年，美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家摩斯泰勒和瑕萊斯考證了考證了12篇署名篇

11、署名“聯(lián)邦主義者聯(lián)邦主義者”的文章作的文章作者，可能的作者是者，可能的作者是兩個(gè)人兩個(gè)人，一個(gè)是，一個(gè)是美國(guó)開美國(guó)開國(guó)政治家漢密爾頓國(guó)政治家漢密爾頓，另一位是美國(guó)第四任另一位是美國(guó)第四任總統(tǒng)麥迪遜。總統(tǒng)麥迪遜。 究竟是哪一位呢？統(tǒng)計(jì)學(xué)家在進(jìn)行分析時(shí)究竟是哪一位呢？統(tǒng)計(jì)學(xué)家在進(jìn)行分析時(shí)發(fā)現(xiàn)漢密爾頓和麥迪遜在已有著作中的平發(fā)現(xiàn)漢密爾頓和麥迪遜在已有著作中的平均句長(zhǎng)幾乎完全相同。這使得這一能反映均句長(zhǎng)幾乎完全相同。這使得這一能反映寫作風(fēng)格特征的數(shù)據(jù)此時(shí)失效了。寫作風(fēng)格特征的數(shù)據(jù)此時(shí)失效了。 統(tǒng)計(jì)學(xué)家轉(zhuǎn)而從統(tǒng)計(jì)學(xué)家轉(zhuǎn)而從用詞習(xí)慣用詞習(xí)慣上來找出這兩位上來找出這兩位作者的有區(qū)別性的風(fēng)格特征，而且終于找作

12、者的有區(qū)別性的風(fēng)格特征，而且終于找到了兩位作者在虛詞的使用上有明顯的不到了兩位作者在虛詞的使用上有明顯的不同。同。 漢密爾頓他已有的漢密爾頓他已有的18篇文章中，有篇文章中，有14篇使篇使用了用了“enough”一詞；而麥迪遜在他的一詞；而麥迪遜在他的14篇文章中根本未使用篇文章中根本未使用“enough”一詞。一詞。 漢密爾頓喜歡用漢密爾頓喜歡用“while”，而麥迪遜總是，而麥迪遜總是用用“whilst”。漢密爾頓喜歡用。漢密爾頓喜歡用“upon”，而麥迪遜很少用。而麥迪遜很少用。 然后，再把兩位可能的作者的上述風(fēng)格特然后，再把兩位可能的作者的上述風(fēng)格特征指標(biāo)，與未知的征指標(biāo)，與未知的12

13、篇署名篇署名“聯(lián)邦主義者聯(lián)邦主義者”的文章中表現(xiàn)出來的的文章中表現(xiàn)出來的相應(yīng)的風(fēng)格特征相應(yīng)的風(fēng)格特征進(jìn)行進(jìn)行比較。比較。 結(jié)果發(fā)現(xiàn)那位署名結(jié)果發(fā)現(xiàn)那位署名“聯(lián)邦主義者聯(lián)邦主義者”的作者的作者就是美國(guó)第四任總統(tǒng)就是美國(guó)第四任總統(tǒng)麥迪遜。麥迪遜。 例：例：下列式子中的漢字表示不同的數(shù)目下列式子中的漢字表示不同的數(shù)目(0(0，1 1，2 29)9)，試找出漢字所代表的數(shù)字，使算式成立，試找出漢字所代表的數(shù)字，使算式成立，年年年年歲歲歲歲= =花相似，歲歲花相似，歲歲年年年年= =人人不同不同。 分析：從第一式觀察，這兩位數(shù)之積等于三位數(shù)，分析：從第一式觀察，這兩位數(shù)之積等于三位數(shù)，并且年、歲并且年、

14、歲11，因而，因而( (年、歲年、歲) )只有只有(2(2，3)3)，(2(2，4)4)，(3(3，2)2)，(4(4，2)2)四種可能。四種可能。 第二次實(shí)驗(yàn)又可知?dú)q歲年年，因此實(shí)驗(yàn)范圍為第二次實(shí)驗(yàn)又可知?dú)q歲年年，因此實(shí)驗(yàn)范圍為(3(3，2)2)，(4(4，2)2)。若年。若年=3=3，歲，歲=2=2，333322=726,22=726,花花=7=7，相，相=2=2，似，似=6=6，相相= =歲，不符合。若年歲，不符合。若年=4=4，歲歲=2=2，則，則444422=968,22=968,花花=9=9，相，相=6=6，似，似=8=8，222244=1 2=44=1 2=人人 不同，不同，人不

15、同只能取人不同只能取0 0，1 1，3 3，5 5，7 7，不同為兩位數(shù)，人為一位數(shù)，且不同，不同為兩位數(shù)，人為一位數(shù)，且不同為人的兩倍，人不能為為人的兩倍，人不能為0 0，1 1，3 3，只有兩種可能，只有兩種可能，人人=5=5，不，不=1=1，同，同=0=0。（思維熏陶）。（思維熏陶）（四）數(shù)學(xué)在各學(xué)科中的應(yīng)用（四）數(shù)學(xué)在各學(xué)科中的應(yīng)用 漢語(yǔ)言、音樂、歷史、地理、思想政治、漢語(yǔ)言、音樂、歷史、地理、思想政治、體育、英語(yǔ)、舞蹈、美術(shù)、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)體育、英語(yǔ)、舞蹈、美術(shù)、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)2.22.2數(shù)學(xué)思想的六次重大突破數(shù)學(xué)思想的六次重大突破 從從算術(shù)算術(shù)到到代數(shù)代數(shù) 從從常量數(shù)學(xué)常量數(shù)學(xué)到到

