2.3直線_平面垂直的判定及其性質(zhì)

1、一條直線與一個(gè)平面垂直的意義是什么？一條直線與一個(gè)平面垂直的意義是什么？BA 直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線BCBC 如果一條直線垂直于一個(gè)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條無(wú)數(shù)條直線，那么這直線，那么這條直線是否與這個(gè)平面垂直？條直線是否與這個(gè)平面垂直？不一定不一定BACBClP 如果直線如果直線 l 與平面與平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說(shuō)我們說(shuō)直線直線 l 與平面與平面 互相垂直互相垂直，記作記作 l平面平面 的垂線的垂線直線直線 l 的垂面的垂面垂足垂足定義：定義：lP 畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成表畫(huà)直線與平面

2、垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示直線與平面的直線與平面的一條邊垂直一條邊垂直lP 除定義外，如何判斷一條直線與平面垂直除定義外，如何判斷一條直線與平面垂直呢？呢？ 能否說(shuō)能否說(shuō)“一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線都垂一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則該直線與此平面垂直直，則該直線與此平面垂直”balAalblabba/l 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線兩條相交直線都垂直，都垂直，則該直線與此平面垂直則該直線與此平面垂直balAal bl abAbal作用：作用：判定直線與平面垂直判定直線與平面垂直直

3、線與平面垂直直線與平面垂直直線與直線垂直直線與直線垂直思想：思想： 例例2 如圖，已知如圖，已知 ，求證，求證aba,/.bbamn根據(jù)直線與平面垂直的定義根據(jù)直線與平面垂直的定義知知.,nama又因?yàn)橛忠驗(yàn)閍b/所以所以.,nbmb又又nmnm,是兩條相交直線，是兩條相交直線，所以所以.b證明：在平面證明：在平面 內(nèi)作內(nèi)作兩條相交直線兩條相交直線m，n因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€ ，a判定定理的重要推論：判定定理的重要推論： 如果兩條平行線中，有一條垂直于平如果兩條平行線中，有一條垂直于平 面，那么面，那么 另一條直線也垂直于這個(gè)平面。另一條直線也垂直于這個(gè)平面。 例例1 一旗桿高一旗桿高8 m8 m，

4、在它的頂點(diǎn)處系兩條長(zhǎng)，在它的頂點(diǎn)處系兩條長(zhǎng)10 m10 m的繩子，的繩子，拉緊繩子并把它們的下端固定在地面上的兩點(diǎn)（與旗桿腳不在拉緊繩子并把它們的下端固定在地面上的兩點(diǎn)（與旗桿腳不在同一條直線上）如果這兩點(diǎn)與旗桿腳距同一條直線上）如果這兩點(diǎn)與旗桿腳距6 m6 m，那么旗桿就與地，那么旗桿就與地面垂直為什么？面垂直為什么？BAPO解：如圖，旗桿解：如圖，旗桿PO=8 m，兩繩長(zhǎng)，兩繩長(zhǎng)PA=PB=10 m，OA=OB=6 m.因?yàn)橐驗(yàn)?A，O，B 三點(diǎn)不共線，三點(diǎn)不共線，所以所以 A，O，B 三點(diǎn)確定平面三點(diǎn)確定平面又因?yàn)橛忠驗(yàn)?22222,PBOBPOPAOAPO所以所以 .,OBOPOAOP

5、又因?yàn)橛忠驗(yàn)?,OOBOA所以所以:.OP因此，旗桿因此，旗桿OP與地面垂直與地面垂直 如圖，直四棱柱如圖，直四棱柱 （側(cè)棱與底面垂直（側(cè)棱與底面垂直的棱柱成為直棱柱）中，底面四邊形的棱柱成為直棱柱）中，底面四邊形 滿足什么滿足什么條件時(shí)，條件時(shí)， ？ABCDDCBAABCDDBCAAABBCCDD 底面四邊形底面四邊形 對(duì)角對(duì)角線相互垂直線相互垂直ABCD例：例：練習(xí)：練習(xí)：天府?dāng)?shù)學(xué)天府?dāng)?shù)學(xué)26頁(yè)頁(yè) 例題例題2、跟進(jìn)訓(xùn)練、跟進(jìn)訓(xùn)練2【典型例題典型例題】 例例. .如圖如圖9-10, 9-10, 在正三棱柱在正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,A,A1 1A=AB,