16、變量數(shù)學(xué)變量數(shù)學(xué) 從從綜合幾何綜合幾何到到幾何代數(shù)化幾何代數(shù)化 從從必然數(shù)學(xué)必然數(shù)學(xué)到到或然數(shù)學(xué)或然數(shù)學(xué) 從從明晰數(shù)學(xué)明晰數(shù)學(xué)到到模糊數(shù)學(xué)模糊數(shù)學(xué) 從從手工證明手工證明到到機(jī)器證明機(jī)器證明 一、從算術(shù)到代數(shù)一、從算術(shù)到代數(shù) 例：雞兔同籠問題例：雞兔同籠問題 雞兔共有頭雞兔共有頭1818只，足只，足6060只，問雞兔各有多只，問雞兔各有多少只？少只？ 解解1 1：假設(shè)：假設(shè)1818只全為兔，有只全為兔，有7272只足，多出只足，多出1212只足，多假設(shè)了只足，多假設(shè)了6 6只兔，因此有兔只兔，因此有兔1212只，雞只，雞6 6只。只。 解解2 2：金雞獨(dú)立，兔后足站立，著地足數(shù)為：金雞獨(dú)立，兔后

17、足站立，著地足數(shù)為3030，足與頭，足與頭1818差差1212，兔為，兔為1212只。只。 解解3 3：兔：兔4 4足，雞足，雞2 2足，不公平。雞有足，不公平。雞有2 2只翅只翅膀。翅膀也算足共膀。翅膀也算足共7272。有。有1212只翅膀，只翅膀，6 6只雞只雞 有兩種思維方法：有兩種思維方法： 算術(shù)方法算術(shù)方法：嘗試，調(diào)整、窮舉，列表：嘗試，調(diào)整、窮舉，列表 假設(shè)，推理。假設(shè)，推理。 代數(shù)方法代數(shù)方法：分析問題中的量，確定等量關(guān)：分析問題中的量，確定等量關(guān) 系，設(shè)未知數(shù)，列方程（不同方式），解系，設(shè)未知數(shù)，列方程（不同方式），解方程。方程。 問題：一支鉛筆問題：一支鉛筆4 4元，一支鋼筆

18、元，一支鋼筆7 7元，共有元，共有4646元買元買1010支筆，應(yīng)如何購(gòu)買？支筆，應(yīng)如何購(gòu)買？ 算術(shù)方法（一）算術(shù)方法（一）嘗試（猜測(cè)）嘗試（猜測(cè)）調(diào)整調(diào)整 有的學(xué)生有的學(xué)生嘗試嘗試： 買買4 4支鉛筆支鉛筆6 6支鋼筆，共需要支鋼筆，共需要5858元。元。調(diào)整調(diào)整：只有只有4646元，不足，只能少買一些鋼元，不足，只能少買一些鋼筆；買筆；買1 1支鋼筆支鋼筆9 9支鉛筆，可否？需支鉛筆，可否？需4343元。元。再調(diào)整再調(diào)整：自己有自己有4646元，還可多買元，還可多買鋼筆；買鋼筆；買2 2支鋼筆支鋼筆8 8支鉛筆，恰為支鉛筆，恰為4646元。元。 代數(shù)方法代數(shù)方法算術(shù)方法算術(shù)方法：不允許未知

19、數(shù)參與運(yùn)算（未已不不允許未知數(shù)參與運(yùn)算（未已不平等平等- -類似種族歧視）類似種族歧視）基本特征：算基本特征：算數(shù)（加數(shù)（加減、乘、除）減、乘、除）基本特征：用基本特征：用“術(shù)術(shù)”算（算（有規(guī)律地算有規(guī)律地算）基本特征：不同的算法基本特征：不同的算法不同的計(jì)算途徑不同的計(jì)算途徑或程序或程序基本特征：基本特征：解決一個(gè)一個(gè)的具體問題解決一個(gè)一個(gè)的具體問題通過通過“術(shù)術(shù)”和和“算算”解決的問題是算術(shù)問題。解決的問題是算術(shù)問題。通過通過“術(shù)術(shù)”和和“算算”體現(xiàn)體現(xiàn)邏輯思維邏輯思維演繹演繹。代數(shù)方法特征：代數(shù)方法特征：分析規(guī)律分析規(guī)律表示規(guī)律表示規(guī)律 解決問題解決問題代數(shù)方法：代數(shù)方法：未知數(shù)參與代數(shù)

20、運(yùn)算（地位平等）未知數(shù)參與代數(shù)運(yùn)算（地位平等） 基本特征：基本特征：用字母代替數(shù)用字母代替數(shù) 基本特征：基本特征：用字母表示規(guī)律用字母表示規(guī)律 量之間的相等關(guān)系、不等關(guān)系、函數(shù)關(guān)系量之間的相等關(guān)系、不等關(guān)系、函數(shù)關(guān)系 基本特征：通過字母的運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律基本特征：通過字母的運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律 解決問題解決問題 基本特征：不同的算法基本特征：不同的算法不同的計(jì)算途不同的計(jì)算途徑或程序徑或程序 基本特征基本特征：一類一類地解決問題一類一類地解決問題代數(shù)方法代數(shù)方法通過字母的運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律解決的問題是代數(shù)問題。通過字母的運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律解決的問題是代數(shù)問題。 通過運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律體現(xiàn)邏輯思維通過運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律

21、體現(xiàn)邏輯思維演繹演繹算術(shù)方法與代數(shù)方法算術(shù)方法與代數(shù)方法共性：共性： 通過通過“算算”和和“算律算律”解決問題解決問題 通過通過“算算”和和“算律算律”體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯思體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯思維維不同：不同：算術(shù)算術(shù)： “算數(shù)算數(shù)”代數(shù)代數(shù)：“算字母算字母”算術(shù)算術(shù)：解決具體問題解決具體問題代數(shù)：代數(shù)：解決一類問題解決一類問題 算術(shù)方法解法多變，易培養(yǎng)學(xué)生的興趣，算術(shù)方法解法多變，易培養(yǎng)學(xué)生的興趣，比冷冰冰第設(shè)比冷冰冰第設(shè)x列方程有人情味。過早在小列方程有人情味。過早在小學(xué)引入方程，有時(shí)易使學(xué)生思維簡(jiǎn)單化甚學(xué)引入方程，有時(shí)易使學(xué)生思維簡(jiǎn)單化甚至僵化。至僵化。 練習(xí)：小明第一天讀了全書的練習(xí)：小明第一天

22、讀了全書的1/41/4又又4 4頁(yè)，頁(yè)，第二天讀了余下的第二天讀了余下的1/41/4又又4 4頁(yè)，還剩頁(yè)，還剩2020頁(yè)，頁(yè)，這本書多少頁(yè)？這本書多少頁(yè)？ 一只船從甲地到乙地，往返共用一只船從甲地到乙地，往返共用2小時(shí)，回來小時(shí)，回來時(shí)是順?biāo)?，比逆水每小時(shí)多行時(shí)是順?biāo)饶嫠啃r(shí)多行8千米，第二小千米，第二小時(shí)比第一小時(shí)多行時(shí)比第一小時(shí)多行6千米，甲乙相距多少千米？千米，甲乙相距多少千米？ 兄弟二人各有人民幣若干元，哥比弟多兄弟二人各有人民幣若干元，哥比弟多50元，元，若哥把自己的若哥把自己的 給弟，弟又把原來自己的給弟，弟又把原來自己的 給給哥，則弟比哥多哥，則弟比哥多10元，哥弟原來各有

23、多少元？元，哥弟原來各有多少元？ 一輛汽車從甲地到乙地，若把車速提高到原速一輛汽車從甲地到乙地，若把車速提高到原速的的1.2倍倍,可比原定時(shí)間提前可比原定時(shí)間提前1小時(shí)到達(dá)小時(shí)到達(dá);若原速若原速行駛行駛120千米后千米后,再將速度提高到原速的再將速度提高到原速的1.25倍倍,則可提前則可提前40分鐘到達(dá)分鐘到達(dá),甲乙兩地相距多少千米？甲乙兩地相距多少千米？ 直觀想象線段圖、方形圖直觀想象線段圖、方形圖7331 如何看待算術(shù)和代數(shù)方法如何看待算術(shù)和代數(shù)方法? 必要的必要的思維經(jīng)歷、思維方式、思維方法思維經(jīng)歷、思維方式、思維方法 想象、推理、空間感知的作用想象、推理、空間感知的作用 公交車和地鐵的

24、不同感受。公交車和地鐵的不同感受。 代數(shù)解法有一定規(guī)律代數(shù)解法有一定規(guī)律. 例：歐拉的分遺囑問題例：歐拉的分遺囑問題 一位父親臨終時(shí)讓他的幾個(gè)孩子按如下方一位父親臨終時(shí)讓他的幾個(gè)孩子按如下方式分遺產(chǎn)：老大式分遺產(chǎn)：老大100克朗和剩下的克朗和剩下的1/10，老，老二二200克朗和剩下錢的克朗和剩下錢的1/10，老三拿，老三拿300克克朗和剩下的朗和剩下的1/10，老四拿，老四拿400克朗和剩下的克朗和剩下的1/10，依次類推，分完后發(fā)現(xiàn)這種方法好，依次類推，分完后發(fā)現(xiàn)這種方法好極了，因?yàn)槊總€(gè)孩子分的錢相等，問有幾極了，因?yàn)槊總€(gè)孩子分的錢相等，問有幾個(gè)孩子？每個(gè)分多少錢？個(gè)孩子？每個(gè)分多少錢？

25、代數(shù)運(yùn)算具有較大的普遍性。代數(shù)運(yùn)算具有較大的普遍性。 代數(shù)的產(chǎn)生極大地拓寬了數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍。代數(shù)的產(chǎn)生極大地拓寬了數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍。許多算術(shù)無能為力的問題在代數(shù)中輕而易許多算術(shù)無能為力的問題在代數(shù)中輕而易舉。舉。 代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，許多重大發(fā)現(xiàn)都與代數(shù)的思想方的影響，許多重大發(fā)現(xiàn)都與代數(shù)的思想方法有關(guān)。法有關(guān)。二次方程二次方程-虛數(shù)，五次方程虛數(shù)，五次方程-群論群論 代數(shù)應(yīng)用于幾何代數(shù)應(yīng)用于幾何-解析幾何。解析幾何。 文詞代數(shù)文詞代數(shù)簡(jiǎn)字代數(shù)簡(jiǎn)字代數(shù)符號(hào)代數(shù)符號(hào)代數(shù) 二、從綜合幾何到幾何代數(shù)化二、從綜合幾何到幾何代數(shù)化 1.1.幾何代