6、 DA=AB, D是是CCCC1 1的中的中點(diǎn)點(diǎn),F,F是是A A1 1B B的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證求證: (1) DF: (1) DF 平面平面ABC; (2) AFABC; (2) AF BDBDpO自一點(diǎn)向平面引垂線，自一點(diǎn)向平面引垂線，叫做叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的這點(diǎn)在這個(gè)平面上的；這個(gè)點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)這個(gè)點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的到這個(gè)平面的。 1.1.射影射影直線和平面所成的角直線和平面所成的角 一條直線和一個(gè)平面一條直線和一個(gè)平面相交相交，但，但不和這個(gè)平面垂不和這個(gè)平面垂直直，這條直線叫做這個(gè)平，這條直線叫做這個(gè)平面的面的，斜線和平面的，斜線和平面的交點(diǎn)叫做交點(diǎn)

7、叫做。 斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的。ACB 過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做足和斜足的直線叫做； 垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的。 斜線上任意一點(diǎn)在斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影，一定在平面上的射影，一定在斜線的射影上。斜線的射影上。 2、斜線、斜線3 3、直線和平面所成的、直線和平面所成的角角定義：平面的一條斜線與平面內(nèi)這條斜線的射影定義：平面的一條斜線與平面內(nèi)這條斜線的射影所成的銳角叫做所成的銳角叫做。 一條直線垂直于平面，它們一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角所成的

8、角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們。直線和平面所成角的范圍是直線和平面所成角的范圍是。作法的關(guān)鍵在于確定平面的垂線，作法的關(guān)鍵在于確定平面的垂線，（1）首先查看已知條件和題目所給的）首先查看已知條件和題目所給的圖形中是否已有所需的垂線；圖形中是否已有所需的垂線；（2）當(dāng)已知條件和題目所給的圖形沒(méi)）當(dāng)已知條件和題目所給的圖形沒(méi)有所需要的垂線時(shí)，應(yīng)考慮能否利用兩有所需要的垂線時(shí)，應(yīng)考慮能否利用兩平面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行補(bǔ)作；平面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行補(bǔ)作；（3）若無(wú)法利用兩平面垂直的性質(zhì)定）若無(wú)法利用兩平面垂直的性質(zhì)定理作出所需要的垂線，必須直接由點(diǎn)向理作

9、出所需要的垂線，必須直接由點(diǎn)向平面引垂線時(shí)，應(yīng)考慮垂足的位置平面引垂線時(shí)，應(yīng)考慮垂足的位置斜線和平面所成的角的作法斜線和平面所成的角的作法：求斜線和平面所成的角的一般步驟：求斜線和平面所成的角的一般步驟：1、作、作 2、證、證 3、求、求ACBADCBD如圖，正方體ABCDA B C D 中，分別指出對(duì)角線A C與六個(gè)面所成的角.11111 1 1 111練習(xí)例題 . 如圖，在Rt ABC中，已知 C=90，AC=BC=1，PA平面ABC，且PA= 2求PB與平面PAC所成的角.PACB練習(xí)：練習(xí)：天府?dāng)?shù)學(xué)天府?dāng)?shù)學(xué)26頁(yè)頁(yè) 例題例題3例題：課本例題：課本66頁(yè)頁(yè) 例題例題2三垂線定理三垂線定理

10、：在平面內(nèi)的一條直在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。斜線垂直。OaAP三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，若和這在平面內(nèi)的一條直線，若和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。它也和這條斜線的射影垂直。 1.1.直線與平面垂直的定義是什么？直線與平面垂直的定義是什么？如何判定直線與平面垂直？如何判定直線與平面垂直？ 2.2.直線與平面垂直的判定定理，解直線與平面垂直的判定定理，解決了直線與平面垂直的條件問(wèn)題；反之，決了直線與平面

11、垂直的條件問(wèn)題；反之，在直線與平面垂直的條件下，能得到哪在直線與平面垂直的條件下，能得到哪些結(jié)論？些結(jié)論？2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì)定理直線與平面垂直的性質(zhì)定理 思考思考1:1:如圖，長(zhǎng)方體如圖，長(zhǎng)方體ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，棱棱AAAA1 1，BBBB1 1，CCCC1 1，DDDD1 1所在直線與底面所在直線與底面ABCDABCD的位置關(guān)系如何？它們彼此之間具的位置關(guān)系如何？它們彼此之間具有什么位置關(guān)系？有什么位置關(guān)系？A AA A1 1B BC CD DB B1 1C C1 1D D1 1思考思考2:2:如果直線如果直線a a，b b都

12、垂直于同一條直都垂直于同一條直線線l，那么直線，那么直線a a，b b的位置關(guān)系如何？的位置關(guān)系如何？ab blab blab b l思考思考3:3:一個(gè)平面的垂線有多少條？這些一個(gè)平面的垂線有多少條？這些直線彼此之間具有什么位置關(guān)系？直線彼此之間具有什么位置關(guān)系？c cO Oab b定理：定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行 上述定理通常叫做上述定理通常叫做直線與平面垂直的性質(zhì)定理直線與平面垂直的性質(zhì)定理. .問(wèn)：用符號(hào)語(yǔ)言可表述為？問(wèn)：用符號(hào)語(yǔ)言可表述為？ 該定理有什么功能作用？該定理有什么功能作用？ 例例1 1 如圖，已知如圖，已知 于點(diǎn)于點(diǎn)A A， 于點(diǎn)于

13、點(diǎn)B B， 求證：求證： . .,l CACB,aaAB/alA AB BC Cla平面與平面垂直的判定定理平面與平面垂直的判定定理 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直平面垂直. .aA簡(jiǎn)記：簡(jiǎn)記：線面垂直，則面面垂直線面垂直，則面面垂直 面面垂直面面垂直線面垂直線面垂直線線垂直線線垂直aa 面符號(hào)符號(hào): : 例例1 1 如圖如圖, ,ABAB是圓是圓O O的直徑，的直徑，PAPA垂直于圓垂直于圓O O所在所在的平面于的平面于A A，C C是圓是圓O O上不同于上不同于A A、B B的任意一點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，求證：平面求證：平面PACPAC平面平面P

14、BCPBCABCPO 證明證明:由由ABAB是圓是圓O O的直徑的直徑, ,可得可得ACBCACBCPAABCBCABC平面平面BCPAC 平面PABCBCACPAACABCPBC 平面平面平面PAC平面平面PBC分析：分析：例：例： 如圖所示：在如圖所示：在RtRtABCABC中，中，ABC=90ABC=900 ,0 ,P P為為ABCABC所在平面外一點(diǎn)，所在平面外一點(diǎn)，PAPA平面平面ABCABC，你能發(fā)現(xiàn)，你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？哪些平面互相垂直，為什么？PABCPAPA平面ABC平面PAC平面平面PAC平面平面ABC同理：平面同理：平面PAB平面平面ABC平面平面PAB平面

15、平面PBCBCPAB 平面BCPBC 平面 例例 CABDO證明：證明：設(shè)設(shè)DCDC中點(diǎn)為中點(diǎn)為O O，連結(jié)，連結(jié)AO,BOAO,BOAC=AD=2,AC=AD=2, DAC=60DAC=60AODC, , DC=2AODC, , DC=2又又BAC= BAD=60 , AB=3BAC= BAD=60 , AB=3ABD ABC , DB=CB=BOCD,BO= , AB2=AO2+BO2 , AOB=90平面平面BCD平面平面ADC73AO6 空間四邊形空間四邊形 , ,已知已知ABCD, 3AB, 2ADAC60.DACBACBAD求證求證: :平面平面 平面平面BCD .ADC分析：分析