26、數(shù)化思想產(chǎn)生的背景幾何代數(shù)化思想產(chǎn)生的背景 綜合幾何的產(chǎn)生背景綜合幾何的產(chǎn)生背景 幾何、代數(shù)研究方法各自的優(yōu)勢(shì)和不足幾何、代數(shù)研究方法各自的優(yōu)勢(shì)和不足 幾何：幾何：嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评矸椒?、圖形直觀、解題嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评矸椒?、圖形直觀、解題技巧技巧（正方形的問題）（正方形的問題） 代數(shù)：代數(shù)：符號(hào)抽象、解題方法一般化、有一符號(hào)抽象、解題方法一般化、有一定的規(guī)律定的規(guī)律 數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家韋達(dá)、韋達(dá)、法國(guó)哲學(xué)家法國(guó)哲學(xué)家笛卡爾笛卡爾（蜘蛛網(wǎng)）（蜘蛛網(wǎng)） 法國(guó)數(shù)學(xué)家法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬費(fèi)爾馬 解析幾何的基本思想解析幾何的基本思想 2.2.幾何代數(shù)化的意義幾何代數(shù)化的意義 （1 1）把幾何學(xué)推向新的階段）把幾何學(xué)推向新的階段

27、: :定性定性定量、靜定量、靜態(tài)態(tài)動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)（垂直（垂直斜率）斜率） （2 2）為代數(shù)學(xué)的研究提供了新的工具）為代數(shù)學(xué)的研究提供了新的工具 構(gòu)造圖形解不等式問題、三角函數(shù)值構(gòu)造圖形解不等式問題、三角函數(shù)值 直觀模型和解釋直觀模型和解釋 例求例求1515的三角函數(shù)值的三角函數(shù)值22)1 ()1 ()1 ()1 (22222222babababa （3 3）為）為微積分微積分的創(chuàng)立準(zhǔn)備了必要條件的創(chuàng)立準(zhǔn)備了必要條件 變數(shù)的引入變數(shù)的引入 曲線、軌跡、變量曲線、軌跡、變量 變數(shù)引入數(shù)學(xué)為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，變數(shù)引入數(shù)學(xué)為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，解析幾何的產(chǎn)生可看做是微積分創(chuàng)立的前解析幾何的產(chǎn)生可看

28、做是微積分創(chuàng)立的前奏。奏。 恩格斯曾高度評(píng)價(jià)：數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛恩格斯曾高度評(píng)價(jià)：數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)進(jìn)入數(shù)學(xué)，進(jìn)入數(shù)學(xué)，辯辯證法證法進(jìn)入數(shù)學(xué)，有了進(jìn)入數(shù)學(xué)，有了變數(shù)微分和積分變數(shù)微分和積分立刻立刻成為必要。成為必要。 （4 4）為數(shù)學(xué)的）為數(shù)學(xué)的機(jī)械化證明機(jī)械化證明提供了重要啟示提供了重要啟示 推理程序機(jī)械化推理程序機(jī)械化 定理機(jī)械化證明的方法論基礎(chǔ)是利用代數(shù)定理機(jī)械化證明的方法論基礎(chǔ)是利用代數(shù)方法把推理程序機(jī)械化，借助計(jì)算機(jī)完成，方法把推理程序機(jī)械化，借助計(jì)算機(jī)完成，根源可追溯到幾何代數(shù)化。根源可追溯到幾何代數(shù)化。 （5 5）對(duì)數(shù)學(xué)研究從）對(duì)數(shù)

29、學(xué)研究從方法論上方法論上予以啟示予以啟示 點(diǎn)與數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)、曲線與方程對(duì)應(yīng)、點(diǎn)與數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)、曲線與方程對(duì)應(yīng)、形數(shù)結(jié)形數(shù)結(jié)合的思想：合的思想：微分幾何、空間解幾、向量的微分幾何、空間解幾、向量的思想（直線與平面垂直的判定）思想（直線與平面垂直的判定） 三、從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)三、從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué) 1.1.變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的歷史背景變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的歷史背景 1616、1717世紀(jì)社會(huì)、生產(chǎn)和自然科學(xué)向數(shù)學(xué)世紀(jì)社會(huì)、生產(chǎn)和自然科學(xué)向數(shù)學(xué)提出了一系列與運(yùn)動(dòng)變化有關(guān)的新問題提出了一系列與運(yùn)動(dòng)變化有關(guān)的新問題（航海中的非勻速、切線、面積等）（航海中的非勻速、切線、面積等） 劉徽的割圓術(shù)（劉徽的割圓術(shù)（割之彌細(xì)、失

30、之彌少）割之彌細(xì)、失之彌少）一尺之一尺之錘，日取其半，萬世不竭。錘，日取其半，萬世不竭。 2.2.變量數(shù)學(xué)的形成及意義變量數(shù)學(xué)的形成及意義 經(jīng)歷兩大步驟：經(jīng)歷兩大步驟：解析幾何解析幾何的產(chǎn)生的產(chǎn)生- -直接前提直接前提 微積分的微積分的產(chǎn)生產(chǎn)生-變量數(shù)學(xué)的主要標(biāo)志變量數(shù)學(xué)的主要標(biāo)志 英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓：英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓：運(yùn)動(dòng)學(xué)角度運(yùn)動(dòng)學(xué)角度 16651665年年5 5月月2020日日微積分的誕生之日微積分的誕生之日 連續(xù)變化的量連續(xù)變化的量流量流量（fluent)fluent) 無限小的時(shí)間間隔無限小的時(shí)間間隔瞬瞬（momentmoment） 流量在無限小的時(shí)間內(nèi)的變化率流量在無限小的時(shí)間內(nèi)的變化率

31、流數(shù)流數(shù) 給定流量求流數(shù)給定流量求流數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 給定流數(shù)求流量給定流數(shù)求流量積分積分 符號(hào)：、符號(hào)：、 德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲：德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲：幾何學(xué)角度幾何學(xué)角度 切線、面積問題切線、面積問題 用用ydy來代替求和，來代替求和， 表示一個(gè)總和，表示一個(gè)總和，d d表表示差額。示差額。 在科學(xué)史上牛頓、在科學(xué)史上牛頓、萊布尼茲各自的擁護(hù)者萊布尼茲各自的擁護(hù)者們?yōu)槲⒎e分的最先發(fā)明權(quán)進(jìn)行過一場(chǎng)不愉們?yōu)槲⒎e分的最先發(fā)明權(quán)進(jìn)行過一場(chǎng)不愉快的爭(zhēng)論?？斓臓?zhēng)論。 牛頓日記：和萊布尼茲通信中，求極值、牛頓日記：和萊布尼茲通信中，求極值、切線等的方法，反過來沒告訴萊布尼茲。切線等的方法，反過來沒告訴萊布尼茲。萊

32、說他也想到了一種方法，并告訴了他。萊說他也想到了一種方法，并告訴了他。 他的方法除了定義、符號(hào)、公式和產(chǎn)生數(shù)他的方法除了定義、符號(hào)、公式和產(chǎn)生數(shù)的想法不一樣外，幾乎沒有多大差異。的想法不一樣外，幾乎沒有多大差異。 萊布尼茲花費(fèi)心思選擇最好的符號(hào)，最大萊布尼茲花費(fèi)心思選擇最好的符號(hào)，最大限度地減少人的思維勞動(dòng)。他曾說過要發(fā)限度地減少人的思維勞動(dòng)。他曾說過要發(fā)明就要挑選恰當(dāng)?shù)姆?hào)，要做到這一點(diǎn)，明就要挑選恰當(dāng)?shù)姆?hào)，要做到這一點(diǎn)，就要用包含少量因素的符號(hào)來表達(dá)和比較就要用包含少量因素的符號(hào)來表達(dá)和比較忠實(shí)地描繪事物的本質(zhì)，從而最大限度地忠實(shí)地描繪事物的本質(zhì)，從而最大限度地減少人的思維勞動(dòng)。減少人的

33、思維勞動(dòng)。萊布尼茲的微積分符萊布尼茲的微積分符號(hào)優(yōu)于牛頓的流數(shù)術(shù)符號(hào)，簡(jiǎn)潔易懂便于號(hào)優(yōu)于牛頓的流數(shù)術(shù)符號(hào)，簡(jiǎn)潔易懂便于使用。使用。符號(hào)的自然性問題符號(hào)的自然性問題 英國(guó)數(shù)學(xué)襲用流數(shù)術(shù)符號(hào)，有一段時(shí)期落英國(guó)數(shù)學(xué)襲用流數(shù)術(shù)符號(hào)，有一段時(shí)期落后于歐洲大陸。后于歐洲大陸。1919世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家巴伯奇世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家巴伯奇等人成立了一個(gè)數(shù)學(xué)分析學(xué)會(huì)，反對(duì)點(diǎn)主等人成立了一個(gè)數(shù)學(xué)分析學(xué)會(huì)，反對(duì)點(diǎn)主義、擁護(hù)義、擁護(hù)d d主義，可見在英國(guó)使用符號(hào)主義，可見在英國(guó)使用符號(hào)d d竟竟是一場(chǎng)奮斗的結(jié)果是一場(chǎng)奮斗的結(jié)果。 四、從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué)四、從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué) 1.或然數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)或然數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ) 必然數(shù)學(xué)

34、：必然數(shù)學(xué)：描述研究必然現(xiàn)象及其關(guān)系的描述研究必然現(xiàn)象及其關(guān)系的數(shù)學(xué)，條件和結(jié)論之間存在必然聯(lián)系。數(shù)學(xué)，條件和結(jié)論之間存在必然聯(lián)系。 或然數(shù)學(xué)：或然數(shù)學(xué)：描述研究或然現(xiàn)象及其關(guān)系的描述研究或然現(xiàn)象及其關(guān)系的數(shù)學(xué)，條件和結(jié)論之間無必然聯(lián)系。數(shù)學(xué)，條件和結(jié)論之間無必然聯(lián)系。 擲骰子、硬幣、陰天和下雨之間擲骰子、硬幣、陰天和下雨之間 同類或然現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)呈現(xiàn)出的集同類或然現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)呈現(xiàn)出的集體規(guī)律性體規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性：或然現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)統(tǒng)計(jì)規(guī)律性：或然現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)?；A(chǔ)。 2.2.或然數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展或然數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展 概率論概率論或然數(shù)學(xué)產(chǎn)生的標(biāo)志或然數(shù)學(xué)產(chǎn)生的標(biāo)志 賭博中的學(xué)問：數(shù)