16、：lbllb bb兩個(gè)平面垂直兩個(gè)平面垂直, ,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直直線與另一個(gè)平面垂直. .簡(jiǎn)述為：簡(jiǎn)述為：面面垂直面面垂直線面垂直線面垂直符號(hào)表示：符號(hào)表示：平面與平面垂直的性質(zhì)定理平面與平面垂直的性質(zhì)定理1例 、已知：兩個(gè)平面 與 互相垂直，判斷下列命題是否正確：（1）若b,則b。（2）若=l,bl則b。（3）若b,則b垂直于平面 內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線。l(4) (4) 過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線, ,則此垂線則此垂線 必垂直于另一個(gè)平面。必垂直于另一個(gè)平面。例例3 3：如圖，已知如圖，已知PAPA平面平面A

17、BCABC，平面平面PABPAB平面平面PBCPBC，求證：，求證：BCBC平面平面PABPABPABCE證明：過(guò)點(diǎn)證明：過(guò)點(diǎn)A作作AEPB，垂足，垂足為為E，平面平面PAB平面平面PBC， 平面平面PAB平面平面PBC=PB，AE平面平面PBCBC 平面平面PBC AEBCPA平面平面ABC，BC 平面平面ABCPABCPAAE=A，BC平面平面PAB例例4，如圖，如圖,AB是是 O的直徑的直徑,點(diǎn)點(diǎn)C是圓上異于是圓上異于A,B的任意的任意一點(diǎn)一點(diǎn),PA平面平面ABC,AFPC于于F.求證求證:AF平面平面PBC.ACBOPF.證明證明: AB是是 O的直徑的直徑ACBCPABCBC平面平面

18、PAC平面平面PBC平面平面PACAF平面平面PBCBC 平面平面PBC又又AFPC,AF 面面PAC ,面面PBC面面PAC=PCPA平面平面ABC,BC 平面平面ABCPAAC=A解題反思解題反思2 2、本題充分地體現(xiàn)了面面垂直與、本題充分地體現(xiàn)了面面垂直與 線面線面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。垂直之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。1 1、面面垂直的性質(zhì)定理給我們提供了一、面面垂直的性質(zhì)定理給我們提供了一種種證明線面垂直證明線面垂直的方法的方法面面垂直面面垂直線面垂直線面垂直性質(zhì)定理性質(zhì)定理判定定理判定定理 二面角及其平面角二面角及其平面角11、二面角的畫(huà)法：、二面角的畫(huà)法：（1）、平臥式）、平臥式（2）、

19、直立式）、直立式（2)二面角的二面角的 畫(huà)法與記法畫(huà)法與記法2、二面角的平面角的作法：、二面角的平面角的作法：1、定義法：、定義法：根據(jù)定義作出來(lái)。根據(jù)定義作出來(lái)。2、作垂面：、作垂面：作與棱垂直的平面與兩半平面作與棱垂直的平面與兩半平面的交線得到。的交線得到。3、應(yīng)用三垂線：、應(yīng)用三垂線：應(yīng)用三垂線定理或其逆定理作應(yīng)用三垂線定理或其逆定理作出來(lái)。出來(lái)。 注意：二面角的平面角必須滿足：注意：二面角的平面角必須滿足： （1）、角的頂點(diǎn)在棱上。）、角的頂點(diǎn)在棱上。 （2）、角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)。）、角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)。 （3）、角的邊都要垂直于二面角的棱。）、角的邊都要垂直于二面角的棱。 oABoAoABBllll二面角的計(jì)算步驟：二面角的計(jì)算步驟：1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、證明證明 1中的角就是所求的角中的