35、學(xué)家卡當(dāng)賭博中的學(xué)問：數(shù)學(xué)家卡當(dāng)論賭博論賭博 研究或然現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律成為當(dāng)時(shí)的重要研究或然現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律成為當(dāng)時(shí)的重要研究課題。研究課題。 保險(xiǎn)事業(yè)的發(fā)展、射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)保險(xiǎn)事業(yè)的發(fā)展、射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn) 蒲豐著：蒲豐著：或然算術(shù)試驗(yàn)或然算術(shù)試驗(yàn) 蒲豐投針試驗(yàn)蒲豐投針試驗(yàn) 約會(huì)問題約會(huì)問題 例：張三和李四相約晚上例：張三和李四相約晚上7-87-8時(shí)在碼頭會(huì)面，時(shí)在碼頭會(huì)面，商定先到者等候商定先到者等候1515分鐘，若仍然不見對(duì)方分鐘，若仍然不見對(duì)方方可離去，假如二人抵達(dá)時(shí)間在方可離去，假如二人抵達(dá)時(shí)間在7 7點(diǎn)到點(diǎn)到8 8點(diǎn)點(diǎn)之間，問二人會(huì)面的可能性有多大之間，問二人會(huì)面的可能性有多大 7/167

36、/16 門與汽車問題門與汽車問題 例：有三扇可供選擇的門，其中例：有三扇可供選擇的門，其中一扇門后一扇門后面是輛汽車，另兩扇門后是空的。面是輛汽車，另兩扇門后是空的。主持人主持人首先讓你任意挑選。在你選定后比如選的首先讓你任意挑選。在你選定后比如選的1 1號(hào)門，號(hào)門，主持人將未選的兩扇門中的一扇空主持人將未選的兩扇門中的一扇空門（門（比如是比如是3 3號(hào)門號(hào)門）打開，然后問你，為了）打開，然后問你，為了有更大的機(jī)會(huì)選中汽車，你是堅(jiān)持原來的有更大的機(jī)會(huì)選中汽車，你是堅(jiān)持原來的選擇，還是愿意換另一扇門選擇，還是愿意換另一扇門？（即棄？（即棄1 1選選2 2） 試驗(yàn)試驗(yàn)100100次換次換4040次

37、，猜中次，猜中2424次；不換次；不換6060次猜次猜中中2323次。不換概率、換的概率次。不換概率、換的概率 五、從五、從明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué)明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué) 1.1.模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景 （1 1）數(shù)學(xué)適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)需要的產(chǎn)物。）數(shù)學(xué)適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)需要的產(chǎn)物。 所有大于所有大于1 1的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) 所有比所有比1 1大得多的實(shí)數(shù)、高、美麗、好、老大得多的實(shí)數(shù)、高、美麗、好、老 明晰數(shù)學(xué)：明晰數(shù)學(xué)：界限分明、范圍確定界限分明、范圍確定 模糊數(shù)學(xué)：模糊數(shù)學(xué)：在量上無明晰的界限在量上無明晰的界限 對(duì)對(duì)“模糊模糊”數(shù)學(xué)方法研究的必要性數(shù)學(xué)方法研究的必要性 （2 2）電子計(jì)算機(jī)的發(fā)

38、展為模糊數(shù)學(xué)的誕生）電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展為模糊數(shù)學(xué)的誕生準(zhǔn)備了搖籃準(zhǔn)備了搖籃 電子計(jì)算機(jī)模擬人腦的思維來處理各種復(fù)電子計(jì)算機(jī)模擬人腦的思維來處理各種復(fù)雜問題。人腦的思維活動(dòng)的高度靈活性源雜問題。人腦的思維活動(dòng)的高度靈活性源于人類的思維帶有模糊的特色，邏輯和于人類的思維帶有模糊的特色，邏輯和非非邏輯思維同時(shí)其作用。邏輯思維同時(shí)其作用。認(rèn)定長(zhǎng)大胡子的人認(rèn)定長(zhǎng)大胡子的人并不需要知道其有幾根胡子。并不需要知道其有幾根胡子。 非邏輯思維無法用明晰數(shù)學(xué)刻劃，非邏輯思維無法用明晰數(shù)學(xué)刻劃，因此以因此以二值邏輯為理論基礎(chǔ)的計(jì)算機(jī)二值邏輯為理論基礎(chǔ)的計(jì)算機(jī)無法真實(shí)模無法真實(shí)模擬人腦的思維活動(dòng)，擬人腦的思維活動(dòng)，自然

39、不具備人腦處理自然不具備人腦處理復(fù)雜問題的能力，出現(xiàn)了智能發(fā)展障礙。復(fù)雜問題的能力，出現(xiàn)了智能發(fā)展障礙。 看電視把圖像和聲音調(diào)得清楚一些，只要看電視把圖像和聲音調(diào)得清楚一些，只要稍微調(diào)機(jī)關(guān)即可，若讓計(jì)算機(jī)來完成和編稍微調(diào)機(jī)關(guān)即可，若讓計(jì)算機(jī)來完成和編程會(huì)遇到語(yǔ)言上的困難程會(huì)遇到語(yǔ)言上的困難，“滿意滿意”、“清清楚楚”是模糊概念，不能被普通的程序語(yǔ)言是模糊概念，不能被普通的程序語(yǔ)言接納，這樣容易的事計(jì)算機(jī)卻難以辦到，接納，這樣容易的事計(jì)算機(jī)卻難以辦到，對(duì)人工智能的發(fā)展無疑是一極大的障礙。對(duì)人工智能的發(fā)展無疑是一極大的障礙。 要你在某日上午到校門口去接一個(gè)要你在某日上午到校門口去接一個(gè)“大胡大胡子

40、、高個(gè)子、長(zhǎng)頭發(fā)、戴寬邊黑色眼鏡的子、高個(gè)子、長(zhǎng)頭發(fā)、戴寬邊黑色眼鏡的中年男人中年男人”，利用計(jì)算機(jī)需將年齡、身高、利用計(jì)算機(jī)需將年齡、身高、胡子、頭發(fā)的準(zhǔn)確長(zhǎng)度和根數(shù)、眼鏡的邊胡子、頭發(fā)的準(zhǔn)確長(zhǎng)度和根數(shù)、眼鏡的邊寬厘米數(shù)、黑色的程度一一輸入計(jì)算機(jī)才寬厘米數(shù)、黑色的程度一一輸入計(jì)算機(jī)才能找到此人。若此人中途頭發(fā)掉了能找到此人。若此人中途頭發(fā)掉了2根就找根就找不到。不到。 為把人的自然語(yǔ)言算法化并編入程序，讓為把人的自然語(yǔ)言算法化并編入程序，讓計(jì)算機(jī)能描述和處理具有模糊量的事物，計(jì)算機(jī)能描述和處理具有模糊量的事物，就就必須建立起一種能夠描述和處理模糊數(shù)必須建立起一種能夠描述和處理模糊數(shù)量及其關(guān)系

41、的數(shù)學(xué)理論，這是模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)理論，這是模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的另一背景。生的另一背景。 計(jì)算機(jī)模擬人腦時(shí)，精確這個(gè)長(zhǎng)處反而成計(jì)算機(jī)模擬人腦時(shí)，精確這個(gè)長(zhǎng)處反而成了短處，具有一定的模糊性是需要的，從了短處，具有一定的模糊性是需要的，從而讓計(jì)算機(jī)吸取人腦識(shí)別與判決的優(yōu)點(diǎn)，而讓計(jì)算機(jī)吸取人腦識(shí)別與判決的優(yōu)點(diǎn)，高效率地處理模糊系統(tǒng)。高效率地處理模糊系統(tǒng)。 模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)立者是美國(guó)加利福尼亞大學(xué)模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)立者是美國(guó)加利福尼亞大學(xué)的扎德教授，的扎德教授，為改進(jìn)和提高計(jì)算機(jī)的的功為改進(jìn)和提高計(jì)算機(jī)的的功能，他認(rèn)真研究了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)能，他認(rèn)真研究了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)集合集合論，認(rèn)為要從根本上解決計(jì)算機(jī)的發(fā)展

42、和論，認(rèn)為要從根本上解決計(jì)算機(jī)的發(fā)展和數(shù)學(xué)工具局限性的矛盾，就必須建立起新數(shù)學(xué)工具局限性的矛盾，就必須建立起新的集合論。的集合論。 19651965年他發(fā)表的年他發(fā)表的模糊集合模糊集合的論文標(biāo)志的論文標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生。著模糊數(shù)學(xué)的誕生。 2.2.模糊數(shù)學(xué)的思想方法模糊數(shù)學(xué)的思想方法 模糊數(shù)學(xué)是用數(shù)學(xué)方法研究和處理具有模糊數(shù)學(xué)是用數(shù)學(xué)方法研究和處理具有“模糊性現(xiàn)象模糊性現(xiàn)象”的數(shù)學(xué)。的數(shù)學(xué)。 扎德教授提出的描述模糊事物的新的數(shù)學(xué)扎德教授提出的描述模糊事物的新的數(shù)學(xué)方法，即是把隸屬關(guān)系進(jìn)一步數(shù)量化，推方法，即是把隸屬關(guān)系進(jìn)一步數(shù)量化，推廣了經(jīng)典集合論的概念。廣了經(jīng)典集合論的概念。 例例“所有大

43、于所有大于1 1的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)”，特征函數(shù)只取特征函數(shù)只取0，1兩值。兩值。 而而“所有比所有比1 1大的多的實(shí)數(shù)大的多的實(shí)數(shù)”使元素與幾何使元素與幾何之間非之間非0則則1的絕對(duì)隸屬關(guān)系變?yōu)榭扇〉慕^對(duì)隸屬關(guān)系變?yōu)榭扇?到到1之間的任意實(shí)數(shù)的相對(duì)隸屬關(guān)系。之間的任意實(shí)數(shù)的相對(duì)隸屬關(guān)系。 模糊集合（模糊集合（fuzzy sets）無明確的邊界，只無明確的邊界，只能說某個(gè)研究對(duì)象屬于某個(gè)集合的程度，能說某個(gè)研究對(duì)象屬于某個(gè)集合的程度，用用隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)表示模糊集合。表示模糊集合。 隸屬函數(shù)：隸屬函數(shù)：集合集合x到到0,1上的映射，上的映射， 隸屬度：隸屬度：任意任意x x,在該映射下對(duì)應(yīng)的實(shí)在該映射

44、下對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)。數(shù)。 例：所有比例：所有比1大得多的實(shí)數(shù)大得多的實(shí)數(shù)u(x)=0，x1 x1 例例：“年輕年輕”和和“年老年老”是兩模糊概念是兩模糊概念 隸屬函數(shù)為隸屬函數(shù)為 y(x)=y(x)= o(x)=o(x)= 6060歲的人屬于年老集合的程度為歲的人屬于年老集合的程度為0.80.8，還有，還有0.20.2非老的因素。非老的因素。 8080歲的人隸屬于年老集合的程度為歲的人隸屬于年老集合的程度為0.97.0.97. 3535歲的人隸屬于年輕集合的程度為歲的人隸屬于年輕集合的程度為0.20.2 u(x)=1或或0表示表示x完全屬于或完全不屬于該完全屬于或完全不屬于該集合。集合。 普通集合可

45、看作模糊集合的特例，模糊集普通集合可看作模糊集合的特例，模糊集合是普通集合的自然推廣合是普通集合的自然推廣。 模糊數(shù)學(xué)作為新興的數(shù)學(xué)學(xué)科，是在現(xiàn)代模糊數(shù)學(xué)作為新興的數(shù)學(xué)學(xué)科，是在現(xiàn)代科技的迫切需要下應(yīng)運(yùn)而生的，其研究無科技的迫切需要下應(yīng)運(yùn)而生的，其研究無論是基礎(chǔ)理論還是實(shí)際應(yīng)用都得到迅速發(fā)論是基礎(chǔ)理論還是實(shí)際應(yīng)用都得到迅速發(fā)展。展。 目前在綜合評(píng)判、規(guī)劃、識(shí)別、決策、控目前在綜合評(píng)判、規(guī)劃、識(shí)別、決策、控制等理論方面迅速發(fā)展。制等理論方面迅速發(fā)展。 已應(yīng)用到林業(yè)、生物、醫(yī)學(xué)、食品工業(yè)、已應(yīng)用到林業(yè)、生物、醫(yī)學(xué)、食品工業(yè)、酒、成績(jī)?cè)u(píng)定、人工智能等方面。酒、成績(jī)?cè)u(píng)定、人工智能等方面。 六、從六、從

46、手工證明到機(jī)器證明手工證明到機(jī)器證明 1.1.機(jī)器證明的必要性和可能性機(jī)器證明的必要性和可能性 機(jī)器證明是機(jī)器證明是2020世紀(jì)世紀(jì)5050年代興起的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，年代興起的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也是現(xiàn)代人工智能發(fā)展的一個(gè)方向。定理也是現(xiàn)代人工智能發(fā)展的一個(gè)方向。定理的機(jī)器證明既是計(jì)算機(jī)和人工智能發(fā)展的的機(jī)器證明既是計(jì)算機(jī)和人工智能發(fā)展的產(chǎn)物，也是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。產(chǎn)物，也是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。 （1 1）現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展迫切需要把數(shù)學(xué)研究）現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展迫切需要把數(shù)學(xué)研究者從繁難的邏輯推演中解放出來，以從事者從繁難的邏輯推演中解放出來，以從事更富有創(chuàng)造性的勞動(dòng)更富有創(chuàng)造性的勞動(dòng) 命題證明需要技巧、靈感、洞察

47、力、富有命題證明需要技巧、靈感、洞察力、富有創(chuàng)造力的思維活動(dòng)創(chuàng)造力的思維活動(dòng)（歌德巴赫猜想）（歌德巴赫猜想） （2 2）機(jī)器證明的必要性還表現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存）機(jī)器證明的必要性還表現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在大量傳統(tǒng)的、單純?nèi)四X支配、手工操作在大量傳統(tǒng)的、單純?nèi)四X支配、手工操作的研究方法難以揍效的問題。的研究方法難以揍效的問題。 冗長(zhǎng)、工作量巨大冗長(zhǎng)、工作量巨大 四色猜想的證明：四色猜想的證明：對(duì)于平面或球面上的任對(duì)于平面或球面上的任何地圖，何地圖，用四種顏色就可使相鄰的國(guó)家和用四種顏色就可使相鄰的國(guó)家和地區(qū)分開，地區(qū)分開，許多數(shù)學(xué)家做了嘗試未能解決。許多數(shù)學(xué)家做了嘗試未能解決。直到直到19761976年借助電子計(jì)算機(jī)才解決了這道年借助電子計(jì)算機(jī)才解決了這道百年難題。百年難題。 （3 3）機(jī)器證明的可能性）機(jī)器證明的可能性 認(rèn)識(shí)論角度認(rèn)識(shí)論角度 創(chuàng)造性思維活動(dòng)和非創(chuàng)造性思維活動(dòng)創(chuàng)造性思維活動(dòng)和非創(chuàng)造性思維活動(dòng) 把創(chuàng)造性工作轉(zhuǎn)化為非創(chuàng)造性工作后，就把創(chuàng)造性工作轉(zhuǎn)化為非創(chuàng)造性工作后，就有可能把定理的證明交給計(jì)算機(jī)完成。有可能把定理的證明交給計(jì)算機(jī)完成。 例阿達(dá)姆斯的幻六角形問題（例阿達(dá)姆斯的幻六角形問題（斷斷續(xù)續(xù)斷斷續(xù)續(xù)5252年，精神可佳，但不值得提倡年，精神可佳，但不值得